Силовые и энергетические характеристики упругого поля у вершины криволинейной межфазной трещины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Вестник СГ16ГУ. Сер. 10, 2006, вып. 3

М. А. Греков, Ю. В. Малъкова

СИЛОВЫЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРУГОГО ПОЛЯ У ВЕРШИНЫ КРИВОЛИНЕЙНОЙ МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ *)

1. Введение. Оценка адгезионной прочности слоистых структур, а также неоднородных материалов блочной структуры непосредственно связана с анализом поведения так называемых межфазных (интерфейсных) трещин (interfacial cracks), или трещин, расположенных на границе раздела двух сред. Первым такую трещину рассмотрел Вильяме [1] в 1959 г. Пристальное внимание к межфазным трещинам, выразившееся в проведении многочисленных исследований, вызвано важностью проблемы разрушения композитов в геомеханике, биомеханике и других областях. Почти все работы, за исключением, возможно, только [2], имеют дело с прямолинейной межфазной трещиной. Ссылки на некоторые из них можно найти, например, в [3-7].

Вместе с тем следует отметить, что наиболее вероятное возникновение трещин расслоения происходит на искривленных участках межфазных границ из-за неоднородности напряженно-деформированного состояния в окрестности искривлений и, как следствие, наличия концентрации напряжений [8, 9]. В случае слабого искривления формы трещины для решения соответствующей краевой задачи можно использовать метод возмущения границы, т. е. поверхности трещины, аналогично тому, как это сделано в случае трещины в изотропном теле [10]. Попытка получить решение этим методом для межфазной трещины была предпринята в [2]. В этой работе рассмотрена серия трещин частного вида, из которой только к одной трещине допустимо применение метода возмущений. Кроме того, принятая в работе [2] схема решения задачи не позволяет сделать обобщение и использовать выведенные формулы для рассмотрения слабо искривленной межфазной трещины произвольной геометрии.

В данной работе приводится алгоритм нахождения любого приближения для слабо искривленной межфазной трещины произвольной формы. Построение алгоритма, основанного на методе возмущений, более подробно изложено в [11]. В первом приближении изучена зависимость силовых и энергетических характеристик упругого поля у вершины трещины от упругих свойств композита и формы трещины.

2. Постановка задачи. Рассмотрим двухкомпонентное упругое тело, находящееся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. За исключением достаточно малого слабо искривленного участка межфазная поверхность данного композита является плоской. Это позволяет сформулировать соответствующую двумерную задачу теории упругости для плоскости комплексного переменного z = хi + гх2, состоящей из двух полуограниченных областей — {z '■ Re (z — С) = 0, (—l)fcIm {z — Q > 0} (k — 1, 2). Граница раздела такого композита Г состоит из прямолинейного участка идеального контакта Гя = {z : z = <í = х\, |x-i| > 1} и криволинейной трещины Гс, которая представляется как малое возмущение межфазной прямолинейной (базовой) трещины, совпадающей с отрезком вещественной оси [—1,1] (рис. 1).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00274) и Правительства Санкт-Петербурга для молодых ученых и специалистов (грант № М05-2.2К-181).

© М. А. Греков, Ю. В. Малькова, 2006

q2 v2, Мг

Qj

vi,

аГ\Хх

loo^ A а1

Рис. 1. Межфазная криволинейная трещина. Граница Г определяется уравнением

С = xi = xi +ieg{x1), (1)

в котором

"<*■>=If0, \t«>«.«<!■

[О, Fil^i,

Малый параметр £ равен отношению амплитуды отклонения криволинейной трещины от прямолинейной формы к половине длины базовой трещины I. Функция f(xi) задает форму трещины, она непрерывна и удовлетворяет условиям |/(si)( ^ |/'(xi)| < М (М = const).

На прямолинейном участке Г8 имеют место условия идеального сцепления

и~ = и+, а~ = а+, z Е Г8, (2)

а на трещине действуют самоуравновешенные постоянные усилия

а~ = а+ = ро, z € Гс, (3)

где

= lim u(z), а± — lim cr(z), и = U\+ iu2, о = ann +iant,

ui,u2~ компоненты вектора перемещений соответственно вдоль осей х\ и \ crnn, unt -нормальное и касательное усилия на площадке с нормалью п, орты п и t образуют правую систему координат (в (2)и (3) направление вектора t совпадает с положительным направлением касательной к Г).

На бесконечности заданы напряжения ст^ и угол поворота материальной частицы ш\

lim ai:i(z)=a^, lim u(z) = wf, z E Пк. (4)

>oo |.z|->oo

Заметим, что на рис. 1 изображены действующие на бесконечности главные усилия ст*00, (к = 1, 2).

3. И-е приближение в методе возмущений. Метод построения алгоритма для нахождения п-го приближения при решении поставленной задачи подробно изложен в работе [11]. Аналогичный подход был применен ранее при исследовании слабо искривленной трещины в изотропном теле [10] и слабо искривленной границы раздела двух сред [8].

Согласно [1], напряжения и перемещения в каждой области Пк выражаются через функции Фк(г), каждая из которых голоморфна в соответствующей области Пк и области = {г : г Е с границей Г — {г : 2 = £}, ПРИ помощи равенства

ОД - г1кФк(г) + фЩ - (ф*(г) + Ф^) - (г - г еПк, (5)

где

а(г), щ = 1,

ОД =

-2цк{йи/йг), пк = -Кк,

а - угол между вектором 1 и осью х\, отсчитываемый от оси х\ против часовой стрелки; Щ — (3 — г/л)/(1 + ^к) ПРИ плоском напряженном состоянии, як — 3 — 4ик при плоской деформации; ик и цк - соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига среды Пк. Черта сверху означает комплексное сопряжение, штрих - производную по аргументу.

В силу соотношений (2) и (5), функции Ф^, определенные в Пк, являются непрерывным продолжением одноименных функций из Пк через прямолинейные участки границы Г.

Функции Фк в (5) представим в виде ряда по степеням малого параметра е

оо

£

ф*(*) = £ —Фкп(г), к = 1,2, (6)

„ п-п=0

в котором функции Фкп(г), отвечающие п-му приближению, находятся по следующей схеме:

ФхМ =

Тп(г) + Мп{г) + о?г0п, 1т (*) > 0

^-Тп(г)/т1 + а}г0п, 1т (*) < О?

Ф 2п(*) = -Ф тМ + Рп{г) + Сп, (7)

где боп = 1 при п — 0, ^оп — 0 при п > 0 и

С0 = а{+а?2, Сп = 0 (п = 1,2,...), (-1)'1тг>0, а\-а\= - а2 - = а22? - га2?,

¡12 + ßlXl

Ц2 +

-i

Ln(xi) = -M+(xi) + H2n(xx) + [oj - al]S0n, M+(xx) = lim Mn(z),

z—>xi+iO

Y(z) = \/z2 - l2

z-l z + l

In Tj

2тг

Y(t) = Y+(t) = —r)Y~(t) = ie~"eey/P -t2

l-t

l + t

\t\ < l.

Здесь a3k определяются условиями (4), функции II\n. Я2п зависят от всех предыдущих решений. В нулевом приближении Дю(ап) = 0, #20(21) = —ро- При п > О

Hm{xi) = -

' п\ I {ifjxx))'

< т\ 1 А;! о к

(k-j)l

(if'M)*:

(*£TJ)(*I) ~ (2к - 2ji + 1)ф£гЛ(*1) ) +

+ ((2k - 2j + 1)ф[к-Л(хг) - ))"

((-iWjf^i)-

(8)

^ n! I (г/(Х1))к ^ ml) kl

H2n(xi) = -po50n - X

m=0

X + (2fc - 2j + lJirii-'V) ) ,

где к — n — m, n — 1,2,...

Так, для первого приближения из (8) и (9) следует

(an) = 2t7'(an) [ф&Ы + $io(®i) - ф2о(^1) ~ Ф£)Ы + i/(®i) [ (^io(^i) - *ao(*i))+ + (*io(*i) - «аоМГ + 2($w(®i) - Ф^Ы)],

Я21(хх) = t/(xi) [ф'^Ы + + 2Ф'1-(а;1)] + 2if'(xi) [®í"0(®i) + ■

Последовательное нахождение функций Фхn(z), Ф2n{z) для каждого п по формулам (7)-(9) дает возможность, используя соотношения (5), (6), построить поле напряжений и перемещений в п-м приближении.

4. Напряженное состояние около вершины трещины. Согласно [1], поле напряжений у вершины прямолинейной межфазной трещины описывается следующими соотношениями:

a22-an-2ia12 = \к д"1 r~is< eie'2-K(\+i (l-2¿ec) е* sinfl) gk ri£< eie'2] +0(1),

у2тхг L -i

an+a22 = ^L=gkne(Kr-^e-ie/A+0(\), (-l)fe0 € [0,тг], k = 1, 2. (10)

V2irr 4 J

Здесь gk = exp [(3 — 2к)-кес + ec0]; r, 0 - полярная система координат с центром в правой вершине трещины (х\ = I, х2 = 0); К = — гК2] Ki, К2 - коэффициенты интенсивности напряжений (КИН).

Используя формулы перехода [12]

агг + аде — сгц + <722, cree — &гг — 2icrre = (022 — о"и — 2г<712) е~2гв, го (10) находим компоненты тензора напряжений в полярной системе координат Кг

2\/2тгг

eee(ir(3-2fc)+í)

+ £с 1п г ] + 2ес sin в eos ( - — ес 1п г ) —

2\[bvr

(3C0S(^

sin в sin № - £С ln r^ - ^сЫ2к-з)-в) eos (д + ec ln r)

eec(n(3-2к)+в) ^3sin ^ +£clnr^ _ sin Q COS -£clnr

—2ec sin в sin (i - £c ln r) ) - e». sin (y + £c ln,

+ 0(1),

\j2ixr

-Kt eos ( - + ec ln r ) — K2 sin ( - + £c ln r

<7rr,

OrQ ~

К i

гл/гтгг

EcU(3-2fc)-fl) Л

sin ( - + £c ln r — sin в COS ( - — £c ln Г

- 2£C sin в sin (J - £c ln r) ) + e». sin (y + ec ln r)

:ес(тг(3-2fc)-fl) cog ^ + £c ln ^ _ 2бс sin в COS ^ - £c ln r^j +

2\fbvr

+ sin в sin Г- - ec ln Г - e». W»-»)-®) eos ^ + £c ln r

3 9

+ 0(1). (11) 21

Коэффициент К определяется по формуле [13, 14]

К — y/bv lim \{xl-l)1/2+i£<(a22(x1,0)-ia12(x1,0))}. (12)

xi—»i+0 L ' J

Заметим, что формулы (11) при к = 2 совпадают с аналогичными формулами, приведенными в справочнике [6].

Соотношения (10)—(12) справедливы и для рассматриваемой криволинейной трещины Гс, поскольку касательная к ней в вершинах х\ — ±1 совпадает с линией продолжения базовой трещины (см., например, [14]).

С учетом (5) равенство (12) принимает вид

к = V^jun о [(Х1 - ФГОО - *t(zi))]- (13)

5. Первое приближение. На основании равенств (6) и (13) величину К можем представить в виде ряда по степеням малого параметра е:

00 п 00 п

* = = (и

п=0 ' п—0

Выражения для коэффициентов , полученные в результате решения краевой задачи в нулевом и первом приближениях, имеют вид

К° = - 2iec)(a% - iv$-pо), (15)

-I

Функция Li(t) находится при решении краевой задачи в первом приближении и определяется из соотношений (6)-(9). Ее вид зависит от формы межфазной трещины и действующих усилий а^, а^, сг^, ро. Из-за громоздкости здесь не приведены выражения для функции Lx(t) соответствующих потенциалов Фц(^), $21(2) и коэффициента К[, которые получены в явном виде при q = 4, 8, 12, 16, 20.

Нулевое приближение соответствует прямолинейной межфазной трещине. Решение задач для таких трещин в аналитическом виде было построено, например, в работе [15] и других. Комплексные потенциалы, описывающие поле напряжений и перемещений в вершине прямолинейной трещины с учетом остаточных напряжений можно найти в книге [3]. Анализ асимптотического поведения решения у края трещины в нулевом приближении, т. е. коэффициентов интенсивности напряжений (15) и интеграла Райса-Черепанова, в зависимости от упругих свойств двух сред приведен в статье [4].

Ниже приводятся некоторые результаты расчетов, полученные на основе первого приближения в методе возмущений для трещины, профиль которой в соответствии с равенством (1) определяется степенной функцией /

/ \ 9/2

х2 = ef{xi) = -el\l - (xi/l)2) , |xi|<Z (9 = 3,4,...). (17)

На рис. 2 показан вид функции / при значениях q — 4 (кривая i) и q = 16 (кривая 2).

Рис. 2. Вид функций /, определяющих профиль трещины.

Введем безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений к\п и к2п i соответствующие n-му приближению

п

кп = kin ~ гк2п = (18)

3=0 3'

где Щ = к\3 - ik2j = Щ

В первом приближении из (14) и (18) следует

h = кц - ik2\ = fcio - ik20 + e{k{x - ikfx). (19)

Рассмотрим результаты вычислений для случая, когда вдали от трещины действуют только растягивающие усилия а^ ф 0, т. е. а^ = 0, а^ = 0,ро — 0.

На рис. 3 представлена зависимость безразмерных значений КИН кц, к2\ (19) от отношения модулей Юнга Е2 /Е\ при значениях коэффициентов Пуассона i>i — ь>2 = 0,3 в случае плоской деформации. Заметим, что аналогичные кривые при плоском напряженном состоянии практически совпадают с кривыми, изображенными на рис. 3. Зависимости на рис. 3, а построены при q = 4, а на рис. 3, б - при q = 16 в (17) и с = 0; 0, 2; 0, 5 (кривые 1, 2, 3 соответственно).

Предельным значениям Е2/Е\ =0 и Е2 /Е\ — оо отвечают соответственно соединение упругой среды П2 с абсолютно жесткой fix и упругой среды iii с абсолютно жесткой f?2- В первом случае рассмотренные межфазные криволинейные трещины обращены своей выпуклой частью в сторону жесткой среды, во втором - в сторону упругой.

Рис. 3. Зависимость КИН от отношения модулей Юнга.

Анализируя поведение КИН на рис. 3, отметим прежде всего, что чем больше параметр д. тем более локализован искривленный участок трещины в окрестности ее середины (см. рис. 2). Таким образом, из рис. 3 следует, что чем дальше от концов трещины находится искривленный участок, тем меньше влияние искривления на коэффициенты интенсивности напряжений. При увеличении параметра q величины этих коэффициентов приближаются к соответствующим значениям КИН прямолинейной базовой трещины на всем диапазоне изменения отношения Е2/Ех. Это подтверждают также результаты вычислений, полученные при д = 8, 12, 20.

Коэффициент кц наименее чувствителен к изменению амплитуды искривления трещины е. При £ = 0, 5 и д = 4 значения этого коэффициента отличаются от соответствующих значений того же коэффициента для базовой трещины (е = 0) не более чем на 4%. Если Е2/Е\ — 1, т. е. если трещина находится в однородном материале или на границе соединения двух одинаковых материалов, то кц вообще не зависит от е при любом значении д. Согласно [10], эта особенность характерна также для трещин с несимметричной формой искривления.

В то же время коэффициент к2\ в значительной степени зависит от е, меняя даже знак при малых значениях параметра Е2/Е\. При увеличении е кривые, соответствующие коэффициенту к21, смещаются по вертикали в сторону уменьшения к-2 х, практически повторяя поведение кривой, отвечающей базовой трещине.

Заметим, что КИН К\, К2 для интерфейсной трещины не имеют такого ясного физического смысла, как для трещины, расположенной в изотропном материале. Исключение составляет трещина между материалами, для которых выполняется условие ес = 0 или /¿1 -+- /¿2^1 = + /¿1-^2, в частности трещина на границе раздела двух любых несжимаемых материалов = и2 = 0,5), находящихся в условиях плоской деформации.

Вполне определенным физическим смыслом для межфазной трещины обладает интеграл Райса-Черепанова J (см., например, [б])

Он равен проекции (с обратным знаком) на ось х\ вектора потока упругой энергии в вершину трещины [16] и совпадает со скоростью уменьшения удельной энергии деформации (см. [13, 17]) при росте трещины в обе стороны вдоль границы раздела. В связи с этим представляет интерес поведение величин 3 и \К\ при изменении различных характеристик композита.

Введем обозначение

Величина Jq представляет собой выражение интеграла (20) для базовой трещины, расположенной в однородной упругой среде с постоянными i^k, при действии только усилий (Т22 • Приведенный интеграл J* — J'/ Jq зависит не от размера трещины и внешних усилий, а только от упругих свойств обеих сред. Фиксируя упругие постоянные одной среды, можно исследовать зависимость величины J* от постоянных другой и наоборот. Будем считать, что при ц2/[ii < 1 неизменными остаются упругие модули среды fii, т. е. в (21) полагаем к — 1, а при /¿2/^1 > 1 - среды П2 (в (21) к — 2). Тогда

(20)

(21)

в первом приближении можем написать

Г =

1*1

1 +

Д1О2 + 1)

МХ1 +

х

1 ^2(Х1 + 1)

У^г/л*! > 1-

Здесь |А;1| = +

На рис. 4 и 5 приведены зависимости и <7* от параметра относительной жесткости композита Е2/Еи вычисленные при тех же значениях остальных параметров, при которых построен рис. 3, т. е. кривые 1, 2, 3 соответствуют е — 0; 0,2; 0,5. Поведение кривых на рис. 4 и 5 подтверждает общий вывод о том, что при смещении искривленного участка к середине трещины влияние искривления на силовые и энергетические характеристики упругого поля у вершины трещины ослабевает.

Минимальные значения величины | А; 1 ]

Е 2 д = 4 д = 16

Ех е = 0 £ = 0,2 £ = 0,5 £ = 0 £ = 0,2 £ = 0,5

0 0,975 0,980 0,995 0,975 0,976 0,980

оо 0,975 0,976 0,986 0,975 0,975 0,978

Отметим также следующее. При отклонении отношения Е2/Е^ от единицы в ту или иную сторону значение 1*11 для базовой трещины (кривые 1 на рис. 4) уменьшается. Увеличение амплитуды искривления смещает максимум | к\ | влево в область Е2 /Еу < 1. Величина \к\ | достигает минимальных значений в предельных случаях, когда трещина расположена между упругой средой и абсолютно жесткой. Эти значения, соответствующие кривым на рис. 4, приведены в таблице.

Рис. 4- Зависимость |А;д. | от относительной жесткости композита.

На рис. 5 кривой 1 отвечает значение е = 0, а кривой 2-е — 0,5. Из рис. 5 видно, что интеграл .7* минимален для трещины, расположенной на границе соединения двух одинаковых материалов. Независимо от амплитуды и формы искривления уменьшение жесткости любого из компонентов композита приводит к увеличению <7*. Если

Рис. 5. Зависимость J* от относительной жесткости композита.

поменять местами среда fix и то получим другой важный результат: увеличение жесткости любого из компонентов композита приводит к уменьшению J*. Таким образом, если взять три композита, у которых один из компонентов один и тот же для всех трех, а другой - более жесткий, такой же и менее жесткий, и предположить, что начало роста трещины по границе раздела определяется предельным значением интеграла (22), то соединение первого композита будет более прочным, а третьего - менее прочным, чем второго. При этом имеется в виду, что прочностные свойства адгезии соединений не зависят от отношения Е2/Е\.

Summary

Grekov М. A., Malkova Yu. V. The force and energy parameters of an elastic field near a tip of a curvilinear interface crack.

According to the perturbation approach, the crack is represented as being perturbed from the reference straight one. The magnitude of the perturbation is assumed to be small compared to the dimension of the reference crack. The solution of the corresponding elastic 2-D problem has been found in the form of the power-series expansion of the complex potential. An algorithm of deriving any expansion term in an analytic form has been developed. Based on the first-order-accurate perturbation solution, ал influence of the non-dimensional geometry parameters of the crack, the elastic mismatch on the stress intensity factors and the energy release rate has been examined.

Литература

1. Williams M. L. The stresses around a fault or crack in dissimilar media // Bull, of the Seismological Society of America. 1959. Vol. 49, N 2. P. 199-204.

2. Chen C.-H., Hsu J. The stress intensity factors of slightly undulating interface cracks of bimaterials // Intern. J. of Fracture. 1996. Vol. 80, N 4. P. 277-293.

3. Греков M. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 192 с.

4. Греков М. А. Плоская задача для трещины, расположенной между двумя линейно-упругими средами // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 184-196.

5. Дуидурс Док.., Комнипоу М. Обзор и перспектива исследования межфазной трещины // Механика композитных материалов. 1979. № 3. С. 387-396.

6. Мураками Ю. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: В 2 т. М.: Мир, 1990. Т. 1. 448 е.; Т. 2. 1016 с.

7. Simonov I., Osipenko K. Elastodynamic well-defined fields around a propagating interface open-crack edge // Intern. J. of Fracture. 2002. Vol. 116. P. 297-312.

8. Греков M. А. Метод возмущений в задаче о деформации двухкомпонентного композита со слабо искривленной границей раздела // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2004. Вып. 1 (№ 1). С. 81-88.

9. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces // Intern. J. of Solids and Structures. 1991. Vol. 28. P. 703-725.

10. Греков M. А. Слабо искривленная трещина в изотропном теле // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 3. С. 74-80.

11. Греков М. А., Малькова Ю. В. Криволинейная трещина на границе раздела двух сред // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Под ред. К. Ф. Черныха. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. Вып. 8. С. 56-71.

12. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

13. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения // Разрушение / Пер. с англ.; Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 205-335.

14. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. 324 с.

15. Rice J., Sih G. Plane problems of cracks in dissimilar media // Trans. ASME. Ser. A. J. of Applied Mechanics. 1965. Vol. 34. C. 766-793.

16. Черапапов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

17. Си Дж.., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрушение / Пер. с англ.; Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 83-203.

Статья поступила в редакцию 6 марта 2006 г.