Метод оценки состояния магнитного поля Земли на основе многокомпонентной модели Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.6:550.38

МЕТОД ОЦЕНКИ СОСТОЯНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ НА ОСНОВЕ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ МОДЕЛИ

О.В. Мандрикова1, 2, И.С. Соловьев1, 2

1Камчатский государственный технический университет, Петропавловск-Камчатский, 683003;

2Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, с. Паратунка, Камчатский край, 634034

e-mail: oksanaml@mail.kamchatka.ru e-mail: kamigsol@yandex.ru

Предложена многокомпонентная модель геомагнитного сигнала, описывающая его характерную составляющую и локальные особенности, формирующиеся в периоды повышенной геомагнитной активности. На основе данной модели разработан способ оценки состояния магнитного поля Земли в автоматическом режиме. Рассматриваются три состояния поля: 1) поле спокойное; 2) поле

слабовозмущенное;

3) поле возмущенное. Оценка состояния поля выполняется путем оценки параметров компонент модели, определяющих сильные и слабые геомагнитные возмущения поля.

Ключевые слова: вейвлет-преобразование, магнитные бури, геомагнитные данные.

Method of Earth’s magnetic field state value based on multicomponent model. O.V. Mandricova1,2, I.S. Solovyev1,2 ^Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatsky, 683003; 2Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation, Paratunka, Kamchatka, 634034)

A multi-component model of the geomagnetic signal, that describes its characteristic constituents and local features, which are formed during periods of high geomagnetic activity, is proposed. Based on this model, a method of the automatic mode assessment of the Earth's magnetic field state is provided. Three states of the field are considered: 1) calm field, 2) weakly perturbed field, 3) the field perturbations. Field state value is performed by estimating parameters of the component models which define strong and weak geomagnetic field disturbances.

Key words: wavelet transform, magnetic storm, geomagnetic data.

Введение

Геомагнитные сигналы имеют сложную нестационарную структуру, что не позволяет использовать для их моделирования и анализа традиционные методы. Содержащиеся в данных локальные особенности имеют различную форму, длительность, амплитуду, формирующиеся в периоды повышенной геомагнитной активности [1-3]. Они характеризуют возмущенность поля и содержат важную информацию о характере развития магнитной бури. В работе предложена многокомпонентная модель геомагнитного сигнала, позволяющая описать его характерную составляющую и локальные особенности, возникающие в периоды магнитных бурь. Для решения задачи оперативного выделения особенностей, их анализа и оценки состояния магнитного поля Земли в работе предлагается метод, основанный на идентификации модели.

Предложенный метод и разработанные на его основе алгоритмы основаны на вейвлет-преобразовании [4-6]. После отображения геомагнитных данных в вейвлет-пространство их представление имеет многокомпонентную структуру, включающую характерную компоненту и детализирующие составляющие, описывающие возмущения поля. Рассматриваются три состояния поля: 1) поле спокойное; 2) поле слабовозмущенное; 3) поле возмущенное. Оценка состояния поля выполняется путем оценки параметров компонент модели, определяющих сильные и слабые геомагнитные возмущения поля. В качестве меры возмущенности поля в вейвлет-пространстве определен максимум амплитуд вейвлет-коэффициентов компонент разложения.

Описание метода

В работе [3] предложено представление геомагнитного сигнала в виде:

f () = f„(О + 1 ),

7возм.

где f (t) - характерная составляющая сигнала, описывающая регулярную часть поля,

возникающую из-за волнового излучения Солнца и лунных приливов в верхней атмосфере; разномасштабные локальные особенности, формирующиеся в периоды повышенной геомагнитной

активности, описывает возмущенная составляющая £ * Ло» (t); e(t) - шум, включающий

Лозм.

дрейфовые шумы и др.

Не нарушая общности, будем считать, что исходный дискретный сигнал f имеет разрешение j = 0. После отображения в вейвлет-пространство на основе конструкции вейвлет-пакетов он может быть представлен в виде:

fo(t)=f,,(t) + £ *■„ (t)+e(t)=£cp (t) + ££ j T„, (t)+££ djntjn (t), (2)

jвозм n jeI n i't1 n

где /хар.О) = £ Cj,nPj,n (t) - характерная составляющая сигнала, gjвозм.(t) = £ ^_,n (t) , -

n n

возмущенные составляющие (здесь и далее j е I обозначены как /юзм.), e(t) = ££W,,(t) -

jt1 n

шум, Vj={<j L 7- вейвлет-базис, pj = {cpjn\ - базис, порожденный скэйлинг-функцией,

коэффициенты CJn и dJn определяются соответственно из соотношений cjn =( f, ,

dj„ = (f, Vjr), I - набор масштабов, j - масштаб.

Идентификация характерной составляющей модели

Характерная составляющая f оценивается преобразованием f с помощью оператора

решения D. Результирующая оценка есть f = Df . Оптимизация оператора D зависит от

априорной информации, имеющейся в нашем распоряжении. Поскольку распределение вероятностей мы не знаем, будем использовать минимаксную процедуру. Тогда задача состоит в нахождении оператора D, обеспечивающего наименьший риск: r (0) = inf r(D, 0). В качестве

оператора решения рассмотрим конструкцию вейвлет-пакетов, где характерный ход описывает аппроксимирующая составляющая, определяемая в вейвлет-пространстве набором коэффициентов

Cj 4,1 ^ (см. (1)). Для оценки погрешности в качестве «функции-эталона» будем рассматривать

«Sg-кривую [1, 2], определяющую спокойный суточный ход геомагнитного сигнала. В этом случае погрешность аппроксимации в вейвлет-пространстве равна:

с. -с3д\ , (3)

У.п у.п\ ’ V /

где с = {Суп Ц - вектор коэффициентов аппроксимирующей составляющей сигнала,

с^ = Сч„ }и_^ - вектор коэффициентов аппроксимирующей составляющей «^-кривой. у - масштаб,

п - отсчеты, Т - число отчетов за сутки.

Как следует из (3), погрешность оценки зависит от масштаба у. Поэтому возникает задача определения масштаба у *, обеспечивающего наименьшую погрешность аппроксимации характерной составляющей / . Для решения данной задачи применим следующий алгоритм

идентификации характерной составляющей модели геомагнитного сигнала:

1) делим геомагнитный сигнал / на сегменты длиной T, равные одним суткам:

{г (г. Г,=^ ('. )1--,У ('. )!;=Т „..{г ('. Е,-Т);

2) на основе конструкции вейвлет-пакетов выполняем отображение «^-кривой и данных каждого сегмента на масштабы у = — \,—3 , где J - максимальный масштаб, определяемый длиной

сегмента T : J < log T . Получаем компоненты «Sg-кривой и данных каждого сегмента в виде: fj4 (t) = £ csfn§ Jn (t), fj (t) = £ clj >иф j n (t), I- номер сегмента;

n n

3) для каждого масштаба j выполняем вейвлет-восстановление компонент flj и fSq до масштаба j = j, получаем составляющие вида /0°у (t) = £ c0jyФс,п (t), fo°)Sq (t) = £ c0j),S>o,n (t) и в

n n

соответствии с (3) оцениваем погрешность U(j)l:

T ,2 „(j),l Jj),Sq 2

с — c

rj-i и ^__j | 0,n 0,n

n=l

4) выбираем уровень вейвлет-разложения j , обеспечивающий наименьший риск:

~(/ -1 = штшах^(Л‘; j I

5) получаем характерную составляющую геомагнитного сигнала, имеющую вид:

fj.it) = Ус/>Ф/> (г).

п

Полученная оценка может быть улучшена путем выбора базисной функции ф, обеспечивающей наименьшую погрешность аппроксимации.

Идентификация возмущенной составляющей модели геомагнитного сигнала

1. Выделение возмущенных компонент дерева вейвлет-пакетов. Мерой магнитной

возмущенности геомагнитного сигнала является так называемая амплитуда возмущения [7], определяемая на основе разницы между наибольшим и наименьшим отклонениями текущей вариации поля от значений характерной суточной вариации - «^-кривой. В качестве меры

магнитной возмущенности компоненты на масштабе j определим максимум амплитуд вейвлет-

коэффициентов компоненты:

Л=щН djn\ ^ (4)

где j - масштаб, п - отсчеты сигнала.

Для выделения возмущенных компонент дерева вейвлет-пакетов применим следующий критерий:

j е I, если т(Л') > т(Лк.) + в , (5)

где т - выборочное среднее, V - индекс возмущенной вариации поля, к - индекс спокойной вариации поля, £ - некоторое положительное число.

Предполагая, что величина Лк имеет нормальное распределение с некоторым средними цк и

” 2,к ^ I 2к 1_ а

дисперсией о , £ можно оценить как £ = Х[_а V о , где квантиль уровня - стандартного

2 2 2

нормального распределения.

Масштабы /возм , выделенные на основе условия (5), определяют возмущенные компоненты

модели и характеризуют возмущенность магнитного поля.

2. Оценка параметров уй,. , уй,. Л возмущенных компонент.

^ ^ ~ ■/возм.п >(jшaш,n)еIl, ~ Лозм.п УОжм.пЫ 1

Рассмотрим совокупность трех возможных состояний геомагнитного поля:

1) состояние А0 - поле спокойное;

2) состояние \ - поле слабовозмущенное;

3) состояние Ьг - поле возмущенное.

В соответствии с рассмотренными состояниями из соотношения (2) получим модель вида:

f(t) = f (t) + V й ^ (о + У й ^ (t)+е(0, (6)

У 4 7 -/харА / jвозм.,п /возм.пЧ/ jвозм.n jвозм.,п 7 У 7 ’ '

(/возм. ,п)е11 (/ возм. ,п )е12

где /харХО - характерная состaвляющaя, комшнента gвозм.,1(t) = £dwn?j„»n(t) описывает

О'возм, n)eI1

слабые геомагнитные возмущения, компонента gB03M 2(t) = £ djro3M,n?jroзм,п (t) описывает сильные

О'возм. ,n)eI2

геомагнитные возмущения, ? = v? 1 - вейвлет-базис, коэффициенты d = ( f, Y >,

’ ./возм I /юзм.,n ^neZ Ч-Т /возм,п V /возм,п/ ’

/возм - масштаб, и - отсчеты сигнала, Ip12 - наборы индексов, e(t) - шум.

В соответствии с рассмотренными выше возможными состояниями геомагнитного поля рассмотрим следующие состояния коэффициентов d „}■ h О - коэффициент спокойный,

- коэффициент слабовозмущенный, h - коэффициент возмущенный.

В качестве меры магнитной возмущенности коэффициента в соответствии с (4) логично определить его амплитуду. Тогда оценка параметров ]d. \ , ]d. и [ может быть

Л°зм,п -'Овозм.п)е11 /в>з“,n 'Овозм,п)е12

выполнена на основе применения пороговых функций F и F :

/ (t) = / (t) + £ F (d )? (t) + £ F (d. )? (t) + e(t)

У v / УгарЛ/ ^ Jвозм.,n /возм,пЧ/ 2V Jвозм. П /возм,пЧ 7 V 7

./возм.n ./возм. П

|0, если < T , или |X > T ,

—, / \ I II ./возм. ,1 I I ./возм. ,2

F1(x)=1 II’ (7)

Ix, если T ,< X < T ,

^ ./возм. ,1 I I ./возм. ,2

. . Го, если XI < T ,

F(x)=i . 8)

I X, если X > T ,

^ I I ./возм.,2

Путем критерия наименьших потерь могут быть определены пороги T.^ j и T.^ 2,

обеспечивающие наименьший риск.

Средние потери по апостериорному распределению состояний h ( коэффициентов могут

быть определены как

^ (X) = ££ П/Воз»Л/Р{^/Воз»,- Z ^з,П ,^./возм., П) ^ f ^ (9)

i=0

где П- функция п0теPь, Р/^- /dj^M,„, С/возм., n) e It} - апостериорная вероятность состояния

hj t, i, / - индексы состояний. Будем считать потери равными, тогда средние потери по

апостериорному распределению состояний hj t примут вид:

J (x) = £p{h /d. ,(/ ,n) e I,},

/возм.,- V /возм.,- /возм.,^ -/возм. ' / J ?

iw

где / ^ ,^./возм, П) e 1 } - апостериорная вероятность состояния h ’ i ’ l - индексы

состояний.

Выберем пороги T. , и T 9 обеспечивающие наименьшие потери J = £ J ,.(x) .

A A /возм.,1 /возм.,2 A /возм.,-

i

Для оценки состояния геомагнитного сигнала будем использовать следующее правило 1:

7. Сигнал имеет спокойное состояние h0, если все коэффициенты {d Л имеют состояние

^возм.0 ■

2. Сигнал имеет слабовозмущенное состояние h, если хотя бы один из набора

коэффициентов {d. [ имеет состояние h и коэффициенты {d. [ с

' Г /возм,п ^/возмПМ W,1 I Г /возм.,п Ч/возм.пЫ

состоянием hj 2 отсутствуют.

3. Сигнал имеет возмущенное состояние h2, если хотя бы один из коэффициентов {d „} имеет состояние h ■

/возм.,2

Состояние сигнала в свою очередь определяет состояние магнитного поля Земли.

В работе предложена обобщенная многокомпонентная модель геомагнитного сигнала и основанный на ней метод оценки состояния геомагнитного поля. Метод позволяет в автоматическом режиме выделить геомагнитные возмущения и оценить их интенсивность, и может быть использован для оперативного анализа регистрируемых геомагнитных данных и оценки состояния магнитного поля Земли.

Литература

1. Космическая среда вокруг нас / Н.И. Будько, А.Н. Зайцев, А.Т. Карпачев, А.Н. Козлов, Б.П. Филиппов. - Троицк: ТРОВАНТ, 2006. - 232 с.

2. Нечаев С.А. Руководство для стационарных геомагнитных наблюдений. - Иркутск: Ин-т географии СО РАН, 2006 . - 140 с.

3. Мандрикова О.В., Соловьев И.С. Вейвлет-технология обработки и анализа вариаций магнитного поля Земли // Информационные технологии. - 2011. - № 1. - С. 34-38.

4. Мандрикова О.В. Моделирование геохимических сигналов на основе вейвлет-преобразования. - Владивосток: Дальнаука, 2007. - 123 с.

5. Mallat S■ A Wavelet Tour of Signal Processing. - Acad. Press, 1999; Moscow: Mir, 2005.

6. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. - SIAM, 1992; Izhevsk: NITs Regulyarnaya i Khaoticheskaya Dinamika, 2001.

7. Bartels J., Heck N.H., Johnston H.F. The Three Hour Range Index Measuring Geomagnetic Activity // J. Geophys. Res. - 1939. - 44. - P. 411-454.