CC BY
37
И. Н. Валеев, А. П. Кирпичников
МЕТОДИКА ОРГАНИЗАЦИИ ОБСЛУЖИВАНИЯ ТРЕБОВАНИЙ
В МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ СЕЛЕКТИВНОГО МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
С ПОЛИКОМПОНЕНТНЫМ ВХОДНЫМ ПОТОКОМ ЗАЯВОК
Ключевые слова: система массового обслуживания, абсолютная пропускная способность, относительная пропускная
способность.
В данной статье, на примере ранее разработанной и исследованной системе массового обслуживания показана методика организации обслуживания в системах данного типа.
Key words: Multichannel queuing system, absolute throughput, relative throughput.
In given article, on an example before developed and investigated the system of mass service accepts a technique of the organization of service in sis-themes of the given type.
В цикле работ [1-3] авторами была впервые изучена математическая модель открытой многоканальной системы селективного массового обслуживания (СМО) с поликомпонентным входным потоком заявок.
Особенность данной структуры СМО состоит в том, что в ней имеются две группы обслуживающих устройств одинаковой
производительности, а входной поток требований состоит из заявок разных типов. При этом одни обслуживаются при любых обстоятельствах, независимо от наличия свободных мест и количества заявок, ожидающих обслуживания в очереди, другие - обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь; при этом заявки первого типа могут обслуживаться обеими группами обслуживающих устройств, а заявки второго типа - только одной. Вследствие этого, данные модели предложено называть системами селективного массового обслуживания, а поток заявок - поликомпонентным. Данная работа посвящена проблемы методики организации обслуживания в СМО такого типа. В ней сформулирована и решена задача определения количества обслуживающих устройств в каждой группе, необходимого для получения желаемой производительности.
Пусть требуется организовать процесс обслуживания данных СМО таким образом, чтобы из всех поступающих в систему заявок доля обслуженных заявок «нетерпеливого» типа составила не менее определенного значения. Рассмотрим методику организации обслуживания на примере СМО, подробно описанной в работах [1-4].
Смысл данной модели заключается в том, что имеется два типа обслуживающих устройств -ml и m2, в которые поступает поликомпонентный поток требований трёх различных типов с интенсивностями соответственно Л и Л-2 и Л-з :
- 1-й тип - заявки, которые обслуживаются при любых обстоятельствах, независимо от наличия свободных обслуживающих устройств и количества
заявок, ожидающих обслуживания в очереди. Причем заявки первого типа могут обслуживаться как устройствами группы m1, так и m2;
- 2-й тип - заявки, которые обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь, при этом заявки данного типа обслуживаются устройствами как группы m1, так и группы m2. В случае, если на момент поступления в систему очередной подобной заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства любой группы, данная заявка покидает систему необслуженной;
- 3-й тип - заявки, которые обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь, при этом заявки данного типа обслуживаются только устройствами группы ml. В случае, если на момент поступления в систему очередной подобной заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства группы mь данная заявка покидает систему необслуженной;
Граф данной модели показан на рис.1.
Рис. 1 - Граф состояний селективной системы массового обслуживания
Суть данной методики заключается в том, чтобы по известным в качестве исходных данных интенсивностям входных потоков заявок всех типов и заданным требованиям к производительности СМО по каждому типу заявок рассчитать необходимое число обслуживающих устройств. Для этого относительную пропускную способность СМО в целом нужно представить в виде нескольких слагаемых, каждое из которых представляет собой долю обслуженных заявок определенного типа, соответственно ql, q2 и qз.
Поскольку заявки 1-го типа обслуживаются при любых обстоятельствах ^ = 1), то задать требуемую производительность можно только для заявок 2-го и 3-го типов (в относительных единицах), соответствующие формулы имеют вид [3, 4]:
q2 = 1 -
pmi Rm
m2-1)!(m2 -P ) qi = I pmiPoIе!(;mi +1)-R”2-miEi(;m2 + i)l + | 1
pmi Rm
- !)'{m2
Так как правые части уравнений для qi являются функциями от т1 и т2, то решение системы в той или иной форме относительно данных переменных даст нам значения числа обслуживающих устройств, удовлетворяющие заданным требованиям.
Принятые обозначения: ^1 - средняя
интенсивность соответствующего потока заявок;
■' - средняя интенсивность обслуживания заявок
одним обслуживающим устройством;
Л1 Л2 Л3 .
Pi =- Р2 =- Р3 = ■
МММ
p = p1 + p2 + p3 = — = М
А Я*і + ^2 + A3
М
R = p2 +p3-
При этом вероятность простоя системы (вероятность нулевого состояния) определяется соотношением
Po =
e„i-i(p)+P”i[Ei(R;mi +1)-R”2-miEi(R; m2 + i)]+
PmRm
t \ x z
В этих формулах E1 (,м) = 2 —?------------т
І=0 Г (м+ i)
2 - 1 )(m2 -Рз)
— функция
Миттаг-Леффлера первого порядка (обобщение
/ \ т Р1
показателей функции exp z); em (р) = z — неполная
i=o i!
экспонента.
Следует отметить, что значения mi и m2 должны быть натуральными, поэтому возможно лишь приближенное решение данной системы уравнений. При этом, ближайшим целочисленным решением, максимально удовлетворяющим поставленным требованиям, является то, при котором невязки между правой и левой частями уравнений будут минимальными. В зависимости от задаваемых пропускной способности и производительности искомое решение определяется либо как сумма абсолютных значений невязок, либо как сумма их квадратов. При этом, значения mi и m2 будут приемлемы в тех случаях, если процент обслуженных заявок первого и второго типов будет более 50.
Методику решения данной задачи можно представить в виде блок-схемы, приведенной на рис. 2.
Рис. 2 - Блок-схема алгоритма организации обслуживания в СМО с ожиданием, отказами и ограничением очереди
Результаты численных экспериментов, в рамках которых при помощи системы имитационного моделирования GPSS World исследован нестационарный режим
функционирования данных систем, представлены на рис. 3, 4.
32, 3 n, l, Іож
2,8 2.4 2 1.6
1.2
0.8 0.4 2 1
0 J 0 250000 500000 750000 1000000
Рис. 3 - Зависимость п, I, 1ож от времени для модели селективного обслуживания с двухкомпонентным потоком заявок: 1 - 2 - I;
3 - п
n, l, Іож
Рис. 4 - Зависимость п, I, 1ож от времени для модели селективного обслуживания с трехкомпонентным потоком заявок: 1 - ¿ож; 2 - I; 3 - п
Как следует из приведённых результатов численных экспериментов, квазистационарные режимы для моделей селективного обслуживания с двухкомпонентным и трехкомпонентным потоками заявок устанавливаются за существенно разное время. При этом время выхода на квазистационарные уровни основных характеристик этих СМО составляет приблизительно 100000 и 1000 единиц модельного времени, равных среднему времени обслуживания заявки одним обслуживающим устройством, соответственно для первого и второго типов СМО. Данное различие, очевидно, связано с усилением перемешивающих свойств системы в связи с введением в поток заявок нового типа.
Результаты, полученные в настоящей работе, могут быть использованы при проектировании, объектов, работающих по принципу систем массового обслуживания, и применены в торговой отрасли, транспортных системах, на производстве, в телекоммуникациях и многих других областях. Подобные математические модели, во-первых, позволяют оценить
производительность проектируемой системы при
известной ее структуре, во-вторых, дают возможность разработать необходимую архитектуру СМО на этапе проектирования с целью получения требуемой производительности.
Литература
1. Валеев, И.Н. Многоканальная система массового
обслуживания с отказами / И.Н. Валеев, А.П. Кирпичников // Казань: Вестник Казанского
технологического университета. - 2006. - № 4. - С. 66 -70.
2. Кирпичников А.П. Комбинированная многоканальная система массового обслуживания с отказами / А.П. Кирпичников, И.Н. Валеев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Москва, 2007. - Т. 14. -Вып. 5. - С. 891 - 893.
3. Валеев И.Н. Характеристики многоканальной системы массового обслуживания /
И. Н. Валеев // Казань: Вестник Казанского
технологического университета. - 2011. - №1. - С. 326 -329.
4. Валеев И.Н. Характеристики многоканальных систем селективного массового обслуживания с поликомпонентным входным потоком заявок: дис. ... канд. техн. наук / И.Н. Валеев. - Казань, 2011. - 119 с.
© И. Н. Валеев - канд. техн. наук, доц. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected].
