МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОРРЕЛЯЦИОННОГО ПРИЕМНИКА C КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ РЕШАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПОРОГОВОГО УСТРОЙСТВА Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

DOI 10.36622^Ти.2021.17.4.012 УДК 621.391

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОРРЕЛЯЦИОННОГО ПРИЕМНИКА C КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ РЕШАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПОРОГОВОГО УСТРОЙСТВА

М.Ф. Волобуев, В.С. Костенников, А.О. Шмойлов

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Россия

Аннотация: разработана математическая модель двухканального корреляционного приемника радиосигналов с кусочно-линейной аппроксимацией, решающей функции порогового устройства. Приемник рассчитан на прием наиболее часто встречающихся на практике сигналов со случайной начальной фазой в условиях белого гауссовского шума. В синтезированной математической модели применяется кусочно-линейная аппроксимация решающей функции порогового устройства. Проведен сравнительный анализ характеристик обнаружения радиосигналов со случайной начальной фазой от отношения сигнал/шум, посчитанных с использованием разработанной математической модели корреляционного приемника с кусочно-линейной решающей функциeй порогового устройства. Представлены полученные в результате математического моделирования процесса функционирования корреляционного приемника при обнаружении сигналов со случайной начальной фазой в условиях шума зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/шум. Показано, что результаты имитационного моделирования согласуются с теоретическими расчетами. Выявлено, что представление решающих функций пороговых устройств в классической теории обнаружения сигналов в виде идеализированных (оптимальных), которые не учитывают их нелинейность, приводят либо к увеличению вероятности ложной тревоги, либо к уменьшению вероятности правильного обнаружения, что приводит к ошибкам первого рода

Ключевые слова: математическая модель, обнаружение сигналов, решающая функция, пороговое устройство, имитационное моделирование

Введение

Анализ работ, направленных на решение задач обнаружения радиосигналов, согласно классической теории обнаружения, показывает, что при реализации пороговых устройств, которые входят в состав большинства обнаружителей, в них закладывается оптимальная решающая функция, имеющая бинарный характер [1]. Но в реальных условиях приема и при воздействии внутренних шумов аппаратуры переход из устойчивых состояний решающего устройства можно описывать не только ступенчатыми решающими функциями, но и нелинейными, которые принимают любое из значений от 0 до 1.

В настоящее время разработка пороговых устройств основана на использовании современных ТТЛ и КМОП технологий. Одним из основополагающих элементов пороговых устройств является операционный усилитель, с помощью которого реализуют компараторы, триггеры Шмитта, детекторы и т.д. Как известно, ни один операционный усилитель не обеспечивает скачкообразную решающую функцию, в таких функциях присутствует время фронта и спада [2]. Поэтому затруднительно получить

© Волобуев М.Ф., Костенников В.С., Шмойлов А.О., 2021

идеальные параметры порогового устройства и добиться изменения его состояния скачком.

Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод о целесообразности разработки математической модели приемника радиосигналов с учетом инерционности элементной базы, связанных с нелинейностями при переходе сигнала из устойчивых состояний, влияющих на вид решающей функции порогового устройства, с целью оценки возможного повышения эффективности работы обнаружителей.

Постановка задачи

При разработке математической модели будем рассматривать радиосигнал со случайными параметрами. В реальных условиях работы приемника часто встречается радиосигнал со случайной начальной фазой.

На практике по ряду причин при приеме сигналов время прихода сигнала на устройство обнаружения зачастую неизвестно. Так, при обнаружении движущейся цели фаза сигнала является случайной величиной. Отсутствие априорных данных о начальной фазе принимаемого сигнала обуславливает наличие в структурной схеме обнаружителя двух каналов. В случае, когда полезный сигнал оказывается

сдвинутым относительно опорного напряжения в первом канале на 90о, то приращение напряжения в этом канале на входе интегратора не будет. Но во втором канале приемника данное приращение окажется максимальным. Также, как следует из [3], при использовании двух корреляционных каналов приёмника результат вычисления огибающей сигнала не зависит от истинного значения начальной фазы принимаемого сигнала, что делает схему двухканального корреляционного приемника сигналов наиболее подходящей к обнаружению выбранного вида сигнала.

Как уже было сказано, устойчивое состояние порогового устройства мгновенно измениться не может ввиду инерционности свойств компонентов, входящих в его состав. Известно [4], что такое поведение устройств удобно описывать различными видами функций принадлежности. Наиболее распространенными и подходящими под переходной процесс в рассматриваемом случае являются функции S-образного типа. Но ввиду сложности математического описания таких функций и достаточности подтверждения адекватности разрабатываемой математической модели воспользуемся вырожденным случаем S-образной решающей функции - ее кусочно-линейной аппроксимацией [5, 8].

В связи с этим в статье разрабатывается математическая модель приема радиосигнала со случайной начальной фазой, принимаемого в условиях шума корреляционным приемником, в котором решающая функция порогового устройства будет описана кусочно-линейной аппроксимацией [9].

Схема корреляционного приемника

Воспользуемся известной схемой корреляционного приемника [6], которая представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема корреляционного приемника

Аддитивная смесь сигнала и шума поступает на вход двухканального корреляционного устройства обнаружения сигналов

х(0 = 5 0) + п(0, (1)

где = ЩО^ю^+фО)), и © - амплитуда сигнала, ш 0 - частота сигнала, фО) - начальная фаза сигнала, которая в рассматриваемом примере носит случайный характер, п^) - помехи.

Рассматриваемый приемник состоит из двух параллельно включенных корреляторов, выполняющих операции умножения принимаемой аддитивной смеси сигнала х(^) на опорные сигналы и дальнейшего вычисления корреляционных интегралов полученных произведений. Выходные сигналы параллельных корреляторов х5 ихс после объединения в квадратуре дают огибающую М, также называемую выходным эффектом приемника, который подается на пороговое устройство (ПУ) и равен

M=

J x(t)U(t)coos[(00f +фУ)] dt

L0

J x(t)U(t)sin[ro0t+фГ)] dt

- J U2(t)dtcos^o + Nc

-0

+

0

— |U2(í)dtsin% + Ns

20

2 2 = [-E cos Ф0 + Nc ] + [--Ei sin Ф0 + Ns ] , (2)

в котором шумовые составляющие квадратурных сигналов представлены в виде нормальных случайных процессов:

cos

N 1 T

c

N

= J n(t)U (t) .

0

Sin

[®0t + ф(t)] dt

Выполнив нормировку выходного эффекта

приемника на -п =

N0 Е

, получим выражение,

определяющее алгоритм работы корреляционного обнаружителя:

-E1 -

—^-совф + Nc

+

-Ел

<э„

sinфo + Ns

> Мпор

(3)

где

N = Nc.

Jvc

N. = Ns

М,

пор

=м,

пор

- n =

N 0 Е

В задачах радиолокации, когда априорное распределение вероятности присутствия сигнала неизвестно, используют оптимальное правило Неймана-Пирсона [7].

Согласно оптимальному критерию Неймана-Пирсона осуществляется разделение области всех возможных реализаций на две отдельные подобласти, определяющие принятие решения

2

2

+

2

2

2

о наличии полезного сигнала в принятом реализации или его отсутствие. Следует отметить, что выбор из двух областей сопровождается наличием ошибок первого и второго рода, соответственно, ложная тревога - когда принимается гипотеза о наличии сигнала, в то время, когда его нет, и пропуск сигнала - когда принимается гипотеза об отсутствии сигнала, в то время, когда он есть. Критерий Неймана-Пирсона обеспечивает максимальную вероятность правильного обнаружения при требуемой, в зависимости от системы применения, вероятности ложной тревоги.

Для определения величины порога воспользуемся критерием Неймана-Пирсона. Необходимо задать вероятность ложной тревоги

^ = I

Мт

М • е

М

Т

dM =е

М

\2

пор. 2

Далее вычислим нормированное пороговое значение

Мпор = -1п F . Запишем выражение (3), учитывая (4)

(4)

С«5 % + ^с

где

^=

+

зш Фо + ^

>-lnF, (5)

аЕл

N о Е

V

2 а2 Е1 -

N

отношение

о

2

сигнал/шум.

Таким образом, зная все вычисления работы схемы корреляционного приемника, можем приступить к реализации его математической модели.

Решающие функции порогового устройства корреляционного приемника

Согласно существующей классической теории обнаружения радиосигналов в пороговом устройстве, выносится решение о присутствии сигнала при превышении выходным эффектом приемника установленного порогового значения. Исходя из этого решающее правило, заложенное в пороговое устройство в классическом представлении, имеет вид

5(М) = <

11, М > М

пор.'

о, М <М

пор.

что соответствует идеализированной решаю-

щей функции порогового устройства (рис. 2, функция 1), которую синтезировать на существующей элементной базе затруднительно ввиду наличия инерциальных свойств и наличия задержки.

При таком подходе решения задачи обнаружения сигналов принимается достаточное количество допущений с целью упрощения получения аналитических выражений, в том числе и упускается существующая нелинейность решающих функций пороговых устройств [8].

В работах [9], [10] получены аналитические выражения приема сигналов в условиях шума с применением в качестве решающих функций пороговых устройств нелинейных функций двух видов. Для упрощения построения математической модели воспользуемся одной из них - кусочно-линейной аппроксимацией решающей функции, используемой в [9], отличной от (5) наличием наклона и состояний, принимающих любое значение от 0 до 1 на интервале выходного эффекта приемника под проекцией функции (рис. 2, функции 2 и 3) [11]. Так как кусочно-линейная аппроксимация упрощает многие вычисления, она не лишает возможности оценить адекватность разрабатываемой имитационной модели с применением предполагаемого подхода к описанию решающих функции пороговых устройств, отличных от оптимальных [8].

д (М)

0,5

2\ V/

1 !/уг-А1

// // / / / ! _ь.

М0 — 1/2А

М(>

М0 + 1/2А М

Рис. 2. Решающие функции пороговых устройств

Решающие функции 2 и 3, показанные на рис. 2, можно представить в виде решающих правил как

2

да

2

8(И) =

1, И > Ы0 +—; 0 2 А

А(И-И0)+-,И0 —— <И<И0 +—; 0 2 0 2А 0 2А

0, И <И0 —-0 2 А

(6)

где ^ - тангенс угла наклона функции на интервале И0 —— < И < И0 + —, где решающая 2 А 2 А

функция линейно зависит от М, И 0 - значение выходного эффекта приемника, в котором 8(И) = 0,5 .

В работе [9] эффективность устройств обнаружения сигналов при вынесении решения о наличии или отсутствии сигнала со случайной начальной фазой на фоне шума оценивается усредненным решением вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги. При наличии сигнала на входе приемника выражение для вероятности правильного обнаружения, учитывающее решающее правило пороговых устройств [9, 12], записывается как

И

Wo( И) = — • ехр

ал„

И

2 А

2а:

(10)

V --шу

По полученным аналитическим выражениям в ходе решения интегралов (7) и (9) строились вероятности правильного обнаружения сигналов со случайной начальной фазой [8, 9]. Результаты теоретических исследований работы [8] показывают, что характеристики обнаружения радиосигналов при использовании оптимальной и кусочно-линейной решающих функций отличаются. Пороговое устройство с кусочно-линейной аппроксимацией имеет меньшую вероятность правильного обнаружения по сравнению с оптимальным представлением решающей функции в пороговом устройстве. Перейдем к получению результатов моделирования с целью подтверждения теоретических исследований и оценке возможности применения кусочно-линейной решающей функции порогового устройства на имитационной модели функционирования двухканального корреляционного обнаружителя радиосигнала со случайной начальной фазой.

D =18(М)Щ(И)(М.

(7)

Результаты

где 8(М) - решающая функция [12], W1(И) -плотность распределения вероятностей огибающих сигнала с шумом при приеме сигнала со случайной начальной фазой [9], которая определяется формулой

Wl(И) =—--ехр

а.

2 772 А

И 2 + а2В{

2а,

{ ИаК^

(8)

где аш = ^0К\ /2 - мощность шума на вы-

1

1 2

ходе приемника, К = -{(и(г)- энергия

2 т

сигнала с единичной амплитудой,

Г И аКхЛ

V а ш

- функции Бесселя нулевого по-

рядка [9].

Формула для вычисления вероятности ложной тревоги, учитывающая решающее правило пороговых устройств [9, 12], имеет вид

F = | 8(М)Wo(И)dМ

(9)

Моделирование выполнено в интерактивной среде программирования, используемой для создания моделей и осуществления численных расчетов МайаЬ версии-г2015Ь. Вид решающих функций пороговых устройств при проведении имитационного моделирования функционирования корреляционного приемника проиллюстрирован на рис. 3.

Рис. 3. Решающие функции для моделирования

Wo(И) - плотность распределения вероятностей огибающих шума, когда рассматриваемый сигнал отсутствует, определяется формулой [8, 9]

Здесь представлены решающие функции пороговых устройств 1 и 2, у которых углы наклона равны ^1=^2, задано пороговое значение Мпор., вычисленное по формуле (4), также

2

2

V ш )

2

—то

заданы интервалы, при которых каждая решающая функция переходит в одно из устойчивых состояний. Запишем решающие правила для пороговых устройств с характеристическими функциями, расположенными как на рис. 3. Для пороговых устройств с функцией 1 - выражение (11)

1, И >Ипор +—; «р 2А

А(И—Ипср)+1 Ищ,.— 2А <И <И«ор. + 2А;

51(И) =

0, И<Ипор ——. пор. 2А

(11)

Для ПУ с функцией 2 - выражение (12)

52(И) =

1 И > Ипор+ -А;

А(И —Ипоp.), Ипор. <И<Ипор. + А;

0, И < И

пор.-

(12)

Следует отметить, что при попадании значений выходного эффекта в интервалы, лежащие под наклоном решающих функций, для решающей функции (11) - это интервал

а для (12) -

И

пор.

1 1

-; Ипор +-

2 А пор. 2 А

1

И пор.;И пор. + а

приемник осуществляет умножение выходного эффекта на рассчитан-

ные

по

формулам А(И — И;

пор

)+2

А(И—Мпор.) соответствующие коэффициенты усиления, и уже полученное произведение сравнивает с порогом, после чего для значений выходного эффекта М на выбранных интервалах выносится решение о присутствии сигнала в принимаемой реализации.

Воспользуемся встроенным языком программирования для реализации математических алгоритмов работы корреляционного приемника для выполнения математического моделирования согласно поставленной задаче и получим зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/шум при приеме сигнала со случайной начальной фазой (рис. 4).

о 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

- Оптимальная РФ

- РФ 1

- РФ 2

3.5 4 4.5 5

Отношение сигнал / шум

| О.

СО £

35 4 4 5 5

Отношение сигнал / шум

б)

Рис. 4. Вероятности правильного обнаружения с использованием кусочно-линейных решающих функций

Из полученных зависимостей вероятностей правильного обнаружения сигнала корреляционным приемником с кусочно-линейными решающими функциями пороговых устройств (11) и (12), заданной вероятностью ложной тревоги F = 10—4, углами наклона решающих функций 6о (рис. 4а) и 35о (рис. 4б) видно, что вероятность правильного обнаружения в обоих случаях стремится к оптимальным параметрам вероятности правильного обнаружения при увеличении А. Также из представленных графиков видно влияние расположения решающих функций относительно порогового значения. В обоих случаях, когда решающая функция берет начало из порогового значения (12) и когда решающая функция равняется 0,5 в точке порога (11), вероятность правильного обнаружения уменьшается при большем отношении сигнал/шум. Причем в случае с функцией (12), расположенной правее (11), вероятность правильного обнаружения ниже. Так, с наклоном

и

решающих функций в 6о при отношении сигнал/шум, равном 16 дБ, вероятность правильного обнаружения для функции (11) составляет 0,45, а для функции (12) - 0,22, а при бинарной решающей функции при указанном отношении сигнал/шум вероятность составляет 0,72.

Заключение

Разработана математическая модель двух-канального корреляционного приемника радиосигналов с кусочно-линейной аппроксимацией решающей функции порогового устройства, который настроен на прием сигнала со случайной начальной фазой в условиях белого гаус-совского шума. Выполнено моделирование для приема радиосигналов с предлагаемой решающей функцией и оптимальной, которая используется в известной классической теории обнаружения радиосигналов.

Установлено, что математическая модель корреляционного приемника с пороговым устройством, решающая функция которого описана кусочно-линейной аппроксимацией, увеличивает ошибки первого рода. С увеличением наклона решающей функции вероятность правильного обнаружения стремится к оптимальным характеристикам. Предлагаемый подход применения решающих правил, отличных от оптимальных, позволяет получать оптимальные характеристики обнаружения радиосигналов с учетом нелинейности перехода пороговых устройств в устойчивые состояния.

Литература

ветское радио, 1966. 622 с.

2. Электронный ресурс: URL: https://www.analog.com/7ru/products/analog-fimctions/comparators.html. Дата обращения 05.03.2021 г.

3. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радионавигации: учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1992. 304 с.

4. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига: Зинатне, 1990. 184 с.

5. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.

6. Перов А.И. Статистическая теория радиотехнических систем: учеб. пособие для вузов. М.: Радиотехника, 2003. 400 с.

7. Palacios Játiva P., Román-Cañizares M., Saavedra C., Freire J.J. (2020) Signal Detection Methods in Cognitive Radio Networks: A Performance Comparison. In: Narváez F., Vallejo D., Morillo P., Proaño J. (eds) Smart Technologies, Systems and Applications. SmartTech-IC 2019. Communications in Computer and Information Science, vol 1154. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-46785-2_6

8. Нахмансон Г.С., Костенников В.С., Шмойлов А.О. Характеристики обнаружения радиосигналов при нелинейной решающей функции порогового устройства // Известия вузов. Радиофизика. 2019. Т. 62. № 10. С. 801808.

9. Нахмансон Г.С., Костенников В.С., Шмойлов А.О. Влияние нелинейности решающей функции порогового устройства на характеристики обнаружения радиосигналов // Нелинейный мир. 2019. № 3. С. 36-44.

10. Nakhmanson, G. S., Kostennikov, V.S. & Shmoilov, A.O. Characteristics of Radio-Signal Detection for the Nonlinear Decision Function of a Threshold Device. Radiophys Quantum El 62, 713-719 (2020). https://doi.org/10.1007/s11141-020-10017-z

11. Рагимов А.Б. Об одном подходе к решению задач оптимального управления на классах кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно-заданных функций // Вестник Томского госуниверситета. 2012. № 2 (19). С. 20.

12. Бердышев В.П. Радиолокационные системы: учебник. Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2011. 400 с.

1. Тихонов В.И. Статическая радиотехника. М.: Со-

Поступила 31.03.2021; принята к публикации 20.08.2021 Информация об авторах

Волобуев Михаил Федорович - канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры автоматизации управления летательными аппаратами (и вычислительных систем), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (394064, Россия, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54«А»), e-mail: volmf81@mail.ru, тел. 8-980-347-71-03

Костенников Виталий Сергеевич - младший научный сотрудник, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (394064, Россия, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54«А»), e-mail: vitaly.kostennickov@yandex.ru, тел. 8-950-772-77-61

Шмойлов Антон Олегович - младший научный сотрудник, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (394064, Россия, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54«А»), e-mail: aoshmoilov@mail.ru, тел. 8-950-775-92-02

MATHEMATICAL MODEL OF A CORRELATION RECEIVER WITH A PIECEWISE LINEAR APPROXIMATION OF THE DECISION FUNCTION OF THE THRESHOLD DEVICE

M.F. Volobuev, V.S. Kostennikov, A.O. Shmoylov

Military Scientific Educational Center of Military-Air Forces "N.E.Zhukovsky and Ju.A. Gagarin

Military-Air Academy", Voronezh, Russia

Abstract: we developed a mathematical model of a two-channel correlation receiver of radio signals with piecewise linear approximation of the decision function of the threshold device. The receiver is designed to receive the most commonly encountered signals in practice with a random initial phase in a white Gaussian noise environment. In the synthesized mathematical model, a piecewise linear approximation of the decision function of the threshold device is used. We carried out a comparative analysis of the characteristics of detecting radio signals with a random initial phase from the signal-to-noise ratio, calculated using the developed mathematical model of a correlation receiver with a piecewise linear decision function of the threshold device and known. The paper presents the dependences of the probability of correct detection on the signal-to-noise ratio obtained as a result of mathematical modeling of the process of functioning of the correlation receiver when detecting signals with a random initial phase under noise conditions. We show that the results of simulation are consistent with theoretical calculations. We found that the representation of the decision functions of threshold devices in the classical theory of signal detection in the form of idealized (optimal) ones, which do not take into account their nonlinearity, lead either to an increase in the probability of a false alarm, or to a decrease in the probability of correct detection, which leads to errors of the first kind

Key words: mathematical model, signal detection, decision function, threshold device, simulation

References

1. Tikhonov V.I. "Static radio engineering" ("Staticheskaya radiotekhnika"), Moscow, Sovetskoe radio, 1966, 622 p.

2. https://www.analog.com7/ru/products/analog-functions/comparators.html. (access date: 03.05.2021)

3. Sosulin Yu.G. "Theoretical foundations of radio navigation" ("Teoreticheskie osnovy radionavigatsii"), textbook, Moscow, Radio i Svyaz', 1992, 304 p.

4. Borisov A.N., Krumberg O.A., Fedorov I.P. "Fuzzy model decision making: case studies" ("Prinyatie resheniy na osnove nechetkikh modeley: Primery ispol'zovaniya"), Riga, Zinatne, 1990, 184 p.

5. Gonorovskiy I.S. "Radio engineering circuits and signals" ("Radiotekhnicheskie tsepi i signaly"), Moscow, Radio i Svyaz', 1986, 512 p.

6. Perov A.I. "Statistical theory of radio engineering systems" ("Statisticheskaya teoriya radiotekhnicheskikh sistem"), textbook, Moscow, Radiotekhnika, 2003, 400 p.

7. Palacios Játiva P., Román-Cañizares M., Saavedra C., Freire J.J. "Signal detection methods in cognitive radio networks: a performance comparison", Smart Technologies, Systems and Applications. SmartTech-IC 2019. Communications in Computer and Information Science, vol 1154, Springer, Cham, 2020, available at: https://doi.org/10.1007/978-3-030-46785-2_6

8. Nakhmanson G.S., Kostennikov V.S., Shmoilov A.O. "Characteristics of the detection of radio signals with a nonlinear decision function of the threshold device", News of Universities. Radiophysics (Izvestiya vuzov), 2019, vol. 62, no. 10, pp. 801-808.

9. Nakhmanson G.S., Kostennikov V.S., Shmoylov A.O. "Influence of the nonlinearity of the decision function of the threshold device on the characteristics of the detection of radio signals", Nonlinear World (Nelineynyy mir), 2019, no. 3, pp. 36-44.

10. Nakhmanson G.S., Kostennikov V.S., Shmoylov A.O. "Characteristics of radio-signal detection for the nonlinear decision function of a threshold device", Radiophys Quantum El, 2020, no. 62, pp. 713-719, available at: https://doi.org/10.1007/s11141-020-10017-z

11. Ragimov A.B. "On one approach to solving optimal control problems on the classes of piecewise constant, piecewise linear and piecewise given functions", Bulletin of Tomsk State University (Vestnik Tomskogo gosuniversiteta), 2012, no. 2 (19), pp. 20.

12. Berdyshev V.P. "Radar systems" ("Radiolokatsionnye sistemy"), textbook, Krasnoyarsk, 2011, 400 p.

Submitted 31.03.2021; revised 20.08.2021 Information about the authors

Mikhail F. Volobuev, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Military Scientific Educational Center of Military-Air Forces "N.E.Zhukovsky and Ju.A. Gagarin Military-Air Academy" (54A Starykh Bol'shevikov str., Voronezh 394064, Russia), e-mail: volmf81@mail.ru, tel. +7-980-347-71-03

Vitaliy S. Kostennikov, research assistant, Military Scientific Educational Center of Military-Air Forces "N.E. Zhukovsky and Ju.A. Gagarin Military-Air Academy" (54A Starykh Bol'shevikov str., Voronezh 394064, Russia), e-mail: vitaly.kostennickov@yandex.ru, tel. +7-950-772-77-61

Anton O. Shmoylov, research assistant, Military Scientific Educational Center of Military-Air Forces "N.E. Zhukovsky and Ju.A. Gagarin Military-Air Academy" (54A Starykh Bol'shevikov str., Voronezh 394064, Russia), e-mail: aoshmoilov@mail.ru, tel. +7-950-775-92-02