МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПО ТЕХНОЛОГИИ НАВОДЯЩИХ ВОПРОСОВ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

П

Е

Д

А Г О Г И Ч Е С К И Е

НАУКИ

УДК 372.851

А.Н. Давыдов

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПО ТЕХНОЛОГИИ НАВОДЯЩИХ ВОПРОСОВ

В статье рассматривается методика обучения решению геометрических задач на доказательство как педагогическая технология наводящих вопросов. Предлагаются методические рекомендации для обучения решению геометрических задач. Рассматривается реализация методики обучения на конкретном примере.

Ключевые слова: методика обучения математики, технология обучения, геометрия, геометрические задачи на доказательство, технология обучения.

Обучение решению геометрических задач является важным условием для формирования познавательной деятельности учащихся. Активизировать познавательную деятельность учащихся можно на уроках геометрии, если решать задачи на доказательство. Умение доказывать задачу является индикатором, показывающий уровень усвоения учебного материала учащихся. [6]

Методику обучения решению задач на доказательство, в основном, учителя математики выстраивают по двум направлениям: либо обучают способам доказательства, либо обучают подходам к решению задачи на доказательство. Вышеперечисленные методики обучения можно объединить в единую методику обучения и создать собственную технологию обучения. В качестве одной из технологий обучения предложим технологию обучения решению задач на доказательство, используя наводящие вопросы. Наводящие вопросы обеспечивают подход к доказательству и выстраивают стратегию поиска доказательства. Учащиеся, отвечая на вопросы, разрабатывают последовательные действия, позволяющие решить задачу. Безусловно, владение способами доказательства является необходимым условием. Особенности технологии обучения решению задач на доказательство по наводящим вопросам согласуются с методикой обучения решению задач на основе поиска доказательства. [4, 5]

© А.Н. Давыдов, 2018.

Исследования по методике обучения решению задач на доказательство представлены в научно-популярной литературе. [1, 2, 3, 4, 5] Предлагается концепция обучения, в основе которой лежат методические указания и рекомендации учащимся. Указания и рекомендации предопределяют решение задачи на доказательство. Учащиеся, принимая во внимание указание, используют теорему или свойство геометрического объекта, которое впоследствии приведёт к истинному заключению. Таким образом, создаётся ситуация, побуждающая учащихся к самостоятельному решению задачи. Такой подход в методике обучения имеет значение только на начальном этапе обучения; если постоянно следовать принципу обучения на основе указаний, то познавательные процессы работают на закрепление учебного материала, учащийся понимает значение теоремы для доказательства, тогда как активная форма деятельности не проявляется. Конечно, указания к доказательству задачи нужны и важны, потому что дают толчок, импульс к началу самостоятельного решения задачи.

Наблюдения в системе школьного математического образования выявили низкий уровень учащихся решать геометрические задачи на доказательство. Особое внимание приобретает формализм в знаниях. Учащиеся стремятся заучить теоремы, запомнить свойства или особенности геометрических объектов, не понимая прикладное значение знаний. Большинство учащихся затрудняются в осуществлении поиска решения, не могут найти подход к доказательству. Таким образом, имея прямое указание или рекомендацию к решению, учащиеся все-таки испытывают трудности при доказательстве задачи, в некоторых случая, учащиеся подстраивают процесс доказательства под указание или ответ. Проблема формирования умений доказывать задачу до сих пор является актуальной.

На основе данного наблюдения возникает одна из педагогических задач учителей математики -учить и показывать на конкретных примерах применение теоретических знаний для решения задачи. В качестве методики обучения решению задач на доказательство можно разрабатывать собственные технологии обучения.

Трудности, которые испытывают учащиеся при решении задач на доказательство, побудили разработать технологию обучения, которая, с одной стороны, помогает доказывать задачу, с другой стороны, позволяет выстраивать процесс доказательства. Такой технологией может быть обучение решению геометрических задач по наводящим вопросам. Практика показала, что обучение по технологии наводящих вопросов эффективно на начальном этапе обучения, кроме того, активизирует познавательную деятельность учащихся. Технологию обучения по наводящим вопросам можно рассматривать как стартовая площадка для решения задач на доказательство в последующем обучении. Результаты учебной деятельности учащихся, которые решают задачу на доказательство, применяя технологию обучения по наводящим вопросам, показывают, что учащиеся понимают сущность формулировки доказательства, разбирают условие задачи, находят свойства геометрического объекта и отношения между объектами, пытаются построить логическую цепочку рассуждений, таким образом, формируются умения решать задачи на доказательство.

Технология обучения решению геометрических задач на доказательство включает необходимые компоненты, которые помогают определить подход к доказательству, и осуществить стратегию доказательства.

Рассмотрим характеристики компонентов технологии обучения. Все компоненты являются зависимыми и последовательно не строгими. При планировании урока геометрии учитель может составить перечень вопросов или указаний, которые посодействуют и направят процесс доказательства.

Первый компонент технологии обучения - «Знакомство с задачей на доказательство». Геометрическая задача на доказательство формулируется утверждением, которое необходимо доказать. Доказать, значит, представить ответ в форме последовательных логических рассуждений. Центральным элементом задачи является геометрический объект или объекты: фигуры, отношения между фигурами. Представление геометрической задачи определяется чертежом. Дополнительные или вспомогательные построения в чертеже помогут при доказательстве.

Примерный перечень вопросов и указаний.

1.Какой геометрический объект является исходным (данным)?

2.Определите, если возможно, отношения или связи между геометрическими объектами.

З.Что требуется доказать? Какое утверждение в задаче сформулировано?

4.Представьте геометрическую задачу в форме чертежа.

5.Выполните дополнительные или вспомогательные построения в задачи, которые помогут при доказательстве, например, достройте треугольник, проведите хорду, выполните параллельный перенос и т.п.

Второй компонент технологии обучения - «Геометрические характеристики задачи». Геометрический объект имеет качественную (существенную) или количественную характеристику. Геометрическая характеристика объекта - это элементарный истинный признак или свойство. Выявление и поиск геометрических характеристик объекта, установление связи и отношений между объектами, либо в объекте позволяют построить доказательство. Задача всегда имеет исходные данные, более того, данные в задаче

представляются как свойства, признаки, особенности. Преобразование исходных данных позволяет получить дополнительные следствия или признаки, которые предопределят доказательство. Примерный перечень указаний.

1. Сформулируйте существенную характеристику, свойство или признак геометрического объекта.

2.Определите связи или отношения между объектами, либо в объекте.

3.Сделайте попытку преобразовать либо исходные данные, либо получить следствия, либо установить признаки.

Третий компонент технологии обучения - «Структура геометрической задачи». Геометрическая задача имеет начальное строение, которое обусловлено геометрическим объектом, объектами и отношениями между объектами. Структура задачи определяется условием. Условие задачи определяет следствие, влияющее на построение доказательства.

Если задача имеет один объект, то имеется качественная или количественная характеристика. Если задача имеет два или более объектов, то имеются отношение между объектами, обусловливающие качественные характеристики.

Примерный перечень вопросов.

1.Какой геометрический объект определён начальным условием задачи? Перечислите исходные данные задачи, или определяющее условие - сформулируйте следствие.

2.Какие отношения и связи существуют между геометрическими объектами?

3.Какие свойства или признаки можно перечислить для построения доказательства задачи?

Четвёртый компонент технологии обучения - «Структура формулировки доказательства».

Сущность доказательства определяется формулировкой. Структура утверждения в задаче может быть прямой или косвенной. Помогает построить доказательство замена формулировки доказательства простой, более понятной, либо переформулировка утверждения доказательства. В некоторых случая полезно выполнить синтаксический разбор предложения, представляющее доказательство.

Примерный перечень указаний.

1.Запишите формулировку доказательства, используя язык математических символов.

2.Замените формулировку задачи простой или понятной.

3.Переформулируйте доказательство.

4.Выполните синтаксический разбор предложения.

5.Выполните дополнительные построения или геометрические преобразования.

Пятый компонент технологии обучения - «Построение стратегии доказательства». Владение теоретическим набором фундаментальных знаний для доказательства, таких как определения, аксиомы, теоремы, признаки и свойства, формулы, является необходимым условием. При планировании урока геометрии учитель может указать способ доказательства или метод решения, например, докажите задачу, применяя «векторный способ», кроме того, учитель может перечислить необходимый набор теоретических знаний. Например, чтобы доказать задачу, необходимо знать: определение коллинеарности векторов, равенства векторов.

Рассмотрим методическую реализацию технологии обучения на примере.

Пример. ЛБСБ - параллелограмм. О точка пространства. Доказать, что |ов -ОА| = |ОС -ОЦ.

Знакомство с задачей на доказательство.

Геометрическим объектом является - параллелограмм (Рис. 1), тогдаЛБ = БС, ЛБ = БС; ЛБ || БС,

ЛБ || БС.

А О

Рис. 1

тогда геометрический объект представляется следующей фигурой (Рис.

По условию О точка пространства, 2).

О

А

D

Рис. 2

Геометрические характеристики задачи.

Отрезки, соединяющие точку О и вершины параллелограмма: ОА, ОВ, ОС, ОБ. Отрезки ОА и ОВ заключают сторону АВ параллелограмма. Отрезки ОС и ОБ заключают сторону БС параллелограмма. Учтём, что АВ = БС.

Структура формулировки доказательства.

Доказательство представлено в форме алгебраического выражения |ОВ - ОА| = \ОС - ОЦ. Требуется

доказать равенство обеих частей как равенство длины отрезков, которые заключают стороны параллелограмма. Равенство длин отрезков обусловлено свойством противолежащих сторон параллелограмма.

Построение стратегии доказательства.

Если рассмотреть доказательство на основе равенства треугольников, которые имеют равные стороны АВ и БС, то треугольники АОВ Ф СОБ. Такой подход к доказательству не имеет смысла.

Если стороны параллелограмма представить как сонаправленные векторы АВ; ВС и отрезки ОА, ОВ,

ОС, ОБ представить как векторы ОВ; ОА; ОС; ОБ, то ОА + АВ = ОВ; ОБ + ВС = ОС (Рис. 3).

О

A D

Рис.3

Заметим, что АВ = ОВ-ОА и БС = ОС -ОБ . Так как АВ = БС , тогда АВ = ОС-ОБ .

Векторы AB и DC являются сонаправленными и равными, следовательно, длины равны.

Доказательство.

Равенство |OB - OA| = \OC — OD запишем в виде векторного равенства

~ " ОС — ОБ

ОВ - ОА

ОС - OD

. Так

как \ов - ОА = \AB\ и

CD

По условию . 11'Л 1) - параллелограмм, тогда | /I /:> | = |С£>| и | ОН - О А | = |(9С - (9/)|, следовательно,

|ОВ - ОА| = |ОС - ОЦ . Задача доказана.

Результаты, полученные на основе анализа решённых задач на доказательство по технологии наводящих вопросов, позволяют сделать следующие выводы:

во-первых, формируется интерес учащихся к изучению геометрии;

B

B

во-вторых, учащиеся понимают необходимость накопления базовых знаний по геометрии и осознают значение определений, теорем и свойств геометрических объектов;

в-третьих, учащиеся пытаются самостоятельно разобрать задачу и построить доказательство, тем самым развивая логическое и критическое мышление.

Особое значение при реализации технологии обучения решению геометрических задач на доказательство принадлежит направляющей роли учителя. Только индивидуальная особенность учителя, как организатора учебного процесса, является важнейшей составляющей в технологии обучения.

Библиографический список

1.Иванов О.А. Обучение поиску решения задач // Математика в школе - 1997 - №6 - с. 47.

2.Изаак Д.Ф. Поиски решения геометрической задачи // Математика в школе 1998 - №6 - с. 30.

3.Изаак Д.Ф. Поиски решения, исследование и обобщение задач по геометрии // Математика в школе 1998 -№2 - с. 83.

4.Пойа Д. Обучение через задачи // Математика в школе 1970 - №3 - с. 89.

5.Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1961. - 207 с.

6.Прокопенко Г. Различные методы решения задач как способ активизации познавательной деятельности учащихся // Математика 1999 - №24 - с. 12.

ДАВЫДОВ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ - магистрант, Тольяттинский государственный университет, Россия.