CC BY
23
УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2008, вып. 1
М. А. Греков, С. Н. Макаров
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ НА ПЕРИОДИЧЕСКИ ИСКРИВЛЕННОЙ МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
1. Введение. Слабым звеном слоистых структур является недостаточная прочность соединения различных материалов из-за наличия дефектов межфазной поверхности, к которым, в частности, относится ее искривленная форма [1]. С одной стороны, шероховатость межфазной поверхности увеличивает прочность соединения, с другой -искривление этой поверхности является источником концентрации напряжений, что создает предпосылки к образованию трещин и развитию процесса отслоения [1, 2]. Такое обстоятельство объясняет появление ряда работ, посвященных анализу распределения напряжений на криволинейной поверхности, соединяющей различные материалы [1, 3-6] (см. также обзор [7]).
Данная работа продолжает исследования, начатые в [8], где методом возмущений построено решение плоской задачи теории упругости о деформации двухкомпонент-ного неограниченного тела с волнистой периодической межфазной границей и в первом приближении получены зависимости продольных напряжений на слабо искривленной границе, описываемой гармонической функцией. Вместе с тем наибольший интерес представляет зависимость концентрации напряжений на межфазной границе от ее геометрии. Этому вопросу и посвящена настоящая работа. На основе построенного в [8] решения для нескольких периодических форм слабо искривленной межфазной поверхности исследуется влияние кривизны поверхности и отношения упругих модулей соединенных материалов на экстремальные значения продольных напряжений при растяжении вдоль поверхности.
2. Постановка задачи. Рассмотрим двухкомпонентное упругое тело, находящееся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. Считаем, что межфазная поверхность данного композита имеет форму, описываемую периодической функций по переменной Х\ с амплитудой, малой по сравнению с половиной периода а. Таким образом, имеем соответствующую двумерную задачу теории упругости для двухкомпонентной плоскости комплексного переменного г = х\+1x2, состоящей из двух областей Пк = {г : (-1)к1т (г - С) > 0, 11е (г - С) = 0} (к = 1, 2) с общей границей Г = {г: г = С} (рис. 1).
Граница Г задана уравнением
с = XI +ге/(х1), (1)
где
/(Х1) = 2асо3ш -а, £«1, N=1,2,....
Значению N = 1 отвечает косинусоидальная форма границы. При увеличении параметра N кривая Г принимает все более заостренную форму вблизи точек х1п = 2жпа (п = 0, ±1, ±2, ...), а на остальной части сглаживается. На рис. 1 показана кривая Г при N = 2.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00274).
© М. А. Греков, С. Н. Макаров, 2008
1=0 <y.„ -
Рис. 1. Модель двухкомпонентного композита с криволинейной межфазной границей.
На границе Г имеют место условия идеального сцепления, т. е. непрерывность перемещений и усилий
и'=^и+, cr~=cr+, zer. (2)
Здесь введены обозначения: и± = lim u(z), er* = lim cr(z), и — и\ + iu?, а —
г->С±гО 2-><±г0
(тпп + iant; U\,U2~ компоненты вектора перемещений соответственно вдоль осей х\ и Х2; &пп, &nt ' нормальное и касательное усилия на площадке с нормалью п (в (2) вектор п перпендикулярен к Г в точке а направление вектора t совпадает с положительным направлением касательной к Г, образующей угол Qo(C) с осью х\, отсчитываемый от оси х\ против часовой стрелки).
Вдали от границы в общем случае заданы усилие а и угол поворота и>:
lim ег(г) = акоо(а), lim u{z) = z G ük. (3)
|Imz|—юо |1ш z| —юо
Связь усилия а с компонентами напряжений Oij в декартовой прямоугольной системе координат х\, Х2 определяется на бесконечности по формуле
г>„к<х>/„ N _ о I, • fcoo\ _ _оо , _fcoo , /_оо о.'—ОсЛ „ — 2ia / л\
1а (а) = 2 [<тпп +10п1 ) = (722 +<Тц -¿га12)е ■ I4)
Заметим, что <т1оо(0) = сг2оо(0) = <т°°(0).
3. Основные соотношения. Согласно [8, 9], напряжения и перемещения можно выразить в области йк через функции Ф^, голоморфные вне области П, ограниченной кривой ГиГ = и содержащей ось Х\:
G(z) = щФк(z) + фф) - (Фk(z)+ Ф^г) - (г - z)WJz))e~2ia, z G flk, (5)
где
n( s / % = 1.
= \ o„ du
-2цк^, r,k = -зек,
а - угол между вектором t и осыо отсчитываемый от оси х\ против часовой стрелки; Нк = (3 —г^)/(1 + 1Ук) при плоском напряженном состоянии, щ = 3 — 4иь при плоской деформации; Рк и Цк - соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига среды Пк-Черта сверху означает комплексное сопряжение, штрих - производную по аргументу.
Равенство (5) следует рассматривать как приближенное. Оно является точным для прямолинейной границы Г.
В соответствии с методом возмущений комплексные потенциалы Фк{г) вне области П ищем в виде разложений по степеням малого параметра е:
оо
£
= Х^ФыМ, А = 1,2. (6)
п=О
Согласно [8], коэффициенты разложений (6) в нулевом и первом приближениях для функции / в (1) определяются соотношениями
/о12, 1п12>0, Г022, 1шг > О,
= < Фзо(г) = < (7)
оц, 1т2;<0, о21, 1тг<0,
Фц(г) = <
' П (х2 +1)Е2 - (Ц2 +М1Х2)Е!|
5(г), 1тг>0,
5(-г), < О,
Ф21(г) = _ф11(г) + /1(2). (8)
В (7) и (8) используются следующие обозначения:
акк - аы = сг% - ia?2, акк = ^ + ^ + г ,
4 + 1
^ = + (722 - 2а°°{0), А, I = 1, 2, А; ^ /,
ЛГ-1 .
= тС2Дг ехР ——. т = И -з, С'п = —-—,
Т ( \ = [5(г)' 1т*>0'
^ 22ЛГ-1 Ц-г), 1тг < 0.
4. Растяжение плоскости вдоль межфазной границы. Особый интерес представляет изменение продольных напряжений <тц на межфазной границе, так как ее искривленность является причиной неравномерного распределения этих напряжений и их концентрации в отдельных точках границы. Поэтому полагаем, что вдали от границы действуют только продольные усилия ст^ и которые удовлетворяют
соотношению, вытекающему из первого условия в (2) и нулевого приближения:
Ш(х2 + 1)<г?Г = + (9)
После подстановки соотношений (6)-(8) в (5) при г)\ = т)2 = 1, а = 0 и а = 7г/2 можно получить выражения для всех компонентов напряжений ег^ с точностью до е в виде
о13(г)=а%{г)+е<у\^г). (10)
Здесь сг^ = (711° при г € Г!а-, ст°2 = а22 = 0> ~ решение соответствующей задачи в первом приближении, определяемое по формуле (5) при замене функций Фд. на Ф^. Для продольных напряжений стц выражения (10) приведены в [8] в общем случае для любого N. Напряжения а^ на границе Г находятся из (10) при г —> ( ± ¿0.
Для анализа влияния формы межфазной границы и относительной жесткости композита А = Е2/Е1 (Ек - модуль Юнга среды на распределение напряжений стц вдоль границы и их концентрацию были проведены вычисления этих напряжений при ¿V = 1, 2, 3 и £ = 0,05. Коэффициенты Пуассона взяты равными ^ = и2 = 0,25. В этом случае — х2, и из (9) вытекает более простая связь между напряжениями, действующими вдали от границы в каждой из сред, а именно сг^ = Асг^.
Рис. 2. Распределение приведенных напряжений сг^/сг^^0 {1,2) и ст11/а\^° (3, 4) на межфазной границе при относительной жесткости композита А = 10 (1, 3) и А = 0, 25 (2, 4) в случае N = 1 (а), N = 3 (б) и е = 0, 05.
На рис. 2 представлены графики изменения напряжений стц на Г в пределах одного периода, построенные в первом приближении при гармонической форме границы (ТУ = 1) и при ТУ = 3 для двух случаев соединения материалов А = 10 и А = 0,25. На них видно, что максимальные напряжения стц достигаются на дне впадины в более жестком материале (точки = 0 при любом ТУ и х\ = ±а при ТУ = 1) и у подошвы выступа более жесткого материала (х\ = ±0,545 а при ТУ = 3).
Наибольшая концентрация напряжений стц имеет место при х\ = 0. Можно показать, что в соответствующей точке кривой Г кривизна т(х\) достигает максимального значения, равного т(0) = то = еТУя-2/а. Положение двух других точек Г, в которых стц достигает максимума при А < 1, зависит от параметра ТУ. С увеличением ТУ эти точки приближаются к точке с абсциссой Х1 = 0. Так, при N — 2 абсциссы данных точек равны XI = ±0,667 а.
В действительности концентрация напряжений на границе той или иной области определяется максимальным значением окружных напряжений, которое они принимают в точках границы с максимальной кривизной. Напряжение же стц совпадает с
окружным напряжением стп на Г только при Х\ = 0 и х\ = ±о, поскольку в соответствующих точках касательная к Г параллельна оси х\. Покажем, что всюду на Г напряжения сгц и а и отличаются друг от друга на величину порядка е2.
Усилие в любой точке ( £ Г на площадке, касательной к Г в этой точке, определяется формулой, аналогичной (4):
2 {(Тип + га,и) = <722 + 0-ц + [°22 - егп - 2iax2) е~2га°.
Заменив в последнем равенстве ао на 7г/2 + «о, получим
2 (crít -iont) = а22 + ап -((Т22-сгц -2iaí2)e~2iao. (11)
Так как tgao = £/'(xi), то из (11) следует
(1 + е2/'2) а„ = ап + e'2fno22 + ef'ol2.
Отсюда на основании (10) приходим к равенству
att(0=an(0 + O(e2). (12)
Необходимо отметить, что в двух точках, в которых (Гц имеет максимальные значения при Л < 1, кривизна кривой Г не максимальна. Точками локальных максимумов кривизны т{х\) (кроме точки х\ = 0) являются Х\ = 0,719а при N = 2 и Xi = 0,608а при N = 3, в которых г = 3,125 е/а и т = 3,558 е/а соответственно. Как показали вычисления, значения сгц в этих точках отличаются от максимальных меньше, чем на 0,3%, при любом Л < 1 и е = 0,05. Таким образом, учитывая (12), можно считать, что в пределах погрешности первого приближения максимальные значения а и и сгц совпадают и коэффициентами концентрации напряжений на межфазной границе являются величины
К~ = тах К+ = тах (13)
_Лоо ' гт
Коэффициенты К± в (13) приведены в таблице для трех форм межфазной границы и разных значений относительной жесткости композита А. При А > 1 коэффициенты
Коэффициенты концентрации напря^ жений на межфазной границе
А N = 1 N = 2 N = 3
к- К+ К~ К+ К~ 1<+
0 1,31 - 1,24 1,24 --
1/10 1,24 1,22 1,18 1,16 1,19 1,17
1/4 1,17 1,16 1,13 1,12 1,13 1,12
1/3 1,14 1,13 1,10 1,10 1,10 1,10
1/2 1,09 1.09 1,07 1,07 1,07 1,07
2 1,09 1,09 1,13 1,14 1,16 1,17
3 1,13 1,14 1,20 1,21 1,24 1,26
4 1,16 1,17 1,24 1,26 1,30 1,32
10 1,22 1,24 1,33 1,37 1,41 1,46
оо - 1,31 - 1,47 - 1,59
к1 1,5 -1,4
1,3
1,2 1,1
Рис. 3. Коэффициенты концентрации напряжений К^ на дне впадины в более жестком материале в зависимости от радиуса кривизны г при Л = 10.
0,9
J—1—I—L
0 0,4 0,8 1,2 1,6 CIZ
К± вычислены в точке Х\ = 0. Как и следовало ожидать, наибольшая концентрация напряжений имеет место на дне впадины, когда Г является границей среды при отсутствии среды Пх (Л —> оо).
Заметим, что в работе [10] была получена приближенная степенная зависимость коэффициента концентрации напряжений от радиуса кривизны на дне впадины при локальной форме искривления границы полуплоскости. Используя данные, приведенные в таблице, и соответствующие значения кривизны т при Х\ = 0, можно построить аналогичные зависимости коэффициентов К± от т при различных Л. Для этой цели более подходящей является экспоненциальная зависимость вида
Коэффициенты А±, В±, С± в (14) зависят не только от того, с какой стороны кривой Г вычисляется коэффициент концентрации, но и от величины Л. Так, при Л = 10 и А~ = -0,5, В- = -1,11, С~ = 1,5, А+ = -0,52, В+ = -1,35, С+ = 1,52 аппроксимация (14) дает погрешность менее 1%. Кривые, построенные по формулам (14), приведены на рис. 3.
Grekov М. A., Makarov S. N. Stress concentration at the periodically curved interface.
Based on the first order perturbation solution, the distribution of stresses along the interface is obtained. The stress concentration factors are given in relation to the relative strength of composite and maximum curvature of the interface.
Литература
1. Gunnars J., Wikman В., Hogman S. Effect of non-planar interfaces in layered materials subjected to residual stress // On fracture of layered materials / Ed. by Jens Gunnars. Lulea: Lulea University of Technology, 1997. C. 1-33.
2. Evans A. G., Hutchinson J. W. Effects of non-planarity on the mixed mode fracture resistance of bimaterial interfaces // Acta Metall. 1989. Vol. 37, N 3. C. 909-916.
3. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces // Intern. J. Solids Struct. 1991. Vol. 28. C. 703-725.
4. Gunars J., Alahelisten A. Thermal stresses in diamond coatings and their influence on coating wear and failure // Surface and Coating Technology. 1996. Vol. 80. C. 303-312.
5. Lee S. J. Thermal induced stresses in coating layer on prismatic bars of orthotropic composite materials // ASME Winter Annual Meeting, MD-Vol. 44. Ceramic Coatings. New Orleans, 1993. C. 217-236.
= A±eB±aT + C±.
(14)
Summary
6. Evans A. G., He M. Y., Hutchinson J. W. Effect of interface undulations on the thermal fatigue of thin films and scales on metal substrates//Acta Materialia. 1997. Vol.45. C. 3543-3554.
7. Akbarov S. D., Guz A. N. Statics of laminated and fibrous composites with curved structures // Appl. Mech. Rev. 1992. Vol. 45. C. 17-34.
8. Греков M. А., Макаров С. H. Двухкомпонентная упругая среда с волнистой межслойной поверхностью // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Под ред. К. Ф. Черныха. СПб., 2003. Вып. 7. С. 275-285.
9. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 192 с.
10. Греков М. А., Макаров С. Н. Концентрация напряжений у слабо искривленного участка поверхности упругого тела // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 2004. № 6. С. 53-61.
Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.
Статья принята к печати 11 ноября 2007 г.
