Методика формирования оптимального плана экспериментальной оценки качества партии однородных изделий на основе случайной однократной выборки с учетом степени риска Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПАРТИИ ОДНОРОДНЫХ ИЗДЕЛИЙ НА ОСНОВЕ СЛУЧАЙНОЙ ОДНОКРАТНОЙ ВЫБОРКИ С УЧЕТОМ СТЕПЕНИ РИСКА

Назаров Николай Григорьевич,

д.т.н., профессор, ведущий научный сотрудник ФГУП "АО ЭИСУ", Россия, Москва, nazarov.ng@mail.ru

Зеленкова Марина Викторовна,

к.т.н., доцент кафедры МТ-4 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Ключевые слова: партия, уровень

Россия, Москва, дефектности, альтернативные гипотезы,

viz_zelen@rambler.ru оперативная характеристика, степень риска.

Современное производство однотипной продукции (холодильников, автомобилей, мобильных телефонов, лекарственных препаратов, продовольственных товаров и т.п.) ориентировано на удовлетворение спроса огромного количества потребителей и потому является массовым. На рынки и в супермаркеты такая продукция поступает партиями большого объема. Качество партии характеризуется скалярной величиной, называемой уровнем дефектности - отношением количества дефектных изделий в партии к её объему. Поскольку не существует идеального (бездефектного) производства, уровень дефектности всегда отличен от нуля. Поэтому потребитель партии вынужден соглашаться приобретать партию с уровнем дефектности, ограниченным малым пределом, оговоренном в техническом задании, договоре и т.д. Из двух возможных методов экспериментальной оценки качества партии: сплошной контроль изделий в партии и контроль с использованием случайной однократной выборки из партии менее затратным является второй [1].

Структура плана экспериментальной оценки качества партии включает два параметра: объем случайной однократной выборки и параметр решающей функции, определяющий границу, относительно которой принимается решение является ли партия годная или дефектная. Под оптимальным планом понимается такой план, который обеспечивает заданные ограничения на вероятности: ошибки 1 -го рода (оценить годную партию как дефектную) и ошибки 2-го рода (оценить дефектную партию как годную). Критерием оптимизации является минимум объема случайной однократной выборки, гарантирующий эти ограничения.

Инновационные отличия методики формирования оптимального плана для экспериментальной оценки качества партии состоят в следующем:

- учитываются ограничения, установленные ФЗ [2], а именно: в статье 7 "Технический регламент должен содержать правила и формы оценки соответствия..., определяемые с учетом степени риска", где в статье 2 этого ФЗ риск определен как "вероятность причинения вреда. с учетом тяжести вреда";

- учитывается ограничение на уровень дефектности партии, характеризующий качество партии, установленный в нормативном документе (технический регламент, техническое задание, договор и т.п.).

Для цитирования:

Назаров Н.Г., Зеленкова М.В. Методика формирования оптимального плана экспериментальной оценки качества партии однородных изделий на основе случайной однократной выборки с учетом степени риска // Т-Сотт: Телекоммуникации и транспорт. - 2015. -Том 9. - №4. - С. 72-76.

For citation:

Nazarov N.G., Zelenkova M.V. Methodology for generating the optimal plan of experimental assessment of same-type goods batch quality based on random single sampling with respect to the risk level. T-Comm. 2015. Vol 9. No.4. Pp. 72-76. (in Russian).

■

T-Comm Том 9. #4-2015

К«)

С I

U. <

Статистические данные, публикуемые в СМИ, фиксируют, что процент фальшивых лекарств, продаваемых в лицензированных аптеках страны, и продовольственных товаров, качество которых не соответствует требованиям стандартов и нормативных документов, и особенно с просроченным сроком годности достигает нескольких десятков процентов. Естественно, такая ситуация губительно сказывается на состоянии здоровья населения страны.

Реализация предложенной методики формирования оптимального плана экспериментальной оценки качества партии в сертификационных центрах и лабораториях страны закроет доступ к потребителям партий с уровнем дефектности х, е [х2,1] <■ гДе х2«1.

Рассмотрим формирование оптимального плана оценки качества партии на основе случайной однократной выборки ограниченного объема. Экспериментальная оценка альтернативных гипотез

На :■ xi <х' - годная партия, /j\

Я,: х, > х' - дефектная партия, реализуется на основе решающей функции вида:

, если и < и0 — принимается гипотеза Hfl, , если и > иа —принимается гипотеза Я,. где из = const - параметр решающей функции, и - возможное значение случайной величины U (и е U) •

Выбор случайной величины ¿/сделаем из следующих соображений. Обозначим реализацию случайной однократной выборки объема п (п, к), где к- количество дефектных экземпляров продукции по множеству реализаций выборок объема п, к е К - случайное число, имеющее гипергеометрический закон распределения. Запишем выражения для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, соответственно: М[К~\ = пх, - т(п, д-,),

о

О* («, .V,) - [Dk (>1, х,)]и2= л/«х,. [(I

Использование гипергеометрического закона распределения при формировании оптимального плана оценки качества партии связано с большими трудностями. Однако, при выполнении условий ОД< х, <0,9, »>30 и

n/N <0,1 существует эквивалентное гипергеометрическому гауссовское распределение по условию равенства их математических ожиданий и дисперсий [3].

Воспользовавшись этим распределением, в качестве аргумента решающей функции (2) примем случайную величину

т,

U = К / crk(n, Xj)=*

mk(n, Xj) + К

!стк (n, xi) =

n.x + К

\Гпх, [(1/*, -1J(1 -n/N)fZ)=m« (>ь Xt)+U

[н(/7, X,) =щ/УпХ,[{I / - 1)0 -я/ Ш' 2)|„/«<0,1 и (3) * 74(1/х,.-1)0,95]"|/2,

о о I

17 = К/ск(щх1) ~ центрированная составляющая случайной величины и с дисперсией Ои = 1.

Обозначим плотность гауссовского распределения случайной величины ¿У через функцию

Поскольку К > 0, то и > 0.

Определим выражение для вероятности случайного

события U <н0.

=—пфч, х,)]-Ф[-?и„(я, х,)] - Ф[т„ (и, х; )]+Ф[г^ —ти (и, х,)], где ф{/) - функция Лапласа.

После подстановки выражения (3) получим

Р(и < и0) = ф(^[(1 /х,. -1 Х>,95]-"2)+ (4)

+ ф(»0^[(1/х,-1)0,95]-|/2)=Цх>, ы0) Оценим значение первого слагаемого при п = 35; 40 >30, х,-=0,8<0,9и х, =0,2 >0,1. Результаты расчета приведены в табл. 1.

Таблица 1

Таблица расчета величин ти(п, х() и ф(^)

Параметры п

35 40

0,8 0,2 0,8 0,2

mu(tttX/) 11,84 2,96 12,64 3,16

Ф(/) 0,5 0,48 0,5 0,5

где

Из данных табл. 1 следует, что первое слагаемое в выражении (4) можно принять равным 0,5. Тогда, рассматривая вероятность (4), как функцию аргумента X-, она будет иметь следующий вид

¿(х)./п,»0) = 0,5 + ф{«0-^[(1/х/-1)0,95]-1'2} (5)

- гауссовская оперативная характеристика решающей функции, где пара элементов называется планом

оценки качества партии. План (п,иа) однозначно воспроизводит оперативную характеристику, значения которой определяют вероятность принятия гипотезы #0

для V*, е [0; I] • Доказано, что оперативная характеристика (5) обладает следующими свойствами: монотонно убывает с возрастанием аргумента х, от единицы до нуля; имеет точку перегиба. График оперативной характеристики показан на рисунке пунктирной кривой.

На интервале гипотезы нн оперативная характеристика определяет вероятность правильного оценивания гипотезы #., а ее дополнение до единицы - вероят-

T-Comm Vol.9. #4-201 5

7ТЛ

У

ностъ ошибочно оценить гипотезу Н0 как гипотезу Я,, т.е.

- условная относительно аргумента х- вероятность

ошибки 1-го рода.

На интервале гипотезы и] оперативная характеристика определяет вероятность ошибочно оценить гипотезу Н] как гипотезу Н0, т. е.

(7)

р(Х;/Я,) = Дх,/и,«0)

.V; >Х

(8)

(9)

а(х{/Н0)йа0)<< 1,1

а V я; ></?„« 1,}

где Щ-.х^х^х'а-Ъ), 0<^<1;

Эти ограничения можно заменить эквивалентными ограничениями для оперативной характеристики:

Цх(/п>и0)\х^

Очевидно, что если в условиях (9) оставить только знаки равенства, то оперативная характеристика пройдет через точку Ф с координатами (1-а0,лгв) и точку

© с координатами т. е. эти точки определяются

значениями двух пар величин (а0,^0), (Р,,,^). Воспользуемся этими равенствами для определения параметров плана («, г/0) и выражением для оперативной

характеристики при х, = х] Тогда получим два

уравнения [4]:

0,5 + ф(н0 - 1 / х0 -1 )]0,95]41'2) = 1 - оЦ

0,5 + ф(и0-л/^[(1/^-1)]0,95Г1/2)=А I

(10)

или

ф(м0 - 7я[(1 / -1)0,95]"'/2) - 0,5 - ,1 Ф^О/хгад4'2 -«„) = 0,5-/?0 } Перейдя к уравнениям для квантилей, получим

"о - ^/«[(1 /х0- 1)0,95]-"2 =*о,5-£г0 ' ■*/й[(1/ А", -1)0,95]""2 -г^ -105_ра где - квантили функции Лапласа, соответст-

вующие значениям величин 0,5 а , 0,5 р • Просуммировав левые и правые части уравнений (11), выведем выражение

5-«0 + Г0,5-Д,

- условная относительно аргумента х,- вероятность

ошибки 2-го рода.

Из (6), (7) следует условие

которое свидетельствует, что при х, = х' и малой окрестности точки х невозможно одновременно ограничить вероятности (6), (7) малыми значениями. Поэтому допустимы только ограничения вида [4]

-1)0,95]"!/2-(1/д:0 -1)0,95]_1/2}=/0:

или

(12)

Л ,

где знак «+» означает округление значения я0(-) до

ближайшего большого целого числа.

Параметр плана щ определяется по любому из уравнений (11):

¿о(«о> А>) = +Л.(-)[(1/^о -1)0,95]-1/2 - (13)

= А0(-)[( 1/^1 "1)0,95]-1/2-/015_а=«0(.) Таким образом, оптимальный план эксперимента по оценке качества партии [/?(*)> м( )] гарантирует выполнение ограничений на условные вероятности ошибок 1-го и 2-го рода (8) при минимальном объеме случайной однократной выборки.

Рассмотрим пример. Исходные данные: д* = 0,2,

ао,0о= од; 4^1=0,2.

Рассчитаем промежуточные данные:

^0,5-0,, — — ^(1,4 — К 28 I

х, =х\1+%1) = 0,2-1,2 = 0,24.

Вычислим значения параметров [/?(■), Й(-)] на основе алгоритмов (12), (13):

^0 = 2*,,^ {0/*, "1)0,95] 1/2 -[(1/х0 - 1)0,95]-|/2}-' -= 2,56/(0,577 - 0,448) = 2,56/0,129-19,8; Й(.) = [М(->Г=392;

1,2 = 1,28+ 19,8/2,23 =10,15; й(1 С ) = ^(^[(1/д:, -1)0,95]"'^ -/„^ = 19,8/1,73 -1,28 = 10,14; й0(-) = 1О,15.

Таким образом, оптимальный план ["ОХ ¿о (')] - [392; 1 ОД 5].

Проверим правильность определения значений параметров плана [«(■),«о (')]' для этого используем уравнения (10), в которых 7« = Х„(-) ■ Приаргументе д;, = ^=0,1б:

Т-Сотт Том 9. #4-2015

0,5+Ф(4(-)-Щ(1/х0-1)а95]") = 0,5+Ф[10,15-(19,8Д23)] = =0,5+Ф(1,27)=0,5+3,98= 0,899 - 0,9=1-%

При аргументе = х, =0,24: 0,5+Ф(ги)-)^(-)[(1М-1)0,95]ш=0,5-нФ[10,15-(19,8/1,73)] = = 0,5+Ф(-1,28) =0,5-0,4=0,1=р„.

Вывод. Уравнения (10) удовлетворяются, следовательно, параметры плана определены верно.

Определим значение оперативной характеристики (5)

при дтГ- = 0; 0,2 = х'.

0,5 + ф(«о(-) - /?о (■)[(! I )0,95]~ш )=

Г0,5 + ф(ю,15 - 19,8/ж) = 0,5 + ф(ю,15) = 0,5 + 0,5 = I, при д- =0, [о,5 + ф(ю,!5- 19,8/1,95) = 0,5 + ф(-0,004)в 0,5, при л', =х* =0,2.

Ц*,Ш2\ 10,15)

График оперативной характеристики, соответствующий плану ["(*)> "о (")] = [392; 10,15]

Используя выражение оперативной характеристики (5) для плана [«(•),«о(")1 определим значение X; при

котором ее значение близко к нулю. Очевидно, что это значение является решением следующего уравнения

или

ф(ц>0-Х0С-)[(1/х| -1)0,95] 1Д) = -0,5+е-

Перейдем к уравнению для квантилей функции Лапласа:

и)[(1/*,-1)0,95Г2-й0(.)-'о,-с.

Решение этого уравнения относительно аргумента * имеет вид

Допустим 5_е = 3,1 (8 = 0,001), Хщ(-)=19,8/ ¿„ = 10,15, тогда получим

х3=П+[19,8/(3,1 + 10,15)^(1/0,95)1 '=1/3,35 = 0,30.

Результаты расчетов значений оперативной характеристики для дискретных значений аргумента х представлены в табл. 2.

Таблица 2

Расчет значений функции ¿(х1 /п,й0) в дискретных точках аргумента

x¡ 0 0,16 0,20 0,24 0,30

L(x¡ /392; 10,15) 1,0 0,9 0,5 0,1 0,001

По данным этой таблицы построен график оперативной характеристики ¿(^/392; 10,15) (см. рисунок). Б

интервале х, с(0,30;1] оперативная характеристика

равна нулю. Это означает, что вероятность оценки партий (УУ,х,), х( е(0,30;1] как годных (принимается гипотеза Н0) равна нулю и, следовательно, такие партии не

попадут к потребителю.

В монографии [5] изложена аналогичная методика формирования оптимального плана оценки качества партии, основанная на использовании пуассоновского распределения, эквивалентному гипергеометрическому. Алгоритмы, определяющие значения параметров оптимального плана, формируются в этом случае на основе пуассоновской оперативной характеристики.

Литература

1. Назаров Н.Г., Назаров А.Н. Математические модели средних рисков производителя при контроле партии однородной продукции. - М.: ФГУП «Стандартинформ», 2007. - 88 с.

2. Федеральный закон Российской Федерации «О техническом регулировании» от 27.12.2002 № 184-ФЗ (с изменениями и дополнением, принятыми ФЗ от 09.05.2003 №45-ФЗ и от 01.05.2007 N9 65-ФЗ). - С. 52.

3. Хане-Йоахим Митгаг, Хорет Ринне. Статистические методы обеспечения качества / Пер. с нем. - М.: Машиностроение, 1995. - 594 с.

4. Назаров Н.Г., Зеленкова М.В. Оценка качества партии при использовании случайной однократной выборки с учетом степени риска // Метрология. - 2014. №6. - С. 13-21.

5. Назаров Н.Г. Измерения: планирование и обработка результатов. - М.: Изд-во стандартов, 2000. - 301 с.

T-Comm Vol.9. #4-201 5

METHODOLOGY FOR GENERATING THE OPTIMAL PLAN OF EXPERIMENTAL ASSESSMENT OF SAME-TYPE GOODS BATCH QUALITY BASED ON RANDOM SINGLE SAMPLING WITH RESPECT TO THE RISK LEVEL

Nikolai Grigorievich Nazarov, Moscow, Russia, nazarov.ng@mail.ru Marina Viktorovna Zelenkova, Moscow, Russia, viz zelen@rambler.ru

Abstract

Current production and manufacture of the similar-type products (refrigerators, motor vehicles, mobile phones, medicines, foodstuffs, etc.) is geared towards meeting the demands of the vast number of consumers, and hence is a mass production. Such commodities are supplied to markets and supermarkets in large batches. Quality of a batch is characterized by the scalar value called the defect rate - defective goods in the batch to the whole batch ratio. Since there is no ideal (defect-free) production, the defect rate is always above zero.

Therefore, the batch user has to agree to purchase a batch with the defect rate falling within some low thresholds specified in the statement of work, contract, etc. Of two possible methods of experimental assessment of the batch quality: full control of goods in the batch and single random sampling control, the latter is less costly [1]. The structure of the plan of experimental assessment of the batch quality includes two parameters: single random sample size and decision function parameter, which determines the threshold, based on which it is decided whether the batch is good or defective. The optimal plan means such plan that includes the required probability limitations: Ist-type errors (identify a good batch as defective) and 2nd-type errors (identify a defective batch as good). The criterion of optimization is the minimum single random sample size that supports these limitations.

Innovative distinctions of the methodology for generating the optimal plan of experimental assessment of batch quality include:

• taking into account the limitations set forth in the Federal Act [2], namely: in article 7 "Technical regulations shall contain the rules and forms for assessment of conformity... determined with respect to the risk level", where in article 2 of the same Federal Act, the risk is defined as "probability of damage. with respect to the damage severity";

• taking into account the limitations on batch defective rate characterizing the batch quality specified in the regulatory document (technical regulations, statement of work, contract, etc.).

Statistical data published in mass media demonstrate that the percentage of counterfeit medications sold by the national licensed drug stores, and of the foodstuffs, which quality does not meet the standards and regulatory documents requirements, particularly those with their shelf life expired, is several tens percents. No doubt that such situation adversely affects the health of the population. Implementation of the suggested methodology for generating the optimal plan of experimental assessment of batch quality in the certification centers and laboratories of the country will prevent consumer access to the batches with the defect rate of xi ? where x2 <<1.

Keywords: batch, lot, defect rate, alternative hypotheses, updated characteristics, risk level. References

1. Nazarov N.G., Nazarov A.A. Mathematical models of manufacturer's average risks of control of the similar-type product batch. "Standartinform" Federal State Unitary Enterprise, 2007. 88 p. (in Russian).

2. Federal Act of the Russian Federation "On technical regulations" dated December 27, 2002 No. 184-FZ (as amended by Federal Act dated May 09, 2003 No. 45-FZ and Federal Act dated May 01, 2007 No. 65-FZ), p. 52. (in Russian).

3. Hans-Joachim Mittag, Horst Rinne. Statistical Methods of Quality Assurance. Translated from German. Mechanical Engineering, 1995, 594 p. (in Russian).

4. Nazarov N.G., Zelenkova M.V. Batch quality assessment by random single sampling with respect to risk level. Metrology. 2014. No. 6, pp. 13-21. (in Russian).

5. Nazarov N.G. Measurements: planning and result processing. Standard Publishing, 2000, 301 p. (in Russian). Information about authors:

Nikolai Grigorievich Nazarov, Doctor of Engineering, professor, senior researcher in the "Central Research Institute of Economy, Computer Science and Management Systems", Moscow, Russia

Marina Viktorovna Zelenkova, Ph.D., in Engineering Science, associate professor of MT-4 department of N.E. Bauman Moscow State Engineering University, Moscow, Russia.

For citation:

Nazarov N.G., Zelenkova M.V. Methodology for generating the optimal plan of experimental assessment of same-type goods batch quality based on random single sampling with respect to the risk level. T-Comm. 2015. Vol 9. No.4, pp. 72-76. (in Russian).