МЕТОД СТРЕЛЬБЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА НЬЮТОНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОД СТРЕЛЬБЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДА НЬЮТОНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Василенко П.А., Лебедев К.А.

ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар

Аннотация

В работе разработан универсальный алгоритм решения различных физико-химических задач. Проводилась разработка, обоснование и тестирование вычислительного итерационного метода стрельбы с продолжением по параметрам на основе метода Ньютона, для решения методом стрельбы двухточечных краевых задач. Алгоритм длительно применялся к разнообразным физико-химическим задачам, возникающих при математическом моделировании переноса ионов в физико-химических средах.

Ключевые слова: математическое моделирование, численные методы, алгоритм, многослойные системы, краевая задача.

Алгоритм метода

В данной статье предлагается алгоритм регуляризованного метода Ньютона для отыскания корней нелинейной системы алгебраических уравнений разной размерности (1-200). Такие системы возникают при моделировании разнообразных явлений физики и химии. В частности, при исследования процесса коррекции рН растворов простых электролитов в кротких и длинных каналах электродиализаторов, решения краевых однослойных и многослойных задач переноса ионов.

В статье [0] для решения системы алгебраических уравнений

F ( ^ ) = 0 (1)

Предлагается регуляризованный метод Ньютона

A = A F X )ll2 E + F iX p )f iX p)

b = - f ’(x p )f (x p).

Pp = ar«{ m? t llF (X p +pw p ■

P>0

AXp = Pp w p ,

X p+1 = X p + AX p,

где X - вектор неизвестных, F'(Xp) - матрица производных функции

2 q

F на p-м итерационном шаге; || F || = ^ рр - сумма квадратов невязок; а - па-

i=1

раметр регуляризации; pp - итерационный параметр шага метода Ньютона (во многих приложениях, как и параметр регуляризации выбирается постоянным); T - знак транспонирования матрицы; E - единичная матрица. От удачного назначения итерационных параметров а =[0-100], Pp = [0,001-1] зависит скорость сходимости метода к корню X.

Этот метод позволяет решать сложные системы большой размерности, однако регуляризации алгоритма и выбора шага может оказаться недостаточным и приходиться прибегать к дополнительным мерам.

Введение новых переменных

Часто в физической химии нелинейные уравнения ионных равновесий имеют ложные отрицательные корни, что противоречит физическому смыслу концентраций. Для отсечения лишних корней применялась логарифмическая замена переменных. Рассмотрим пример. Пусть требуется решить систему нелинейных уравнений

XiX^-jr k1

x

3

X + x2 + x3 = qx

5 x + 2 x + x3

qi,

(3)

(4)

(5)

состоящую из уравнения ионного равновесия (3) и двух балансовых уравне-

212

ний (4)- (5), получаемых из законов сохранения массы, при следующих параметрах: к = 107, q = 6.2-10-7, q2 = 1.28-106.

При таких параметрах имеется два решения (X = 107,х2 = 2.6-10 7,х3 = 2.6-10 7) и (x =-10 8,x = 7-10 7,x = -7-10 8) Так как физический смысл x есть концентрации ионов, поэтому они не могут быть отрицательными. Сделаем замену переменных Xt = lg(х=, t = 1,3. И система уравнений примет относительно вектора X вид:

f1(х) = X + X2 - Хз - о II 1 (6)

, ч 10Xl 12 10 Хз

Л(Х) = —+— + 1 = 0 (7)

q1 q1 q1

с с ! 10 Хз

/з(Х) = 5 + 2 -+ 1 = 0 (8)

q2 q2 q2

После нахождения неизвестных X возвращаемся к исходным неизвестным по формуле х= 10х, = 1,3 .Очевидно, что корни уравнений

найденные численно, могут быть только положительными

Рис. 1. Сходимость к решению системы при различных значениях 3 : 1-1, 2-0.5, 3-0.1, параметр регуляризации а = 1

Вычислительный процесс релаксационно сходится с любого начального приближения только к положительному решению.

Метод продолжения

В случаях, когда стандартные методы не могут решить сложные краевые задачи или не учитывают малый параметр, требуется разработка новых подходов и специализированных численных методов. Это может быть необходимо там, где стандартные алгоритмы неэффективны или непригодны. Разработка специализированных численных методов позволяет более точно и эффективно решать такие задачи, учитывая особенности каждой ситуации. Это важный аспект в области исследований и разработки при решении сложных краевых задач.

Краевая задача распространения нейтронов через слой защиты ядерного реактора может быть сложной из-за множества факторов, таких как неоднородности материала, границы слоя и внешние источники нейтронов. В случае, когда классические методы решения этой задачи неэффективны или не применимы, требуется разработка специализированного численного метода. Рассмотрим поясняющий пример. Пусть требуется решить с виду простую краевую задачу, распространения нейтронов через слой защиты ядерного реактора [Ошибка! Источник ссылки не найден., с. 135] (в упрощённом виде).

dyL

dx

4Уг

dx

ЛУг*

ВУх*

У0, У°г) = 0,

Фг( yN, у2 ) = 0,

(9 а,б)

где щ,ф2 - нелинейные функции; У0,У0 начальные значения функций при

x = 0, ух , У2 - значения функций при x = 1 получаемых после

численного интегрирования задачи Коши на равномерной сетке с узлами

{xo =0, = , =г, •••, =N =1} .

Трудность решения заключена не в форме уравнений или краевых

условий, а в величине параметров A да B да 20 - 40, что делает стандартный метод стрельбы совершенно непригодным, так как решение содержит быстрорастущие и быстро убывающие компоненты, однако при A да B да 1 - 5 решение методом стрельбы получается без проблем и получаем искомый вектор X* с л ю б о г о н ач ал ь н о г о п р и б л и же н и яХ0 . Чтобы его получить, требуется сформировать векторное уравнение с векторным аргументом

которая решается методом регуляризованным методом Ньютона и требует кроме вычисления самой функции, матрицы ее производных, аппроксимируемых разностными отношениями 2-го порядка точности, для этого требуется дополнительное 4 кратное интегрирование системы дифференциальных уравнений на четырёхточечном шаблоне (1)-(5). Начиная практически с любого начального приближения X® _ 0 =

чим X* _ первое приближение при А « В = 1 . Затем увеличим А « В = 5 и выберем в качестве начального приближения , то значение ,

которое полученное на нулевом шаге p = 0, и получим решение X* _ г при p = 1 и так далее, причём по мере увеличения p приращение ДА « А В приходиться брать все меньше. Точность решения составляла ||/|| <s = 10-9.

Таким способом сравнительно нетрудно получить решение при A да B = 18, но как видно из таблицы изменения начального приближения происходит на последних шагах в 7 разряде после запятой. В таблице представлены

(10)

получаемые значения

0 I, которое получено для следующих исход-

ных данных:

A = B ,s = 10-9

y0, y0) = a0 y0+0° у0 + u °,

<Рг( У1, у2 ) = a'yN + 0ly2N + v1,

a0 = 1,00 = 0, u0 =-0.2, a1 = 0,01 = 1, v1 =-1.

то есть

A = B,s = 10“9 <Pi(yi0,y2°) = У? - 0-2 = У2 ~ 1-

В качестве начального приближения бралось у° = 1, .у9 = 1 .

p A = B Ы )р (Уг )Р

0 1 0.2 0.49573544252041310

1 5 0.2 -0.18650655525600706

2 10 0.2 -0.19990919861994894

3 15 0.2 -0.19999938816114641

4 16 0.2 -0.19999977491242844

5 17 0.2 -0.19999991721762216

6 18 0.2 -0.19999996953591055

а)

216

)

б)

Рис. 6. Интегральные кривые краевой задачи: (а) при А = В = 1 ,

(б) при А = В = 1 8 .

Видно, что на каждом шаге p слева у3 = 0,2 , а у^ = 1 т.е. достигается точное решение краевой задачи.

Хотя выбор итерационного шага и регуляризация метода Ньютона позволяют значительно расширить область сходимости метода, тем не менее, во многих реальных задачах из области промышленной электрохимии приходится прибегать к методу расширения области сходимости с помощью метода продолжения [3, 4] для разных классов задач. Например, метод продолжения по скалярному параметру совместно с методом Ньютона для метода стрельбы использовался для решения многослойных задач электрохимии.

Система нелинейных уравнений в многослойных задачах имеет корень, близкий к границе области определения функции G, за пределами которой функция F(x) либо не определена, либо имеет решения, близкие к x , но не отвечающие физическому смыслу задач. Параметр продолжения может быть либо безразмерная плотность протекающего тока % = I, а в длинных аппаратах для коррекции рН последовательно увеличивающаяся переменное расстояние % = L (длина рассматриваемого участка). Для интенсивных ре-

жимов работы электродиализных аппаратов, когда используется уравнение Пуассона, малый параметр £= S - безразмерную величину диэлектрической проницаемости. Метод продолжения фактически использовался во всех наших работах [5-14]. Использование методов продолжения позволило преодолеть возникающие при решении этих задач специфические трудности. В основе применяемых методов лежит общая теорема [3, 4] применяемая своеобразным образом для каждого класса задач.

Заключение

Данный алгоритм с разными модификациями применялся в наших работах для широкого круга проблем. Например, в работе [5] рассматривалось влияние конвекции и распределения фиксированных зарядов на перенос ионов в заряженных капиллярах. В [6] исследовалось влияние стандартного химического потенциала на проницаемость мембран в трёхслойной области. В [7] проницаемость послойных мембран в тернарных электролитах. В [8-11] метод применялся для решения систем нелинейных алгебраических уравнений при исследовании процесса коррекции рН разбавленных растворов электролитов электродиализом с биполярными мембранам. В [12-13] исследовалось влияние электроконвекции на вольтамперные кривые и числа переноса в запредельных режимах электродиализа, а в [14] моделировались вихревые структуры.

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 21-19-00397, https://rscf.ru/project/21-19-00397.

Библиографический список

1. Василенко, П.А. Регуляризованный метод Ньютона с выбором шага для решения плохообусловленных систем нелинейных алгебраических уравнений / П.А. Василенко, С.С. Сулейманов, К.А. Лебедев // Перспективы науки. - 2023. - № 8(167). - С. 90-99.

2. Теоретические основы и конструирование численных

алгоритмов задач математической физики / Под. редакцией К.И. Бабенко. М.: Наука. - 1979. - 296 с.

3. Ортега, Дж. Итерационные методы решения нелинейных

систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. -М.: Мир, 1975. - 558 с.

4. Лебедев, К.А. Экологически чистые электродиализные технологии (Математическое моделирование переноса ионов в многослойных мембранных системах) / К.А. Лебедев. Краснодар, - 2002. -141 с.

5. Василенко, П.А. Влияние конвекции и распределения

фиксированных зарядов на перенос ионов в заряженных капиллярах / П.А. Василенко, С.С. Сулейманов, К.А. Лебедев, В. И. Заболоцкий // Наука Кубани. - 2011, № 1, - С. 17-22.

6. Василенко, П.А. Влияние стандартного химического потенциала на проницаемость мембран / П.А Василенко, С.С. Сулейманов, К.А. Лебедев // Известия кубанского государственного университета. Естественные науки. - 2014. №3. - С. 67-73.

7. Zabolotsky, V.I. Permselectivity of bilayered ion-exchange membranes in ternary electrolyte / V.I. Zabolotsky, A.R. Achoh, K.A. Lebedev, S.S. Melnikov // Journal of Membrane Science 608. - (2020). 118152. P. 1 - 14.

8. Заболоцкий, В.И. Исследование процесса коррекции рН разбавленных растворов электролитов электродиализом с биполярными мембранами / В.И. Заболоцкий, С.В. Утин, Н.В. Шельдешов, К.А. Лебедев, П.А. Василенко // Электрохимия. - 2011. - Т. 47, №3. - С. 343-348.

9. Заболоцкий, В.И. Исследование процесса коррекции рН разбавленных хлоридно-карбонатных растворов электролитов электродиализом с ионообменными мембранами / В.И. Заболоцкий, С.В. Утин, К.А. Лебедев, П.А. Василенко, Шельдешов Н.В. // Электрохимия. - 2012. - Т.48, №7. - С. 842 - 847.

10. Василенко, П.А. Математическая модель процесса коррекции рН умягчённой воды в длинных каналах электродиализаторов с биполярными мембранами / П.А. Василенко, С.В. Утин, В.И. Заболоцкий, К.А. Лебедев, //Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ № 126 (02), Дата выпуска: 28.02.2017 - Режим доступа: http://ej.kubagro.m/archive.asp?n=126

11. Василенко, П. А. Математическое и численное моделирование процесса регулирования pH разбавленных растворов электролитов электродиализом с биполярными мембранами в длинных каналах / П. А. Василенко, К.А. Лебедев // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2018. Т. 15. № 1. -С. 41-49

12. Заболоцкий, В.И. Математическое моделирование влияния электроконвекции на вольтамперные кривые и числа переноса в запредельных режимах электродиализа / В.И. Заболоцкий, К.А. Лебедев, П.А. Василенко, В.И. Васильева, В.А. Шапошник, А.В. Жильцова // Сорбционные и хроматографические процессы. - 2012. - Т. 12. № 3. - С. 332-337

13. Заболоцкий, В.И. Математическая модель для описания вольтамперных кривых и чисел переноса при интенсивных режимах электродиализа / В.И. Заболоцкий, К.А. Лебедев, М.Х. Уртенов, В.В. Никоненко, П.А. Василенко, В.А. Шапошник // Электрохимия. - 2013. - Т.49, №4. - С.416-427.

14. Заболоцкий, В. И. Математическое моделирование вихревых структур при электроконвекции в канале ячейки электродиализатора на модельных мембранах с двумя проводящими участками / В. И.Заболоцкий, К. А. Лебедев, П. А. Василенко, М.В. Кузякина // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2019. Т. 16. № 1. C. 73-82.