Методика анализа алгоритмов управления валютным портфелем Текст научной статьи по специальности «Математика»

1701

Методика анализа алгоритмов управления валютным портфелем

Котенко А.Е. fkotenko@zuzino.net.ru)

Институт системного анализа РАН

§1. Модель оптимальных валютных обменов

(по [1])

На валютном рынке дилер ведет торговлю валютами ге/. В момент времени ;=0, у дилера имеется в наличии V0 единиц валюты г, ге/. Торговля проводится на протяжении промежутка времени от ;=1 до t=T-1. В последний день ;=Т происходит оценка результатов

торговли. Курс обмена валюты г на валюту ¡' в день t обозначим с; г,. Считаем курсы обмена всех валют априорно известными на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени.

В процессе торгов валюта г может обмениваться на другие валюты; в свою очередь, другие валюты могут обмениваться на валюту г. Количество валюты г, конвертированной на

валюту г' в течение торгового дня ;, будем обозначать у],, ; данная величина измеряется в

единицах валюты г. Объем же валюты г, полученный от обмена на нее валюты г', тогда равен

с;у;г . Помимо этого, могут быть сторонние поступления валюты / ., не связанные с

проводимыми конверсионными операциями.

Количество валюты г в конце дня t будет равно:

= УГ-Е+ И, г е I, t = 1,...,Т-1 (1.1),

ге/ г 'е/

где V-1 - количество валюты г в предыдущий день ;-1.

В качестве критерия оценки эффективности работы дилера берется капитал валютного портфеля в последний день Т, который вычисляется следующим образом:

К = ЕсТК-1 (1.2),

ге/

Т

где сг0 - курс обмена валюты г на выбранную базовую валюту 0 в день Т. Выбор базовой

валюты произволен. В [1] показано, что величина капитала валютного портфеля не зависит от выбора базовой валюты (с точностью до спрэда - разницы между курсами покупки и продажи валюты).

Стремясь максимизировать капитал портфеля, можно сформулировать следующую оптимизационную задачу:

111 aх Е сТ^'-Ч

у/, У;,* 0 ^

V 1 = V ; -1 - Е у', + Е с',у', + /;,

1 1 / 1 п / 1 11 11 ^ 1 '

(13)

ге / г'е /

V {0 = V,0, ге /, ; = 1,..., Т - 1.

Задача решается при условии выполнения аксиомы цен: цена покупки валюты у дилера не может превышать цены продажи валюты дилеры. Термин цена используется вместо термина курс обмена потому, что конверсия валют может происходить как непосредственно, так и опосредовано, через одну или несколько промежуточных валют. Если аксиома цен нарушается, то можно организовать такую цепочку валютных обменов,

1702

что оптимальным поведением было бы ее прохождение столь много раз, сколько это возможно.

Для решения задачи (1.3) используется метод Лагранжа. На каждом временном шаге I для каждой валюты / вводятся двойственные переменные р], г е I, г = 1,...,Т — 1 и вспомогательные переменные:

Т Т t t+1 t t t , t t /1

Рг = С, 0> V = Р г — Рг , Фи' = — Р г + С и'Р г', (14)

В [1] показано, что тогда функцию Лагранжа можно записать в виде

щ;, V,, р )=е!ж +И1ж'+1 рУ, 0+ее рл (1.5)

ге1 t=! ге1 /'е1 t=! Ш Ш t=!

Рассматривая вместо задачи условной максимизации (1.3) задачу безусловной максимизации (1.5), получаем условия оптимальности:

если V < 0, то V ' = 0; если V = 0, то V ' > 0,

если ф < 0, то у],, = 0; если ф = 0, то , > 0, (1.6)

V/,/'е I, Vt = 1,...,Т — 1. При выполнении этих условий капитал валютного портфеля совпадает со значением функции Лагранжа:

т — 1

с^ Ш1Х т т ax \ 1 „ 1 тг 0 . \ 1 \ ' „ t t

К = Ь = ^ Р^г + ^ ^ Рг/г (1.7)

г е I г е I t = 1

Соответственно, экономический смысл двойственных переменных: р! - это

коэффициент перевода единицы валюты г в базовую валюту 0 за Т-2 шагов процесса оптимальных конверсий.

Используя (1.4) и (1.6), можно записать двойственную задачу:

р]+! — Р] < 0, — р\ + е^р), < 0, рТ = М'е I, t = 1,...,Т — 1 Решение задачи (1.8) можно выписать в виде системы уравнений:

р) = тк{р+!;с/Р)(ГеI)}, рТ = етт /еI, t = 1,...,Т—1 (1.9)

Опираясь на аксиому цен, из (1.9) выразим двойственные переменные р] на шаге t в

р+1

виде рекуррентной зависимости от двойственных переменных рг на последующем шаге

t+1. Для случая трех валют (обозначенных символами ё, s и е) они будут иметь вид:

г ( г+! г г+! г г+! г г г+! г г г+!)

р, = {р, ;е,ере -^¿е^Ре ;е,еее*р* };

г „ ( г+! г г+1 г г+1 г г г+1 г г г+1) Ре = {Ре ;ее,Ра Р* ^еС^Р, ^е^^Р* } (1.10)

г „ ( г+! г г+1 г г+1 г г г+1 г г г+1) Р* = { ; е*е Ре ; е*еее,Р, '^^¿еРе }

Из (1.10) видно, что, двигаясь от конца рассматриваемого промежутка времени к его

началу («обратным ходом»), можно рассчитать двойственные переменные Р г для всех

валют.

Подставляя (1.10) в (1.4) и (1.6), и зная начальный валютный портфель V,0, / е I и

экзогенные переменные //, /е I, г = 1,...,Т — 1, «прямым ходом» находятся значения прямых переменных V/ и у]^ для всех валют на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени.

1703

§2. Оптимальные обмены основных мировых валют на международном рынке

FOREX в 2001-2003г

2.1. Начальные условия

Используя методику, предложенную в §1, был проведен анализ международного валютного рынка FOREX за период с 3 января 2001г. по 22 апреля 2003г. Выбор именно этого промежутка времени объясняется тем, что с 01.01.2001г. была введена в наличное обращение единая денежная единица европейского союза - евро, и прекратили своё существование многие старые национальные европейские валюты.

Общее количество календарных дней - 840, торговых - 592 дня (из рассмотрения исключались выходные и праздничные дни, когда торги на FOREX не проводятся) плюс последний день, в который ведется подсчет капитала портфеля.

Для расчетов использовались валютные котировки, предоставленные компанией Forexite [4].

Исследования проводились на 5 валютах: долларе США (USD, 1), евро (EUR, 2), британском фунте (GBP, 3), швейцарском франке (CHF, 4) и японской йене (JPY, 5). В качестве базовой валюты был выбран USD (индекс-1).

Предварительно было проверено соблюдение аксиомы цен для каждого торгового дня для всех возможных циклических обменов валюты: прямых, через одну, две, три, четыре валюты. В случае необходимости были проведены коррекции валютных курсов (изменения составили не более 0,0005 для отдельных валют).

Начальный портфель валют был взят следующий:

V10 = USD 1 0,000, V20 = EUR 1 0,5 74, V30 = GBP 6,647, V40 = CHF 1 6,056,

V50 = JPY 1,149,452. Капитал портфеля в пересчете на день t=1 равен USD 50,000. Сторонних

поступлений f'/ на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени нет.

Доходность портфеля рассчитывалась исходя из календарных, а не торговых дней, поскольку проценты по банковским ставкам - основному ориентиру для сравнения -начисляются именно по календарным дням.

Для сравнений значений двойственных переменных для различных валют

используются не абсолютные их значения p\, а относительные p] / p] . Это необходимо,

поскольку масштабы курсов различных валют могут отличаться на порядки: так, если соотношение между USD и EUR, или между USD и GBP порядка 1:1, то соотношение между USD и JPY порядка 1:100.

Всю совокупность оптимальных обменов по всем валютам будем называть «оптимальной траекторией обменов».

2.2. Оптимальные значения двойственных переменных

Сначала по формулам (1.9) решается «обратным ходом» двойственная задача. (Экономный численный метод решения описан в [1].)

Найденные значения двойственных переменных для шага t=1 - то есть те, которые

согласно (1.2) участвуют в расчете капитал в конце, - и отношения p1/ p], i е I - выше мы

условились сравнивать их, а не непосредственно сами pi , - на оптимальной траектории таковы:

USD : p1 = 10,073 6, pj / p] = 10,073 6;

EUR : p1 = 9,5275, p2 / p] = 8,6977;

GBP : p1 = 1 5,1 563, p1 / p3] = 9,6127;

CHF : p4 = 6,2739, p4 / p] = 8,6096;

JPY : p1 = 0,0879, p1 / p] = 10,5911.

1704

Графики зависимости оптимальных значений двойственных переменных от времени построим, отложив по оси ординат не р1/ рТ, / е I, а ^(р- / рГ), I е I:

^ m rg гд. Е 5 G.kE^I Щ ~ G Q Э ? У : £ " " " S

ее в в.

Ъ Л К. Р £ Я. A R S Г. Z Я г. Д Я г ft fj Я п 3 Л Й М г t 3 -ц р л

-пир- йд Щ_■ ■-■■

Рис.1. Графики зависимости lg(pit/piT) от времени

Такое представление потребуется для целей дальнейшего исследования (см. п. и). 2.3. Свойства оптимальных обменов

В результате проведенных расчётов были получены следующие результаты:

а) если дилер будет придерживаться оптимальной стратегии, то капитал портфеля будет равен К = USD 453,999, то есть доходность конверсионных операций на оптимальной траектории равна 395% годовых! Это очень большая доходность для международного финансового рынка.

б) отношения двойственных переменных в начале торговли к значениям в конце торговли р1 /рт, i е I - суть коэффициенты умножения начальных объемов валют за рассматриваемый

промежуток времени от 03.01.01 по 22.04.03. Их значения известны (см. п.2.2), и значит можно проранжировать валюты по выгодности формирования в них первоначального портфеля: JPY, USD, GBP, EUR, CHF. Выгоднее всего первоначальный портфель формировать в японских йенах; в этом случае умножение первоначального количества йен происходит в 10,5911 раза. Тем не менее, такая стратегия не всегда выгодна; если начало торговли приходится не на 03.01.01, а, например, на 30.03.01, то коэффициент умножения для йен равенр530 03 01 / р5т = 7,5208, а для долларов США -px3003 01 /pf = 7,8428 , то есть

если дилер выходит на рынок 30.03.01, то выгоднее, если первоначальный портфель будет сформирован в USD (см. рис.1).

Кроме того, необходимо отметить, что в евро формировать начальный портфель не выгодно практически никогда. Почти тоже самое верно и для швейцарского франка. Для получения максимальной прибыли формировать портфель в CHF можно только ближе к самому концу рассматриваемого промежутка времени, а именно если начало торговли t=1 осуществляется не ранее 04.03.03.

Остальные валюты в этом разрезе ведут себя по-разному: в зависимости от момента начала торговли когда-то бывает выгодно формировать портфель в долларах США, когда-то - в йенах, значительно реже - в британских фунтах стерлингов GBP.

в) зависимость двойственных переменных от времени на оптимальной траектории обменов обладает свойством магистрали.

Если начинать торговлю не 03.01.03, а позже, то, очевидно, что при решении соответствующей оптимизационной задачи с новыми начальными условиями на промежутке от выбранной начальной даты до 22.04.03 оптимальные значения двойственных переменных

1705

будут совпадать со значениями двойственных переменных для нашего случая, когда начальная дата ¿=/=03.01.01. Так происходит потому, что двойственная задача (1.8) решается обратным ходом, от конца рассматриваемого промежутка времени, а поскольку и в том и в другом случае они совпадают, то будут совпадать и значения двойственных переменных на каждом временном шаге.

Если же торговля заканчивается не 21.04.03, а раньше то и в этом случае свойство магистральности будет выполняться. Абсолютного совпадения оптимальных значений двойственных переменных с нашим случаем наблюдаться не будет, поскольку решения двойственных задач начинается в разных временных точках, но расчёты показали, что по прошествии достаточно малого промежутка времени они совпадут

г) на протяжении большей части рассматриваемого промежутка времени финальной оптимальной является какая-либо одна валюта (в нашем случае из 592 торговых дней финальной оптимальной одна валюта была 496 раз, две валюты - 92 раза, три валюты - 3 раза, 4 валюты - 1 раз).

д) соответственно, при отсутствии экзогенных поступлений на всем рассматриваемом промежутке времени, то есть когда f = 0, i е I, t = 1,...,T -1, за достаточно малое число шагов все валюты портфеля конвертируются в одну валюту (в нашем случае сразу же на 1-м же шаге все валюты конвертируются в USD). После того, как это произошло, можно считать, что оптимальная траектория обменов вышла на магистраль.

е) ниже в таблице представлены данные, сколько раз та или иная валюта является финальной оптимальной для выбранной валюты:

i USD EUR GBP CHF JPY сколько раз i' является фин.опт. для i

i'

USD 160 154 152 154 133 753

EUR 103 109 107 102 87 508

GBP 104 99 107 99 87 496

CHF 107 110 106 119 87 529

JPY 118 120 120 118 198 674

Табл.1. Финальные оптимальные валюты

Можно расположить валюты в порядке убывания по количеству раз, которые она является финальной оптимальной для других валют (в том числе и для себя): USD, JPY, CHF, EUR, GBP. Доллар США и йена являются наиболее притягивающими для всех остальных валют.

Соответственно, USD и JPY являются и наиболее «стабильными» валютами: для каждой из них количество раз, когда валюта остается неподвижной, превышает количество обменов в любую другую валюту. При этом эти две валюты являются наиболее притягивающими друг для друга: доллар США переходит в йену 118 раз, а йена в доллар -133 раза, и это максимальные количества переходов для них по сравнению с другими валютами.

Что касается других оптимальных обменов, то их количества примерно равны, и нельзя сказать, насколько та или иная валюта доминирует остальные. Единственным исключением является йена: если другие валюты являются финальными оптимальными примерно по 100 раз, то JPY переходит в EUR, GBP и CHF по 87 раз.

ж) при этом следует отметить, что ситуация, когда валюта остается финальной оптимальной на протяжении нескольких дней подряд, практически уникальна:

>2 дней 4 дня >4 дней

USD 7 1 0

EUR 1 0 0

GBP 3 2 0

CHF 7 1 1

JPY 15 5 2

Табл.2. Количество раз, когда валюта остается финальной оптимальной несколько дней подряд

1706

Больше 4 дней ни одна валюта не остается финальной оптимальной; исключением являются только CHF - 1 раз, 5 дней и JPY - 1 раз, 6 дней и 1 раз, 7 дней. Это означает, что пропуск дилером хотя бы одного торгового дня практически с вероятностью = 1 уводит последовательность валютных обменов с оптимальной траектории. Но потери скорее всего будут невелики, поскольку, как отмечалось в п. в), возврат на оптимальную траекторию происходит достаточно быстро. з) зависимость доходности от торгуемых валют:

Выше были рассмотрены свойства оптимальных обменов для промежутка времени от 03.01.01 по 22.04.03 в случае, если торгуются все 5 рассматриваемых валют. Естественным образом возникает вопрос: как изменится доходность, если торгуемыми являются не 5, а меньшее число валют?

В процессе исследования были решены оптимизационные задачи для всех возможных случаев, когда максимально возможное число торгуемых валют - пять; то есть для всех комбинаций из 2, 3 и 4-х валют. Для каждой задачи рассчитана доходность. Полученные результаты представлены в таблице ниже (знаком + отмечены те валюты, которые торгуются):

USD EUR GBP CHF JPY Доходность USD EUR GBP CHF JPY Доходность

+ + + + + 395% - + + - + 161%

+ + + + - 256% - + - + + 136%

+ + + - + 302% - - + + + 189%

+ + - + + 312% + + - - - 139%

+ - + + + 328% + - + - - 74%

- + + + + 242% + - - + - 150%

+ + + - - 193% + - - - + 58%

+ + - + - 193% - + + - - 78%

+ - + + - 210% - + - + - 33%

+ + - - + 228% - + - - + 74%

+ - + - + 148% - - + + - 88%

+ - - + + 246% - - + - + 49%

- + + + - 120% - - - + + 87%

Табл. 3. Доходность в зависимости от торгуемых валют

Из таблицы видно, что максимальная доходность - 395% годовых - достигается в том случае, когда торгуются все пять валют. Самое малое уменьшение доходности - на 67% годовых - наблюдается в случае исключения из числа торгуемых валют EUR. Данный факт полностью согласуется с общей теорией оптимизационных задач: исключение одной или нескольких валют сужает множество допустимых решений задачи, и соответственно, значение оптимизационного критерия увеличиться никак не может. Наоборот, если ввести в число торгуемых дополнительные валюты, то область допустимых решений расширяется, и оптимальное значение критерия может быть увеличено за счёт того, что решение задачи может отказаться как раз таки в увеличении области допустимых решений.

Используя полученные результаты, валюты можно проранжировать в порядке убывания их влияния на доходность портфеля следующим образом: USD, JPY, CHF, GBP, EUR. Похожие соотношения - когда наиболее значимыми для оптимальных конверсионных операций являются доллар США и японская йена - были представлены в п. б) и е).

Если вести игру только на двух валютах, то валютные пары по убыванию их доходности располагаются следующим образом: (USD,CHF), (USD,EUR), (GBP,CHF), (CHF,JPY), (EUR,GBP), (USD,GBP), (EUR,JPY), (USD,JPY), (GBP,JPY), (EUR,CHF). Валютная игра в этом случае упрощается, но при этом резко падает доходность проводимых конверсионных операций.

1707

и) зависимость двойственных переменных от времени:

Во-первых, зависимости оптимальных значений двойственных переменных р ' от

времени t является монотонно-убывающими функциями (см. рис. 1). Это свойство следует непосредственно из (1.9). Но эти функции - не строго убывающие, поскольку, не смотря на всю редкость ситуации, что подчеркивалось в п. ж), есть такие отрезки времени, когда валюты неподвижны, и, соответственно, двойственная переменная на предыдущем шаге равна двойственной переменной на последующем шаге.

Второе, и самое главное, свойство заключается в экспоненциальном характере их зависимости от времени., или, что тоже самое, прямолинейным характером зависимости lg ( Р t / pT ) = Si (t) от времени t, что и отражается на рис.1. Это свойство выполняется

для всех рассматриваемых валют.

Обнаруженное свойство: линейный характер зависимости логарифма отношения двойственной переменной на оптимальной траектории обменов к значению двойственной переменной в конце рассматриваемого периода времени для любой валюты - есть фундаментальное свойство оптимальных конверсий валют на международном рынке FOREX.

Данный факт тесно связан с первым свойством, сформулированным чуть выше. Действительно, согласно решению (1.10) задачи (1.9), оптимальные значения двойственных переменных на данном шаге t зависят соответствующим образом от перемноженных значений обменных курсов на этом шаге t и на последующих шагах t+1,...,T. Если вернуться к решению двойственной задачи алгоритмом «обратного хода», то свойство монотонной убываемости зависимости оптимальных значений двойственных переменных по времени можно сформулировать следующим образом: при переходе от шага t+1 к шагу t оптимальное значение двойственной переменной может либо не измениться, либо увеличиться. Выше было показано, что валюты практически никогда не остаются неподвижными на протяжении значительного промежутка времени; этот факт является следствием того, что валютные

курсы подвержены частым колебаниям. То есть на графике gi (t) практически нет

горизонтальных отрезков.

Сама же линейность функции g i (t) определяется характером изменений валютных

курсов. Международный валютный рынок FOREX устроен так, что зависимость

lg (p'/pT ) от времени t для оптимальных значений двойственных переменных p ]

почти линейна. Вообще говоря, если решать оптимизационную задачу, подобную (1.3), с

какой-то произвольной матрицей коэффициентов ctii,, i,i' е I, t = 1,...,T , то подобного

результата могло бы и не получиться. Он не вытекает непосредственно ни из постановки, ни из решения задачи, а определяется именно величинами валютных куров.

Слово же «оптимальный» выделено курсивом и подчеркнуто потому, что данное свойство выполняется не для каких-то произвольных, а только для оптимальных конверсий.

Данное свойство является ключевым для исследований, и будет использовано в дальнейшем (§ 3).

к) зависимость доходности конверсионных операций от длины временного интервала:

Выше мы исследовали свойства оптимальных конверсий валюты на промежутке времени от 03.01.01 по 22.04.03. Доходность проведения валютообменных операций на данном промежутке времени составила 395% годовых. Влияние на доходность исключения из числа торгуемых одной или нескольких валют (или, наоборот, добавление) было описано в п. з). Теперь ответим на вопрос: как влияет на доходность проводимых операций длина выбираемого промежутка времени? Будет ли она оставаться постоянной, будет ли увеличиваться, или уменьшаться?

1708

Сформулируем задачу следующим образом. Закрепим правый конец рассматриваемого промежутка времени Т=22.04.03, и будем двигать его левый конец в пределах г е [03.01.01;22.04.03], и смотреть, как изменится доходность г(г) .

Текущий шаг г будем считать первым шагом, когда производятся конверсионные операции. Для упрощения предположим, что в начальном портфеле находится только лишь

одна, базовая, валюта, и ее количество - V (здесь и далее для данного исследования нижний индекс обозначения валюты опущен). Ранее было обнаружено свойство линейности

логарифма отношения оптимальной двойственной переменной р ' в данный момент времени

т

г к двойственной переменной в конце периода р . Данное утверждение формализуется следующим образом:

18 (РЧРТ )= Аг + В (2.1)

Коэффициенты А и В для рассматриваемой задачи находятся как и для стандартной задачи линейной аппроксимации - методом наименьших квадратов, - с той лишь разницей, что для привязки значений двойственных переменных к моменту подсчета капитала финального портфеля, необходимо закрепить правый конец прямой. Поскольку у нас

Уп = 1§(рТ/рТ ) = 0, хп = Т, формулы для расчета А и В получаются следующие:

валюта 1 : ^ (р / / рТ ) = А г + В ;

Т - 1 Т - 1

^ гр\ - Т У р\

А =

/ 1 ± 1 / 1

Т - 1 Т - 1 ' (2.2)

V ^ 2 о гр V1

г2 - 2 Т У г + (Т - 1) Т

г = 1 г = 1

В = - АТ . Из (2.1) следует, что

рг = р1 е°еА1 = (2.3),

где С - постоянная, не зависящая от г.

То есть, зависимость самих оптимальных двойственных переменных от времени -экспоненциальна.

Доходность проведения валютообменных операций за период от t до Т равна

К (Т) - К (г) 1 4 к (Т) л, 1

г (г) =

-1

(2.4),

К (г) Т - г + 1 8 К (г) ) а(Т - г + 1) где К^) и К(Т) - капитал портфеля на начальном и конечном шагах времени, а а -нормировочный коэффициент, который необходим, поскольку расчёт капитала производится относительно календарных, а не торговый дней (его можно считать постоянным, так как приближенно на каждые пять торговых дней приходятся семь календарных). Поскольку по

условию в начальном портфеле присутствует только базовая валюта в количестве V0 , то К (г) = V0 . Конечный капитал портфеля, согласно (1.2), равен К (Т ) = р V 0 . Подставим данные формулы с учетом зависимости двойственных переменных от времени (2.3) в формулу для расчета доходности (2.4); получим:

г (г) = (СеАг - 1 )* -1--1 - (2.5)

4 > а (Т - г + 1) г у '

Наша задача - понять зависимость доходности от длины промежутка времени, а не предлагать каких-то точных формул, поэтому будем пользоваться пропорциональными зависимостями. Рассчитаем производную й г / й г :

1709

с1г -ЛвА1Г — еЛ1 вА'(ЛГ + 1)

(2.6)

dt г2 г2

Из формулы (2.6) следует, что d г /d г равна нулю в точке г ~ — 1/Л (напомним, что оптимальные двойственные переменные убывают по времени, поэтому А<0). То есть существует некая точка, от t до которой доходность портфеля падает, а затем, до Т, растёт. Эта точка должна лежать ближе к Т, поскольку ближе к точке начала торговли становится более существенным влияние экспоненциальной зависимости оптимальных двойственных переменных от времени, а ближе к концу торговли - обратная пропорциональной доходности по времени: знаменатель дроби в (2.5) становится всё меньше, и поэтому доходность растёт.

§3. Алгоритм построения валютных обменов с помощью аппроксимации зависимости двойственных переменных оптимальной задачи от времени

Используя (2.1) и (2.2), аппроксимируем линейной функцией зависимость (Р\/РТ, ) от времени.

Характер поведения оптимальных значений двойственных переменных для каждой валюты г определяется соответствующим значением коэффициента наклона прямой Лг, г е I . Свободный член Вг, г е I зависит от соответствующего Лг ; он также определяется концом рассматриваемого периода Т: если Т сдвигается, то В г изменится пропорционально, и коэффициентом пропорции будет Л i . Таким образом, для аппроксимации оптимальных значений двойственных переменных для выбранной валюты г на заданном промежутке времени будет определяться только лишь значением Л г .

Для рассматриваемого нами случая получаются следующие параметры аппроксимирующих функций:

I Л Bi

ШБ (1) -0,00106 0,03799

БИЯ (2) -0,00127 0,04577

ОВР (3) -0,00111 0,03987

СИБ (4) -0,00128 0,04605

1РУ (5) -0,00133 0,04787

Табл. 4. Коэффициенты А и В для различных валют

Что же дает знание аппроксимаций оптимальных значений двойственных переменных? Для того, чтоб ответить на данный вопрос, необходимо вернуться к решению оптимизационной задачи.

Задача организации оптимальных валютных обменов (1.3) и двойственная ей задача (1.8), описанные в §1, решались из предположения, что обменные курсы е'и,, г,г' е I априорно заданы на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени г = 1,...,Т — 1.

Зная же полученные аппроксимации, из (2.1) и (2.2) можно найти приближенные оптимальные значения двойственных переменных на любом шаге г е [1, Т ] по формуле:

_ Р = р (Т )е - ЛТеЛг (3.1)

где черта над р \ означает, что значение - не точное, а аппроксимированное. То есть для этого нет необходимости знать все валютные курсы на всем рассматриваемом

1710

промежутке времени и проводить долгую и громоздкую процедуру расчета p]

обратным ходом, да еще и методом итераций на каждом шаге t!

Перейдем ко второму шагу - решению прямой задачи, но вместо точных оптимальных значений двойственных переменных p] будем использовать приближенные

Введем нормировочные множители q ^ , которые для каждой валюты i постоянны на рассматриваемом промежутке времени. Умножим на них p] , и подставим в (1.4):

р( =-pq (3.2)

Полученные фй<, i' е I будем использовать вместо р1и,, i' е I для принятия решения о конверсии валюты i в валюту i'. Если для данной валюты i все р\{,, i' е I отрицательны, то валюта остается в самой себе. Если какие-то из них положительны, то валюта i конвертируется в валюту

j = arg max (, i' е I} (3.3)

Проделав эту процедуру для каждой валюты на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени от t=1 до t=T, построим траекторию валютных обменов. Очевидно, что данные обмены не будут оптимальными, но поскольку они получены, используя данные аппроксимации двойственных переменных, имеет смысл сравнить их с оптимальными.

Для этого, зная полученные валютные обмены (не оптимальные), для расчета

капитала валютного портфеля восстановим значения (p1) : это делается обратным ходом,

аналогично нахождению оптимальных значений двойственных переменных, за тем лишь исключением, что в данном случае нет максимизации по всем возможным путям обмена, а

есть только один, уже известный путь, для которого и считается p it . Оно может

получиться оптимальным, но оно может и не быть таковым.

Найдя (p1) и зная начальный портфель Vt 0, i е I, находим капитал портфеля

V / app

для данных валютных обменов (не оптимальных!) на последнем шаге Т:

Kapp = Ё ( pi )appV,° (34)

i = 1

Полученное значение капитала сравнивается с оптимальным.

Приведём численный пример. Поскольку ранее было установлено, что доходность проведения оптимальных конверсионных операций существенно зависит от времени, то для целей нашего исследования был выбран относительно недолгий промежуток времени: с 08.01.02 по 26.02.02. Начальный портфель был взят такой же, как и в §2.

При данных условиях оптимальные значения двойственных переменных (то есть для задачи (1.3)) для шага t=1 равны: pf = 1,0841, p\ = 0,9655, p1 = 1,5632, p4 = 0,6547, p] = 0,0082. Это значит, что имеющиеся в первоначальном портфеле USD (1) при переходе в финальную оптимальную валюту увеличатся в 1,0841 раза, EUR (2) - в 1,1119 раз, GBP (3) - в 1,0965 раза, CHF (4) - в 1,1119 раз и JPY (5) - в 1,1025 раз (в пересчете на единицы соответствующей первоначальной валюты). Для выбранного начального портфеля доходность конверсионных операций составляет 62% годовых.

В случае приближения без взвешивания, то есть когда для всех валют = 1, i е I,

значения (p1^ и (pj^/pf , i е I равны:

1711

(p/)app (p^Wpi1

USD (1) 1,0347 1,0347

EUR (2) 0,9215 1,0612

GBP (3) 1,4919 1,0465

CHF (4) 0,6249 1,0613

JPY (5) 0,0078 1,0552

Табл. 5. Значения (р1')арр (без нормировки) Доходность конверсионных операций в этом случае равна 26% годовых.

Изменяя qi, i е I, можно подобрать их такими, что доходность траектории

обменов, восстановленной по аппроксимации оптимальных двойственных переменных,

существенно возрастёт. Например, в нашем случае при значениях qi, i е I , лежащих в

пределах

Qi max qi Min qi

USD (1) 1,0000 0,9991

EUR (2) 0,9937 0,0000

GBP (3) 0,9972 0,9954

CHF (4) 1,0000 0,9995

JPY (5) 1,0007 1,0000

Табл.6. Значения нормировочных множителей

удалось добиться доходности в 36% годовых (то есть введение нормировочных множителей увеличивает доходность на 10% годовых). При этом двойственные переменные принимают следующие значения:

(p/)app (p^Wpi1

USD (1) 1,0476 1,0476

EUR (2) 0,9334 1,0748

GBP (3) 1,5105 1,0595

CHF (4) 0,6325 1,0743

JPY (5) 0,0079 1,0683

Табл. 7. Значения (pit)app (с нормировкой) Обращает на себя внимание диапазон значений q2, для EUR: от 0,9937 до 0,0000.

Фактически это означает, что евро не участвует в процессе валютных обменов. Действительно, только на 1-м шаге евро переходит в японскую йену; в последствии она не является не то что финальной, но даже промежуточной в какой-либо цепочке валютных обменов. Естественно, это верно только для случая, подобного рассматриваемому, когда все экзогенные поступления f = 0, i е I, t = 1,...,T-1.

Кроме того, следует отметить, что для данного примера необходимость изменения нормировочных множителей возникла только по двум валютам - EUR и GBP; для USD, GBP и JPY они могут быть оставлены равными 1.

Предложенный только что алгоритм проведения валютных конверсионных операций назовем аппроксимационным.

§4. Алгоритм построения валютных обменов при условии владения информацией о валютных курсах на следующем шаге

В §3 был рассмотрен такой алгоритм построения валютных обменов, когда сегодня, в день t, дилер знает все сегодняшние курсы обмена валют ctii,, а также линейные

1712

аппроксимации ^ (р] / рт ) (или, что тоже самое, экспоненциальные аппроксимации р; )

как фундаментальные свойства поведения оптимальных обменов валют. И, используя только их (курсы обмена в будущем не известны), он принимает решение о конверсии валюты или ее неподвижности.

Теперь рассмотрим случай, когда дилер знает валютные курсы не только на сегодняшний день но и на завтрашний, 1+1-й день (будущее известно только лишь на один день вперед). В этом случае наиболее естественный алгоритм принятия решения будет следующий: в задаче (1.3) заменим терминальный критерий оптимизации - капитал портфеля в конце рассматриваемого периода, - пошаговыми критериями - капиталом портфеля на день, следующий за днём принятия решения:

111 aх х с;о 1у11 , ; = 1,...,т -1

V', ^ > 0 ^

V/ = V,'-1 -х у;г + х сМ, + //, (4.1)

1 е I 1'е I

V, '0 = V,0, 1 е I, ' = 1,..., т - 1.

Эту задачу можно представить как множество последовательных задач (1.3), для

которых Т=2. Решение каждой из этих задач аналогично решению задачи с терминальным

критерием, описанной в главе I: нужно только в формуле (1.9) решения двойственной задачи

;+1 ' +1 заменить pi на с, 0 :

р = пжС+^р,(1 е1)}, рТ = 4 , е1, ;=и,Т-1 (4.2)

Найденные значения р 1 не взаимосвязаны друг с другом, поскольку являются решениями различных оптимизационных задач. Для того, чтобы найти двойственные переменные (р^)(рр, которые будут использоваться вместо р; в формуле (1.2) для

нахождения величины капитала портфеля в момент Т, то есть в конце всего периода торговли, необходимо проделать следующую процедуру. Сначала по полученным из (4.2) р , для пошаговых оптимизационных задач находим валютные обмены на каждом шаге на

протяжении всего рассматриваемого промежутка времени от 1=1 до 1=Т. После этого по имеющейся траектории валютных обменов обратным ходом восстанавливаем все

(р1 )срр , 1 е I, ' = !,•••,Т - 1; зная (р*)^ и начальный портфель ^ , 1 е 1, находим

величину конечного капитала. Данная процедура нахождения переменных (р;) по

р

известным значениям двойственных переменных для пошаговых задач р 1 аналогична

процедуре нахождения (р^)срр по аппроксимированным значениям р1 в алгоритме, описанном в §3.

Для рассматриваемого нами примера, с t=1=08.01.02 по t=T=26.02.02, доходность проведения валютообменных операций по данному методу составляет 57% годовых. Таким образом, знание обменных курсов только лишь на один шаг вперед увеличивает доходность операций на 21% годовых (а если сравнивать со случаем, когда все qi = 1 - то на 31% годовых).

Данный алгоритм валютной торговли будем называть оптимизационно-пошаговым.

1713

§5. Коэффициент полезного действия алгоритма управления валютным

портфелем

Рассмотренные в §3 и §4 алгоритмы проведения валютных обменов предложены для тех случаев, когда дилер не владеет полностью информацией об обменных курсах на всём протяжении периода торговли (а в реальности так чаще всего и бывает), и дают доходность меньшую оптимальной. Это очевидно, поскольку решение оптимизационной задачи полагает собой получение максимально возможного в данных условиях эффекта. Но в результате использования разных алгоритмов доходность проведения конверсионных операций получается разной, причем, как мы видели, разница может быть весьма существенной. Таким образом, может быть поставлен вопрос о сравнении различных алгоритмов проведения конверсионных операций между собой.

Предложенные алгоритмы - как и аппроксимацонный (§3), так и пошагово-оптимизационный (§4), - оба в своей основе содержат оптимизационную задачу (1.3). Поэтому результаты применения данных алгоритмов целесообразнее сравнивать по отношению к результату организации валютных обменов оптимальным способом.

Введем понятие коэффициента полезного действия алгоритма торговли на валютном рынке. Будем подразумевать под ним процентное отношение доходности, получаемой за счет применения выбранного алгоритма торговли на данном участке времени, к доходности оптимальной торговли для этого же участка времени. Ключевым здесь является то, что базой сравнения алгоритмов служит именно оптимальная траектория -естественное рыночное ограничение сверху на возможные доходности.

Если вернуться к нашим примерам, то для промежутка времени с 08.01.02 по 26.02.02 доходность для оптимальной траектории равнялась 62% годовых, а для аппроксимационного алгоритма без нормирования - 26% годовых. Соответственно, КПД по нашему определению равен 42%. В случае с нормированием максимальная доходность равна 36% годовых, а КПД соответственно - 58%. Для пошагово-оптимизационного алгоритма доходность была максимальна - 57% годовых; КПД = 92%.

Ранее указывалось, что нелинейный характер зависимости доходности от длины периода торговли существенно влияет на доходность алгоритмов, основанных на приближении двойственных переменных. Теперь можно оценить, насколько сильно это влияние.

Для длинного периода торговли, с 03.01.01 по 22.04.03, который рассматривался в §1, получаем следующие результаты. Доходность на оптимальной траектории равна 395% годовых. Доходность для аппроксимационного алгоритма без нормирования - 18 % годовых; КПД = 4,5 %. Для аппроксимационного алгоритма с нормированием максимальная доходность равна 24 % годовых; КПД = 6 %. Для пошагово-оптимизационного алгоритма доходность равна 325% годовых, то есть КПД = 84%.

Непосредственно видно, что с увеличением временного промежутка торговли эффективность алгоритмов обоего типа уменьшается. Что касается уменьшения в абсолютном выражении - по доходности - то этого и следовало ожидать, потому что в §2 было показано, что даже для оптимальных обменов доходность существенно зависит от времени (расчеты для обоих примеров показывают, насколько: 62% годовых для промежутка времени в 50 дней против 395% годовых для промежутка в 840 дней. Но при этом эффективность аппроксимационного алгоритма в относительном выражении снижается существенно непропорционально: КПД падает с 58% для короткого промежутка времени до 6% для длинного промежутка; в то время как для оптимизационно-пошагового алгоритма это уменьшение не столь значительно: с 92% до 84% годовых. Данное сравнение позволяет сделать следующие выводы:

• использование аппроксимационного алгоритма предпочтительно на коротких промежутках времени, нежели на длинных;

1714

• использование оптимизационно-пошагового алгоритма предпочтительнее использования аппроксимационного алгоритма на любых промежутках времени (но для его использования необходимо знание валютных курсов на один шаг в будущем; получение этого знания является отдельной задачей).

§6. Методика анализа эффективности различных алгоритмов управления

валютным портфелем

Выше мы проанализировали и сравнили два из всевозможных алгоритмов проведения валютообменных операций. Сравнение проводилось при помощи введенного понятия коэффициента полезного действия алгоритма торговли на валютном рынке. Как подчеркивалось в §5, анализировавшиеся алгоритмы имеют в своей основе оптимизационную задачу.

Но это не значит, что подобные сравнения ограничиваются только таким классом алгоритмов. Выше упоминалось, что траектория оптимальных обменов является естественно-рыночным ограничением сверху на доходность конверсионных операций. И поэтому оптимальная доходность может служить базой сравнению для любых алгоритмов, решающих подобную задачу.

Валютные дилеры и аналитики со времен появления современных средств связи пытались придумать способ извлечения максимально возможной прибыли от торговли валютами. Сначала это был пространственно-временной арбитраж, когда за счёт разницы во времени информация с биржи на биржу поступала с заметным запозданием, и можно было, купив валюту в Лондоне, продать ее буквально через минуты в Нью-Йорке, и существенно на этом заработать (вопрос стоял в оперативности связи дилеров с биржами; для крупных банков это не было проблемой). С развитием компьютерной техники и всё большим проникновением ЭВМ и глобальных электронных систем, связывающим сотни миллионов компьютеров по всему миру, в том числе и биржевых, извлечение прибыли от проведения подобных операций стало невозможным из-за увеличения скорости передачи информации.

Однако подобный рывок технического прогресса позволил даже частным лицам иметь в собственности достаточное мощные компьютеры с возможностью оперативной связи с брокерскими фирмами, предоставляющими возможность получения валютных котировок и заключения сделок. Поэтому очень широкое развитие получили различные методы анализа валютного рынка.

Принято выделять технический и фундаментальный анализ [3]. Не смотря на свое существенное различие в основных положениях и используемом инструментарии, оба эти метода направлены на решение одной задачи - предсказания поведения валютных курсов в будущем. Имея такой прогноз и отслеживая текущую ситуацию на рынке, дилер организует торговлю валютами удобным ему способом: можно, например, решать задачу оптимизации (1.3), используя приближенные значения валютных курсов, и тогда этот алгоритм будет подобен тем, что рассматривались в §3 и §4; а можно и каким-то другим способом, и этот алгоритм не будет иметь прямой связи с оптимизационной задачей.

Теперь, основываясь на введенном понятии КПД, сформулируем методику анализа различных алгоритмов управления валютным портфелем.

Задача ставится следующим образом. Есть алгоритм, согласно которому предлагается принимать решения о проведении валютообменных операций (не важно, лежит ли в его основе оптимизационная задача, или нет).

Выделяется какой-то промежуток времени в прошлом. Его длина определяется сообразно предлагаемому алгоритму. Для рассматриваемого промежутка времени решается задача поиска оптимальных валютных обменов, находится доходность. Потом для этого же промежутка времени строятся валютные обмены по предлагаемому алгоритму, и определяет доходность. Рассчитывает коэффициент полезного действия по предложенной выше методике. Если КПД достаточно велик (это определяется непосредственно исследователем),

1715

можно считать предлагаемый алгоритм удовлетворительным. Если нет - то метод либо требует коррекции, либо не подходит для принятия решений.

Аналогичным образом можно вычислить точность прогноза валютных курсов. Общепринятым показателем для этого является среднеквадратичное отклонение. Но для этого так же можно использовать понятие КПД по отношению к оптимальной траектории как наиболее естественную базу для сравнения. Итак, есть промежуток времени, для которого известны точные и приближенные значения валютных курсов. Каким способом получено приближение - не важно. Рассчитываем доходность оптимальных конверсионных операций на приближенных курсах, и на точных курсах, и потом рассчитываем КПД путем деления одной величины на другую. Если КПД достаточно велик, то исследуемый метод прогнозирования можно вполне уверенно применять на практике; если нет - то лучше от использования данного метода отказаться, или, возможно, имеет смысл уменьшить длину периода торговли, и провести исследования снова.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов Ю.Н., Коноплев Д.В., Моделирование валютных операций и оптимизационный анализ валютного рынка, // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник 2001., М., Эдиториал УРСС, 2002.

2. Пискулов Д. Ю., Теория и практика валютного дилинга. Прикладное пособие. М., ДИАГРАММА, 1998.

3. Якимкин В.Н., Рынок ФОРЕКС - Ваш путь к успеху, М., «Акмос-Медиа», 2001.

4. http://www.forexite.com/free_forex_quotes/forex_history_arhiv.html