CC BY
54
УДК 303.732.4+514.84+515.1+530.1
01.00.00 Физико-математические науки
2D МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ОСНОВНЫХ СОПРЯЖЕННЫХ ЭФФЕКТОВ НА ПЕРЕНОС ИОНОВ БИНАРНОЙ СОЛИ В ЭЛЕКТРОМЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ
Коваленко Анна Владимировна к.э.н., доцент
Scopus Author ID: 55328224000 SPIN-код автора: 3693-4813 Кубанский государственный университет, Россия,350040, Краснодар, Ставропольская, 149 savanna-05@mail. ru
Уртенов Махамет Али Хусеевич д.ф.-м.н., профессор Scopus Author ID: 6603363090 SPIN-код: 7189-0748
Кубанский государственный университет, Россия,350040, Краснодар, Ставропольская, 149, urtenovmax@mail. ru
Письменский Александр Владимирович к.ф.-м.н., доцент Scopus Author ID:13004856800 SPIN-код: 9932-7747
Кубанский государственный университет, Россия,350040, Краснодар, Ставропольская, 149, [email protected]
В статье предложена 2D математическая модель процесса переноса ионов бинарной соли с учетом основных сопряженных эффектов концентрационной поляризации в запредельном режиме: пространственного заряда и реакции диссоциации/ рекомбинации воды, гравитационной и электроконвекции и Джоулевого нагрева раствора в виде краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Эта система приведена к виду удобному для численного решения. Описаны необходимые краевые условия. В данной работе представлено теоретическое изучение взаимодействия вынужденной, гравитационной и электроконвекции, реакции диссоциации/ рекомбинации молекул воды, а также Джоулева нагрева раствора и переноса тепла через мембраны. Построена двумерная математическая модель нестационарного переноса ионов бинарной соли в гладком прямоугольном канале обессоливания электродиализного аппарата с использованием уравнений Нернста, Планка, Пуассона, теплопроводности и Навье, Стокса, и естественных краевых условий. Для численного решения используется метод конечных элементов, с расщеплением решаемой задачи на каждом новом временном слое на три подзадачи:
UDC 303.732.4+514.84+515.1+530.1 Physic and mathematics
2D SIMULATION OF THE INFLUENCE ON THE MAIN CONJUGATE EFFECTS ON ION TRANSPORT OF A BINARY SALT IN ELECTRO-MEMBRANE SYSTEMS
Kovalenko Anna Vladimirovna Cand.Econ.Sci., associate professor Scopus Author ID: 55328224000 SPIN-code: 3693-4813 Kuban State University, Krasnodar, Russia
Urtenov Makhamet Ali Khuseevich Dr.Sci.Phys.-Math., professor Scopus Author ID: 6603363090 SPIN-code: 7189-0748
Kuban State University, Krasnodar, Russia
Pismenskiy Alexander Vladimirovich Cand.Phys.-Math.Sci., associate professor Scopus Author ID:13004856800 SPIN-code: 9932-7747 Kuban State University, Krasnodar, Russia
There is a 2D mathematical model of ion transport binary salt with the main conjugate effects of concentration polarization in the overlimiting current mode: the bulk charge and the dissociation/ recombination of water, gravity and electroconvection and Joule heating the solution in the form of a boundary value problem for systems of differential equations with partial derivatives in the article. This system is presented in a form convenient for numerical solution. We describe the necessary boundary conditions. This article presents a theoretical study of the interaction of forced, gravitational and electroconvection, the dissociation / recombination of water molecules, and Joule heating of the solution and heat transport through membranes. We have constructed a mathematical model of two-dimensional non-stationary ion transport binary salt in a smooth rectangular channel desalting electrodialysis device using equations Nernst-Planck-Poisson, heat conduction and Navier-Stokes equations and the natural boundary conditions. For numerical solution we use the finite element method, with the splitting of task at each new time layer into three subtasks: electrochemical, thermal conductivity, hydrodynamic. Such approach to the development of numerical methods is the original and can solve arising in modeling boundary-value problems for a nonlinear
электрохимическую, теплопроводности, гидродинамическую. Такой подход к разработке численных методов является оригинальным и позволяет решить возникающие при моделировании краевые задачи для нелинейной системы уравнений с частными производными
Ключевые слова: ДИГИДРОФОСФАТ, ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИЯ, РЕАКЦИЯ ДИССОЦИАЦИИ, РЕАКЦИЯ РЕКОМБИНАЦИИ МОЛЕКУЛ ВОДЫ, ЭЛЕКТРОМЕМБРАННЫЕ СИСТЕМЫ, ОБЛАСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА, КАТИОНООБМЕННАЯ МЕМБРАНА, АНИОНООБМЕННАЯ МЕМБРАНА
Бок 10.21515/1990-4665-123-117
Введение.
Концентрационная поляризация в электромембранных системах (ЭМС) при переносе ионов бинарной соли в запредельном режиме сопровождается рядом сопряженных эффектов, основными из которых считаются электроконвекция и гравитационная конвекция, реакция диссоциации/рекомбинации молекул воды и Джоулевый нагрев раствора при прохождении через него электрического тока.
В настоящее время электроконвекция считается основной причиной сверхпредельного переноса ионов соли в узких каналах обессоливания (КО) ЭМС [1-7, 21, 24]. В этих работах электроконвекция в ЭМС рассматривается, с использованием математического моделирования, как результат взаимодействия электрического поля с индуцированным этим полем пространственным зарядом, локализованным на межфазной границе мембрана/раствор в неподвижном обессоленном растворе. Работы по электроконвекции описаны и проанализированы в обзорах [6] и [7].
В то же время в относительно широких КО согласно результатам теоретических [8] и экспериментальных исследований [9] роль гравитационной конвекции является преобладающей [18, 19].
Во всех этих работах не учитывается реакция диссоциации/ рекомбинации молекул воды [10], причем диссоциация сопровождается
system of partial differential equations
Keywords: DIHYDROGEN PHOSPHATE, ELECTROCONVECTION, DISSOCIATION REACTION, RECOMBINATION REACTION OF MOLECULES OF WATER, ELECTRO-MEMBRANE SYSTEMS, SPACE CHARGE REGION, CATION EXCHANGE MEMBRANE, ANION EXCHANGE MEMBRANE
поглощением, а рекомбинация выделением тепла. Появление новых носителей заряда может в принципе уменьшить пространственный заряд и предотвратить электроконвекцию, а выделение и поглощения тепла инициировать гравитационную конвекцию. В работе [10] впервые построена 2Б модель переноса ионов соли в ЭМС с учетом вынужденного течения раствора, диссоциации молекул воды и электроконвекции, но без учета гравитационной конвекции. С использованием этой модели показано, что при невысокой интенсивности диссоциации молекул воды действительно происходит ослабление электроконвекции, и, как следствие, к снижению сверхпредельного переноса ионов соли. Однако при дальнейшем увеличении скачка потенциала (или времени) электроконвекция возникает и начинает эффективно перемешивать раствор, что способствует усилению сверхпредельного переноса ионов соли. С другой стороны увеличение скачка потенциала приведет к усилению реакции диссоциации молекул воды в мембране, и, соответственно, увеличению поглощения тепла в мембране и выделению тепла в растворе за счет рекомбинации ионов водорода и гидроксила в растворе. А это в свою очередь может усилить гравитационную конвекцию и затруднить электроконвекцию.
Таким образом, наличие противоположных тенденций делает теоретическое и экспериментальное исследование переноса ионов соли при совместном учете вынужденной конвекции, гравитационной и электроконвекции, реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды, а также и Джоулевого нагрева раствора актуальной проблемой.
В данной работе строится соответствующая математическая модель с использованием уравнений Нернста-Планка-Пуассона, теплопроводности и Навье-Стокса, и естественных краевых условий.
Для численного решения используется метод конечных элементов, с расщеплением решаемой задачи на каждом новом временном слое на три
подзадачи:
1) электрохимическую (2Б уравнения Нернста-Планка и Пуассона и уравнение реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды), решение которой дает распределение концентраций ионов соли, напряженности электрического поля, мощность источников и стоков тепла,
2) теплопроводности (2Б уравнение теплопроводности с источником и стоком тепла, вызванных Джоулевым разогревом раствора (источник тепла) и рекомбинации молекул воды (сток тепла)),
3) гидродинамическую задачу (2Б уравнения Навье-Стокса с подъемными Архимедовыми силами, ответственными за тепловую конвекцию и концентрационную конвекцию, а также электроконвекцию).
Такой подход к разработке численных методов является оригинальным и позволяет решить возникающие при моделировании краевые задачи для нелинейной системы уравнений с частными производными.
1. Физическая постановка задачи
В работе [11] обосновано, что при математическом моделировании процесса обессоливания во многих случаях достаточно рассмотреть тепломассоперенос только в КО, считая концентрацию и температуру в камерах концентрирования постоянной и учитывая влияние катионообменной (КМ) и анионообменной мембран (АМ) в виде граничных условий.
Чтобы теоретически изучить взаимодействие вынужденной, гравитационной и электроконвекции, реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды, а также Джоулева нагрева раствора и переноса тепла через мембраны, построим математическую модель нестационарного переноса ионов бинарной соли в гладком прямоугольном КО электродиализного аппарата (ЭДА) [22, 23] (рис. 1).
Согласно современным представлениям [12] диссоциация молекул воды представляет собой каталитическую реакцию, проходящую внутри ионообменных мембран, примыкающих к межфазной границе, причем с поглощением тепла. В связи с этим удобно учитывать реакцию диссоциации молекул воды в виде краевых условий на поток ионов H + и OH-, зависящие от скачка потенциала на межфазных границах ионообменная мембрана/раствор. В то же время реакция рекомбинации ионов H + и OH- происходит в глубине раствора, причем с выделением тепла. Эту реакцию удобно учитывать в уравнениях математической модели. Обе эти реакции протекают сравнительно быстро и поэтому они локализованы в узких областях, которые гораздо меньше, например, толщины диффузионного слоя, толщины области пространственного заряда и толщины мембраны [13, 14].
В ЭМС очистки воды, как правило, применяется два основных режима эксплуатации ЭДА: гальванодинамический (гальваностатический) и потенциодинамический (потенциостатический). В данной работе исследуется потенциодинамический режим. Будем считать, что рассматриваемые КМ и АМ являются гомогенными и идеально селективными [24].
2. Общая математическая модель. При математическом моделировании будем считать ширину КО ЭДА, равной И, а длину L, ось Ох направим поперек, а ось Оу вдоль канала, причем при х = 0 расположена АМ, а при х = И КМ, у = 0 соответствует входу в канал, а у = Ь выходу из канала.
2.1 Уравнения. При указанных выше в п.1 предположениях перенос ионов соли, а также электроконвекция и гравитационная конвекция с учетом реакции рекомбинации молекул воды и Джоулевого нагрева раствора описываются системой уравнений (1-7) [18, 19].
Рисунок 1. Схематическое изображение КО: у-угол наклона; Слева - АМ; справа - КМ; Ь, Н - длина и ширина канала; У0 - средняя скорость прокачивания раствора.
и = Е - Д УС,- + су, I = 1.....4
яъ
эс
дх
=-d.lv^ + Я;, I = 1,...,4
ег Аф = -^ (^С + г2С2 + г3С3 + ^4С4 )
1 = р (г\Ь + г2Ь + г3 Ъ + г4Ъ )
гЬТ 11
— + (У,УТ) = аАТ + -— О + -— С
дУ и и 1 и 1 и
— + ( УУ )У =--УР + ПАУ +—/,
дх Р0 Р0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
(Лу( У) = 0,
Здесь ]1,С1 - потоки и концентрации I - сорта ионов (I = 1- соответствует
Ыа +, I = 2 - СГ, I = 3 - ОН-, I = 4- Н + или, что более точно Н30 +, так как,
протон в растворе гидратирован, т.е. окружен молекулами воды), У -^//ед .kubagro.ru/2016/06/pdf/117.pdf
скорость течения раствора электролита, Т - абсолютная температура раствора, 21,01 - зарядовые числа и коэффициенты диффузии
соответствующих ионов, V - градиент, А - оператор Лапласа, р0-характерная плотность раствора, Р - давление, ег - диэлектрическая проницаемость электролита, ^ - постоянная Фарадея, я - газовая постоянная, т0 - абсолютная начальная температура раствора, г - время,
V - коэффициент кинематической вязкости. При этом Р, V, ф,1, ]1,С1, т -неизвестные функции, зависящие от времени г и координат х, у .
В системе (1-7) уравнения (1-4) описывают электрохимические поля, уравнение (5) температурное поле, а уравнения Навье-Стокса (6), (7) описывают движение раствора под действием пространственной электрической силы, я - гомогенные химические реакции, О = (Е,1) -мощность Джоулева нагрева раствора [15], Q - мощность источников тепла, выделяющегося за счет рекомбинации молекул воды, / -пространственные силы [25-27].
Замечание 1. Подставляя (1) в (2) можно исключить потоки и получить уравнения концентраций:
дС ^ - -
^ = Е - В, VCl + СМ + я,, I = 1,...,4 или
дг ЯТ0
дС ^ - -
= Е) + В АС, -+ Я,, I = 1,...,4
дг ЯТ0
При моделировании реакции диссоциации/рекомбинации будем предполагать, что
Я1 = Я2 = 0, Я3 = Я4 = КйСИ2О - КгС3С4 , (8)
где К^ - константа скорости диссоциации воды, Кг - константа скорости рекомбинации ионов И + и ОИ-, соответственно. Формулу (8) можно
переписать в виде я3 = я4 = КйСН2<0 - КГС3С4 = Кг(к„ - С3С4 ), где , Kd „
к^ =-^СН20 - константа равновесия.
Количество тепла выделяющегося при образовании 1 моль воды равно 56.6 кДж/моль [4]. Следовательно, мощность С источников тепла выделяющегося в каждой точке х пропорционально количеству молей образующихся молекул воды КГС3С4, за вычетом количества дислоцирующих молекул КйСН 2<0, с коэффициентом пропорциональности к = 56,6 кДж/моль, т.е. С = к(КгС3С4 -КйСНг0) .
Из формул (6) и (7) [1] получаем КГС3С4 - КЛСН20 = тогда
С = -к • (9)
Поглощение тепла при реакции диссоциации молекул воды будем учитывать в виде граничных условий типа стока тепла.
В данной работе в качестве пространственных сил рассматриваются электрическая и подъемная силы, поэтому плотность пространственных сил равна (10), где (11) - плотность электрической силы.
У = /е1 + Л , (10)
/е1 = р • Е = -е - Аф • Е = е - Аф- Уф = е - Е • divË , (11)
Ъ =- ¿Ар. (12)
Здесь (12) - плотность архимедовых сил плавучести, где Ар = р-р0 -изменение плотности, Р - плотность раствора, Р0 - характерная средняя плотность раствора, Ъ - вектор ускорения свободного падения.
В работе [10] температура раствора предполагалась постоянной, т.е. игнорировался Джоулев нагрев раствора, что допустимо для не слишком разбавленных растворов. В этом случае плотность раствора не зависит от
температуры. В данной работе мы учитываем Джоулев нагрев раствора, и, соответственно, зависимость плотность раствора от температуры.
Выберем в жидкости произвольный объем и разложим функцию р(Р,С,...,С4,Т) в ряд Тейлора около характерных значений давления Р0 и концентрации С0 и температуры Т0.
Ограничиваясь первыми членами разложения, получим
р =Р0 +дР(Р-Р0 ) +^(С1 -С0) (С2 -С0) (С3 -С0) (С4 -С0) +
дР С дС2 дС3 дС4 (13)
+дтт(т - Т0)
Будем использовать приближение Буссинеска и пренебрегать вторым слагаемым в правой части (13). Для рассматриваемой задачи получаем:
Ар=Р-Р0 =-Эр- (С - с )+-,р- (С2 - С)+-,р- (С3 - С )+-Эр- (С4 - С )+
0 тс эС2 ЭС3 ЭС4 (14)
+ТТ(т - Т))
Величины др/ЭС,, др/дТ в формуле (14), вообще говоря, зависят от концентраций С,С2,С3,С4 и температуры Т, но при небольших изменениях С,С2,С3,С4,Т их можно считать постоянными [16]:
др = а, » 0.04-^, I = 1,4, др = ат =-0.2^-^3^. (15)
дС, 1 моль' дТ м3к
Таким образом, плотность архимедовых сил плавучести в приближении Буссинеска при небольших изменениях С1,С2,С3,С4,Т равна
/8 =-§{а1(С1 - С0 ) + ... + а4 (С4 - С0 ) + ат(Т - Т0 )). (16)
В предложенной системе ф,1, V,Р,Т - неизвестные функции, в общем случае зависящие от времени г и координат х, у, а остальные величины считаются известными. Уравнения Навье-Стокса (6), (7) с учетом введенных выше сил описывают гравитационную конвекцию и электроконвекцию.
2.2 Краевые условия.
Поверхности мембран считаются эквипотенциальными (17):
ф(Н, у, X) - ф(0, у, X) = dф (X), X > 0, у е [0,Ь] (17)
где dф (х) - известная функция, задающая скачок потенциала на КО по
времени, например dф (х) = d0 + d1 • х, где do - начальный скачок, а d1 - темп
прироста скачка потенциала.
1) На поверхности АМ выполняются условия [6]:
С2 (0,у,х) = Сат, С3(0,у,х) = 0, X > 0,у е [ 0,Ь] . (18)
п • Jl = -п •
С ^ >
г1Д1С1Уф-Д1УС1 + С1У = 0. (19)
Я0
74,1 =У1еУ2Ё1ту), 74,2 = 0 или - и • 74 =-У1еУ2Ё1«,0у . (20) Вместо (20) удобно использовать условие - п • 74 = -у^У2dф 0 , где dф,o
скачок потенциала на границе АМ/раствор. Можно показать, что [17] dф,o
С
пропорционально Iп»1пС2т , следовательно, условие (20) запишется в
С2,
виде - п • ^4 =-У1С2т
¥(0,у,х,) = 0 , X > 0,у е [0,Ь] , ЪТ(°'у,х) = -к(Т(0,у,х) - Т0) -0(0,у,х) . (21)
дх
Здесь и далее п - вектор внешней нормали. 2) На поверхности КМ выполняются условия [6]:
С\(Н,у,х) = Скт , С4(Н,у,х) = 0, X > 0,у е [0,Ь] . (22)
п • 72 = п •
С ^ >
г 2 Д2С2Уф-Д2УС2 + С2У = 0 (23)
V яъ0
- п 73 =У3еУ4Ё1(хН,у) (24)
Как и выше, вместо (24) можно использовать условие - п • 73 = -у2 С1т .
дТ(Н'у ° = -к(Т(Н,у,х) - Т0) -С(Н,у,х) . (25)
х
3) На входе в канал обессоливания выполняются условия [6]: ^//ед .kubagro.ru/2016/06/pdf/117.pdf
С1(х,0,г) = С1т, С2 (х,0,г) = С2т, г > 0,х е [0,Н]. (26)
С3(х,0,г) = С3(Н,0,г), С4(г,х,0) = С4(0,0,г), г > 0,хе [0,Н]. (27)
РТ
П . Уф = -п . У^ад + 72Б2С2)—2-2-. (28)
Vx(x,y,0) = 0, Vy(x,y,0) = 6Vo -X [1 - Н), Т (х,0,г ) = Т0. (29)
4) На выходе из канала выполняются условия [6]:
Ф-» = 0, , = 1,...,4 (30)
ЯТ0 ду ду
дт (х,и), Р(0,ь,г) = Р(Н,ь,г) = Р0. (31)
дх
Для скорости на выходе задается условие отсутствия нормальных напряжений.
5) Начальные условия при г = 0 примем, согласованными с краевыми:
х
С (0,х,у ) = Сф,, = 1,...,4, ф(х,у,0) = ёф н , Т(х,у,0) = Т0, (32)
Vx(x,y,0) = 0, Vy(x,y,0) = 6Vo нН-Н) . (33)
3. Упрощенная математическая модель для половины канала
В частном случае при равенстве коэффициентов диффузии катионов и анионов, и вертикальном положении канала, течение в канале будет симметричным относительно центральной оси канала. В этом случае, имеет смысл рассматривать левую или правую половины канала.
Пусть теперь х = 0 соответствует середине канала, а при х = Н расположена идеально селективная КМ, а у = 0 и у = Ь соответствует входу и выходу из канала.
Граничные условия при х = Н, на входе и выходе остаются без изменений, исключая условие на скорость на входе, где вместо параболы Пуазейля используется полупарабола.
В ядре потока (середине канала) (х = о) для концентраций задаются такие же условия, как на входе, для потенциала задается условие j(0,y,t ) = 0 [10] . Значения концентраций при х = о, должны удовлетворять условию электронейтральности.
Заключение.
В статье предложена 2D математическая модель процесса переноса ионов бинарной соли с учетом основных сопряженных эффектов концентрационной поляризации в запредельном режиме: пространственного заряда и реакции диссоциации/рекомбинации воды, гравитационной и электроконвекции и Джоулевого нагрева раствора в виде краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Эта система приведена к виду удобному для численного решения. Описаны необходимые краевые условия. Численному и асимптотическому решению этой краевой задачи и физико-химическому анализу влияния сопряженных эффектов концентрационной поляризации на перенос ионов соли предполагается посвятить следующие работы.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-08-00128 А "Теоретическое и экспериментальное исследование гравитационной конвекции в мембранных системах с учетом реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды".
Библиографический список
1. Духин, С.С. Исчезновение феномена предельного тока в случае гранулы ионита / С.С. Духин, Н А. Мищук // Коллоидный журнал. - 1989. - Т. 51, № 4. - С. 659-671.
2. Духин, С.С. Электроосмос второго рода и неограниченный рост тока в смешанном монослое ионита / С.С. Духин, Н.А. Мищук, П.В. Тахистов // Коллоидный журнал. - 1989. - Т. 51, № 3. - С. 616-618.
3. Rubinstein, I. Electro-osmotic slip and electroconvective instability/ I. Rubinstein, B. Zaltzman // J. Fluid Mech. - 2007. -V. 579. - Р. 173-226.
4. Rubinstein, I. Electro-osmotically induced convection at a permselective membrane / I. Rubinstein, B. Zaltzman // PHYSICAL REVIEW E. - 2000. - V. 62, № 2. - P. 2238-2251
5. Dydek, E.V. Overlimiting Current in a Microchannel / E.V. Dydek, B. Zaltzman, I. Rubinstein, D.S. Deng, A. Mani, M.Z. Bazant // Phys. Rev. Let. - 2011 - V. 107. P. 118301.
6. Basic mathematical model of overlimiting transfer enhanced by electroconvection in flow-through electrodialysis membrane cells / Urtenov M.K., Uzdenova A.M., Nikonenko V.V., Pismenskaya N.D., Kovalenko A.V., Vasil'eva V.I., Sistat P., Pourcelly G.// Journal of Membrane Science: научный журнал. - 447. 2013. 190-202pp. http://dx.doi.org/10.1016/_j.memsci.2013.07.033
7. Nikonenko V., Kovalenko A., Urtenov M., Pismenskaya N., Han J., Sistat P., Pourcelly G. / Desalination at overlimiting currents: State-of-the-art and perspectives // Desalination. Elsevier. 342 (2014) pp. 85-106
8. Письменский А.В., Уртенов М.Х., Никоненко В.В., Систа Ф., Письменская Н.Д., Коваленко А.В. Моделирование и экспериментальное исследование гравитационной конвекции в электромембранной ячейке // Электрохимия. - Т.48.- № 7. Москва. Maik Nauka/Interperiodica. 2012. c. 830-841
9. Певницкая М.В. Интенсификация массопереноса при электродиализе разбавленных растворов // Электрохимия. 1992. - Т.28, № 11. - С. 1708-1715.
10. Коваленко А.В. / Влияние диссоциации воды на развитие электроконвекции в мембранных системах // Конденсированные среды и межфазные границы, Том 16, № 3, 2014. С. 288—29311.
11. Заболоцкий В.И., Гнусин Н.П., Никоненко В.В., Уртенов М.Х. Конвективно-диффузионная модель процесса электродиализного обессоливания. Распределение концентраций и плотности тока // Электрохимия. 1985. Т.21, №3. С.296-302.
12. Шельдешов Н.В. Процессы с участием ионов водорода и гидроксила в системах с ионообменными мембранами. Дисс. док. хим. н. по спец. ВАК 02.00.05. 2002. 405 с.
13. Сокирко А.В., Харкаца Ю.И. К теории эффекта экзальтации миграционного тока в кислых средах//Электрохимия, 1989, т.ХХУ, вып.2, стр.232-239
14. Коваленко А.В. Влияние реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды на перенос 1:1 электролита в мембранных системах в диффузионном слое. Часть 2. Асимптотический анализ / Коваленко А.В., Уртенов М.-Али Х., Сеидова Н.М., Письменский А.В. // Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №08(122). - Режим доступа: http://ej .kubagro.ru/2016/08/pdf/17.pdf
15. Ньюмен Дж. Электрохимические системы. М.: Мир, 1977. 463 с.
16. Волгин В.М., Давыдов А.Д. Естественно-конвективная неустойчивость электрохимических систем // Электрохимия. 2006. Т.42. №6. С.635-678.
17. Заболоцкий, В.И. Перенос ионов в мембранах / В.И. Заболоцкий, В.В. Никоненко. - М.: Наука, 1996. - 390 с.
18. Pismenskiy A.V., Urtenov M.K., Kovalenko A.V., Mareev S.V. Electrodialysis desalination process in conditions of mixed convection // Desalination and Water Treatment. 2014. № 1-3. Режим доступа: http://dx.doi.org/10.1080/19443994.2014.981407 (дата обращения 12.01.2015)
19. Письменский А.В., Коваленко А.В., Уртенов М.Х. Математическое моделирование процессов массопереноса в электромембранных системах в условиях одновременного действия вынужденной, гравитационной и электроконвекции. Зависимость от начальной концентрации // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС). 2014. № 3. с. 59-68
20. Коваленко А.В., Узденова А.М., Уртенов М.А.Х., Никоненко В.В. Критериальные числа образования нестабильных электроконвективных вихрей в канале обессоливания электродиализного аппарата // Сорбционные и хроматографические процессы. 2014. Т. 14. № 2. С. 260-269.
21. Коваленко А.В., Узденова А.М., Уртенов М.Х., Никоненко В.В. Критериальные числа возникновения электроконвекции в камере обессоливания электродиализатора // Конденсированные среды и межфазные границы. 2013. Т. 15. № 4. С. 404-412.
22. Коваленко А.В. 2D моделирование переноса произвольного бинарного электролита в электромембранных системах при выполнении условия электронейтральности // Фундаментальные исследования. 2015. № 11-2. С. 257-266.
23. Коваленко А.В. Численный анализ 2D модели ЗОМ переноса симметричного бинарного электролита // Фундаментальные исследования. 2015. № 11-1. С. 59-65.
24. Nikonenko V.V., Vasil'eva V.I., Akberova E.M., Uzdenova A.M., Urtenov M.K., Kovalenko A.V., Pismenskaya N.P., Mareev S.A., Pourcelly G. Competition between diffusion and electroconvection at an ion-selective surface in intensive current regimes // Advances in Colloid and Interface Science. No. 235. 2016. P. 233-246. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.cis.2016.06.014
25. Коваленко А.В., Уртенов М.Х., Сеидова Н.М., Письменский А.В. Влияние реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды на перенос 1:1 электролита в мембранных системах в диффузионном слое. Часть 1. Математическая модель // Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ. 2016. № 121. С. 1929-1941.
26. Коваленко А.В., Уртенов М.Х., Герюгова A.A. Электроосмос в микро - и наноканалах. часть 1. вывод иерархической системы математических моделей с использованием метода декомпозиции // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2015. № 114. С. 370-387.
27. Коваленко А.В., Письменский А.В., Уртенов М.Х. Теория подобия электромембранных систем с учетом вынужденной, гравитационной и электроконвекции // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2015. № 105. С. 866-887.
References
1. Duhin, S.S. Ischeznovenie fenomena predel'nogo toka v sluchae granuly ionita / S.S. Duhin, N.A. Mishhuk // Kolloidnyj zhurnal. - 1989. - T. 51, № 4. - S. 659-671.
2. Duhin, S.S. Jelektroosmos vtorogo roda i neogranichennyj rost toka v smeshannom monosloe ionita / S.S. Duhin, N.A. Mishhuk, P.V. Tahistov // Kolloidnyj zhurnal. - 1989. -T. 51, № 3. - S. 616-618.
3. Rubinstein, I. Electro-osmotic slip and electroconvective instability/ I. Rubinstein, B. Zaltzman // J. Fluid Mech. - 2007. -V. 579. - R. 173-226.
4. Rubinstein, I. Electro-osmotically induced convection at a permselective membrane / I. Rubinstein, B. Zaltzman // PHYSICAL REVIEW E. - 2000. - V. 62, № 2. - P. 2238-2251
5. Dydek, E.V. Overlimiting Current in a Microchannel / E.V. Dydek, B. Zaltzman, I. Rubinstein, D.S. Deng, A. Mani, M.Z. Bazant // Phys. Rev. Let. - 2011 - V. 107. P. 118301.
6. Basic mathematical model of overlimiting transfer enhanced by electroconvection in flow-through electrodialysis membrane cells / Urtenov M.K., Uzdenova A.M., Nikonenko V.V., Pismenskaya N.D., Kovalenko A.V., Vasil'eva V.I., Sistat P., Pourcelly G.// Journal of Membrane Science: nauchnyj zhurnal. - 447. 2013. 190-202pp. http://dx.doi.org/10.1016/j.memsci.2013.07.033
7. Nikonenko V., Kovalenko A., Urtenov M., Pismenskaya N., Han J., Sistat P., Pourcelly G. / Desalination at overlimiting currents: State-of-the-art and perspectives // Desalination. Elsevier. 342 (2014) pp. 85-106
8. Pis'menskij A.V., Urtenov M.H., Nikonenko V.V., Sista F., Pis'menskaja N.D., Kovalenko A.V. Modelirovanie i jeksperimental'noe issledovanie gravitacionnoj konvekcii v jelektromembrannoj jachejke // Jelektrohimija. - T.48.- № 7. Moskva. Maik Nauka/Interperiodica. 2012. c. 830-841
9. Pevnickaja M.V. Intensifikacija massoperenosa pri jelektrodialize razbavlennyh rastvorov // Jelektrohimija. 1992. - T.28, № 11. - S. 1708-1715.
10. Kovalenko A.V. / Vlijanie dissociacii vody na razvitie jelektrokonvekcii v membrannyh sistemah // Kondensirovannye sredy i mezhfaznye granicy, Tom 16, № 3, 2014. S. 288—29311.
11. Zabolockij V.I., Gnusin N.P., Nikonenko V.V., Urtenov M.H. Konvektivno-diffuzionnaja model' processa jelektrodializnogo obessolivanija. Raspredelenie koncentracij i plotnosti toka // Jelektrohimija. 1985. T.21, №3. S.296-302.
12. Shel'deshov N.V. Processy s uchastiem ionov vodoroda i gidroksila v sistemah s ionoobmennymi membranami. Diss. dok. him. n. po spec. VAK 02.00.05. 2002. 405 s.
13. Sokirko A.V., Harkaca Ju.I. K teorii jeffekta jekzal'tacii migracionnogo toka v kislyh sredah//Jelektrohimij a, 1989, t.XXV, vyp.2, str.232-239
14. Kovalenko A.V. Vlijanie reakcii dissociacii/rekombinacii molekul vody na perenos 1:1 jelektrolita v membrannyh sistemah v diffuzionnom sloe. Chast' 2. Asimptoticheskij analiz / Kovalenko A.V., Urtenov M.-Ali H., Seidova N.M., Pis'menskij A.V. // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal KubGAU [Jelektronnyj resurs]. -Krasnodar: KubGAU, 2016. - №08(122). - Rezhim dostupa: http://ej .kubagro.ru/2016/08/pdf/17.pdf
15. N'jumen Dzh. Jelektrohimicheskie sistemy. M.: Mir, 1977. 463 s.
16. Volgin V.M., Davydov A.D. Estestvenno-konvektivnaja neustojchivost' jelektrohimicheskih sistem // Jelektrohimija. 2006. T.42. №6. S.635-678.
17. Zabolockij, V.I. Perenos ionov v membranah / V.I. Zabolockij, V.V. Nikonenko. -M.: Nauka, 1996. - 390 s.
18. Pismenskiy A.V., Urtenov M.K., Kovalenko A.V., Mareev S.V. Electrodialysis desalination process in conditions of mixed convection // Desalination and Water Treatment. 2014. № 1-3. Rezhim dostupa: http://dx.doi.org/10.1080/19443994.2014.981407 (data obrashhenija 12.01.2015)
19. Pis'menskij A.V., Kovalenko A.V., Urtenov M.H. Matematicheskoe modelirovanie processov massoperenosa v jelektromembrannyh sistemah v uslovijah odnovremennogo dejstvija vynuzhdennoj, gravitacionnoj i jelektrokonvekcii. Zavisimost' ot nachal'noj koncentracii // Jekologicheskij vestnik nauchnyh centrov Chernomorskogo jekonomicheskogo sotrudnichestva (ChJeS). 2014. № 3. s. 59-68
20. Kovalenko A.V., Uzdenova A.M., Urtenov M.A.H., Nikonenko V.V. Kriterial'nye chisla obrazovanija nestabil'nyh jelektrokonvektivnyh vihrej v kanale obessolivanija jelektrodializnogo apparata // Sorbcionnye i hromatograficheskie processy. 2014. T. 14. № 2. S. 260-269.
21. Kovalenko A.V., Uzdenova A.M., Urtenov M.H., Nikonenko V.V. Kriterial'nye chisla vozniknovenija jelektrokonvekcii v kamere obessolivanija jelektrodializatora // Kondensirovannye sredy i mezhfaznye granicy. 2013. T. 15. № 4. S. 404-412.
22. Kovalenko A.V. 2D modelirovanie perenosa proizvol'nogo binarnogo jelektrolita v jelektromembrannyh sistemah pri vypolnenii uslovija jelektronejtral'nosti // Fundamental'nye issledovanija. 2015. № 11-2. S. 257-266.
23. Kovalenko A.V. Chislennyj analiz 2D modeli ZOM perenosa simmetrichnogo binarnogo jelektrolita // Fundamental'nye issledovanija. 2015. № 11-1. S. 59-65.
24. Nikonenko V.V., Vasil'eva V.I., Akberova E.M., Uzdenova A.M., Urtenov M.K., Kovalenko A.V., Pismenskaya N.P., Mareev S.A., Pourcelly G. Competition between diffusion and electroconvection at an ion-selective surface in intensive current regimes // Advances in Colloid and Interface Science. No. 235. 2016. P. 233-246. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.cis.2016.06.014
25. Kovalenko A.V., Urtenov M.H., Seidova N.M., Pis'menskij A.V. Vlijanie reakcii dissociacii/rekombinacii molekul vody na perenos 1:1 jelektrolita v membrannyh sistemah v diffuzionnom sloe. Chast' 1. Matematicheskaja model' // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal KubGAU. 2016. № 121. S. 1929-1941.
26. Kovalenko A.V., Urtenov M.H., Gerjugova A.A. Jelektroosmos v mikro - i nanokanalah. chast' 1. vyvod ierarhicheskoj sistemy matematicheskih modelej s ispol'zovaniem metoda dekompozicii // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2015. № 114. S. 370-387.
27. Kovalenko A.V., Pis'menskij A.V., Urtenov M.H. Teorija podobija jelektromembrannyh sistem s uchetom vynuzhdennoj, gravitacionnoj i jelektrokonvekcii // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. 2015. № 105. S. 866-887..
