Потеря устойчивости плоской формы пленочного покрытия при поверхностной диффузии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

М. А. Греков, С. А. Костырко

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 1

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ

ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ПЛЕНОЧНОГО ПОКРЫТИЯ ПРИ ПОВЕРХНОСТНОЙ ДИФФУЗИИ *>

1. Внедение. Гетсроэгтитаксиальные структуры с полупроводниковыми тонкими пленками, находящимися в напряженном состоянии, получили широкое применение в электронных и электронно-оптических устройствах [1]. Технология производства таких устройств требует, чтобы присутствие дефектов в них было сведено к минимуму, иначе их электрические свойства и рабочие характеристики будут неудовлетворительными. В связи с этим в последние десятилетия пристальное внимание было уделено загадочному механизму возникновения дефектов в бездефектной эпитаксиальной пленке при действии напряжений. Скорее всего, дефекты образуются в процессе напыления самой пленки или при последующей термической обработке, такой как разгонка примеси. Во всяком случае для создания методики минимизации плотности распределения дефектов необходимо понимание процессов, приводящих к их появлению [2].

В последние годы установлено, что доминирующим механизмом формирования дефектов в гетероэпитаксиальных пленках является образование рельефа поверхности. Причина превращения гладкой поверхности пленки в шероховатую кроется в рассогласовании параметров кристаллических решеток пленки и основного материала, которое приводит к развитию упругой деформации [3]. При этом в пленке появляются достаточно большие напряжения. Так, в поверхностной полупроводниковой пленке SiGe на материале может возникнуть продольное сжимающее напряжение порядка 1-2,5 ГПа [3].

Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показали, что первоначально плоская поверхность напряженного твердого тела неустойчива по отношению к морфологическим изменениям ее формы. Впервые морфологическая потеря устойчивости поверхности твердого тела, вызванная действием напряжений, была рассмотрена в теоретической работе Азаро и Тиллера [4] в 1972 г. при анализе роли поверхностной диффузии, а также поверхностной диссолюции и конденсации под влиянием контактирующей жидкости в коррозионном растрескивании. Затем была выполнена целая серия работ, в частности [5-13], посвященных теоретическому исследованию эффекта потери устойчивости плоской формы поверхности тела в результате диффузии. Их различие состоит прежде всего в выборе модели, в той или иной степени отражающей реальный физический процесс, а также в подходах к решению проблемы.

В большинстве цитируемых работ рассматривается синусоидальная форма потери устойчивости, а диффузионный процесс (на фоне действующих продольных напряжений) развивается вдоль поверхности. Необходимо отметить, что только в [10] выявлена чувствительность процесса волнообразования поверхности тела к изменению знака действующего напряжения. При этом в [10] поверхностная диффузия изучалась в однородном упругом материале при отсутствии пленочного покрытия.

В данной работе исследуется проблема потери устойчивости плоской формы поверхности пленочного покрытия при поверхностной диффузии в двумерной постановке.

*' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант .V« 05-01-00274).

© М. А. Греков, С. Д. Костырко, 2007

Основная цель ее - установление зависимости волнообразования поверхности пленки от толщины пленки и физических параметров задачи (действующего напряжения и упругих характеристик пленки и основного материала).

2. Постановка задачи. Пусть в начальный момент времени упругое тело, занимающее полупространство х2 < 0, имеет пленочное покрытие 0 < < Но и находится в условиях плоской деформации при действии нормальных усилий на бесконечности, параллельных оси Тогда можно перейти к рассмотрению полуплоскости = {г : 1тх < 0, Иея е К1}, соединенной с полосой Пг = {г : 0 < 1тг < Н0, Пег € Ж1} (рис. 1), при идеальном сцеплении по границе раздела Гс = {г : г = гс, 1т .г = 0, Иег: € М1}, т. е. при выполнении условий

и

+

и

= 0,

т+

СТ — — 0,

г € Гс.

(1)

Здесь 2

Х\ 4- гх2, г

:2

— 1; а± = Нтст(г), и± = 1ш«(г), и = щ + ги2, а =

Х2—>±0 Х2->±0

спп+г'|7П1\ щ, и2 - компоненты вектора перемещений соответственно вдоль осей х\, х2\

нормальное и касательное усилия на площадке с нормалью п (орт п в (1)

перпендикулярен оси х\). Орты п, 1 определяют правую систему координат гг, £.

Рис. 1.

С12

Ир У2

я,

ш

В полосе П2 действует постоянное продольное напряжение сто

ст^г) = (т0 при г € Пг,

(2)

а в полуплоскости - согласованное с условиями непрерывности перемещений на Гс (1) [14] напряжение а\

а?! (г) — о~1 — сто при гбПь

(3)

где Ек, модуль Юнга и коэффициент Пуассона среды О.и (к = 1, 2) соответственно.

Остальные напряжения а22(г), о^гС2) равны нулю. При этом, в соответствии с законом Гука, упругие деформации определяются равенствами

4М

1 2/2 сто, е°22{г) = <Т0) еО2^=0 при

Е2

Ео

е?1(2) = ЦДст0, е022(г) = -^-Щ^-а0, е°12(г) = 0 при 2е(!ь (4)

£/2

Кроме того, на бесконечности угол поворота материальной частицы ui удовлетворяет условию

lim u{z) = 0. (5)

Im г —> — оо

Мы не будем здесь акцентировать внимание на природе возникновения напряжения сто, которое может быть как сжимающим, так и растягивающим. Как уже отмечалось выше, сжимающие напряжения в поверхностном слое могут быть результатом рассогласования параметров кристаллических решеток пленки и основного материала [3]. Кроме того, при воздействии кратковременного лазерного излучения на твердое тело также возникают сжимающие напряжения [15]. В этих случаях, а также при действии механических растягивающих усилий [16] наблюдается образование рельефа гладкой поверхности тела. Таким образом, наличие в пленке продольных усилий является необходимым условием для развития диффузионного процесса, приводящего к морфологическим изменениям формы поверхности.

Предположим теперь, что поверхность пленки имеет слабоискривленную форму, которую можно рассматривать как малое возмущение первоначально плоской поверхности. Следуя, например, работам [4, 8-10], примем, что с течением времени t форма искривленной поверхности пленки Г?, = {z : z = Zf, = +ih} (см. рис. 1) в результате поверхностной диффузии изменяется по закону

h(xi,t) = h0 + A(t) cos kxi, (6)

где k = 27г/А - волновое число; Л - длина волны искривленной поверхности Г(,; A(t) - амплитуда, A(t)/А < 1, .4(0) = А0 ф 0.

При этом поверхность пленки свободна от внешних усилий, т. е.

a(z) = 0 при z £ Гь, (7)

выполняются условия контакта (1), а на бесконечности имеют место условие (5) и усло-

lim 0-11(2)= сть lim 022 (z) = lim <t12(z) = 0, (8)

Imz-i-cc Im z—> — 00 Imz—> —00

согласованные с условиями (2) и (3).

Таким образом, задача сводится к нахождению зависимости амплитуды А от времени при учете поверхностной диффузии и упругого деформирования тела с поверхностным слоем переменной толщины. При этом процесс рассматривается в квазистатической постановке, в силу чего для определения напряженно-деформированного состояния композита будем строить решение статической задачи теории упругости при фиксированном значении времени.

Устойчивому состоянию плоской формы поверхности пленки будут отвечать те значения входящих в решение задачи параметров, при которых lim A{t) = 0, т. е. нро-

¿—> оо

исходит сглаживание рельефа поверхности. При невыполнении этого условия плоская форма поверхности пленки считается неустойчивой, что соответствует образованию рельефа поверхности.

3. Уравнение движения точек поверхности деформируемого тела при поверхностной диффузии. Вывод дифференциального уравнения движения точек поверхности, основанный на термодинамическом подходе Гиббса [17, 18], использовался в работах [4-8, 11, 12]. Согласно этому подходу, химический потенциал приповерхностных атомов имеет вид

H={U- (9)

здесь 17 - плотность упругой энергии (удельная энергия деформации), вычисляемая в точках поверхности; 7 - плотность поверхностной энергии (поверхностное натяжение); х- кривизна поверхности; Г2 - атомный объем. Величина 7 имеет смысл минимальной работы, необходимой для образования единицы поверхности.

Поток атомов вдоль поверхности пропорционален градиенту химического потенциала [19]

~ КТ дз' ( Ш)

где - коэффициент поверхностной диффузии; Св - концентрация поверхностных дефектов; К - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура. Дифференцирование по параметру в означает дифференцирование по направлению, касательному к поверхности.

Из закона сохранения масс следует выражение для скорости движения точек поверхности в нормальном направлении

V» = -П —. (11)

Если форма поверхности описывается функцией (6), причем {дк/дх^] 1, то с учетом (9) и (10) уравнение (11) записывается в виде

dh{xut) _ о2 dt Qdx\

TTt л d'2h(xut) U(x\,t) - 7

дх\

(12)

при обозначении Q = . Уравнение (12) является линеаризованным уравнением

движения точек свободной поверхности IV

4. Удельная энергия упругой деформации. Удельная энергия деформации, следующей закону Гука, в произвольной точке тела определяется по формуле [20]

U = ^(тавеа0, (13)

где по повторяющимся индексам производится суммирование. В случае плоской задачи а, ß = l, 2.

Чтобы найти величину U, необходимо решить соответствующую краевую задачу. Для ее формулировки и последующего решения заметим, что в точках поверхности тела действует поверхностное напряжение as, которое связано с поверхностной энергией 7 известным соотношением Херринга [18, 19]

d'y

as=7 + sö? (14) в котором s - площадь поверхности тела.

Поскольку поверхностное напряжение участвует в деформировании поверхности и, следовательно, деформировании остальной части тела, его необходимо учесть при формулировке краевой задачи определения напряженно-деформированного состояния тела. С этой целью рассмотрим элемент поверхности тела ds единичной длины в направлении оси х3 (рис. 2). Кроме векторов напряжений crs и crs + das на данный элемент

о +da.

R+dR

Cc/s

действует главный вектор сил сг^в со стороны приповерхностных частиц тела. Пусть радиус-вектор И точки М ортогонален поверхности, а его длина Я совпадает с радиусом кривизны поверхности в этой точке (рис. 2). Тогда условие равновесия элемента поверхности йв в проекциях на оси ху и Х2 с точностью до малых величин порядка ¿в приводит к двум равенствам

„ das . (7n 1 = xas cos в —— sm ( as

Рис. 2.

(7,i 2 = xas sin в

di7S ds

cosö,

(15)

где х = 1/R - кривизна поверхности в точке М\ ап\, ап2 - компоненты вектора сг„ в системе координат xi, х-2 ■

Имея в виду, что вектор нормали к поверхности в точке М равен n = (cos#, sin0), а соответствующий вектор касательной t = (— sin cos6>), из (15) находим нормальное <7ПП и касательное стп; усилия на поверхности в этой точке

Cnn = xas

Ont =

das ds

(16)

В силу малых изменений поверхности и медленного протекания процесса диффузии, обычно считают, что 7 практически не меняется при растяжении поверхности [19]. Тогда из равенства (14) следует, что as и 7 = const. В этом случае условия (16) упрощаются. Учитывая, что \dh/dxi\ <€. 1, из (6) и (16) получим граничные условия на криволинейной границе Гь

<7пп = —k2A(t)o$ cos kxi, ant =0, z e Гь.

(17)

Пренебрежение поверхностным напряжением а3 приводит, очевидно, к граничным условиям (7).

Таким образом, приходим к решению задачи определения напряженно-деформированного состояния тела с поверхностным слоем переменной толщины, поверхность которого Г), описывается функцией (6), при условиях контакта (1), граничных условиях (17) и условиях на бесконечности (5), (8). Следуя работам [21, 22], будем искать это решение методом возмущений в виде ряда по степеням малого параметра £ = А/X

<Tij(z) = a°Jz) + ea\Az) + о(е), еф) = e°Az) + ееЫг) + о(е).

(18)

Подставив (18) в (13), получим приближенное выражение для удельной энергии деформации поверхности Г(, с точностью до малых величин порядка е

U{xut)

Ео

2(1-4)

((eii)2 + 2£en£\i)-

(19)

При выводе соотношения (19) считалось, что в пределах указанной точности единственная отличная от нуля деформация в точках поверхности равна ец. Эта величина вместе с окружным напряжением ац заменены соответственно на £ц и стц с погрешностью порядка е.

Так как усилия (17) имеют порядок е = А/А, то в нулевом приближении решение, очевидно, определяется формулами (2)-(4).

Согласно работе [22], решение задачи в первом приближении сводится с учетом (17) к нахождению комплексных потенциалов для двухкомпонентной среды и Г12 с прямолинейной границей (см. рис. 1) при граничных условиях

<722 (го) — ^12 С-2 о) = ~ сое кхх + токХыпкхх (го — х\ + Иьо) (20)

. и нулевых напряжениях на бесконечности.

Решение подобной задачи для произвольной периодической нагрузки было построено в работе [23]. Это позволяет сразу написать решение задачи (20)

С(г) =С1(г) + С2(г). (21)

Здесь

{<ГшЛ20+^(2), тн = 1,

(22)

"2N Ъ = -Ъ,

С?1(г) = ^-Фо(гу) + ФоН - (фо(й>) + Фо(«') - (ги - пУ)ф[н)е"2т при г е

= (т?1Ф0(ш) + ФоМ) + (Фо(ш) + 2»/1Ф£Н) +

+ ^2 (ф0М - при геЛ,,

= (Фо(«л) + 2£ЛФ^0) + ЛГХ (ФОЮ -ггЛФ^ШО) -

- [л^2Ф0(Ша) + М (ф^) - 2гЛФ^(Ш!)) -

- г) (ф{,(«л) -2гЛФ£;(ш1))]е-"а при г € П2,

Ф0(ш) = -2тгС1 е1ки} при 1ти* > 0, Ф0(и>) = 2яС2е~'кг" при 1т?/; < 0,

N1 = —--, ^2 = -—Г, Ц = —,

/Л + ¿<2 /'>¿1 + 1 /¿1

= (3 — + ц) при плоском напряженном состоянии, ху = 3 — 4^ при плоской

деформации, гл,-, ц^ - соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига компонента среды = 1, 2), ад = 2 — г/го, = -г + гко, а - угол наклона площадки с нормалью п к оси х\.

Постоянные коэффициенты С\, С2 находятся по формулам

Ох [1 - (N2 +Шхк2к1) е-2к'10] - 2/^2^1^/10 е~2кНа С х — -------------------------------- -----

1 - (Их + Ы2 + Шхк2К1) е~2кн° + Их^е-ыъо '

ЪБхМхкк0е-2кка - Г>2 (1 - Ыхе"2кн°) °2 ~~ 1 - (ЛГХ + ЛГ2 + ШхкЧ%) е-2кк° + #1ЛГ2е-4*л<> ' (23)

где Бх = (сг0 - ка3)/2, В2 = (ст0 + ка3)/2.

Выражение для деформации можно получить, если в (21) и (22) положить щ —х-2, г = го = XI + г/го и а — 0. Тогда для точек границы Г;, имеем

i T-, du

z=z о

Здесь

= -27гP(h0, X, щ, i>2, EL, Е-2, а0, as) coskx!. (24)

Р = [1 + N1 (ъ ~ 2кНо) е-2"10] -

2/Х2

(N-2 + тхк2Н2о - 2М*2*Ло) е~2кЧ. (25)

Подставив (4), (6) и (24) в (19), окончательно находим выражение для энергии и на криволинейной границе пленки Г^

1 - V2

и{х1,г) = 2 о1 -АфкРао совкц. (26)

2Ео

5. Анализ устойчивости плоской формы поверхности пленки. С учетом (6) и (26) уравнение (12) сводится к следующему дифференциальному уравнению относительно амплитуды искривления поверхности Л(£):

dA

— =Qk3 (Pao--rk)A(t).

При условии Л(0) = Ло его решение имеет вид

A(t) = Ао ехр [Qk3 (Ра0 - jk) t] . (27)

Из (25) и (27) следует, что амплитуда волнообразования зависит от длины волны А. При Л < Хсг выполняется неравенство

Ра0 - -ук < 0 (28)

и амплитуда со временем уменьшается. В этом диапазоне длин волн плоская форма поверхности является устойчивой. Значение Л = \ст отвечает критическому состоянию, при котором происходит потеря устойчивости плоской формы. При А > Асг амплитуда волнообразования поверхности возрастает со временем.

Из (23) и (28) вытекает, что при учете поверхностного напряжения as изменение знака усилия ао приводит к изменению величины Асг. Зависимости относительной разности критических длин волн I = (\~г — А+)/А~г от приведенной ширины пленки H = hoa'lK^Eï) при vi = v2 = 0,3 и as =7 изображены на рис. 3. Параметр А^. вычислен при ао = ±10~2i?2. Кривым 1-5 соответствуют значения коэффициента относительной жесткости пленки и основного материала E2¡Ei — 0,1; 0,3; 1; 3; 10.

Из рис. 3 видно, что в случае сжатия критическая длина волны Хсг несколько больше, чем при растяжении. Эта разница увеличивается с ростом отношения Е2/Е1. Если жесткость пленки больше, чем основного материала (E2/Ei > 1), то с уменьшением толщины пленки ho или при пропорциональном увеличении обоих модулей Юнга Ei и Е2 величина I возрастает.

Рис. 3. Рис. 4.

Из (23), (25) и (28) находим, что при увеличении толщины пленки критическая длина волны стремится к постоянному значению, равному

Асг = * 2 [2^27 - (1 - 2u2)a0as] (29)

U -

и отвечающему потере устойчивости плоской формы поверхности тела с упругими модулями v-2, /Х2 при отсутствии пленочного покрытия. Заметим, что выражение (29) совпадает с решением, полученным в диссертации А. В. Пыткина [24]. Формулу (29) можно также вывести из (28), если принять v\ — v2 и /ii = fi2. Этому случаю отвечает прямая 3 на рис. 3.

Поскольку обнаружилось, что изменение знака продольных усилий сто незначительно влияет на Асг, то при анализе устойчивости плоской формы поверхности пленки можно не учитывать поверхностное напряжение cts, если поверхностная диффузия является доминирующим фактором в процессе формирования рельефа поверхности. В связи с этим были построены зависимости приведенной критической длины волны L = Асгсто2/(7-Е2) от величины Н при ст5 = 0. Результаты вычислений приведены на рис. 4 для Е2/Е1 = 0,01; 0,3; 1; 3; 100 (соответственно кривые 1-5) при v^ = v2 = 0,3. Из него видно, что критическая длина волны \сг растет при уменьшении жесткости пленки. В то же время с увеличением толщины пленки влияние параметра E2jE\ на \ст становится меньше.

Summary

Grekov М. A., Kostirko S. A. Instability of flat surface of a film coating due to surface diffusion.

The two-dimensional model of an elastic body with thin coating is considered as a half-plane connected with a strip. The problem of surface instability of a thin film due to surface diffusion is investigated. The condition of surface morphology evolution into a surface undulation is derived. The dependence of a critical wavelength 011 the width of the film and the relative rigidity of the composite is obtained. A negligible influence of a sign variation of longitudinal stresses on the critical wavelength is brought to light.

Литература

1. Het его structure epitaxy and devices - HEAD'97 / Eds. P. Kordos, J. Novak. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. 336 p.

2. Andrews A. M., Speck J. S., Romanov A. E. et al. Modeling cross-hatch surface morphology in growing mismatched layers // J. of Appl. Phys. 2002. Vol. 91, N 4. P. 1933-1943.

3. Gao H., Nix W. D. Surface roughening of heteroepitaxial thin films // Ann. Rev. of Materials Science. 1999. Vol. 29. P. 173-209.

4. Asaro R. J., Tiller W. A. Interface morphology development, during stress corrosion cracking. Pt I. Via surface diffusion // Metallurgical Transactions. 1972. Vol. 3. P. 1789-1796.

5. Rice J. R., Chuang T. J. Energy variations in diffusive cavity growth // J. of Amer. Ceramic Soc. 1981. Vol. 04, N 1. P. 46-53.

6. Гринфельд M. А. Неустойчивость границы раздела между негидростатически напряженным упругим телом и расплавом // Докл. АН СССР. 1986. Т. 290, № 6. С. 1358-1363.

7. Grinfeld М. A. The stress driven instabilities in elastic crystals: mathematical models and physical manifestation //J. of Nonlinear Science. 1993. Vol. 3, N 1. P. 35-83.

8. Srolovitz D. J. On the stability of surfaces of stressed solids // Acta Metallurgica. 1989. Vol. 37, N 2. P. 621-625.

9. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces // Intern. J. of Solids and Structures. 1991. Vol. 28, N 6. P. 703-725.

10. Grilhe J. Study of roughness formation induced by homogeneous stress at the free surfaces of solids 11 Acta Metallurgica and Materialia. 1993. Vol. 41, N 3. P. 909-913.

11. Freund L. B. Evolution of waviness on the surface of a strained elastic solid due to stress-driven diffusion // Intern. J. of Solids and Structures. 1995. Vol. 32, N 6/7. P. 703-725.

12. Морозов H. Ф., Паукштпо M. В., Товстик П. E. О депланации грани кристалла в условиях поверхностной диффузии // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 1999. JV' 2. С. 53-57.

13. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. О влиянии объемной диффузии на потерю устойчивости поверхностного слоя при термонагружении //Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 1999. № 4. С. 97-101.

14. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 192 с.

15. Емельянов В. И., Шлыков Ю. Г. Нелинейная многомодовая генерация поверхностных дефектно-деформационных структур // Изв. РАН. Сер. физич. 1993. Т. 57, № 12. С. 18-38.

16. Лукъяненко А. С., Ветехтин В. И., Горобей Н. Н. и др. Формирование рельефа механически деформируемой поверхности как канал релаксации упругой энергии // XIV Петербургские чтения по проблемам прочности: Тез. докл. СПб., 2003. С. 171-172.

17. Гиббс Д. Термодинамические работы / Пер. с англ.; Под ред. В. К. Семенченко. М.; J1.: Гостехиздат, 1950. 492 с.

18. Herring С. The use of classical macroscopic concepts in surface energy problems // Structure and properties of solid surfaces / Eds. R. Gomer, C. S. Smith. Chicago: University of Chicago Press, 1953. P. 5-72.

19. Гегузин Я. E. Диффузионные процессы на поверхности кристалла. М.: Наука, 1984. 128 с.

20. Новожилов В. В. Теория упругости. JL: Судпромгиз, 1958. 370 с.

21. Греков М. А., Макаров С. Н. Двухкомпонентная упругая среда с волнистой межфазной поверхностью // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Под ред. К. Ф. Черныха. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. Вып. 7. С. 275-285.

22. Греков М. А., Макаров С. Н. Концентрация напряжений у слабо искривленного участка поверхности упругого тела // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 2004. № 6. С. 53-61.

23. Греков М. А., Костырко С. А. Напряженное состояние тонкого покрытия при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 4. С. 99-107.

24. Пыткин А. В. Влияние диффузионных процессов на напряженно-деформированное состояние и устойчивость поверхности упругих тел: Канд. дис. СПб., 2002. 103 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Ю. М. Далем.

Статья принята к печати 18 сентября 2006 г.