CC BY
0МЕТОД НЬЮТОНА С ВЫБОРОМ ШАГА ДЛЯ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Василенко П.А., Сулейманов С.С., Лебедев К.А.
ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар
Аннотация
В статье разработан регуляризованный метода Ньютона отыскания корней системы нелинейных уравнений с выбором итерационного параметра шага для обеспечения глобальной сходимости вычислительного процесса. Работоспособность вычислительного метода проверялась на тестовых задачах. Предполагается, что метод будет эффективным для решения краевых многоточечных задач методом стрельбы. Такие задачи возникают при математическом моделировании различных процессов в естествознании.
Ключевые слова: алгоритм, математическое моделирование, многослойные системы, численные методы.
1. Алгоритм метода
Существует обширная библиография по современным численным методам решения систем [0 -0] уравнений, а общая теория содержится в учебных изданиях по функциональному анализу [0-0]. Пусть дана система нелинейных уравнений
F ( ^ ) = 0 , (1)
которая решается регуляризованным методом Ньютона:
A = ^ F (x p )ГE + F ,(x p УF ,(x p) •
B = - F ,(x p У F (x p ),
! min [ llF (x p +Pw p M ■
Pv = argi min
p>o
AX p = PP w p,
X p+1 = X p + AX p,
где X - вектор неизвестных, F'(Xp) - матрица производных функции
т q
III 2 % ^ 2
F || = ^ Р - сумма квадратов невязок; а - па-
1=1
раметр регуляризации; fip - итерационный параметр шага метода Ньютона (во многих приложениях, как и параметр регуляризации выбирается постоянным); T - знак транспонирования матрицы; E - единичная матрица. От удачного назначения итерационных параметров а =[0-100], Рр = [0,001-1] зависит скорость сходимости метода к корню X. Численный расчёт матрицы производных F ’
F'
дер'1)
~SXk
1 = 1,..., q
k = 1,..., q
(3)
осуществлялся с помощью аппроксимации производных разделёнными разностями второго порядка точности
дф10 ..ф10(...X + A,...)-ф1'1 (...Xk-A,...) дХк ~ 2A
(4)
на 2q точечном шаблоне, что требует 2q дополнительного интегрирования системы (8) на каждом р-м итерационном шаге.
Итерации проводились до тех пор, пока не выполнится условие
где s - заданная точность решения системы нелинейных алгебраических уравнений. Корень уравнения будем обозначать, через X*.
2. Выбор итерационных параметров вычислительного метода
В работе [0-0] метод продолжения использовался для итеративного выбора параметр шага Рр по некоторым аналитическим формулам. Здесь
мы обсудим эмпирический способ выбора параметров итерационного шага и параметра регуляризации для обеспечения монотонного итерационного процесса и ускорения сходимости, на различных тестовых примерах и в задаче умягчения природной воды в канале электродиализаторов. Для этих целей проведены численные эксперименты с рядом модельных задач.
Задача 1.
Г х + x - 6 = 0,
1Х12 - Х2 = 0
х0 = 10, х° = 10
Корни: х* = 2,0; x * = 4,0.
Таблица 1. Количество итераций в зависимости от параметров а и Р
а = 0 1 о II а = 10-3 7 О II а = 10 1 а = 1 а = 10
II о 197 197 198 202 239 596 4150
(N О II 94 94 94 97 116 295 2073
II О Ъл 32 32 32 33 42 114 826
оо о II 15 15 15 16 22 68 514
о II 7 7 7 8 13 50 407
Задача 2 [0].
x 2 + x2 + x3 — 1 = 0 < 2 Xj2 + x 2 — 4 x3 = 0 3x2 — 4 x2 + x32 = 0
Начальное приближение: x = (10,10,10/.
Корни: x* = 0.785196 ; x* = 0.496113 ; x* = 0.369922 .
Таблица 2. Количество итераций в зависимости от параметров а и Р
а = 0 1 о II а = 10—3 7 О II а = 10 1 а = 1 а = 10
75а II о 215 215 216 223 288 921 7239
(N О II 103 103 103 107 140 457 3617
75а II О Ъл 35 35 35 37 51 179 1443
оо о II 17 17 18 19 28 108 899
о II 9 9 9 10 18 82 715
Задача 3, [0].
n
f (x1,..., xn ) = xi +Е x^ — П — 1 = 0 , 1 = 1, "-I.
k =1 n
fn (x1,..., xn ) =П xk —1 = 0 , xi = 0,6 ,
k=1
Этот пример вырожденной системы уравнений имеет определитель равный к нулю. Регуляризованный процесс релаксационно сходиться к корню: Xi = 1
Таблица 3. Количество итераций в зависимости от параметров а и Р
а = 0 1 о II а = 10—3 а = 10 2 а = 10 1 а = 1 а = 10
75а N о 146 144 144 144 144 148 179
(N О II 69 69 69 69 69 69 87
75а II р и. 23 32 23 23 23 24 32
II о Ьо 14 25 11 12 11 12 17
о II - 13 7 6 4 6 11
Задача 4.
Исследования локальной сходимости численных методов, в настоящее время, смещаются на исследование глобальной сходимости. Например, работа [0], в которой сделана попытка разобрать геометрико-динамическую природу сходимости метода Ньютона. В статье рассматривается непрерывный аналог метода Ньютона
dx
-Г = -f'(X)" f (X) . (6)
dt
В работе сделана попытка организовать метод Ньютона, двигаясь по кривой, которая обеспечивает кратчайшее расстояние в римановой метрике. Показано, что шаг метода Ньютона отвечает вектору касательного к геоде-
зической и он равен римановской длине вектора f (x )
и слишком велик. В
этом заключается причина потери сходимости метода Ньютона при удалении от искомого решения. Геодезическими являются интегральные кривые автономной системы уравнений
- = -1 f Mil "f М )'f (X) (7)
Любая устойчивая разностная схема для (6), (7) делает процесс локально сходящимся. Для всякого корня исходного уравнения можно определить область сходимости по геодезической римановой метрики. Эта область намного шире области сходимости, определяемой классическими достаточными условиями сходимости [0-0, 0, 0]. Вопрос о том, попадает ли конкретная точка на геодезическую ведущую в точку корня, остаётся открытым. Полный шаг по методу Ньютона может приводить к так называемым «прострелам» [0]. Проблема глобальной сходимости с практической точки зрения
225
есть проблема осмысленного выбора величины и направления шага, которая не должна выводить за глобальную область геодезических, сходящихся в точку корня. В [0] предложена модификация метода Ньютона, которая способна преодолевать границу областей сходимости и не сходимости вычислительного процесса:
xk+i = xk + akaJ+0-5AV2 (8)
где аи =-[DF(xk )]-1 F(xk ) , ak =-[DF(xk )]1 F(xk ) , bk = -Г'1т (Xk )a[ak
В работе [0] рассмотрен конкретный пример в пространстве R системы всего двух нелинейных уравнений.
f2( X) =
f( X) =
2
V 6,5 у
frX
V 7 у
+
/ Л2
/ Y \
V 2 у
1 = 0
V 2,1 у
2
-1
• exp.
у
2
V 6,5 у
V 2,1 у
= 0.
(9)
(10)
Корни данной системы x* = 4,24559788..., x* = 1,59014638... Метод Ньютона (1) с постоянным Р использует параметры шага и параметр регуляризации с целью перехода процесса вычисления через перегородки отделяющие области сходимости по геодезическим линиям, без потери релаксации.
Таблица 4. Количество итераций в зависимости от параметров а и Р
а = 0 1 о II и о 1 а = 10 2 а = 10 1 а = 1 а = 10
о II - 189 187 188 195 226 490
(N О II - 93 91 92 96 112 245
7^ II р Ъл - 35 33 33 35 42 100
оо о II - 21 17 17 18 23 66
о II - 18 9 9 10 15 50
Рис. 1. Сходимость регуляризованного метода Ньютона (1) при а = 1;
Р = 1.0 с разных начальных приближений х0; Точки ~ получены в [0] методом (8). Точки x классического метода Ньютона не сходятся к корню х* = 4,24559788..., х* = 1,59014638... (траектория 1).
Рис. 4. Зависимость относительной нормы погрешности вычислений от номера итерационного шага при а = 1; Р = 1.0, для начального приближения
хо = (10.0; 1.0).
Совокупность тестирующих примеров показывает, что эмпирический оптимальный выбор параметра шага и параметра регуляризации приводит к уменьшению количества итераций, расширению области глобальной сходимости и появлению релаксации. Оптимальный выбор даёт возможность достигнуть цели перехода процесса вычисления через перегородки отделяющие области сходимости по геодезическим линиям, без потери релаксации. Таким образом, эту модификацию можно принять за основу разработки метода для решения реальных производственных задач, как надёжного метода, при этом возникает необходимость усовершенствовать метод Ньютона, вводя замену переменных, параметр продолжения, переходить к безразмерным параметрам, использовать идею параллельности или последовательности в многослойных (1-200 слоёв) задачах физической химии.
Заключение
Данный алгоритм с разными модификациями применялся в наших работах для широкого круга проблем. Например, в работе [0] рассматривался перенос ионов в рамках модели Нернста - Планка поставлена и решена одномерная краевая задача стационарного переноса ионов с учётом конвективной составляющей. В [6] исследовалось влияние стандартного химического потенциала на проницаемость мембран в трёхслойной области. В [0, 0] решалась краевая задача в 4-х слойной системе с заряженными фазами при интенсивных режимах электродиализа. В [0 -0] метод применялся для решения систем нелинейных уравнений при исследовании процесса коррекции рН разбавленных растворов электролитов электродиализом с биполярными мембранам, когда система уравнений задаётся алгебраическими уравнениями. В [0] исследована специфическая селективность ионообменных мембран в тройных растворах электролитов в четырёх слойной области, для 16 дифференциальных уравнений, что приводит к необходимости решать систему из 16 неявно заданных алгебраических уравнений.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 21-19-00397, http s: //rscf.ru/proj ect/21 -19-00397/
Библиографический список
1. Бахвалов, Н.С. Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.-М.: Наука, - 1999. - 630 с.
2. Березин, И.С. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Наука, - 1966. - 633 с.
3. Демидович, В.Д., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, - 1966. - 662 с.
4. Красносельский М.В., Вайнико Г.М., Красносельский М.В. Забрейко П.П. Приближенное решение операторных уравнений.- М.: Наука, - 1969. - 632 с.
5. Крылов, В.И. Вычислительные методы Т1. / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. - М.: Наука, 1976, - 303 с.
6. Ортега, Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир, 1975. - 558 с.
7. Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. -.М.: Изд. ин. литер. 1963. 219 с.
8. Канторович, Л.В., Акилов. Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. - 752 с.
9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1976. - 542 с.
10. Треногин, В.А. Функциональный анализ. - М.:Наука, 1980. - 495 с.
11. Кульчицкий, С.Ю. О нахождении начального приближения для метода Ньютона // Журн. выч. матем. и матем. физики. - 1974. - Т.14, № 4. - С. 1016-1021.
12. Ермаков В.В., Калиткин Н.Н. Оптимальный шаг и регуляризация ме-
тода Ньютона // Журн. выч. матем. и матем. физики. -1981. - Т.21, №2. -С.491-497.
13. Лебедев К.А. Об одном способе нахождения начального приближения для метода Ньютона // Журн. выч. матем. и матем. физики. -1996. -Т.36, № 3. - С. 6-14.
14. Лебедев К.А. Экологически чистые электродиализные технологии (Математическое моделирование переноса ионов в в многослойных мембранных системах). Краснодар: КубГУ, - 2002. - С. 1-141.
15. Пчелинцев, М.В. Геометрический смысл метода Ньютона / М.В. Пчелинцев, Н.А. Скоркин // Вестник УрГУ, - 2009. - №22. - С.4-12.
16. Сулейманов С.С. Куриленко А.К., Лебедев К.А. Влияние конвективного слагаемого в уравнении Нернста - Планка на характеристики переноса ионов в заряженном канале синтетической мембраны // Экологический Вестник научных центров. КубГУ. - 2009. - №2. - C. 56-64
17. Василенко П.А., Сулейманов С.С., Лебедев К.А. Влияние стандартного химического потенциала на проницаемость мембран // Известия кубанского государственного университета. Естественные науки. - 2014. №3. -С.67-73.
18. Zabolotsky V.I., Achokh A.R., Lebedev K.A., Melnikov S.S. Specific selectivity of two-layer ion exchange membranes in ternary electrolyte solutions //J. Membr. Science 608 (2020) 118152 Volume 608, 1 August 2020, 118152 p.1-19. https://doi.org/10.1016/j.memsci. 2020.118152.
19. Ачох А. Р., Заболоцкий В.И., Лебедев К.А., Шарафан М.В., Ярославцев А.Б. // Электрохимические свойства и селективность двухслойных ионообменных мембран в тернарных растворах сильных электролитов // Мембраны и мембранные технологии, 2021, том 11, № 1, с. 1-22.
20. Василенко П.А., Сулейманов С.С. Лебедев К.А., Заболоцкий В. И.
Влияние конвекции и распределения фиксированных зарядов на перенос ионов в заряженных капиллярах // Наука Кубани. - 2011, №2 1, - С. 17-22.
21. Василенко П. А., Лебедев К.А.Математическое и численное моделирование процесса регулирования pН разбавленных растворов электролитов электродиализом с биполярными мембранами в длинных каналах // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2018. Т. 15. № 1. -С. 41-49
22. Василенко П.А. Утин С.В., Заболоцкий В.И., Лебедев К.А. Математическая модель процесса коррекции рН умягчённой воды в длинных каналах электродиализаторов с биполярными мембранами //Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ № 126 (02), Дата выпуска: 28.02.2017 - Режим доступа: http://ej.kubagro.m/archive.asp?n=126
23. Заболоцкий В.И., Утин С.В., Шельдешов Н.В., Лебедев К.А., Василенко П.А. Исследование процесса коррекции рН разбавленных растворов электролитов электродиализом с биполярными мембранами. // Электрохимия. - 2011. - Т.47, №3. - С. 343-348. [V. I. Zabolotskii, S. V. Utin, N. V. Shel’deshov, K. A. Lebedev, and P. A. Vasilenko // Russ. J. Electrochem. 2011. V. 47. P. 321].
24. Zabolotsky V.I., Achokh A.R., Lebedev K.A., Melnikov S.S. Specific selectivity of two-layer ion exchange membranes in ternary electrolyte solutions //J. Membr. Science 608 (2020) 118152. Volume 608, August 2020, 118152 p.119. https://doi.org/10.1016/j.memsci. 2020.118152
