Определение вероятностей обнаружения сигналов на фоне внутриприемного гауссовского шума на входе приемников РУОС Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 691.391.8

Определение вероятностей обнаружения сигналов на фоне внутриприемного гауссовского шума на входе приемников РУОС

В.И. Воловач, к.т.н., доцент, Поволжский государственный университет сервиса, e-mail: volov@mail.ru

Рассмотрены особенности обнаружения и определены вероятности правильного обнаружения сигналов с различными параметрами на фоне внутриприемного гауссовского шума на входе приемников радиотехнических устройств охранной сигнализации. Показано, что решение о достоверности сигнала обнаружения, отраженного от объекта-нарушителя, на входе приемника принимается в результате анализа отношения правдоподобия. Показано, что приемник РУОС при приеме детерминированного сигнала является оптимальным.

Detecting characteristics are considered, probabilities of correct signal detection with different parameters against background Gaussian noise at input of intrusion protection radio engineering systems (IPRES) are determined. It is shown decision of detection correctness of a signal reflected by intruder is taken as a result of analysis of likelihood ratio. It is shown IPRES receiver is optimal in case of receiving of deterministic signals.

Ключевые слова: вероятность обнаружения, гауссовский шум, отношение правдоподобия, достоверность, оптимальный алгоритм, охранная сигнализация.

Key words: detection probability, Gaussian noise, likelihood ratio, reliability, fully satisfactory algorithm, burglar alarm.

В радиотехнических устройствах охранной сигнализации (РУОС) реализуется принцип радиолокации на ближних расстояниях [1]. Исходя из этого, задача обнаружения и различения сигналов на фоне шума в РУОС и, следовательно, задача обнаружения объекта-нарушителя в пределах контролируемой зоны сводится к обнаружению лоцирующего, отраженного от объекта -нарушителя, сигнала иС {1,1) на фоне помехи иП {/), т.е. к анализу принятого колебания иш {():

иПР {)=@иС {(,1)+ иП {(), 0 < ( < Т, (1)

где 0 - случайная величина, принимающая только два значения: при 0 = 1 в выходном сигнале присутствуют сигнал иС {,1) и помеха иП {(), при 0 = 0 в выходном сигнале присутствует только помеха иП {(); Т - время работы охранного устройства.

Лоцирующий сигнал иС {(,1) представляет собой детерминированную и известную функцию аргументов ( и 1. Параметры 1 = {Л1,Л2,...,Лк} представляют собой параметры, определяющие функционирование системы охраны, которые принято называть существенными параметрами. Для реализации функции охраны объектов рассматривают как параметры самого радиосигнала (амплитуду, частоту и т. п.), так и параметры, харак-

теризующие объект-нарушитель (размеры объекта, площадь отражающей поверхности, наличие «блестящих» точек и т. п.) и характер его движения в пределах зоны обнаружения (дальность до объекта, скорость, направление).

Решение задачи обнаружения отраженного от объекта-нарушителя сигнала на фоне помехи

(1), а также оценка параметров этого сигнала позволяют получить структурную схему приемника РУОС и рассмотреть его соответствие типовым схемам оптимальных приемников.

Предположим, что сигнал иС {(,1) = ис {() зависит только от одного непрерывного параметра 1, имеющего априорную плотность вероятности Р{иС). Апостериорная плотность вероятности определяется как Р{иС / иПР) и представляет собой апостериорную вероятность отражения лоцирующе-го сигнала от объекта-нарушителя.

Рассмотрим задачу обнаружения протяженных объектов как задачу обнаружения сигналов с известными (в ограниченном числе случаев) и случайными (в большинстве практических случаев) параметрами.

Первоначально сигнал, отраженный от обнаруживаемого объекта, будем считать детерминированным. В этом случае задача обнаружения сигнала на фоне внутриприемного гауссовского шума формируется в виде, изложенном в [2]. Рассмотрение сигнала с известными параметрами позволяет

определить верхние границы характеристик обнаружения [3].

Пусть сигнал представляет собой произведение некоторой случайной величины в, согласно (1), на известную функцию времени uc (t). Пусть также сигнал смешивается с аддитивной помехой un (t). По результирующему воздействию необходимо принять решение о наличии или отсутствии сигнала uc (t) на входе приемника РУОС, т.е. определить наличие объекта-нарушителя. Воздействие (1) на входе приемника с учетом вышеизложенных рассуждений относительно непрерывности единственного существенного (т.е. подлежащего анализу при приеме) параметра X представим в следующем виде:

Unp (t) = euc (t)+un (t), 0 < t < T . (2)

Условимся, что помеха является белым гауссовским шумом (БГШ), поскольку этот шум является неизбежным следствием того, что существуют неустранимые причины - тепловые и другие шумы приемного устройства и окружающего пространства. Очевидно, что при приеме сигнала из окружающего антенну пространства происходит также и прием шумов окружающего пространства. В результате происходит аддитивное суммирование полезного сигнала, шумов окружающего пространства и шумов приемного устройства. Поскольку шумы приемного устройства значительно превосходят шумы окружающего пространства, примем для упрощения без значительной потери качества решения, что un (t) представляет собой внутриприемный шум. Аддитивный широкополосный гауссовский шум можно рассматривать как БГШ.

Плотность вероятности мгновенных значений внутриприемного шума un (t) подчиняется закону нормального распределения вероятностей [4]:

При радиолокации uCi (t) определяется величи-

Р(Пп ) = pexp

T

І I*

------uП (t )dt

Wu J ПКГ

где р = \!42лоП ]” - коэффициент пропорциональности, п - число дискретов, определяющих функцию иП {(); ЖП - мощность помех, приходящаяся на единицу полосы частот.

Определим функцию правдоподобия [3], представляющую собой плотность вероятности того, что на вход приемника РУОС поступает воздействие иПР {() при условии передачи сигнала исг{(), следующим образом: Ь(исг) = р(иПР /исг).

ной

в : uCi (t) = вuC(t). В данном случае,

согласно

(2), иПР = ис + иП ; при этом сигнал и помеха считаются взаимонезависимыми.

Если принятое воздействие иПР {() представляет собой непрерывный случайный процесс, наблюдаемый в дискретных временных точках (при г = 1, п ), то возможно перейти к условной плотности вероятности р(ипр/иа), которая должна равняться плотности вероятности того, что помеха принимает значение иП = иПР - иСг. С учетом последнего замечания функция правдоподобия примет вид

£(иСг) = Р(иПР / иСг) = Р(иПР - иСг) = Р(иП) .

Тогда, с учетом (3), при наличии во входном воздействии (2) сигнала от объекта-нарушителя ис1 {() (т. е. при 0 = 1) получим:

L(ua) = pexP

T

J(um (t)- uC (t)) dt

(4)

При 0 = 0 во входном воздействии сигнал от объекта отсутствует и, следовательно,

L(uC0) = PexP

T

І I*

—J uПp(t )dt

Отношение правдоподобия сигнала определяют выражением

L(ua К p(uC0).

(urn) P(ur

(5)

для области

/(uПP)= j( C4 > n( = y ■

L(uC0) P(ua)

(б)

где Р{ис0) - априорная вероятность отсутствия сигнала от объекта-нарушителя; Р{ис1) - априорная вероятность наличия такого сигнала.

Если /{исП )>^, то можно считать, что при-(3) нятое РУОС воздействие иПР{() содержит, наря-

ду с помехой uC0, сигнал от объекта-нарушителя u^. В противоположном случае uOT (t) принадлежит только помехе uC0 .

Отношение априорных вероятностей

р{исо )

^ = у - это некоторая постоянная величина,

представляющая собой порог, относительно которого оценивается функция /{иПР), которую по формуле (6) в соответствии с (4) и (5) можно записать в следующем виде:

0

0

0

/(uПP ) =

exp

І г

J uПp(t )dt

ґ

= exp

W

W

exp

П у

W

~ J Uc (t)uпp (t)dt

(7)

где WC = J uC (t )dt

энергия лоцирующего сигнала.

Если в (6) отношение правдоподобия окажется больше порога у, то должен быть сделан вывод о сигнале обнаружения на входе приемника РУОС, т.е. присутствии объекта -

нарушителя. В соответствии с выбранным критерием обнаружения определяется величина порога у. Как правило, в системах охраны, как и во многих других локационных приложениях, используют критерий Неймана-Пирсона, который, согласно [4], позволяет получить максимальную вероятность обнаружения сигнала от объекта-нарушителя. Вероятность ложных обнаружений задают постоянной и достаточно малой. Величину 6 определяют как цену правильного решения при отсутствии сигнала, причем

/{иПР ) = £{иС1 V£{исо ) > 6 .

Для решения задачи обнаружения должно выполняться очевидное неравенство /{иПР)>у . Учитывая сказанное и используя результат (7), после преобразования приходим к выражению, определяющему структуру оптимального приемника РУОС:

_2_

J uC (t )иш (t )dt > ln у -

Wc

Wn

(S)

где иПОР - величина порогового уровня, определяемая при выбранном критерии обнаружения заданной вероятностью ложного обнаружения

р{иС1 /иС0 ) .

Анализ (8) позволяет сделать вывод о полном соответствии структуры приемника РУОС при известной задержке сигнала структуре классического оптимального приемника детерминированных сигналов [5], изображенной на рисунке. В приемнике РУОС устанавливается степень взаимной корреляции между входным воздействием иПР {() и лоцирующим сигналом ис(0. После этого мера корреляции сравнивается

с порогом ограничения иПОР, который определяется в соответствии с (8). Приемник РУОС должен содержать коррелятор К, в котором осуществляется перемножение и интегрирование сигналов uC(t) и нПР(г), и пороговое устройство ПО с заданным порогом ограничения иПОР. Если напряжение на его выходе превосходит нуль, то принимается решение о наличии сигнала и, соответственно, о присутствии объекта-нарушителя. При напряжении, равном нулю, принимается решение об отсутствии сигнала. Таким образом, можно говорить о приемнике сигналов РУОС как об оптимальном приемнике.

Для определения порога ограничения иПОР воспользуемся критерием Неймана - Пирсона. Для этого определим условные вероятности правильного обнаружения P(uci/uci) и ложного обнаружения P(ucl/uc0 ).

Запишем интересующие вероятности, учитывая (8):

ад

p(ucl/uc0 )= J р(г4 п/UC0 ^Сп ,

^QP

ад

p(Ucl|Ucl) = Jр(іСпlUC1 ^Сп ,

^QP

T

JUC (t)<СП (t)dt ; UПQP = ln У + .

k 2 где UCп = ^J UC

П 0 П Таким образом, при заданной вероятности ложного обнаружения P(ua/uc0) величина uПОТ зависит от закона нормального распределения

p[uCП (t)/uC0 ] .

Вероятность правильного обнаружения P(uCJ чСІ) будет оцениваться выражением [4]

P(ua/ua ) = І - Ф^ [2Wc/W0 ]-0,5-[2WdW0 ]0,5 j, (9)

где W0 - спектральная плотность мощности внутриприемного БГШ; uПQP - величина порогового уровня, определяемая при использовании критерия Неймана - Пирсона заданной вероятностью

0

2

0

0

=u

0

ложного обнаружения Р(иС1/ис0), которую находят из выражения

Р(иС1/иС0 ) = 1 - Ф^ГОР \2WdWo ]-0,5}. (10)

Рассмотрим более сложный случай - обнаружение сигналов со случайными параметрами. Если в сигнале, обрабатываемом приемником РУОС, информация о скорости объекта отсутствует, то, согласно [2], это означает, что лоцирующий сигнал с постоянной амплитудой ит и несущей частотой т на входе приемника будет иметь неизвестное доплеровское смещение частоты ®д, так что

ис () = ит сов{тГ + ® дt ) = ит сов(тГ + рс ). (11)

Заметим, что в выражении (11) амплитуда сигнала ит может принимать два значения: ит = итС при наличии сигнала и ит = 0 при его отсутствии, т. е. амплитуда ит ведет себя аналогично величине 6 в выражениях (1) и (2).

Поскольку дополнительная фаза сигнала рс является неизвестной случайной величиной, принятие правильного решения в этом случае можно интерпретировать как задачу обнаружения сигнала со случайной начальной фазой.

Фаза сигнала рс является случайным параметром и характеризуется равномерным законом распределения р(рС ) = 1/(2я). Сигнал смешивается с аддитивной помехой в виде БГШ. Входное воздействие, полученное из (2), запишем в виде

*СП

(ґ) = ит СОЪ(Ш + Фс ) + «П (ґ) •

(12)

По принятому РУОС воздействию иПР () следует установить наличие в нем сигнала. Для этого определим соответствующие функции правдоподобия для последующего нахождения отношение правдоподобия. Обозначим ь(ис1 ) = ь(ПтС) для случая, когда сигнал присутствует. Учитывая результаты (4), запишем выражение

Ь(итС Рс )=РехР

Т

|[мпр(ґ)-

— и„

(13)

Выражение (13) представляет собой функцию правдоподобия относительно параметров итС и рс. Фаза рс не несет полезной информации о существовании сигнала. Учитывая равномерность закона распределения р(рс), усред-

ним последнее выражение по параметру рс:

2 л

ФтС ) = | Ци

тС, Рс )р((рс )йРс •

(14)

Из (13) с учетом (14) получаем выражение функции правдоподобия при наличии сигнала:

2л Т

ФтС ) = '1 \РЄХР —|[«ПР (ґ)

— итС + РС )]2

После ряда преобразований получаем окончательное выражение для функции ь(итс):

ФтС ) = РехР

Iо (иоМ), (15)

где 10 (и 0м) = 10 (х) - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Параметры принятого воздействия иПР () связаны с коэффициентом пропорциональности М следующим выражением:

Т

^исп (/}соъ(а( + Рс ^ = М со$(рс - /).

0

Угол сдвига фаз, зависящий от принимаемого воздействия, выражается в виде

- Т I Т ~

/ = аг^ -^исп(^тт1Ж ^исп(t)cosтtdt

_ 0 10 _

В данном случае модифицированная функция Бесселя определяется как

2л 1 I*

10(и0М)=~ ] ехРи0есор-/^Рс ,

0

где и0 = 2итс/Wп .

Функция правдоподобия в случае отсутствия сигнала от объекта-нарушителя выражается формулой

ь(исо )= РехР

1 г

—] «Пр (ґ )йґ

(16)

Отношение правдоподобия определяется выражением

*(«пр ) = = ехр[— Ти2тс^П ]/ о (иом) • (17)

Щсо )

Исходя из используемого критерия оптимального решения, определяют пороговое значение, которое сравнивают с полученным

о

о

о

о

о

о

отношением правдоподобия (17). Нетрудно показать, что вероятность правильного обнаружения в этом случае имеет вид [5]

ад

Рі («а/ «сі )= \texp\- 0,5(е + 2ЖсІ Жо )]х

(18)

новый уровень по-

х I о [фЖс/ Жо Г ]%

где «ПОР1 = «пор

(2Жс/ Жо У0’5 -рога обнаружения.

Наконец, если предположить, что обнаруживаемый объект является протяженным, то, как показано в [6], амплитуда отраженного сигнала за счет явления интерференции также является случайным процессом. В результате сигнал на входе приемника можно рассматривать как случайный с флуктуирующими не только фазой, но и амплитудой:

ис%(ґ) = и% сав(тґ + рс )• (19)

Для определенности предположим, что амплитуда флуктуирует по закону Рэлея:

Р(ис% )=■

1с%

(ґ)

-ехр[— и^%(ґ)/2&с], «с% (0^ о, (20)

где <7с - дисперсия сигнала.

Пусть огибающая помехи распределяется по закону Рэлея, пусть также этому закону подчинено распределение суммарной огибающей сигнала и помехи:

р(иПР% ) =

ехР[— «Пр %(ґ

(ґ У 2&П р ],

(21)

'ПР

2 2 2

где стПР = ас + ип - дисперсия сигнала и помехи.

С учетом вышеизложенного функция правдоподобия сигнала определяется выражением

£(ис1) = р(иПР^/ ис1) = р(исЩ ) =

иПР£(t) \ 2 ,

=----2— ехР[- иП Р^

У 2^П р ] •

(22)

Тогда функцию правдоподобия помехи можно записать в виде формулы

(,) Г ' .«/2<7П] (23)

^(исо) = р(исп%/исо)= % ехр[ иПР%(

Отношение правдоподобия будет определяться в виде

1(и ) = і(исі) =

1(иПР )= ,/ \ =

Чисо )

(24)

<Ут

-ехр<

1

<Ут

1

<Ут

«пр % (ґ)

Затем в соответствии с выбранным критерием обнаружения определяют пороговое значение, относительно которого оценивается функция I (мПР ) •

Можно показать [5], что вероятность правильного обнаружения будет рассчитываться по формуле

Р2 (исі/«сі ) = ехр|— о,5иПОР11 + °с (2ЖсіІЖо )[

(25)

где Жс1 = Жс

*ПР%

(0

Если требуется сравнить характеристики обнаружения сигналов с флуктуирующей и сигналов с не флуктуирующей амплитудой, то производить такое сравнение надо для случая, когда средняя энергия обоих сигналов одинакова. Тогда вероятность правильного обнаружения можно записать в виде [5]

Р2(иа/ис1) = [ехр{- иПоР1/21~(1+^°}. (26)

Таким образом, в статье показано, что приемник РУОС может рассматриваться как оптимальный приемник, определены для сигналов с различными параметрами функции и отношения правдоподобия, на основании анализа последних найдены вероятности правильного обнаружения сигналов в различных условиях обнаружения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петраков А.В. Защита и охрана личности, собственности, информации: Справочное пособие. - М.: Радио и связь, 1997.

2. Воловач В.И. Обнаружение объектов в условиях априорной неопределенности относительно параметров движения // Проблемы и решения современной технологии. Сборник научных трудов ПТИС. Выпуск 5. Часть II. - Тольятти: ПТИС.

3. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: Учеб. пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 2004.

4. Хьюбер Дж. П. Робастность в статистике: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984.

5. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. - М.: Радио и связь, 1983.

6. Артюшенко В.М., Воловач В.И. Точность измерения параметров движения в условиях изменяющейся дальности // Сборник научных трудов ГАСБУ. Техника и технология сервиса. - М.: Г АСБУ.

Поступила 20.02.2009 г.

и

2

2

СУ

с

ІІР

2

и

П

2