CC BY
34
Литература
1. Э.Л. Афрамович, Н.П. Перевалова. GPS-мониторинг и верхней атмосферы Земли. - Иркутск: ГУ НЦ РВХ ВСНЦ СО РАМН, 2006. - 480 с.
2. Дёмин М.Г. Ионосфера Земли. Плазменная гелиогеофизика. - М.: Физматлит, 2008. -Т.П. - С. 92-63.
3. Липеровская Е.В., Липеровский В.А., Похотелов О.А. О возмущениях в F-области ионосферы перед землетрясениями // Геофизические исследования. - 2006. - № 6. - С. 51-58.
4. Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. -М.: Мир, 1990.
5. Mallat S. A Wavelet tour of signal processing. Пер. с англ. - М.: Мир, 2005. - 671 с.
6. Мандрикова О.В., Глушкова Н.В. Многокомпонентное моделирование и анализ аппроксимирующих компонент критической частоты f0F2 на основе вейвлет-преобразования и моделей авторегрессии // Междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям (SCM'2011). - СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», СПб, 2011. - Т. 2. - С. 139-143.
7. Мандрикова О.В., Горева Т.С. Метод идентификации структурных компонентов сложного природного сигнала на основе вейвлет-пакетов // Цифровая обработка сигналов. - М., 2010. -№ 1. - С. 45-50.
8. Мандрикова О.В., Полозов Ю.А. Критерии выбора вейвлет-функции в задачах аппроксимации природных временных рядов сложной структуры // Информационные технологии. - М., 2012.- № 1. - С. 31-36.
9. Мандрикова О.В., Глушкова Н.В. Метод моделирования данных критической частоты на основе совмещения вейвлет-преобразования и моделей авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего // Научные ведомости Белгородского государственного университета. -Белгород, 2011. - № 19. - С. 59-63.
УДК 519.6:550.38
МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРНОЙ СУТОЧНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ И ЛОКАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ В ГЕОМАГНИТНОМ СИГНАЛЕ
О.В. Мандрикова1' 2, И.С. Соловьев1' 2
'Камчатский государственный технический университет, Петропавловск-Камчатский, 683003;
2Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, с. Паратунка, Камчатский край, 684034 e-mail: oksanam'@mail.kamchatka.ru e-mail:kamigsol@yandex. ru
Предложенный в работе метод, основанный на конструкции вейвлет-пакетов, позволяет в автоматическом режиме выделить в геомагнитном сигнале характерную составляющую и разномасштабные локальные особенности, формирующиеся в периоды магнитных бурь. Локальные особенности несут информацию об интенсивности и характере развития магнитной бури, и их динамический анализ дает возможность проследить изменения энергетических параметров поля и фиксировать момент предстоящей бури. Выделенная характерная суточная составляющая геомагнитного сигнала описывает вариации поля в спокойные периоды времени и их существенное изменение в периоды возрастания геомагнитной активности. Апробация метода выполнена на модельных сигналах и данных магнитного поля Земли, полученных на обсерватории «Паратунка» (с. Паратунка, Камчатский край).
Ключевые слова: вейвлет-преобразование, магнитные бури, геомагнитные данные.
Characteristic diurnal constituent and local features in geomagnetic signal extraction method.
O.V. Mandricova1' 2, I.S. Solovyev1' 2 (1Kamchatka State Technical University, РейорауЬузк-КатсМзку, 683003; 2Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation, Paratunka, Kamchatka, 684034)
The article proposes a new wavelet-based method, which allows to distinguish characteristic constituent and local features during magnetic storms in geomagnetic signal in an automatic mode. The local features carry substantial information about the intensity and the dynamic of the development of the geomagnetic perturbations; it allows us to detect sudden commencement because it could be an indicator of onset of the geomagnetic storm. The distinguished characteristic diurnal constituent of the geomagnetic signal describes the field variations in quiet time and its essential changes in periods of increasing geomagnetic activity. The method has been successfully tested on the model signals and the Earth's magnetic field data obtained at the observatory «Paratunka» (village Paratunka, Kamchatka region, Far East of Russia).
Key words: wavelet transform, magnetic storm, geomagnetic data.
Введение
Данная работа направлена на изучение временных вариаций магнитного поля Земли на примере ^-компоненты, выделения и анализа периодов повышенной геомагнитной активности. В периоды повышенной геомагнитной активности в регистрируемых магнитных данных наблюдаются особенности разных частотных спектров. Эти особенности имеют сложную внутреннюю структуру и определяются возмущенностью поля. Традиционные методы анализа временных рядов, основанные на процедурах сглаживания, позволяют изучить низкочастотные вариации параметров поля, но не дают информации о локальных изменениях, протекающих в физическом процессе, и их масштабных характеристиках [1]. При обработке данных наблюдается потеря важной информации.
В данной работе для изучения геомагнитных сигналов используется вейвлет-преобразование [2-5]. Эта математическая платформа имеет обширный словарь базисов различной формы и длительности, что дает возможность исследовать тонкие особенности структуры магнитных данных и выделить периоды повышенной геомагнитной активности [6]. Для отображения сигналов предложено использовать конструкцию вейвлет-пакетов, позволяющую идентифицировать характерные составляющие и разномасштабные локальные особенности [2-5]. Полученное на основе вейвлет-пакетов представление сигнала имеет многокомпонентную структуру, включающую аппроксимирующие и детализирующие составляющие. Аппроксимирующие составляющие описывают характерные особенности структуры данных, а детализирующие - локальные особенности [3, 6].
За меру интенсивности возмущений геомагнитного поля в вейвлет-пространстве принята амплитуда вейвлет-коэффициентов, что позволяет не только выделить возмущенные периоды, но и оценить интенсивность возмущений. Предложенная процедура обработки и анализа геомагнитных сигналов включает следующие взаимозависимые этапы: 1) выделение характерной составляющей; 2) идентификация локальных особенностей; 3) оценка интенсивности возмущений поля.
Описание метода
Структура разложения пространства Лебега L (R), порожденная ортогональным вейвлетом
®
W е L2(R), имеет вид [2-5]: L2(R) =YW. :=... ФГ Ф W0 ®W, Ф ..., где W. := clos 2 (W, „; n е Z).
j j L (R) \ j, )
jeZ
Функция f при этом представляется в виде суммы компонент:
Vf е L2(R)3\f(t) =... + v_i(t) + v0(t) + vi(t) +..., Vj eWj ,je Z. (1)
Каждая компонента v из (1) имеет единственное представление в виде вейвлет-ряда: V сjnWjn(t), где W ={W„}neZ - ортонормированный базис пространства W n - отсчеты
neZ
сигнала, j - масштабный уровень, t - время. Коэффициенты с. п определяются из соотношения с =(f,W ).
Конструкция вейвлет-пакетов [2-5] предполагает рекурсивное расщепление пространства Wj, которое называют деревом пространств вейвлет-пакетов: W° =®'=1WjFi. С каждым узлом
(, р1) двоичного дерева связывают пространство , которое допускает ортонормированный базис (2— и)} 2при движении вниз по дереву. Каждый узел-родитель делится на два ортогональных подпространства. С корнем дерева связывают пространство аппроксимации = V и = ф. , где ф^ - скэйлинг-функция. Объединение соответствующих базисов вейвлет-пакетов — и)} 2 1<ч/ определяет ортонормированный базис , что позволяет полностью восстановить функцию.
Не нарушая общности, будем считать, что исходный сигнал / имеет масштаб ] = 0. На основе конструкции вейвлет-пакетов он представляется в виде суммы компонент [3, 6]:
/о С) = /-т(<) ёл. (<)' (2)
где
gJt, f_m eWp , gA it) = £ d^n (0, fm (t) = £ (0, коэффициенты с^ = {c^и
Цлг определяются из соотношений с^и = (/о,Ф—тп), Л = (/о,ЧРи) . Составляющая /_т в соотношении (2) является аппроксимирующей, описывает характерные особенности данных, а - детализирующие составляющие, включают в себя приращения порядка 2—л и содержат информацию о локальных изменениях функции. Схема представления магнитного сигнала на основе соотношения (2) показана на рис. 1.
Рис. 1. Схема представления сигнала f в пространстве вейвлет-пакетов
Выделение характерной суточной составляющей. fxap оценивается преобразованием f с
помощью оператора решения D. Результирующая оценка есть /хар = Df0 . Наша цель - это минимизация погрешности оценки. Оптимизация оператора D зависит от априорной информации, имеющейся в нашем распоряжении. Поскольку распределение вероятностей мы не знаем, будем использовать минимаксную процедуру. Тогда цель состоит в минимизации максимального риска на множестве 0 , которому принадлежит f . Чтобы контролировать риск, вычисляется максимальный риск r(D, 0) = sup r(D, fxap), где r(D, f^ ) = E {|| f^ - Df0 Щ . Тогда минимальный риск -
Ухаре0
это нижняя грань, вычисленная по всем операторам D: гл (0) = inf r (D, 0). Эта точка зрения предлагает простейший путь привлечения априорной информации об f . Задача состоит в нахождении оператора D.
Характерной суточной вариацией магнитного поля считается средняя сглаженная кривая нескольких, наиболее близких к текущей дате, регистрируемых спокойных вариаций поля (обычно используется пять вариаций), называемая «Sg-кривой [1,7]. Выше показано, что в качестве оператора решения рассматриваются вейвлет-пакеты, где аппроксимирующей функцией является f_m ,
n
n
которая в вейвлет-пространстве определяется набором коэффициентов с°т = {с°т п . Тогда по-
1 I I2
грешность оценки логично определить как и_т = — Е с°тл - с, где с0^пп - коэффициенты
п=1
«^-кривой на масштабном уровне — т . Очевидно, погрешность оценки зависит от масштабного уровня разложения ] = — т .
Из описанного выше получаем следующий метод выделения характерной суточной составляющей геомагнитного сигнала:
1. Геомагнитный сигнал / делим на сегменты длины Т = 1440 отсчетов, что соответствует временному интервалу, равному одним суткам:
{/ (к )Г=1=({/ к )}=,{/ к )£тк )}==-—Т).
2. На основе вейвлет-пакетов выполняем отображение данных каждого сегмента на масштабный уровень ] = ] — 1, получаем представление данных в виде (2), где / (*) = Ес°пф°п .
п
3. Используя полученные коэффициенты аппроксимирующих компонент
к. I
, оцениваем погрешность и: и. = ^
Т
Е
О 0,Хп 2
с. — с.
],п ] п
4. Выполняем шаги 2, 3 до тех пор, пока уменьшается погрешность. Выбираем уровень разложения ] * , обеспечивающий наименьшую погрешность и ;п .
В результате получаем характерную составляющую геомагнитного сигнала, имеющую вид:
/*(*)=Е ]].
п
Оценим получаемый риск: Оценка погрешности вычисляется по зашумленным
данным /0 и оптимизируется минимизацией ) • Предполагая, что шум белый и значе-
ния шума не зависят от значений сигнала, в вейвлет-пространстве будем иметь [2]: /ф0у (* ) = /фу ,хар (* )+ % (* ) , где /фФу ={/0> ] >]р =( -4р, ] , ^ ={е, ] , % - белый шум с дисперсией о2. Так как Е {/0 (*) } = (*) + о2, то погрешность равна энергии шума. Она оценивается величиной о2.
Также отметим, что полученная оценка может быть улучшена путем определения «наилучшей» базисной функции ф.
Выделение локальных особенностей. Мерой магнитной возмущенности является амплитуда возмущения [7], определяемая как разность между наибольшим и наименьшим отклонениями на трехчасовом временном интервале регистрируемой вариации от характерной вариации
поля. В вейвлет-пространстве функция / представляется в виде комбинации разномасштабных составляющих (рис. 1), детализирующие составляющие содержат в себе информацию о величине отклонений от среднего уровня процесса в локальные моменты времени и, согласно методике Бартельса [7], характеризуют возмущенность магнитного поля. Поэтому амплитуда вейвлет-
преобразования детализирующей составляющей может служить характеристикой интен-
сивности возмущения на масштабе ] . Интенсивность возмущений в момент времени * = п на анализируемом масштабе у определим как:
Е
Е/о( ] ,п)
] ,п
(3)
Тогда выделение локальных особенностей функции, представленной в виде (2), может быть реализовано на основе применения пороговой функции
п=п
I х, если А - Т
Р (х) = <! ' , где Т - порог на масштабе " (4)
" 10, если х < Т. " '
^ II"'
к детализирующим компонентам ^ .
Результаты экспериментов с модельными сигналами. Модельные сигналы имеют структуру вида (2) и включают три компоненты: характерную суточную составляющую, разномасштабные локальные особенности и белый шум. Характерная суточная составляющая была построена как средняя кривая по пяти спокойным вариациям геомагнитного поля за текущий месяц [1, 6]. Вторая компонента представляла собой разномасштабные локальные особенности, в качестве которых были рассмотрены синусоида, моделированная функцией Гаусса, и треугольный импульс. Длительность локальных особенностей составляла от 2 до 30 отчетов. Добавленный в сигнал белый шум имел различную амплитуду и длительность. На рис. 2 в качестве примера показан построенный модельный сигнал и регистрируемая вариация магнитного поля Земли.
Рис. 2. Модельный сигнал (а) и регистрируемый геомагнитный сигнал за период с 17.04.2002 - 20.04.2002 гг. (б)
В табл. 1 в качестве примера представлены погрешности оценки характерной составляющей сигнала для различных масштабных уровней " , полученные для особенности вида синусоида, моделированная функцией Гаусса. Анализ табл. 1 показывает, что наименьшую погрешность обеспечивает шестой масштабный уровень.
Таблица 1
Погрешности оценки характерной составляющей сигнала
Длительность Амплитуда Амплитуда Масштабный уровень разложения
особенности особенности шума 4 5 6 7 8
20 10 5 0,83 0,61 0,71 1,7 5,97
20 20 10 1,7 1,11 0,96 1,75 5,96
20 30 15 2,57 1,58 1,19 1,81 5,98
20 40 20 3,3 1,95 1,37 1,94 6,05
Результаты экспериментов с данными магнитного поля Земли
Для апробации метода использовались минутные данные ^-компоненты магнитного поля Земли, полученные на обсерватории «Паратунка» (с. Паратунка, Камчатский край ). Анализ выполнялся с использованием базисных вейвлет-функций классов Добеши. Вейвлет-разложение
осуществлялось до шестого масштабного уровня. В процессе экспериментов были выделены характерные компоненты геомагнитных сигналов, представленные на рис. 3. Анализ полученных компонент подтверждает сложную нестационарную структуру характерной составляющей геомагнитного поля и ее существенную зависимость от состояния поля.
21 440
11.04.2002 12.04.2002 13.04.2002
Рис. 3. Черной линией отмечены характерные компоненты. Серой линией отмечены регистрируемые данные
На основе операции (4) в геомагнитных данных были определены компоненты вейвлет-пакета, содержащие локальные особенности и выполнена операция их вейвлет-восстановления. Полученная таким образом возмущенная составляющая геомагнитного сигнала представлена на рис. 4, б. Над магнитограммой на рис. 4, а приведены значения ^-индекса, характеризующего возмущенность магнитного поля. Сопоставление полученных результатов с ^-индексом показывает, что в периоды повышения геомагнитной активности в выделенной составляющей наблюдается существенное увеличение амплитуды флуктуаций, что подтверждает эффективность работы метода.
Рис.4. Результат обработки геомагнитных данных за период 22.05.2002- 29.05.2002: а - исходный сигнал; б - возмущенная составляющая сигнала
Выводы
Предложенный в работе метод позволяет в автоматическом режиме выделить в геомагнитном сигнале характерную составляющую и разномасштабные локальные особенности, формирующиеся в периоды магнитных бурь.
Апробация метода, выполненная на реальных данных, показала его эффективность, позволила проанализировать вариации магнитного поля и выделить локальные особенности, формирующиеся в сигнале в периоды повышенной геомагнитной активности. Полученные характерные составляющие геомагнитного сигнала позволили проанализировать вариации поля в спокойные периоды времени и их существенное изменение в периоды возрастания геомагнитной активности. Динамический анализ выделенных локальных особенностей позволил проследить изменения энергетических параметров поля и фиксировать моменты предстоящих бурь.
Работа поддержана грантом Президента Российской Федерации МД-2199.2011.9 и грантом РФФИ - ДВО РАН № 11-07-98514-р_восток_а.
Литература
1. Космическая среда вокруг нас / Н. Будько, А. Зайцев, А. Карпачев, А. Козлов, Б. Филиппов. - Троицк: ТРОВАНТ, 2005. - 231 с.
2. Mallat S. A Wavelet tour of signal processing. Пер. с англ. - М.: Мир, 2005. - 671 с.
3. Мандрикова О.В. Моделирование геохимических сигналов на основе вейвлет-преобразования. - Владивосток: Дальнаука, 2007. - 123 с.
4. Chui C.K. An Introduction to Wavelets. Пер. с англ. - М.: Мир. 412 с. - 2001.
5. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. Пер. с англ. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 464 c.
6. Мандрикова О.В., Соловьев И.С. Вейвлет-технология обработки и анализа вариаций магнитного поля Земли // Информационные технологии. - 2011. - № 1. - С. 34-38.
7. Bartels J., 1938. Potsdamer erdmagnetische Kennziffern, 1 Mitteilung. Zeitschrift für Geophysik, 14:68-78, 699-718.
