CC BY
10
Патронова Н.Н.1, Неманова А.А.2
Неверный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова, г. Архангельск,
студентка 5 курса
2 Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова, г. Архангельск,
доцент n.patronova@nurfu . ru
МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В ПРАКТИЧЕСКИХ СИТУАЦИЯХ С ЭЛЕМЕНТОМ СЛУЧАЙНОГО
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Методика обучения, математическое моделирование, стохастика, качественные задачи, личностно-ориентированные ситуации.
АННОТАЦИЯ
В статье рассматриваются цели и основные положения методики формирования готовности учащихся основной и средней школы к использованию стохастических знаний в практических ситуациях с элементом случайного.
Целью изучения стохастики в школе является формирование готовности учащихся к осуществлению качественного и количественного анализа практических ситуаций и явлений реальности с элементом случайного. Основой применения математики к решению практических проблем выступает метод математического моделирования. В процессе математического моделирования исследование объекта осуществляется посредством замещения его моделью, сформулированной на языке математики (математической моделью), с последующим использованием тех или иных математических методов. Процесс построения математической модели условно может быть представлен состоящим их следующий этапов (1):
1. Конструирование модели. Этот этап начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. Помимо сведений общего характера о природе объекта и целях его исследования эта стадия может содержать также некоторые предположения (невесомый стержень, игральная кость, правильная монета и т. д.). Данный этап назван ими «формулировка предмодели»;
2. Завершение идеализации объекта. Отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными для его поведения. По возможности идеализирующие предположения записываются в математической форме, с тем, чтобы их справедливость поддавалась количественному контролю;
3. Выбор или формулировка закона которому подчиняется объект, и его записи в математической форме;
4. «Оснащение» модели. Например, необходимо задать сведения о начальном состоянии объекта или иные его характеристики, без знания которых невозможно определить поведение объекта. И, наконец, формулируется цель исследования модели.
Описание метода математического моделирования содержит шаги, связанные с качественным и количественным анализом исследуемых объектов. Применительно к практическим ситуациям с элементом случайного построение математической модели начинается с постановки и решения качественной задачи на определение возможности решения проблемы средствами научной теории. В процессе решения этой задачи происходит установление наличия / отсутствия: 1) в исследуемом процессе или явлении элемента случайности частотной природы; 2) в сущности возникшей проблемной ситуации связи с мерой элемента случайности (то есть с вероятностью случайного события).
Пример 1. Возможно, ли обращение к стохастическим положениям при разрешении следующей проблемы:
«Подготовив пакет документов для подписания договора с одним из клиентов, юрист фирмы убрал его в сейф, код которого состоит из двух цифр, все они различные, от 0 до 4 и последовательность их набора важна. На следующий день он обнаружил записку от директора, в которой последний указывал на внесенные в документы поправки. Юристу не удалось открыть
сейф, так как его код был изменен директором. Что в этой ситуации делать юристу, если до прихода клиента осталось 2 минуты, а на каждую попытку набрать код юрист обычно тратит 10 секунд?».
Решение: 1). Исследуется процесс набора правильного кода. Юрист не знает новый верный код сейфа, следовательно, обнаружение правильной комбинации цифр абсолютно случайно. Получение правильного кода зависит от количества комбинаций, которые могут быть составлены, и количества попыток, которые он успеет сделать за оставшееся время. Таким образом, случайность имеет частотную природу. 2). Сложившаяся ситуация ставит перед юристом проблему выбора наилучшего решения среди возможных: пытаться открыть сейф, подбирая код (тем или иным способом), искать информацию о новом коде, отказаться от попытки открыть сейф. Выбор или отклонение первого решения связан с вероятностью набора правильной комбинации за оставшееся время. Таким образом, обращение к стохастическим положениям при разрешении указанной проблемы допустимо.
В случае, если вопрос об использовании математической теории уже решен, возникает необходимость сформулировать возникшую проблему в научных терминах. Это показывает, что следующим видом качественных задач, являются задачи на описание ситуации в стохастических понятиях. Их решение требует выделить: 1) случайное событие, вероятность которого требуется оценить для решения проблемы; 2) опыт, результатом которого является это событие.
Пример 2. Установить, от вероятности наступления какого случайного события зависит принятие решения о целесообразности попыток открыть сейф подбором кода. Результатом проведения какого опыта оно является?
Решение: Случайное событие А=«юрист подобрал правильный код не более чем за 2 минуты». Событие А является результатом опыта, состоящего в многократных попытках подбора правильного кода путем выбора пары различных цифр из пяти различных до появления нужной комбинации.
В результате подобной переформулировки возникает задача теории вероятностей, в данном случае следующая: «Найти вероятность события А= «юрист подобрал правильный код не более чем за 2 минуты», являющегося результатом осуществления юристом опыта, состоящего в многократных попытках подбора правильного кода путем выбора пары различных цифр из пяти различных до появления нужной комбинации. Известно, что на каждую попытку он тратит 10 секунд».
Поиск решения этой задачи, осуществляемый на этапе внутримодельного исследования, может привести к необходимости уточнения ее формулировки (изменения модели практической ситуации). Данное уточнение также представляет собой процесс постановки и решения качественной задачи выбора способа математического описания ситуации, адекватного имеющимся средствам оценки вероятности интересующего случайного события.
Решение этой качественной задачи состоит в осуществлении действий:
1. Найти способ описания исходов опыта, результатом которого является интересующее случайное событие.
2. Проверить исходы этого опыта на равновозможность.
3. Если исходы опыта равновозможны, то установить, является ли множество всех исходов конечным (от этого зависит выбор классического или геометрического способа оценки вероятности).
4. Если исходы опыта не равновозможны, то попытаться достичь равновозможности либо путем введения дополнительных требований, либо путем перехода к рассмотрению интересующего случайного события как комбинации других случайных событий.
Пример 3. Каким способом можно оценить вероятность случайного события А=«юрист подобрал правильный код не более чем за 2 минуты», являющегося результатом опыта, состоящего в многократных попытках подбора правильного кода путем выбора пары различных цифр из пяти различных до появления нужной комбинации. Известно, что на каждую попытку он тратит 10 секунд.
Реализация найденного способа решения соответствует также этапу внутримодельного исследования и требует постановки и решения задачи другого типа — количественной оценки вероятности интересующего события.
Однако рассматриваемая практическая ситуация показывает, что результата количественной задачи еще недостаточно для решения возникшей проблемы. Использование полученных знаний осуществляется на этапе интерпретации и оценки результатов применения
математических методов с привлечением качественного анализа ситуации.
Здесь ставятся и решаются качественные задачи принятия оптимального решения на основе знания о значении вероятности случайного события.
Пример 4. Юрист знает, что вероятность угадать код за 2 минуты, оставшиеся до прихода клиента, равна приблизительно 0,46, если не запоминать неудачных попыток, и равна 0,60, если их запоминать. Имеет ли смысл юристу пытаться открыть сейф, подбирая код, или ему следует искать другой выход из сложившейся ситуации?
Проведенный нами анализ показывает, что в рамках применения метода математического моделирования количественный анализ ситуации с элементом случайного применяется лишь на этапе внутримодельного исследования. Качественный анализ используется на всех трех этапах метода математического моделирования и направлен на достижение существенно различных целей. Роль и место качественного анализа ситуаций с элементом случайного в модельных
№ Шаги МИ, связанные с качественным анализом проблемы Цели качественного анализа
1 Этап построения математической модели
1 1. Определение возможности использования стохастики Установить наличие (или отсутствие): 1) в исследуемом процессе или явлении элемента случайности частотной природы; 2) в сущности возникшей проблемной ситуации связи с мерой элемента случайности (то есть с вероятностью случайного события).
1 2. Формулировка проблемы на языке стохастики Выделить в описании проблемы: 1) случайное событие, вероятность которого требуется оценить для решения проблемы; 2) опыт, результатом которого является это событие.
2 Этап внутримодельного исследования
2 1. Установление возможности оценки вероятности случайного события с помощью имеющихся теоретических средств и выбор соответствующего математического аппарата. 1) Найти способ описания исходов опыта, результатом которого является интересующее случайное событие. 2) Проверить возможность принятия гипотезы о равновозможности исходов этого опыта. 3) Если исходы опыта равновозможны, то установить, является ли множество всех исходов конечным. 4) Если исходы опыта не равновозможны, то достичь равновозможности либо путем введения дополнительных условий, либо путем перехода к рассмотрению интересующего случайного события как комбинации других случайных событий.
3. Этап интерпретации результата внутримодельного исследования
3 1. Использование результата внутримодельного исследования для решения проблемы. Найти наилучший выход из проблемной ситуации на основе знания о значении вероятности интересующего случайного события.
Кроме того, нами показано, что шаги модельного исследования, связанные с проведением качественного анализа, могут рассматриваться как решение качественных подзадач, входящих в состав задачи принятия оптимального решения в некоторой реальной или имитирующей реальную ситуации с элементом случайного.
Реализованные в большинстве учебных пособий методические подходы направлены, в основном, на подготовку учащихся к количественную анализу ситуацию с элементом случайного. Ведущим же средством достижения выше сформулированной цели обучения являются сюжетные и прикладные задачи, демонстрирующие учащимся различные реальные области приложений стохастики.
Однако, как показывает практика, возможности этих задач существенно ограничиваются тем, что в содержание опыта учащихся и учителей не входят специальные знания и образы ситуаций, относящиеся ко многим областям приложений стохастики. Кроме того, стремление
привлечь к постановке задач реальные статистические данные может привести к трудностям вычислительного характера и, в связи с этим, к неоправданной потере учебного времени.
Решение данной проблемы мы видим в постепенном сближении не содержания учебных задач с задачами практики, а деятельности по их решению. Целесообразность такого подхода отмечал еще В.В. Фирсов в своем диссертационном исследовании: «Явное вовлечение в процесс обучения математике этапов формализации и интерпретации создает единственно возможные предпосылки для обучения применению математики к реальным проблемам» (2, С.17).
Подготовка учащихся к практическому использованию научных стохастических знаний требует преобразования опыта учащегося. В качестве средства, позволяющего включать учащихся в такую деятельность, В.В. Сериков предлагает использовать «личностно-ориентированные ситуации». По внешней форме личностно-ориентированная ситуация — это задача или учебная проблема, обладающая следующими характеристиками: «Ученику предоставляется возможность совершить так называемое «личностное действие» — увидеть себя в отношении к другим людям, в со-бытийности с ними; сделать вывод из собственного опыта; преодолеть внутренний кризис; наметить жизненную программу. Для этого ему нередко требуется подвергнуть ревизии смыслы и цели учебы, привычного дружеского окружения. В этих ситуациях ученику приходится преодолевать собственные эмоции, овладевать переживаниями, приходить к верным выводам» (3, С. 212).
К числу личностно-ориентированных ситуаций, разрешаемых на основе стохастических знаний, мы относим ситуации принятия решений, удовлетворяющие двум требованиям:
1. Принятие решений основано на оценке возможности наступления случайного явления или на результате анализа статистических данных;
2. Опыт учащихся должен быть достаточным для принятия ситуации как личностно значимой.
Пример 5. «Родители решили наказать Вовочку за получение им "2" по математике и заставили его в течение недели каникул «корпеть» над учебниками по теории вероятностей и статистике. Отбыв наказание, обогащенный знаниями Вовочка пришел в школу и стал предлагать всем учащимся своей параллели сыграть в новую игру. Игра состояла в следующем: приятель называет три числа от 1 до 6, а Вовочка в это время бросает три игральных кубика разных цветов (белый, красный, желтый). При совпадении первого названного числа с числом очков на белом игральном кубике Вовочка выигрывает 1 рубль, в противном случае рубль выигрывает приятель. При совпадении второго названного числа с числом очков на красном кубике Вовочка проигрывает 1 рубль, в противном случае рубль он выигрывает. Если третье названное число с числом очков на желтом кубике взаимно просты, то Вовочка выигрывает 2 рубля, в противном случае 2 рубля выигрывает приятель. Думая, что каждый раз он будет иметь максимальный выигрыш, Вовочка обещал своему лучшему другу Толику купить в подарок на день рождения 36 эскимо. Стоит ли Толику рассчитывать на такой подарок, если учащихся на параллели было 90 человек и эскимо стоит 10 рублей?» (4, С. 44).
Представленная в данном примере ситуация удовлетворяет обоим требованиям, так как, во-первых, принятие решения о том, стоит или нет рассчитывать на подарок основано на оценке вероятностей случайных событий «выигрыш п-ной суммы» и «проигрыш п-ной суммы» (п=1, 2 рубля) и на понимании смысла понятия математического ожидания. Во-вторых, описанная ситуация входит в число ситуаций, с которыми сталкивались или могли столкнуться сами учащиеся (в роли Вовочки или его партнеров по игре).
Пример 5 показывает, что личностно-ориентированные ситуации могут быть представлены текстами задач за счет использования возможностей их сюжетной составляющей. Для раскрытия конфликтности личностно-ориентированной ситуации необходимо описание как минимум двух взаимосвязанных событий: «сущего» и «желаемого».
Ведущим средством подготовки учащихся к практическому использованию стохастических знаний должны выступать сюжетные задачи с качественными дополнениями, которые играют роль учебных моделей прошлых и будущих жизненных ситуаций применения стохастических знаний.
Таким образом, методика формирования готовности к использованию стохастических знаний в практических ситуациях с элементом случайного основывается на следующих положениях:
1. Ориентация в процессе обучения стохастике на формирование готовности не только к количественному, но и качественному анализу практических ситуаций с элементом случайного;
2. Первое положение реализуется через выделение видов требований задач качественного характера сообразно этапам метода математического моделирования;
3. Ведущим средством формирования готовности выступают сюжетные задачи с качественными дополнениями;
4. Сюжет задачи представляет собой описание личностно-значимой ситуации оперирования стохастическими знаниями;
5. В качестве двух основных видов личностно-значимых ситуаций могут выступать: житейские ситуации, с которыми сталкивались или могли столкнуться сами учащиеся; житейские или профессиональные ситуации, отнесенные к опыту людей, входящих в ближайшее окружение учащихся.
Литература
1. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. — 2-е изд., испр. — М.: Физмат Физматлит, 2001. — 320 с.; 22 см. — Библиогр.: с.313-316.
2. Фирсов, В. В. Некоторые проблемы обучения теории вероятностей как прикладной дисциплине: Автореф. дисс. ... канд. пед.наук: 13.00.02 / В.В. Фирсов. — М., 1974. — 27с.
3. Сериков, В. В. Образование и личность. Теория и практика проектирования педагогических систем [Текст] / В. В. Сериков. — М.: Издательская корпорация «Логос», 1999. — 272с.; 21 см. — 4000 экз.
4. Патронова, Н. Н. Введение в статистические исследования [Текст]: учебно-методическая разработка / Н. Н. Патронова, О. Н. Троицкая, М. В. Шабанова. — Архангельск: Поморский университет, 2005. — 78 с.; 21 см. -100 экз.
5. Патронова, Н.Н. Вероятностно-статистический стиль мышления и его развитие при обучении математике / Н.Н. Патронова, О.Н. Троицкая, М.В. Шабанова // Монография. — Архангельск: Поморский государственный университет, декабрь, 2010. — 250с.- Библиогр.: С.243-248.
