МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБНАРУЖЕНИЯ С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ РЕШАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

DOI 10.36622/VSTU.2022.18.2.008 УДК 621.391

МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБНАРУЖЕНИЯ

С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ РЕШАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

В.С. Костенников, М.Ф. Волобуев, В.Н. Надточий

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Россия

Аннотация: разработана методика расчета вероятностных характеристик обнаружения радиосигнала со случайными начальной фазой и амплитудой. Получены аналитические выражения для вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги при использовании в решающих устройствах кусочно-линейной аппроксимации. Использована кусочно-линейная решающая функция в пороговом устройстве, которая, в отличие от бинарной, наиболее точно подходит для описания реальных переходных процессов компонентов элементной базы, в связи с затруднениями реализации на практике мгновенного изменения устойчивых состояний решающего устройства по ряду причин, к которым относят динамически меняющуюся шумовую обстановку условий работы систем обнаружения и необходимость мгновенной подстройки их параметров. При попадании отсчетов выходного эффекта приемника в зону неопределенности, формируемой кусочно-линейной решающей функцией, данные отсчеты подвергаются дополнительным итерациям, что позволит в ряде ограничений, накладываемых на условия приема, повысить эффективность обнаружения сигналов. Выполнено моделирование, по результатам которого построены характеристики обнаружения сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой при воздействии белого гауссовского шума. Представленные кривые обнаружения позволяют оценить согласованность полученных аналитических выражений и сравнить их с имеющимися в известной литературе

Ключевые слова: методика, кусочно-линейная решающая функция, эффективность обнаружения, статистическое моделирование

Введение

В настоящее время современные отечественные и зарубежные производители радиоэлектронной аппаратуры военного и гражданского назначения обеспечивают повышение эффективности систем обнаружения сигналов при их модернизации, а также за счет применения инновационных технологий и использования высокопроизводительных микропроцессоров. Это обусловлено возрастающими техническими требованиями, предъявляемыми к системам двойного назначения, которые обеспечивают соответствие и превышение характеристик радиотехнических систем при сравнении с мировыми аналогами. Результаты анализа существующих научных работ показывают, что используемый в настоящее время математический аппарат при проектировании и разработке большинства радиотехнических систем не позволяет в полной мере охватить все ограничения и допущения, которые возникают во время работы этих систем в динамически меняющейся шумовой обстановке [1, 2].

Несмотря на появление и внедрение сверхвысокоскоростных микрокомпонентов для повышения эффективности систем обнаружения предлагается разработать теоретический

© Костенников В.С., Волобуев М.Ф., Надточий В.Н., 2022

подход для повышения эффективности современных радиотехнических систем.

Решающие устройства большинства систем обнаружения реализованы на основе операционных усилителей, в технических описаниях которых производители приводят параметры, позволяющие оценить время перехода из одного устойчивого состояния в другое при различных вариантах включения [3]. В связи с этим, решающие функции пороговых устройств при переходе из устойчивых состояний не могут изменяться без наличия временной задержки.

Основная часть разработанных в настоящее время методик и методов обнаружения радиосигналов, обеспечивающих повышение эффективности обнаружения сигналов, имеют общие недостатки, к которым можно отнести время, необходимое для принятия решения и осуществления вычислительных процедур; низкую устойчивость к ошибочным вычислениям; использование аналитических соотношений, абстрагированных от реальных условий приема (бинарные решающие функции пороговых устройств), в полной мере не учитывающие характеристики элементной базы систем обнаружения сигналов.

Поэтому предлагается разработать методику расчета характеристик обнаружения сигналов, учитывающую нелинейность решающей функции порогового устройства.

Постановка задачи

В классической теории многие задачи обнаружения сигналов на фоне гауссовских шумов при приеме детерминированных сигналов и сигналов со случайными параметрами решены с использованием бинарных решающих функций [1, 2]. В дальнейшем при решении задачи обнаружения будет применена кусочно-линейная аппроксимация (КЛА) решающей функции в пороговых устройствах [4] и рассмотрен прием радиосигнала со случайными начальной фазой и амплитудой [5]. Указанный сигнал выбран как наиболее часто встречающийся на практике и имеет вид

5(/, А) = а0ф^ -г)cos(сt + х^ -г) - р0), (1)

а0 - амплитуда сигнала, являющаяся случайной величиной, распределенной по закону Рэ-лея, ф^) - функция, отображающая закон амплитудной модуляции, со - несущая частота сигнала, ) - функция, отображающая закон фазовой модуляции, р0 - случайная начальная фаза сигнала, равномерно распределенная на интервале [-п,п\.

Так как изменение устойчивых состояний решающих устройств мгновенно произойти не может ввиду характеристик элементной базы, то необходимо отойти от идеализированного (бинарного) представления решающего правила и обеспечить описание поведения решающей функции КЛА, вид которой представлен на рис. 1.

5(х) =

1, X > х +--

0 2А

А(х- х) + —, X —— < X < х + -—. (2)

0 2 0 2А 0 2А

0, х < х —— 0 2 А

Решающая функция выбрана с целью получения окончательных аналитических выражений вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги с ее учетом, а также оценке влияния угла наклона выбранной решающей функции на вероятностные характеристики. В связи с этим в статье разрабатывается методика расчета и оценки характеристик обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой при использовании КЛА решающей функции порогового устройства.

Методика расчета вероятности ложной тревоги

Воспользуемся известной формулой для расчета вероятности ложной тревоги [6]

Р =

| 5(х)Р0(х)<яХ:

(3)

где 5(х) - функция решающего устройства, Р0(х) - плотность распределения вероятности значений выходного эффекта приемника при отсутствии полезного сигнала на входе обнаружителя, которая равна

Рис. 1. Вид кусочно-линейной решающей функции

На рис. 1 представлен вид КЛА решающей функции порогового устройства с разными углами наклона А1 и А2.

Выражение для КЛА представлено выражением (2)

Р>(х) = —г' ехР

(- х2^

ст..

, 2СТ у

V ш у

(4)

где стШ = / 2 - дисперсия шума приемника.

Подставляя выражения (2) и (4) в (3), запишем интеграл для расчета вероятности ложной тревоги при КЛА решающего устройства

X +1/2 А

Р =

1

х0 -1/2 А

-ехр

( х2 >

ло„

V 2стш /

а( х - х0)+2

Сх +

+ /

х0 +1/2 А

-ехр

х2

(5)

ло„

V 2стш у

сх

Выполним замену переменных к =

х

а = —^ . Выражение (5) примет вид

2 А<у„

и

1

1

1 а+к

P =v;,Jexp

ft ( х + а)

Аашх + — j dx +

t J

+72Г 1 exp

х2

2 /

dx

Проинтегрируем полученное выражение, получим

P' = ; [a+T - ^ Ж ^

fit \2\ (a + к)

exp

V v

2

(

+ exp

(a - к)

2

уу

| - Астшк

где erf (x) - интеграл ошибок [7].

При приеме радиосигнала со случайными начальной фазой и амплитудой переменная к будет принимать значения к = (2Ааш ) 1 << 1.

С учетом этого, выражение для вероятности ложной тревоги можно записать в виде

Pf =

a+K fx2^

а+к 12

J3 J exp — dx = p42 J exp(-x2)dx =

а-к V У

42

0\[2 2 =——= | ехр(-х2Ц

2 ^а-К 72

где р = Л.

Для получения окончательного аналитического выражения для вероятности ложной тревоги и с учетом, что к = (2) 1 << 1, найдем

отличные от нуля производные. Запишем окончательное выражение для вероятности ложной тревоги

Рр = ехр(-О2).{1 + -1) 1. (6)

2

2

Методика расчета вероятности правильного обнаружения

Выражение для вероятности правильного обнаружения в теории обнаружения имеет вид

при наличии полезного сигнала на входе обнаружителя, выражение (8)

P(x) =

-• exp

ax2 (1 + Q) ^ 2ax2 (1 + Q)

.2 Л

(8)

где Q - отношение сигнал/шум.

Подстановкой в выражение (7) КЛА решающей функции (2) и плотности распределения вероятности при наличии сигнала на входе обнаружителя (8) получаем интеграл для вероятности правильного обнаружения

1

^ (x-a£j)2 ^

Pd = [^ш (1+Q) exp[ a (1+Q)

A( x - x)+1 jdc+

J

(1+Q) expV 2ош(1+е)

^ (x-aEj)2 ^

dx,

где а - амплитуда сигнала, Е1 - энергия сигнала с единичной амплитудой.

Проинтегрируем по х полученное выражение

(

к 1 PD exp

( x + a-^Q )

2^

ю 1

+ J жexp

a-4Q +к

f x^

v" 2 У

Aa x + — I dx +

ш 2 У

dx,

где к = —, а = х0 - аЕ,. 2 Л 0 1

Произведем следующую замену переменных ^ = а-дУО^, (1 + Q ) = ах и запишем

окончательное аналитическое выражение для вероятности правильного обнаружения при приеме сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой с использованием в решающем устройстве обнаружителя КЛА в виде (9)

2fH (1- Af-e^

PD=2Г

Aa

V2*

(

exp

(N-к)2^ f (N+к)

exp

2

(9)

PD = J ¿(x)^)^

(7)

где Р(х) - плотность распределения вероятности значений выходного эффекта приемника

Оценка эффективности применения кусочно-линейной аппроксимации

Для оценки полученных выражений вероятностных характеристик было проведено ма-

2

x

+

1

+

2

2

2

тематическое моделирование в среде Mathcad. Полученные зависимости вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги сопоставлены с известными результатами, представленными в [3]. Так, на рис. 2 представлены зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/шум, которые построены по выражению (9) (пунктирная кривая - характеристика 2 и штрихпунктирная - характеристика 3), а также по классическому выражению [3], в котором используется бинарная решающая функция (сплошная кривая - характеристика 1).

Рв

/Г'.-' -

A'.: : г' у

/ • / /i'

м /V

ft t

-

ly ----характеристика 2 -----характеристика 3

А * J-*

9

Рис. 2. Зависимость вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/шум

На рис. 3 показана зависимость вероятности ложной тревоги от отношения сигнал/шум, построенная по выражению (6) (пунктирная кривая - характеристика 2 и штрихпунктирная - характеристика 3) и классическому выражению [3] (сплошная кривая - характеристика 1).

Рис. 3. Зависимость вероятности ложной тревоги от отношения сигнал/шум

На представленных рис. 2 и 3 кривые обнаружения, построенные по разработанным в статье аналитическим выражениям, получены при PF = 10"4, двух значениях угла наклона решающей функции: 55о - пунктирная кривая (характеристика 2) и 75о - штрихпунктирная кривая (характеристика 3). При увеличении угла наклона на этих рисунках (переходе решающей функции к классическому бинарному виду) характеристики обнаружения стремятся к оптимальным - это подтверждает правильность рассчитанных выражений для расчета характеристик обнаружения сигналов.

Заключение

Таким образом, в статье выполнено обобщение теории обнаружения сигналов. Получены новые аналитические выражения для вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги с учетом КЛА решающей функции порогового устройства. Разработана методика оценки и расчёта характеристик обнаружения радиосигналов со случайными начальной фазой и амплитудой при использовании КЛА решающей функции. Представлены результаты моделирования, подтверждающие правильность выполненных расчетов и адекватной реакции на изменения наклона решающей функции порогового устройства.

Литература

1. Тихонов В.И. Статическая радиотехника. М.: Советское радио, 1966. 622 с.

2. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. 656 с.

3. MP505 - малошумящий усилитель L-диапазона / АО «НПФ «Микран». URL: https://www.micran.ru/upload/iblock/721/MP505.pdf. (дата обращения 11.01.2022).

4. Рагимов А.Б. Об одном подходе к решению задач оптимального управления на классах кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно-заданных функций // Вестник Томского госуниверситета. 2012. № 2 (19). С. 20.

5. Nakhmanson G.S., Kostennikov V.S., Shmoilov A.O. Characteristics of Radio-Signal Detection for the Nonlinear Decision Function of a Threshold Device // Radiophysics and Quantum Electronics. 2020. Vol. 62. № 10. P. 713-719. DOI 10.1007/s11141-020-10017-z.

6. Бердышев В.П. Радиолокационные системы: учебник. Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2011. 400 с.

7. Dwight H.R. Tablicy integralov i drugie matematich-eskie formuly [Tables of Integrals and Other Mathematical Data]. New York: the Macmillan Company, 1961. 228 p.

Поступила 18.01.2022; принята к публикации 19.04.2022 64

Информация об авторах

Костенников Виталий Сергеевич - младший научный сотрудник, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (394064, Россия, г Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54«А»), e-mail: vitaly.kostennickov@yandex.ru, тел. 8-950-772-77-61

Волобуев Михаил Федорович - д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры электрооборудования (и оптико-электронных систем), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (394064, Россия, г Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54«А»), e-mail: volmf81@mail.ru, тел. 8-980-347-71-03

Надточий Виктор Николаевич - канд. техн. наук, преподаватель кафедры авиационных радиоэлектронных комплексов, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (394064, Россия, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54«А»), e-mail: nadtochiy_90@mail.ru, тел. 8-980-246-33-76

METHODOLOGY FOR ASSESSING THE PROBABILISTIC CHARACTERISTICS OF DETECTION WITH PIECEWISE LINEAR APPROXIMATION OF THE SOLVING FUNCTION

V.S. Kostennikov, M.F. Volobuev, V.N. Nadtochiy

Military Scientific Educational Center of Military-Air Forces "N.E. Zhukovsky and Ju.A. Gagarin

Military-Air Academy", Voronezh, Russia

Abstract: we developed a method for calculating the probabilistic characteristics of detecting a radio signal with a random initial phase and amplitude. We obtained analytical expressions for the probabilities of correct detection and false alarm when using piecewise linear approximation in solving devices. We used a piecewise linear solving function in a threshold device, which, unlike binary, is most accurately suitable for describing the real transients of the components of the element base, due to the difficulties of implementing in practice instantaneous changes in the stable states of the solver for a number of reasons, which include the dynamically changing noise environment of the operating conditions of detection systems and the need for instant adjustment of their parameters. When the samples of the receiver's output effect fall into the uncertainty zone formed by the piecewise linear solving function, these samples undergo additional iterations, which will allow us, in a number of restrictions imposed on the reception conditions, to increase the efficiency of signal detection. We performed a simulation, based on the results of which the characteristics of detecting a signal with a random initial phase and amplitude under the influence of white Gaussian noise are constructed. The presented detection curves allow us to evaluate the consistency of the obtained analytical expressions and compare them with those available in the known literature

Key words: methodology, piecewise linear solving function, detection efficiency, statistical modeling

References

1. Tikhonov V.I. "Static radio engineering" ("Staticheskaya radiotekhnika"), Moscow: Sovetskoe radio, 1966, 622 p.

2. Levin B.R. "Theoretical foundations of statistical radio engineering" ("Teoreticheskie osnovy statisticheskoy radiotekhniki"), Moscow: Radio I svyaz', 1989, 656 p.

3. MP505 - L-band low-noise amplifier, JSC "NPF "Mikran", available at: https://www.micran.ru/upload/iblock/72f/MP505.pdf. (date of access 11.01.2022).

4. Ragimov A.B. "On one approach to solving optimal control problems on classes of piecewise-constant, piecewise-linear and piecewise-given functions", Tomsk State University Bulletin (Vestnik Tomskogo gosuniversiteta), 2012, no. 2 (19), pp. 20.

5. Nakhmanson G.S., Kostennikov V.S., Shmoilov A.O. "Characteristics of radio-signal detection for the nonlinear decision function of a threshold device, Radiophysics and Quantum Electronics, 2020, vol. 62, no. 10, pp. 713-719. DOI 10.1007/s11141-020-10017-z.

6. Berdyshev V.P. "Radio location systems" ("Radiolokatsionnye sistemy"), Krasnoyarsk: Siberian Federal University, 2011, 400 p.

7. Dwight H.R. "Tables of integrals and other mathematical data", New York: the Macmillan Company, 1961, 228 p.

Submitted 18.01.2022; revised 19.04.2022 Information about the authors

Vitaliy S. Kostennikov, Junior Researcher, Military Scientific Educational Center of Military-Air Forces "N.E.Zhukovsky and Ju.A. Gagarin Military-Air Academy" (54A Starykh Bolsheviks st., Voronezh 394064, Russia), e-mail: vitaly.kostennickov@yandex.ru, tel.: +7-950-772-77-61

Mikhail F. Volobuev, Dr. Sc. (Technical), Associate Professor, Military Scientific Educational Center of Military-Air Forces "N.E.Zhukovsky and Ju.A. Gagarin Military-Air Academy" (54A Starykh Bolsheviks st., Voronezh 394064, Russia), e-mail: volmf81@mail.ru, tel.: +7-980-347-71-03

Viktor N. Nadtochiy, Cand. Sc. (Technical), Assistant Professor, Military Scientific Educational Center of Military-Air Forces "N.E.Zhukovsky and Ju.A. Gagarin Military-Air Academy" (54A Starykh Bolsheviks st., Voronezh 394064, Russia), e-mail: nadtochiy_90@mail.ru , tel.: +7-980-246-33-76