ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «ПРИЕМЫ СОСТАВЛЕНИЯ И РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ» Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 378

Е.В. Афанасьева

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «ПРИЕМЫ СОСТАВЛЕНИЯ И РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»

В данной статье представлен элективный курс «Приемы составления и решения геометрических задач» (программа и материалы для занятий, тематика для исследовательской деятельности учащихся). Обоснова на актуальность предлагаемой программы, показана ее педагогическая целесообразность и новизна.

Ключевые слова: элективный курс, различные методы решения задач по теме «Многогранники», различные приемы составления задач.

Программа элективного курса «Приемы составления и решения геометрических задач» разработана в рамках реализации концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования и соответствует Государственному стандарту среднего образования по математике. Она предназначена для учащихся 11 профильных математических классов и направлена на развитие творческого мышления школьников, на углубление, обобщение знаний и умений учащихся по стереометрии. Для реализации данной программы достаточно знаний и умений по математике, полученных в основной школе.

Актуальность предлагаемой программы. Одно из основных требований, предъявляемых современной школой - ориентация обучения на развитие творческого мышления учащихся, что даёт возможности самостоятельно приобретать новые знания и применять их в многообразных условиях окружающей действительности. Простое самостоятельное решение задач по математике - уже творческая работа. Но это лишь начальный этап развития творческого потенциала школьников. Дальнейший шаг по этому пути - умение самому составить задачу, пусть и не очень трудную для начала. Поэтому в процессе обучения математике необходимо не только организовывать деятельность учащихся по решению задач, но и вовлекать их в работу по самостоятельному составлению математических задач. Такой раздел математики как геометрия даёт большой простор для самостоятельного составления школьниками задач.

Новизна программы состоит в том, что она знакомит учащихся с широким спектром методов составления стереометрических задач: составление задач на основе конкретизации, обобщения, составление аналогичных и обратных задач, составление задач по готовым чертежам, составление прикладных стереометрических задач. Большая часть содержания материала, представленного в программе, ранее нигде в курсе математики средней школы не изучалось.

Педагогическая целесообразность. Элективный курс, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса геометрии, направлен на систематизацию знаний, в том числе различных методов решения стереометрических задач (традиционный, координатный и векторный), способствует лучшему освоению базового курса геометрии, а с другой стороны - служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для развития творческих способностей учащихся на основе их самостоятельной работы над составлением стереометрических задач. При изучении данного курса школьники учатся составлять разнообразные стереометрические задачи, используя различные приемы (обобщение, конкретизацию, аналогию), составлять обратные задачи, задачи по готовому чертежу, прикладные задачи. Работа учащихся по составлению задач способна вызвать увлечение, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.

Цели элективного курса: 1) развить творческое мышления школьников посредством включения их в работу по составлению стереометрических задач; 2) систематизировать и обобщить знания учащихся по теме «Многогранники».

Задачи элективного курса: 1) повторить различные методы решения задач по теме «Многогранники» (традиционный, координатный и векторный); 2) познакомить учащихся с различными приемами составления стереометрических задач; 3) сформировать умения самостоятельного составления и решения стереометрических задач; 4) повысить интерес учащихся к изучению геометрии.

В результате изучения данного элективного курса учащиеся должны: знать различные методы решения стереометрических задач; знать основные приемы составления задач; самостоятельно составлять стереометрические задачи различных видов, различными способами и по различным темам; обобщить и систематизировать знания, полученные при изучении школьного курса стереометрии.

© Афанасьева Е.В., 2015.

Основными формами проведения итогов реализации данной образовательной программы являются следующие: контрольные работы; защита проекта. Данная программа может быть использована в классах с углубленным или профильным изучением математики.

Таблица 1

Учебно-тематическое планирование

№ Содержание темы Кол-во часов Виды занятий

1 Решение задач по теме «Многогранники» с использованием системы опорных задач 1 3 Урок-лекция Урок-практикум

2 Различные методы решения одной и той же задачи. 1 3 Урок-лекция Урок-практикум

3 Контрольная работа № 1 1 Урок самостоятельного решения задач

4 Составление стереометрических задач на основе обобщения 1 2 Урок-лекция Урок-практикум

5 Составление стереометрических задач на основе конкретизации 1 2 Урок-лекция Урок-практикум

6 Составление аналогичных задач 1 3 Урок-лекция Урок-практикум

7 Составление обратных задач 1 3 Урок-лекция Урок-практикум

8 Составление стереометрических задач по готовому чертежу 1 2 Урок-лекция Урок-практикум

9 Составление прикладных стереометрических задач 1 2 Урок-лекция Урок-практикум

10 Различные методы составления задач 1 Урок -обобщение

11 Защита проектов 4 Учебно-исследовательская конференция

итого 34

Содержание элективного курса

Тема 1. Решение задач по теме «Многогранники» с использованием системы опорных задач

Учитель демонстрирует построение системы опорных задач, решая конкретную задачу и разделяя ее на более мелкие задачи. Знакомит учащихся с системой опорных задач по теме «Многогранники» [1, стр. 74]. Затем учащиеся решают задачи по указанной теме с использованием системы опорных задач [1, стр. 82-87, №29,33, 34, 64, 89, 98,101, 104].

Тема 2. Различные методы решения одной и той же задачи.

Учитель напоминает основные методы решения стереометрических задач: традиционный метод (основан на использовании теорем планиметрии и стереометрии); координатный метод; векторный метод [2]. Конкретная задача решается каждым из указанных методов. После разбора всех трех решений необходимо выбрать самый рациональный для решения конкретной задачи. Затем учащиеся решают предложенные учителем задачи каждым из трех указанных методов [1, стр. 82-84, №6, 14, 21, 38, 55, 67].

Тема 3. Контрольная работа №1

Учащиеся выполняют контрольную работу по вариантам по решению стереометрических задач.

Тема 4. Составление стереометрических задач на основе обобщения

Учитель разъясняет учащимся сущность обобщения, его основные направления, приёмы составления задач на основе обобщения [3;4].

Алгоритм составления задачи на основе обобщения данной задачи:

1. Выявление возможности обобщения.

2. Обобщение выбранного факта.

3. Первичная формулировка задачи.

4. Объяснение возможного изменения требования задачи.

5. Уточнение формулировки задачи.

Выявление возможностей обобщения осуществляется с учетом основных направлений обобщения, среди которых наиболее распространенными являются: замена числовых данных или искомых параметром и обобщение понятий, входящих в содержание задачи (уменьшение содержания понятия за счёт отбрасывания какого-либо свойства из определения понятия). Затем учащиеся под руководством учителя составляют задачу, обобщающую исходную. После чего учащиеся работают самостоятельно - составляют задачи в соответствии с приемом [5, №2.051, №2.118, №2.130, №2.261, №2.279, №2.300, №2.320].

Тема 5. Составление стереометрических задач на основе конкретизации

Учитель разъясняет учащимся сущность конкретизации, ее основные направления, приёмы составления задач на основе конкретизации [6]. Затем учащиеся под руководством учителя составляют задачу, конкретизирующую исходную.

Алгоритм составления задачи на основе конкретизации данной задачи:

1. Выявление возможности конкретизации.

2. Конкретизация выбранного факта.

3. Формулировка задачи.

Наиболее распространенные направления конкретизации - это ограничение понятий (добавление к содержанию понятия какого-либо признака) и замена произвольного числа конкретным (исключение параметра). После чего учащиеся работают самостоятельно - составляют задачи в соответствии с приемом [7, №2.036, №2.038, №2.078, №2.094, №2.119, №2.231, №2.247, №2.250].

Тема 6. Составление аналогичных задач

Учитель рассказывает об аналогии, аналогичных задачах, разъясняет сущность приёмов составления таких задач [8].

Алгоритм составления задачи, аналогичной данной:

1. Выделить условие и заключение (требование) задачи.

2. Заменить некоторые объекты из условия на аналогичные.

3. Сформулировать новое условие.

4. Доказать или опровергнуть (вывести новое) требование исходной задачи исходя из нового условия.

5. Сформулировать задачу.

Разобрав пример совместно с учителем, учащиеся приступают к самостоятельной работе по составлению задач.

Тема 7. Составление обратных задач

Учащиеся совместно с учителем формулируют приём составления обратных задач.

Алгоритм составления обратных задач на доказательство:

1. Сформулировать задачу в условной форме.

2. Выделить условие, разъяснительную часть и заключение задачи.

3. Сформулировать задачу, оставив разъяснительную часть на месте, а условие и заключение задачи поменять местами.

4. Доказать или опровергнуть сформулированное утверждение.

Замечание. Не для всякой задачи на доказательство составленная обратная задача будет разрешима (доказуема), поэтому после формулировки обратной задачи необходимо доказать или опровергнуть сформулированное.

Алгоритм составления обратных задач на вычисление:

1. Исключить одно из данных условия исходной задачи и сделать его искомым.

2. Ответ исходной задачи ввести в обратную задачу в качестве известного.

Замечание. Предварительно исходную задачу необходимо решить.

Составив пару задач совместно с учителем, учащиеся работают в тетрадях.

Тема 8. Составление задач по готовому чертежу

Учитель знакомит с приемом составления задач по готовому чертежу [9].

Алгоритм составления задачи по готовому чертежу:

1. По готовому чертежу выделить основную геометрическую фигуру (или несколько фигур).

2. Определить свойства этой фигуры (фигур).

3. Если на чертеже несколько фигур, то определить свойство, связывающее их.

4. Сформулировать условие задачи.

5. Получить различные следствия из данных условия, т.е. вывести из них и известных теорем равенство каких-нибудь отрезков, углов, треугольников и т.д.

6. Сформулировать требование задачи, используя любое из следствий.

7. Сформулировать задачу.

Учащиеся сначала работают под руководством учителя (составляют задачи), а затем в тетрадях самостоятельно [10].

Тема 9. Составление прикладных задач

Сущность прикладной задачи - жизненная ситуация, лежащая в ее основе, которую учащиеся подбирают, пользуясь своим жизненным опытом, различной литературой [11]. Данное занятие способствует расширению представлений учащихся о применении геометрии в жизни. Здесь учащиеся могут проявить максимум творчества.

Приём составления прикладной задачи:

1. Выделить условие и требование исходной задачи, построить чертеж.

2. Выделить основные фигуры задачи и отношение их связывающее.

3. Посмотреть на условие, чертеж и придумать: 1) жизненную ситуацию, в которой можно использовать выделенные фигуры, сохраняя выделенное отношение; 2) жизненную ситуацию, при решении которой могут быть получены выделенные фигуры, связанные выделенным отношением.

4. Посмотреть на требование и подумать, можно ли встретить его в выделенной жизненной ситуации; если нет, то придумать другую ситуацию.

5. Перевести условие и требование математической задачи в условие и требование прикладной задачи, при этом подумав, возможно ли условие задачи в действительности.

6. Сформулировать прикладную задачу.

Тема 10. Различные методы составления задач

Учащиеся составляют задачу по готовому чертежу, на основе которой составляют другие задачи, используя различные приёмы.

Тематика проектов учащихся

Предлагаемые ниже темы могут быть использованы учащимися при выполнении индивидуальных или групповых проектов. Составить задачник и решебник по теме:

1.Вычисление объемов многогранников

2. Вычисление площадей поверхности многогранников

3. Нахождение угла между прямой и плоскостью

4. Нахождение угла между плоскостями

5. Нахождение угла между прямыми

6. Нахождение расстояния от точки до прямой

7. Нахождение расстояния от точки до плоскости

Темы выдаются в начале изучения программы. Защита проектов проходит в рамках учебно-исследовательской конференции.

План работы над темой:

1. Составить задачи по готовым чертежам [10].

2. На основе полученных задач составить другие задачи, используя различные приемы.

3. Решить составленные задачи.

4. На основе проделанной работы оформить задачник и решебник.

Библиографический список

I.Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математика ЕГЭ 2011 (Типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения. http://sait-ege gia.ru/koryanov-prokofev-s2-2013

2.Зайцева Г.Д. О решении задач различными методами//Математика в школе. - 1982, №5. - с. 50-52

3.Изаак, Д.Ф. Обобщение задач по геометрии / Д.Ф. Изаак // Математика в школе. - 1983. - №2. - С. 55 - 57.

4.Розенфельд Д.И. Об ознакомлении учащихся с методом обобщения // Математика в школе. - 1965. - №1. -с. 41-43

5.Потоскуев Е.В. 11 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углуб. и профильным изучением математики / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. - М.:Дрофа, 2003. - 240 с.

6.Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб.пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г И Саранцев. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с.

7.Шарыгин И. Откуда берутся задачи? / И. Шарыгин // Квант. - 19991. - №8. С.42-48, № 9. С. 42-49.

8.Далингер В.А. Аналогия в геометрии: учебное пособие / В.А. Далингер, Р.Ю. Костюченко. - Омск, 2001. -

149 с.

9.Саранцев Г.И. Составление геометрических задач на заданных чертежах / Г.И. Саранцев // Математика в школе. - 1993. - № 6. - С. 14-16.

10. Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах 10-11 классы. Геометрия. - М.: Илекса. -2006. - 80 с.

II. Сайт современного УМК по геометрии для 5-11 классов Смирновых http://geometry2006.narod.ru/ege/ege.htm

АФАНАСЬЕВА Елена Вячеславовна - магистрант кафедры алгебры и геометрии, Тольяттинский государственный университет, учитель математики МБУ «Лицей № 57».