Метод возмущений в задачео деформации двухкомпонентного композита со слабо искривленной границей раздела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3 М. А. Греков

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 1 (№ 1)

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧЕ

О ДЕФОРМАЦИИ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО КОМПОЗИТА СО СЛАБО ИСКРИВЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА*

Широкое распространение на практике получили всевозможные слоистые структуры, образованные искусственным или естественным путем в результате адгезии. К ним относятся различные многослойные композиты, применяемые во многих отраслях техники, включая электронную и оптическую индустрию. Защитные и декоративные покрытия, а также поверхностные слои, появившиеся при окислении в процессе эксплуатации, относятся к элементам слоистых структур.

Слабым звеном таких структур является недостаточная прочность соединения различных материалов из-за наличия дефектов поверхности раздела, в частности искривления этой поверхности [1]. На определенном масштабном уровне межфазная граница по разным причинам не является плоской. В ряде случаев рельеф поверхности раздела формируется под воздействием процесса образования покрытия при окислении [2] или плазменном напылении [3, 4]. При некоторых условиях межфазная граница имеет тенденцию становиться неплоской в силу стремления к термодинамически равновесному состоянию, обеспечивающему минимум суммы энергии деформации и поверхностной энергии [5, 6]. Такую же тенденцию к стабилизации рельефа поверхностного слоя демонстрируют предварительно отполированные поверхности полупроводниковых кристаллов (кремний и германий) или аморфных сплавов на основе железа и никеля, подвергшихся силовой нагрузке [7].

С одной стороны шероховатость поверхности раздела сред увеличивает прочность соединения, с другой, искривление поверхности является источником неравномерности напряженно-деформированного состояния, что создает предпосылки к образованию трещин и развитию процесса отслоения [1, 8]. Последнее обстоятельство объясняет появление ряда работ, посвященных анализу локального распределения напряжений на искривленной поверхности раздела материалов [1, 5, 9-11] (см. также обзор [12]).

В данной работе методом возмущений строится решение плоской задачи теории упругости о деформации двухкомпонентного неограниченного тела с границей раздела, мало отличающейся от плоскости. Аналогичный подход был использован в работе [13] для полуограниченного тела со слабо искривленной границей. Приводится алгоритм нахождения любого приближения. В первом приближении исследована концентрация напряжений у локально искривленного участка границы раздела параболического вида в зависимости от упругих характеристик материалов. В силу малости амплитуды искривления полученные результаты справедливы, согласно [1], и для тел с тонкими покрытиями, толщина которых в три раза и более превышает амплитуду искривления межфазной границы.

Рассмотрим двухкомпонентное упругое тело, находящееся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. За исключением достаточно малого слабо искривленного участка межфазная поверхность данного композита является плоской. Это позволяет сформулировать соответствующую двумерную задачу

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-01156) и совета по грантам при Президенте РФ по поддержке молодых ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2180.2003.1).

© М. А. Греков, 2004

теории упругости для двухкомпонентной плоскости комплексного переменного г = Х\ + %х2, состоящей из двух полуограниченных областей = {г : Ие (г — £) = 0,

(—1)к 1т (г — С) > 0} (к =1, 2) с общей границей Гс = {г : г = £} (см. рис. 1).

Рис. 1.

Граница Гс задана уравнением

Z = x1 + г^2 = x1 + ieg(x{),

(1)

где

g<x1)={0.(x1)' !x1 ! t[ ‘>0-«1.

Функция f (xi) непрерывна и \f (xi) | < l, \ f'(x\) | < M (M = const). На Гс имеют место условия идеального сцепления

z Є Гс,

(2)

где

u± = lim u(z), а± = lim а(z), u = u1 + iu2, а = аnn + іаnt,

z—Z±i0 z—

П\,П2 — компоненты вектора перемещении соответственно вдоль осей XI И Х2 ; апп, апг — нормальное и касательное усилия на площадке с нормалью п (в (2) вектор п перпендикулярен к Гс в точке £, а направление вектора 1 совпадает с положительным направлением касательной к Гс).

На бесконечности заданы напряжения а^ и угол поворота и:

lim аij (z) = а j, lim w(z) = , z Є ^h.

I z I —>^o I z I —>^o

(З)

Заметим, что на рис. 1 изображены действующие на бесконечности главные усилия ак™, ак™ (к = 1, 2).

Согласно [14] напряжения и перемещения в каждой области Пк выражаются через две голоморфные в Пк функции Фк, Фк при помощи равенства

С(г) — г]кФк(г) + Фк(%) + г^к(г) + ^к(^) е ю, г £ Ик, (4)

где

С(г) = { а(z), Пк = 1

у—2^к(Ли/йг), Пк = —Кк,

а — угол между вектором 1 и осью Х1, отсчитываемый от оси Х1 против часовой стрелки; Кк = (3 — ь'к)/(1 + ^к) при плоском напряженном состоянии, Кк =3 — 4^ при плоской деформации; ь'к и Цк — соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига среды Пк.

Черта сверху означает комплексное сопряжение, штрих — производную по аргументу. _

Введем новые функции Ф к (г) (к = 1, 2), голоморфные в областях &к = {% : % € 0^} с общей границей Гс = {г : г = £}:

Фк(%) — — Фк(%) ~ 2'Ф>к(2:) ~ % € &к-

Тогда соотношение (4) преобразуется к виду

С(г) = Г]кФк(г) + Фк{%) — + Фк(%) — (г — г)Ф'к(г)^е 2г°1 г € &к- (5)

В силу второго равенства в (2) и соотношения (5) функции Фк , определенные в Пк, являются непрерывным продолжением одноименных функций из Пк через прямолинейные участки границы Гс.

Учитывая (3), предельные значения функций Фк на бесконечности

а°к = Ііт Фк (г), г Є %, к, і = 1, 2

\г\—>-оо

находим из (5) при \г\ ^ ж, а = 0 и а = п/2:

• 1^> „2 „1 ___ • 2оо

а22 — *о12 , а2 — а2 = о22 — *о12 ,

кк

,*_* 11 22 к=12

(6)

4 Кк + 1

Выполнение условий (2) на бесконечности приводит еще к двум равенствам, связывающим коэффициенты а°к

^1(к1а1 + а2) = ^2(к2а2 + а2), ^ - іа\2° = аІ2° - (7)

Перейдем в (5) к пределу при г ^ £ Є Гс, считая, что а ^ ао, где ао — угол между

положительным направлением касательной к Гс в точке £ и осью Х1. Тогда условия (2)

при учете очевидного равенства

,-=•« = 1 - -ІМїіі- (8)

1 + гєд'(х1)

1

2

аа

1

1

приводят к двум краевым условиям относительно функций Фк, которые запишем в виде следующего одного равенства:

™2Ф1(С) + т1Т?2ф2(С) ~ т2??1Ф1(С) + т1ф2(С)

—2%ед(х1) Ш2Ф1 (с) — т1Ф2+(С)

2%ед'{х1)

1 + гед'(х1)

^гФ^С) - »тнФ2(С) + т2Ф1(С) - т!Ф2(С)

—2%ед(х1) т2Ф[ (С) — т,1Ф2+(С)

= 0, С € Гс

(9)

где

Ф±(С) = Пт Ф(г), С € Гс V С € Гс.

Равенство (9) отвечает первому условию в (2) при значениях тк = Цк, Пк = —Кк (к =1, 2) и второму при тк = Пк = 1.

Представим функции Фк (г) в виде разложений по степеням малого параметра е:

__ е'п

®к{г) = Е —тФкп(г), к =1,2, п!

п=0

(10)

а граничные значения функций Фкп(г) и их производных на Гс и Гс — в виде соответствующих рядов Маклорена в окрестности Х2 = 0, рассматривая переменную Х1 как параметр

Ф-(С) = Е ФЫ) = Е т!

т=0 т=0

(*&)"* Ф^„(С) = Е ^~^2'>т^(т)±

т=

! кп

:(х1).

(11)

т=0

При учете (10) и (11) и разложения

1 +

~тг = Е (—*£2) , 1£21 < 1

т=0

соотношение (9) преобразуется к виду

(( —1)т т2Ф1П )(х1) + т1П2Ф2П )(х1 ^ —

£п у-' [}£д(х\)) п! т!

п!

п=0 т=0

— (т2П1Ф1П )(х1) + ( —1)тт1Ф2П )(х0) —

-2(-1 Ггед{Х1) (т2Ф(“+1)-(х1) -т1Ф^+1)+(х1)) -

1

— 2( —1)т*ед/(х1) | ( — Ъед'(х1)^ | X

\3=0

(т2Ф(“+1)-(Ж1) _ т1Ф^+1)+(х1) ) ^

0,

х1 € (—те, +те).

Приравнивая в (12) коэффициенты при еп (п = 0, 1, ...) нулю, приходим к беско-

нечной последовательности краевых задач Гильберта

(т-2Ф1п(х1 )+тщ2Ф2п(х1 )) — (т2П1Ф1п(х1 )+т^2п(х1)) = Нп(х1),

х1 € (—те, +те),

где при к = п — т, п =1, 2, ...

, ч к Г

к+

(13)

к!

—(т2П1 ф&(х1)+(—1)к т1Ф2т (х1^ —

(( —1)к т2Ф1т (х1)+т1П2 Ф2т (х0) —

к™. <Ъ(к) I

-2(-1 )к-1к (т2ф[к^-(х1)-т1ф^+(х1))

—2(—1)к 1

1<0<к

{1д{хл))к 3 {к-3)\

т2Ф1т з) (х1)—т1(2к—2+1)Ф2т э) (х1 л +

+(т2(2к—2+1)Ф1кт э) (х1)—т1Ф2т э)(х1)

(14)

В нулевом приближении, очевидно, Нэ(х1) = 0. Заметим, что так как д(х1) = 0 при |Х11 > 1, то Пт Нп(х1) = 0 для всех п.

Х\ —

Введем обозначения

{Нщ(х1), тк = Пк = 1,

(к = 1, 2).

Н2п(х1), тк = Цк, Пк = —Кк Тогда краевое условие (13) может быть записано в виде следующих двух

(м2Ф1п(х1) — М1К2Ф2п(х1^ + (м2К1Ф1п (Х1) — ^1 Ф2п(х1^ = Н2п(хД

(15)

(16)

X

X

где

^Ф1п(х1 ) + Ф2п(х1^ — ^Ф1п(х1 ) + Ф2п(х1^ = Н1п(х1). (17)

Согласно [14] решение задачи (16), (17) имеет вид

' + Мг) 2

М2 + Я-1^2 +а1«’ ^ > и,

Ф1п(г) = { (18)

И11п{%) ~ , 1 Ттп г <г О

. Щ+Ц2Х1 + 1п’ ^П12<и,

Ф2п(г) = —Ф1п(г)+^п(г)+^^, (19)

+ ™ +™

ш = ^~ I М?) = 2^ / <Й> (20)

а 10 = «!, С = + а2, а^п = Сп = 0, п =1, 2, ... , (—1)^ 1т2 > 0.

Пример. В качестве примера рассмотрим локальное, симметричное относительно оси Х2, искривление границы Гс, которое описывается функцией

/ 2 \ 2

/(*1) =*(!-£) > Ы<г- (21)

Полагаем, что на бесконечности действуют только продольные напряжения, т. е.

„.кж / п ~-кж __ „.коо _ ,оо _ п 7„ _ 1 о

а11 = 0, а22 = а12 = шк = 0, к = 1, 2.

Ограничимся далее первым приближением, при помощи которого оценим экстремальные значения напряжений аи на искривленном участке границы раздела. Согласно (6), (14) и (15), имеем

Ни = гА^/(Х1), Н21 = ъА2//(Х1), (22)

где

1 2 1 2 А1 = ац — ац , А2 = М2аЦ — М1а11 . (23)

При этом, в силу первого условия в (7)

1то _ М1(к2 + 1) _2оо

11 — —77.—ГТТ "И

Ц2(К1 + 1)

Учитывая (22), из (20) находим

(24)

2А 2А

/1(") = з^^ Мг) = з^р{г)' (25)

где

Р{г) = Зф2 - I2) 1п + Ыг2 - 413.

Для простоты будем считать, что коэффициенты Пуассона обоих материалов совпадают и равны VI = ^2 = 0, 25. Тогда при плоской деформации к\ = к = 2. Обозначив М1/М2 = г, с учетом (22)-(25) из (18) и (19) получим соответственно

I о 1 , 1т г > 0,

*■.<;> = <“>

. гТ"2’ Imz<0’

2(г — 1)а2то

Ф21 м = -Фи (*) + 1 37г/з 11 ЭД- (27)

Так как в нашем случае, согласно (6), (18) и (19), Фю(-г) = а] = а2 = а]]0 / 4, Ф2о(г) = а2 = а2 = а]\ /4, то в первом приближении с точностью до величины порядка £ получаем

Фф) = ^ + еФц(г), Ф2(г) = ^ сг2~ + еФ21(г). (28)

По формуле (5) при а = ао, щ = 1 с использованием соотношений (26)—(28) Е. И. Сдобниковой были исследовано поведение напряжений аи вдоль искривленного участка межфазной границы Гс при различных значениях параметра относительной жесткости материалов г. Экстремальные значения этих напряжений приведены в таблице. Поскольку напряжения аи на Гс разрывны, их предельные значения сверху обозначены через а++, а снизу — через а—. При этом принято £ = 0,1.

Интересно отметить, что в первом приближении напряжения аи на Гс совпадают с продольными напряжениями ац.

Ml М2 а.. . tt mm _1оо °П ®tt max _1оо °П <т+ . tt mm 2оо °П (J + tt max _2оо °и

0 — — 0,793 1,340

1/10 0,860 1,240 0,839 1,264

1/4 0,896 1,168 0,888 1,184

1/3 0,915 1,138 0,908 1,150

1/2 0,942 1,094 0,940 1,098

2 0,903 1,060 0,907 1,057

3 0,850 1,092 0,859 1,086

4 0,816 1,112 0,830 1,104

10 0,736 1,161 0,764 1,144

00 (М2 = 0) 0,660 1,207 — —

В предельных случаях при ці = О и Ц2 = О граница раздела Гс становится границей верхней (П2) или нижней (Пі) области соответственно, а локальное искривление (21) имеет в первом случае вид выемки, во втором — выступа. Естественно, что напряжение att max, приведенное в таблице при ці/^2 = О, совпадает с результатом, полученным в работе [13] для выемки, форма которой определена функцией (21).

Summary

Grekov M. A. The perturbation approach for a two-component composite with a slightly curved interface.

A solution of the 2-D problem for a two-component elastic body with a slightly curved interface is derived by the perturbation approach. The algorithm is generally carried out for the computation

of any-order solution. The first-order perturbation analysis of stress concentration is presented for a case of a local symmetric curvature.

Литература

1. Gunnars J., Wikman B., Hogman S. Effect of non-planar interfaces in layered materials subjected to residual stress // On fracture of layered materials / Ed. Jens Gunnars. Lulea, 1997. 1-33.

2. Liu Y.Y., Nateso K. The adherence of nickel oxide on nickel during high-temperature oxidation // Mat. Res. Soc. Symp. Proc. Vol. 119. Adhesion in Solids. Reno, 1988. P. 213-221.

3. Steeeper T. J., Rotolico A. J., Nerz J. E. et al. Experimental studies of air plasma sprayed alumina coatings // ASME Winter Annual Meeting, MD-Vol. 44, Ceramic Coatings. New Orleans, 1993.

4. Пух В. П., Байкова Л. Г., Звонарева Т. К. и др. О возможности защиты высокопрочного стекла алмазоподобным покрытием // XIV Петербургские чтения по проблемам прочности. СПб., 2003. C. 217-218.

5. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces // Int. J. Solids Struct. 1991. Vol. 28. P. 703-725.

6. Kung H., Chang H., Gibala R. Interfacial structures of MoSi2 —MogSie eutectic alloys // Mat. Res. Soc. Symp. Proc. Vol. 238. Structure and Properties of Interfaces in Materials. Boston, 1992. P. 599-604.

7. Лукъяненко А. С., Бетехтин В. И., Горобей Н. Н. и др. Формирование рельефа механически деформируемой поверхности как канал релаксации упругой энергии // XIV Петербургские чтения по проблемам прочности. СПб., 2003. C. 171-172.

8. Evans A. G., Hutchinson J. W. Effects of non-planarity on the mixed mode fracture resistance of bimaterial interfaces // Acta Metall., 1989. Vol. 37, N 3. P. 909-916.

9. Gunars J., Alahelisten A. Thermal stresses in diamond coatings and their influence on coating wear and failure // Surface and Coating Technology, 1996. Vol. 80. P. 303-312.

10. Lee S. J. Thermal induced stresses in coating layer on prismatic bars of orthotropic composite materials // ASME Winter Annual Meeting, MD-Vol. 44, Ceramic Coatings. New Orleans, 1993. P. 217-236.

11. Evans A. G., He M. Y., Hutchinson J. W. Effect of interface undulations on the thermal fatigue of thin films and scales on metal substrates // Acta Materialia, 1997. Vol. 45. P. 3543-3554.

12. Akbarov S. D., Guz A. N. Statics of laminated and fibrous composites with curved structures // Appl. Mech. Rev. 1992. Vol. 45. P. 17-34.

13. Греков М. А., Макаров С. Н. Метод возмущений в плоской задаче о полуограниченном упругом теле со слабо искривленной границей // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Под ред. К. Ф. Черныха. 2002. Вып. 5. C. 31-44.

14. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб., 2001.

Статья поступила в редакцию 20 мая 2003 г.