CC BY
55
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
1
УДК 544.638.2:51-74
01.00.00 Физико-математические науки
ЭЛЕКТРООСМОС В МИКРО - И НАНОКАНАЛАХ. ЧАСТЬ 1. ВЫВОД ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ
Коваленко Анна Владимировна к.э.н., доцент
РИНЦ SPIN-код автора: 3693-4813 Scopus Author ID: 55328224000
Уртенов Махамет Али Хусеевич д.ф.-м.н., профессор РИНЦ SPIN-код: 7189-0748 Scopus Author ID: 6603363090 Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия
Г ерюгова Аминат Аликовна аспирантка кафедры математического анализа Карачаево-Черкесский государственный университет, Карачаевск, Россия
Микро- и нанофлюидика - новые междисциплинарные области науки, одной из задач, которых является создание и управление потоками жидкости в тонких каналах размером несколько десятков нано- или микрометров под воздействием внешнего электрического поля, стенками которых служат ионообменные мембраны. Важную роль в этих задачах играет электроосмос (электроконвекция), движение раствора под действием внешнего поля. Электроосмосу посвящено большое число работ. Духин С. С. и Мищук Н. А., и Рубинштейн И. первыми дали теоретическое объяснение сверхпредельного тока электроосмосом. Для расчета течения раствора электролита они использовали двумерное уравнение Стокса, а для расчета величины электрической силы -одномерные уравнения Нернста-Планка и Пуассона. Однако из-за вычислительных сложностей исследования двумерных уравнений при математическом моделировании в этих работах имеются множественные ограничения. Таким образом, возникает актуальная проблема асимптотического решения краевых задач для двумерных систем уравнений Нернста-Планка и Пуассона без этих ограничений. В данной работе, с использованием метода декомпозиции выведены упрощенные модели электроосмоса в гальванодинамическом режиме. В работе, создана иерархическая система двумерных математических моделей переноса ионов соли и электроосмоса в
UDC 544.638.2:51-74
Physics and Mathematical sciences
ELECTRO-OSMOSIS IN MICRO - AND NANOCHANNELS. PART 1. AN OUTPUT OF A HIERARCHICAL SYSTEM OF MATHEMATICAL MODELS USING THE METHOD OF DECOMPOSITION
Kovalenko Anna Vladimirovna Cand.Econ.Sci., associate professor RSCI SPIN-code: 3693-4813 Scopus Author ID: 55328224000
Urtenov Makhamet Ali Khuseevich
Dr.Sci.Phys.-Math., professor
RSCI SPIN-code: 7189-0748
Scopus Author ID: 6603363090
Kuban State University, Krasnodar, Russia
Gerugova Aminat Alikovna
postgraduate student of the Faculty of mathematical
analysis
Karachaevo-Circassian state university, Karachaevsk, Russia
Micro and nanofluidics are the new multidisciplinary sciences. One of the tasks of which is creation and management of flow of fluid in the thin channels size of a few nano- or micrometer which exposed the external electric field, where the walls are the ion exchange membrane. Electroosmosis (electroconvection) plays an important role in these tasks. A large number of articless were devoted to electroosmosis. One of the first, Dukhin S.S., Mishchuk N.A. and Rubinstein I. gave a theoretical explanation of the overlimiting current by electroosmosis. They used two-dimensional Stokes equation to calculate the flow of the electrolyte, and one-dimensional equations of Nernst-Planck and Poisson to calculate the electric power. These researches have multiple limitations because of the computational complexity the mathematical simulation. Thus, there is an actual problem of the asymptotic solution of boundary value problems for the two-dimensional systems of equations of Nernst-Planck and Poisson without these restrictions. These researches we derived in simplified models of electroosmosis in galvanic dynamical mode using the decomposition method. We have created a hierarchical system of two-dimensional mathematical models of ion transport of salt and electroosmosis in micro- and nanochannels formed by selective ion-exchange membranes
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
2
микро-и наноканалах, образованных селективными ионообменными мембранами
Ключевые слова: МЕМБРАННАЯ СИСТЕМА, ИОНООБМЕННАЯ МЕМБРАНА, ЭЛЕКТРОДИАЛИЗ, ЭЛЕКТРООСМОС, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, МИКРОКАНАЛ, НАНОКАНАЛ, ГАЛЬВАНОДИНАМИЧЕСКИЙ РЕЖИМ
Keywords: MEMBRANE SYSTEM, ION EXCHANGE MEMBRANE, ELECTRO-DIALYSIS, ELECTRO OSMOSIS, MATHEMATICAL MODEL, MICRO-CHANNEL, NANO-CHANNEL, GALVAN DYNAMIC MODE
ВВЕДЕНИЕ
Микро- и нанофлюидика - новые междисциплинарные области науки, одной из задач, которых является создание и управление потоками жидкости в тонких каналах размером несколько десятков нано- или микрометров. В статье рассматриваются задачи, в которых стенками каналов служат ионообменные мембраны и накладывается внешнее электрическое поле. Такие задачи возникают в молекулярной биологии, при создании «лабораторий на чипе», в микро- и нанофлюидных устройствах [1-3]. Важную роль в этих задачах играет электроосмос (электроконвекция), движение раствора под действием внешнего поля. Электроосмосу посвящено большое число работ. Духин С.С. и Мищук Н.А. [6, 17], и Рубинштейн И. [19, 20] первыми дали теоретическое объяснение сверхпредельного тока электроосмосом. Для этого они использовали двумерное уравнение Стокса для расчета течения раствора электролита и одномерные уравнения Нернста-Планка и Пуассона для расчета величины электрической силы. Однако в этих работах для математического моделирования накладываются следующие ограничения: отсутствует вынужденная конвекция, уравнение Пуассона используется лишь для одномерного случая, а в двумерном случае вместо него используется условие электронейтральности в сочетании с условием скольжения на межфазной границе. Использование приближенных решений краевых задач для одномерных [9, 10, 12-14, 16], а не двумерных уравнений Нернста-Планка и Пуассона объясняется математическими сложностями исследования двумерных уравнений.
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
3
Впервые исследование электроконвекции на основе численного решения двумерной системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона и Навье-Стокса проведено в работах [15, 18, 21] с некоторыми
ограничениями на величины начальной концентрации и скорости протока раствора. Таким образом, возникает актуальная проблема
асимптотического решения краевых задач для двумерных систем уравнений Нернста-Планка и Пуассона без этих ограничений.
Электромембранные системы функционируют в двух разных электрических режимах: потенциодинамическом (потенциостатическом), когда задается падение потенциала или гальванодинамическом (гальваностатическом) режиме, когда задается средняя плотность тока в цепи. Эти режимы в физическом смысле равноправны, однако исследования удобно проводить в гальваностатическом режиме, поскольку известны критические значения плотности тока: предельный ток, ток экзальтации, ток Харкаца и т.д. [8]. Этим критическим значениям плотности тока не всегда удобно теоретически или экспериментально сопоставлять конкретные значения падения потенциала. Так, например, предельному току теоретически соответствует бесконечно большое значение падения потенциала. Именно поэтому, в настоящее время накоплено большое количество экспериментальных данных полученных для гальванодинамического (гальваностатического) режима, которые требуют анализа. В связи с этим возникает проблема вывода уравнений и краевых условий, удобных для моделирования этих режимов. Двумерная математическая модель гальваностатического режима при выполнении условия локальной электронейтральности впервые была представлена в работе [23] и подробно изучена в работах [24-29], причем в работах [26-29] использовалась при построении и анализе математической модели гравитационной конвекции в электрохимических системах в гальваностатическом режиме.
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
4
В данной работе, с использованием метода декомпозиции выведены упрощенные модели электроосмоса в гальванодинамическом режиме.
1 Постановка задачи
Перенос ионов соли с учетом электроосмоса в электромембранных системах описывается уравнениями Нернста-Планка-Пуассона и Навье-Стокса [11] с учетом пространственной силы. Векторная запись этой системы для бинарного электролита, в случае отсутствия химических реакций, имеет следующий безразмерный вид [30]:
zlDlClE - DtV Ct + PeCtV, i = 1,2 (1)
Pe ■^Cl = -div jt, i = 1,2 dt Jl (2)
eAj = -(zlCl + Z2C 2), (3)
1 = z1j1 + z 2 j2 , (4)
+ ( VV )V = -VP + — AV+KeleAjVj, Re (5)
0 II V' (6)
где V - градиент, А - оператор Лапласа, V - скорость течения раствора, P - давление, j1 ,j2, C1 ,C2 - потоки и концентрации катионов и анионов в растворе, соответственно, zY ,z2 - зарядовые числа катионов и анионов, I - плотность тока, D1 ,D2- коэффициенты диффузии катионов и
анионов, соответственно, j- потенциал электрического поля, t - время, e, Kels - безразмерные параметры, Pe,Re - числа Пекле и Рейнольдса. Физический смысл параметров e, Kels описан в [30].
Система уравнений Нернста-Планка-Пуассона (1-3) является сингулярно возмущенной, из-за малого параметра e (см. ниже оценки), поэтому она неудобна для численного решения. Кроме того, структура системы уравнений такова, что из нее можно легко вывести лишь модельную задачу с условием локальной электронейтральности
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
5
z1C1 + z2C2 = 0, в результате чего, складывается представление, что использование уравнения Пуассона (3) и условия электронейтральности альтернативны друг другу. Заметим, что использование условия электронейтральности не позволяет осуществлять прямое моделирование явлений, связанных с пространственным зарядом, в том числе, электроосмос.
Система уравнений (1-6) удобна для моделирования явлений в потенциодинамическом (потенциостатическом) режиме, поскольку
содержит уравнения для потенциала (3), однако неудобна для моделирования явлений в гальванодинамическом (гальваностатическом) режиме, поскольку нет дифференциального уравнения для плотности тока.
В работе [31] для решения этих проблем производится преобразование исходной системы уравнений путем введение новых неизвестных функций:
1) Индикаторной функции (обобщенной концентрации)
e
S = C1 + C2 + z1z2 —
E
В области электронейтральности функция S имеет
2
смысл суммарной концентрации и является, соответственно,
положительной функцией, в области пространственного заряда, функция S описывает дефект концентрации (отрицательная величина), вызванный дополнительным сверхпредельным переносом ионов.
2) Общей плотности тока Ф = e— +—I. В то время, как плотность тока I,
dt Pe
определяемая потоком ионов не является соленоидальным полем, можно показать, общая плотность тока является соленоидальным полем, что позволяет ввести функцию тока h для общей плотности тока
(~Г = -Ф1 ’ ~Г = Ф 2).
ду дх
Преобразование системы уравнений (1)-(6) производится так, чтобы число неизвестных функций уменьшилось, структура уравнений
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
6
улучшилась, и появилась возможность формировать математические модели, промежуточные между использованием уравнения Пуассона и условия электронейтральности. Полученная таким образом, система уравнений была названа декомпозиционной [31]:
Pe ■ — dt
1 ’ ‘"^2 + ed3||VEj2 + ed3||VE2||2 -d1AS + z1z2 ^
d2z1z2div{SE)-ed2zj2z^d/vj^ E E-
—ed, D E
2
E E I -ed3(divE)2 -2
2
D
E
+
+
ed2D{divE)-Pediv(SV) + z1z2Peediv( E V) + z1z2Pe
u e d
+ z.z^Pe-----
2 dt
E
(7)
dE
dt
dE e 2 21 Rl2 r r r S
ePe = d3z1z2SE - —d3z1 z2 |E| E - ed4EdivE - d2z1z2VS
+ 2 d2z1 z2 V
E
+
ed3DE - ePe{V divE)+ Pe ■ Ф.
f
2 2 e
Pe ■ Dh = V| - d3z1z2S + d3z1 z2 —
E
+
ePe{DE,V )1 + ePedivE ■ r {V)
r ) r ^ + d4edivE \,E
+
> du2 du .r r . 1 1
где r(u) = —2 —--1, (a,b)1 = a1b2 - a2b1. dx dy
(8)
(9)
2
2
2
1
К этой системе уравнений следует добавить и уравнения Навье-Стокса (5), (6).
Система уравнений (5-9) является замкнутой и содержит 6 уравнения с 6 неизвестными (в скалярном виде) V , S , E, h в то время как исходная система (1-6) состояла из 12 уравнений с 12 неизвестными. Система уравнений (5-9), как будет показано ниже, удобна для вывода различных упрощенных моделей переноса ионов соли с учетом электроосмоса.
2 Оценка безразмерных параметров
Для вывода модельных задач используется асимптотическая оценка членов уравнения, в связи с чем, необходимо оценить величины безразмерных параметров.
2.1 Оценка числа Рейнольдса
Характерным размером в микро- и нанофлюидике служит ширина Н нано- и микроканалов имеющая порядок микронов и нанометров.
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
7
Из формулы числа Рейнольдса Re = V0H /п следует, что уменьшение линейных размеров (H) и (или) средней скорости течения (V0) при неизменной вязкости (п) эквивалентно (число Рейнольдса остается
постоянным и соответствующие течения будут подобными) увеличению вязкости (п) при неизменных линейных размеров (H) и средней скорости течения (V0). Таким образом, с уменьшением линейных размеров жидкости ведут себя как более вязкие и для придания им даже небольших скоростей движения необходимо прилагать значительные давления, что не всегда возможно. Кроме того, это ведет к уменьшению экономичности процессов. Поэтому средние скорости течения V0 в микро- и нанофлюидике значительно меньше, чем, например, в канале обессоливания электродиализного аппарата, имеющем ширину порядка 1мм. Все это приводит к тому, что число Рейнольдса в микро- и наноканалах значительно меньше чем в канале обессоливания электродиализного аппарата. Характерная ширина микроканалов имеет порядок от 10 мкм до 100 мкм, поэтому число Рейнольдса имеет порядок от Re »10 V0 до Re»100 V0, где скорость задается в м/с. В реальных условиях в микро- и наноканалах, когда средняя скорость имеет, например, порядок 10 мкм/с, число Рейнольдса - от 10-4 до 10-3. Для наноканалов число Рейнольдса значительно меньше чем для микроканалов. Для обычных условий скорости и линейного размера, такое число соответствует весьма вязкой жидкости, т.е. в микро- и наноканалах имеем ползучее течение, которое описывается уравнением Стокса. В дальнейшем число Рейнольдса будем считать малым параметром.
2.2 Оценка числа Пекле
Число Пекле для микроканала имеет порядок от Pe = 104V0 до Pe = 105V0 и для характерных скоростей прокачки для
микроканалов имеет порядок 1, т.е. для микроканалов число Пекле не
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
8
является ни большим, ни малым параметром. Диффузия и конвективный перенос в микроканалах имеют одинаковое значение. Для наноканалов, при средних скоростях 0.1мм/с и меньше, число Пекле можно считать малым параметром и диффузия доминирует над конвективным переносом.
2.3 Оценка параметра e
Этот параметр, впервые введен в работах [4, 5], где дана его интерпретация в виде удвоенного квадрата отношений Дебаевской длины lD к ширине канала e = 2l2D /Н2. Формула для e для наноканалов
(например, при Н = 10 нм) запишется в виде:
e = 2lD/Н2 = 2 • 1016 -1,16 • 10-18/С0 = 2,32 -10-2/С0. Из этой формулы следует,
что параметр e уже при С0 = 10моль / м3 имеет порядок 10 3. Для микроканалов e еще меньше. В дальнейшем его будем считать малым параметром.
2.4 Оценка параметра Kel
Этот параметр, впервые введен в работах [31], где дана его интерпретация. Для оценки значения Kel запишем его в виде:
к
RTC0 8,314 • 293 • C0
el тт-2
AV2
1002,5 -V02
C
2,42—0 или Ke
V2 e
C
2,42 C2.
V2
Оценка параметра Kel в зависимости от значений C0 и V0 дана ниже
в таб.1.
Таблица 1. Оценка параметра Kei.
C0 моль / м3 V0 м / с 100 10 1 0,1 0,01
10-3 2,42 • 108 2,42 • 107 2,42 106 2,42 • 105 2,42 • 104
10-4 2,42 • 1010 2,42 • 109 2,42 108 2,42 • 107 2,42 106
Видно, что число Kel может считаться большим параметром.
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
9
2.5 Оценка параметра ReKel
Важным для упрощения уравнения Навье-Стокса является оценка значения ReKel. Из формул для Re и Kel получаем: ReKel = 2,42 10 -2 Со /Vo. Оценка ReKel в зависимости от значений С0 и V0 дана ниже в табл.2
Таблица 2. Оценка величины ReKel
C0 моль / мъ V0 м / с 100 10 1 0.1 0.01
10-3 2,42 • 103 242 24.2 2,42 0,242
10-4 2,42 • 104 2,42 -103 242 24.2 2,42
Из табл. 2 следует, что значения ReKel немалы, а для концентрации 10
моль/м3 и 100 моль/м3 больше, при скорости меньше 10-4 и 10-3 меньше, являются большими.
3. Алгоритм вывода иерархической системы математических моделей
Для вывода иерархической системы математических моделей переноса используем физически очевидные гипотезы и предположения, справедливость которых проверена численно и аналитически в одномерном случае [8-10, 12-14]:
1) В ядре потока раствора выполняется условие локальной
электронейтральности. В области электронейтральности все неизвестные функции и их производные ограничены при e® 0 +: S = O( 1), E = O( 1),
h = O( 1) и т.д.
2) Область пространственного заряда расположена вблизи межфазных границ, причем все неизвестные функции и их производные, в этой области, за исключением напряженности электрического поля, ограничены при e® 0 +. Напряженность электрического поля и ее производные имеют порядок O( 1 Ыё) при e ® 0 +;
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
10
3) Будем оценивать члены каждого из декомпозиционных уравнений, отдельно в области электронейтральности и пространственного заряда, и выделять значимые. Оставляя в каждом уравнении значимые, хотя бы в одной из областей члены, и отбрасывая другие, получим упрощенные уравнения.
4) Согласно теории сингулярных возмущения [32], [33] старшие
производные, умноженные на малый параметр, необходимо удерживать в уравнениях для удовлетворения краевых условий.
5) При упрощении уравнения Навье-Стокса нужно учесть, что число Рейнольдса является малым параметром.
6) Пункты 1)-5) представляют собой лишь способ рассуждения, но не обоснование, позволяющий получать упрощенные уравнения. Адекватность соответствующих математических моделей должна проверятся впоследствии и независимо от 1)-5).
4 Упрощение декомпозиционных уравнений
4.1 Упрощение уравнения для обобщенной концентрации
Pe ■ — ■ dt
1 , . r 2 ||2 ц2 , , d1e
d2 z1z2 div(sE y^d 2 zj2 z^divi^ E E -ed3( divE)
— ed3A 2 3
E
+ ed3||VE^ + ed3\|VE2|| -d1AS + z1z2—^~A
E
+
+ ed2A(divE)-Pediv(SV) + z1z2Peediv( E V) + z1z2Pee —
2 2 dt
E
а) Оценим члены уравнения в области электронейтральности и найдем значимые члены уравнения.
Очевидно, что в области электронейтральности все члены уравнения, содержащие малый параметр e будут незначимыми, а значимыми будут следующие члены уравнения:
dS
Pe-------, d^z-tz,
dt
, d2z1z2divisE), -d1A~, -Pediv(SV) .
(10)
б) Оценим члены уравнения в области пространственного заряда и найдем значимые члены уравнения.
2
2
2
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
11
В области пространственного заряда значимыми будут члены уравнения, имеющие порядок O(1 Ые) при e ® 0 +, а именно
z1z2d2div(sE)= O —, z12z2d2 ediv\ \ые) 2 V
2 - ] (
E E) = °(
.ve
(11)
Pe ■ = d2z1 z2div(sE)- ed2z\diJ\
E
E ] -d1DS -Pediv(SV).
— / 2 ~~2-1 -2--- 1 — —) ■■ 1— - — • \ ~ ■ /- (12)
Оставляя в уравнении только члены уравнения (10) и (11) получаем уравнение (12), которое должно быть справедливым одновременно в областях электронейтральности и пространственного заряда.
4.2 Упрощение уравнения для напряженности электрического
поля
п ЭЕ ~ — е . 22
ePe = d3z1z2SE - — d3z1 z2
- ePe(v divE)+ Pe ■ Ф.
E
E -ed4EdivE - d2z1z2VS -
e
2
d 2 z1 z2 V
E
2 -+ ed 3AE —
а) Очевидно, как и выше, в области электронейтральности все члены уравнения, содержащие малый параметр e, будут незначимыми, а значимыми будут следующие члены уравнения
d3z1z2SE, - d2z1z2VS, PeF.
(13)
б) В области пространственного заряда значимыми будут члены уравнения, имеющие порядок O(1 /4е) при e® 0 +, а именно
^d3z^2 SEj , ^d3z1 z2
E
E
(14)
ePe — и ed 3AE. (15)
dt 3 V ’
Особого внимания требуют к себе слагаемые (15), содержащие старшие производные. В соответствии с теорией сингулярных возмущений их необходимо удержать для удовлетворения начального и граничных условий.
Оставляя в уравнении только члены (13), (14) и (15), получаем
уравнение
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
12
ePe= d3z1z2SE -—d3z'lz?2 E E -d2z1z2VS + —d3AE + PeF , (16)
dt 2
которое должно быть справедливым одновременно в областях электронейтральности и пространственного заряда.
4.3 Упрощение уравнения для h
г
Pe Ah= v[ -d3z1z2S + d3z12z22 — E + d4edivE],E +ePe(AE,V)1 +—PedivE■ r(V)
v v 2 J A
Рассуждения, аналогичные, проведенным выше, приводят к уравнению
(
2 2 —
Pe ■ Ah = V| - d3z1z2S + d3z1 z2 —
E
\
,E
(17)
J1
4.4 Упрощение уравнения Навье-Стокса
Перейдем в уравнении Навье-Стокса в выражении электрической силы к напряженности электрического поля (E = -Vj) и умножим обе части на число Рейнольдса, тогда получим:
Re — + Re(VV)V = - Re VP + AV + Re Ke—EdivE . dt
Используя те же рассуждения что и выше и дополнительно учитывая, что число Рейнольдса мало, получаем, что в области электронейтральности значимым является только AV , а в области
v R dV
пространственного заряда eReKelsEdivE. Учитывая дополнительно и Re—,
dt
2
получаем следующее упрощенное уравнение
Re — = AV + eRe KelsEdivE, (18)
dt els
которое является нестационарным уравнением Стокса с пространственной силой.
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
13
5 Иерархическая система математических моделей
5.1 Общая упрощенная модель (ОУМ)
Объединяя вместе все упрощенные выше уравнения (12), (16)-(18), получаем общую упрощенную модель (ОУМ), которая описывается системой уравнений:
Pe ■
dS
dt
= d2 z1z2div{sE)
e
2 d2 z1 z2divy
E
E
- d1AS - Pediv( SV),
r> dE 7 s R e . 22
ePe— = d3 z, z2 SE-d3 z, z2
dt 312 2 3 1 2
E
E - d2 z1z2VS + ed3AE + PeF
( i ~ 22 e
Pe ■ Ah = VI -d3z1z2S + d3z1 z2 —
V V 2
E
,E
Л
2
Re
dV
dt
= A V + e Re KelE divE.
Система уравнений ОУМ по сравнению с исходной и декомпозиционными системами уравнений значительно проще. При решении системы уравнений ОУМ на все неизвестные функции V , S , E, h необходимо накладывать граничные и начальные условия (за исключением h).
5.2 Модель без начального погранслоя (БНП)
dE dV
Члены уравнения ePe—, Re— системы ОУМ отвечают за
dt dt
переходные процессы (начальные погранслои). Если не учитывать переходные процессы, то получим модельную задачу, описываемую системой уравнений:
Pe ■dS = d2z1z2div{sE)- —d2zj2z^ivi E E1 -d1AS~ - Pediv(SV), dt 2 V J
s r e 2 2R 2 r S r r
d3z1z2SE -— d3z1 z22 E E - d2z1z2VS + ed3AE + PeF = 0,
(19)
(20)
• -s 2 2 e
PeAh= VI - d3z1z2S + d3z1 z2 —
2
E
2 3 R 3
J,E
J J 1
A V + e Re KelsE divE = 0 .
(21)
(22)
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
14
Система уравнений (19-22) описывает нестационарный процесс переноса ионов соли и электроосмос без начального погранслоя (переходных процессов), поэтому соответствующую модель будем называть моделью БНП (без начального погранслоя). Естественно, что при решении системы (19)-(22) начальные условия на функции E и V не накладываются.
5.3 Модель с обобщенным законом Ома
Во втором уравнении, ed3AE служит для удовлетворения граничных
условий для напряженности электрического поля. Если отбросить ed3AE, то получим систему уравнений:
— — d2z1 z2div(sE) - — d2z^z^divi E dt 2 v E j - d1A!~ - Pediv(SV), (23)
s R e о 0 r 2 r s R d3z1z2SE -— d3z2z22 E E - d2z1z2VS + PeF — 0, (24)
f f ~ 22 e PeDh— VI -d3z1z2S + d3z1 z2 — v v 2 R 2 j R j E \,E , У Л (25)
A К + e Re KelsE divE — 0 . (26)
Выражая E, из уравнения (24), получаем, что для этой модели выполняется некоторое обобщение закона Ома [11], а именно:
d2 z1z2 ^ s 1
E ——VS
С
Pe c
e r 2
Х(С) — d3z1z2(S Z1Z2 2 E ) — d3z1z2S0 — d3z1z2 (C1 + C2)
где
является
проводимостью раствора, следовательно, модель переноса бинарного электролита, описываемую системой уравнений (23-26) можно назвать моделью электроосмоса в приближении обобщенного закона Ома (ЗОМ).
Уравнение (24) является относительно E векторным кубическим уравнением, допускающим точное решение. Таким образом, для решения модели ЗОМ не требуется краевых условий на потенциал. Кроме того, уравнение (25) является уравнением, позволяющим находить плотность
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
15
тока. Таким образом, модель ЗОМ удобна для моделирования гальванодинамического режима. При решении системы уравнений (23-26) краевые условия на E не требуются.
5.4 Модель ЗОМ для 1:1 электролита
Простейшей моделью ЗОМ электроосмоса является модель ЗОМ для симметричного 1: 1 электролита с одинаковыми коэффициентами
диффузии катиона и аниона. В качестве такого электролита можно приближенно рассматривать водный раствор KCl. В этом случае d1 = -1, d 2 = 0, d3 = 1, d 4 = 0 и система уравнений (23-26) значительно упрощается:
Pe ■ — = DS - Pediv(SV), dt (27)
—> e r 2 r r -SE-- E E + PeF = 0, 2 (28)
PeDh = fvf~ + - E 2],E \ , V V 2 J A (29)
DV + eReKelsEdivE = 0 . (30)
Заметим, что для симметричного электролита, выполняется закон Ома: E = PeF /%. Кроме того, (27) является линейным дифференциальным уравнением, содержащим лишь S , и может решаться независимо от
других уравнений. Как и (24), уравнение (28) является относительно E векторным кубическим уравнением, допускающим точное решение, причем (29) является условием его разрешимости, (30) - это уравнение Стокса с электрической силой. Таким образом, при соответствующей постановке краевых условий, модель ЗОМ будет иметь решение. В работе [34] было показано, что краевая задача для системы уравнений (27-29) достаточно хорошо приближает решение краевой задачи для исходной системы уравнений (1-4). В то же время известно, что при малых числах Re решение краевой задачи для уравнения Стокса хорошо приближает решение краевой задачи для уравнения Навье-Стокса. Таким образом, есть
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
16
основание считать модель ЗОМ является адекватной моделью электроосмоса. Проверке этого, а также постановке краевых условий посвящена часть 2 данной работы.
Замечание 1. Наряду с нестационарными моделями,
рассмотренными выше можно рассмотреть и стационарные модели электроосмоса.
Замечание 2. Приведенные выше уравнения, являются фактически законами сохранения и должны дополняться для каждого случая соответствующими краевыми условиями, определяющими цели
конкретного исследования.
6. Общая идея асимптотического решения
Пусть Н, L - ширина и длина канала. Основная идея решения модели ЗОМ, заключается в разбиении области решения [0,H] х [0,L] на несколько областей (рис.1): область электронейтральности U2, область пространственного заряда Uu u U12, промежуточная область U3 и U4. В
каждой из этих областей решение ищется в виде разложения по разным асимптотическим шкалам, которые затем сращиваются. Можно показать, что начальные асимптотические разложения в основных областях, электронейтральности, пространственного заряда у всех моделей совпадает. Таким образом, основой решения моделей БНП и ОУМ служит решение модели ЗОМ. Чтобы получить начальное приближение решения модели БНП нужно дополнить начальное приближение решения модели ЗОМ решением в погранслоях (1-3) (рис.1) и угловых погранслоях (4) и
(5). Для решения ОУМ нужно добавить к решению модели БНП начальные погранслои.
Асимптотическим разложениям посвящена часть 3 данной работы.
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
17
Рисунок 1. Разбиении области решения на подобласти: U1 = U11 u U12 -область пространственного заряда; U2 - область электронейтральности; U3, U4 - промежуточные слои; 1 - ПОУ -погранслой около x = 0, "у; 2 - ПНУ - погранслой около x = H, "у; 3 -ПХО - погранслой около у = 0, "x; 4 - УПОО - угловой погранслой около x = 0, у = 0; 5 - УПНО - угловой погранслой около x = Н, у = 0. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе с использованием метода декомпозиции разработана система иерархических моделей электроосмоса в микро- и наноканалах ограниченных ионообменными мембранами. Построена простейшая модель электроосмоса для 1: 1 электролита с одинаковыми
коэффициентами диффузии катионов и анионов. Эта модельная задача достаточно проста для численного и аналитического решения и может служит эталонной моделью электроосмоса в микро- и наноканалах.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 13-08-96525 р_юг_а, 13-08-93105-НЦНИЛ а, 13-08-93106-НЦНИЛ_а.
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
18
ЛИТЕРАТУРА
1. Orenstein D. ’Microfluidic’ chips may accelerate biomedical research//Stanford Report, Jan 18, 2006
2. Holstun C.L., Tyvoll D. (assignee: Hewlett-Packard Development Company, L.P.) Generation of gas in a lab-on-a-chip environment//US Patent, 6814852 B2, 2004, 1-14
3. Kim H.Y. (assignee: Electronics and Telecommunications Research Institute) LAB-ON-A-CHIP AND METHOD OF DRIVING THE SAME//US Patent, 0151475, 2011, 1-15
4. Графов Б.М. Прохождение постоянного тока через раствор бинарного электролита / Б.М. Графов, А.А. Черненко // Журнал физической химии. — 1963. — Т.37. — С. 664.
5. Графов Б.М. Теория прохождения постоянного тока через раствор бинарного электролита/ Б.М. Графов, А.А. Черненко // Докл. АН СССР. — 1962. — Т. 146. №1. — С. 135-138.
6. Духин С.С. Исчезновение феномена предельного тока в случае гранулы ионита / С.С. Духин, Н.А. Мищук// Коллоидный журнал —1989. — Т.51. — №4.—С.659.
7. Коваленко А.В. 2Д моделирование переноса 1:1 электролита в электромембранных системах при выполнении условия электронейтральности // Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ — Краснодар: КубГАУ, 2015. — №06(110).
8. Коваленко А.В. Краевые задачи для системы электродиффузионных уравнений. Часть 1. Одномерные задачи. / А.В. Коваленко, М.Х. Уртенов Germany, Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG. — 2011. — 281 с.
9. Листовничий А.В. Прохождение токов больше предельного через систему электрод-раствор электролита // Электрохимия. — 1989. — Т.25. — №12. — С.1651.
10. Никоненко В.В. Электроперенос ионов через диффузионный слой с нарушенной электронейтральностью / В.В. Никоненко, В.И. Заболоцкий, Н.П. Гнусин // Электрохимия. — 1989. — Т.25. №3. — С.301.
11. Ньюмен Дж. Электрохимические системы. М.: Мир, 1977, 463 с.
12. Уртенов М.Х. Анализ решения краевой задачи для уравнений Нернста-Планка-Пуассона. Случай 1:1 электролита / М.Х. Уртенов, В.В. Никоненко // Электрохимия. — 1993. — Т.29. — №2. — С.239
13. Уртенов М.Х. Асимптотический и численный анализ уравнений Нернста-Планка-Пуассона // Деп. №6968-В86.М.: ВИНИТИ, — 1986. 18с.
14. Уртенов М. Х. Математические модели электромембранных систем очистки воды (монография) / М.Х. Уртенов, Р.Р. Сеидов — Краснодар: КубГУ, — 2000. —
140 с.
15. Уртенов М.Х. Математическое моделирование электроконвекции в канале обессоливания электродиализатора с учетом вынужденной конвекции/ М.Х. Уртенов, А.В. Коваленко, В.В. Никоненко, А.М. Узденова // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — Краснодар: КубГУ. — №4. — 2011. — С. 68-74
16. Belashova E.D. Overlimiting mass transfer through cation-exchange membranes modified by Nation film and carbon nanotubes / E.D. Belashova, N.A. Melnik, N.D. Pismenskaya, K.A. Shevtsova, K.A. Lebedev, V.V. Nikonenko // Electrochim. Acta — 59
(2012) — P. 412
17. Dukhin S.S. Unlimited increase in the current through an ionite granule / S.S. Dukhin, N.A. Mishchuk // Kolloid. Zh. — 49 (8) (1987) — P. 1197.
18. Kwak R. Shear flow of an electrically charged fluid by ion concentration polarization: scaling laws for convection vortices/ R. Kwak, V.S. Pham, J. Han// Phys. Rev. Lett. — 110
(2013) — P. 114501.
19. Rubinstein I. Role of the membrane surface in concentration polarization at ion-
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
19
exchange membrane/ I. Rubinstein, E. Staude, O. Kedem, // Desalination — 69 (1988) — P. 101.
20. Rubinstein I. Voltage against current curves of cation-exchange membranes / I. Rubinstein, L. Shtilman// J. Chem. Soc., Faraday Trans. 1979 (75) P. 231.
21. Urtenov M.K. Basic mathematical model of overlimiting transfer enhanced by electroconvection in flow-through electrodialysis membrane cells / M.K. Urtenov, A.M. Uzdenova, V.V. Nikonenko, N.D. Pismenskaya, A.V. Kovalenko, V.I. Vasil'eva, P. Sistat, G. Pourcelly // Journal of Membrane Science — 447. USA. ELSEVIER. — 2013. — P. 190-202
22. Zabolotsky V.I. Coupled transport phenomena in overlimiting current electrodialysis / V.I. Zabolotsky, V.V. Nikonenko, N.D. Pismenskaya, E.V. Laktionov, M.Kh. Urtenov, H. Strathmann, M. Wessling, G.H. Koops // Separ. Purif. Technol. — 14 (1998) — P. 255.
23. Уртенов М.Х., Письменский А.В. Моделирование гравитационной конвекции в электромембранных системах очистки воды // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - Краснодар: КубГУ, 2004. -№3. - С.64-69.
24. Коваленко А.В., Уртенов М.Х. Вывод и обоснования формул для
приближенного решения уравнения для плотности тока при выполнении условия электронейтральности // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. -№ 5(2).
25. Коваленко А.В., Уртенов М.Х., Ярощук А.Э., Жолковский Э.К. 2Д-
моделирование переноса бинарного электролита в электромембранных системах. Известия Кубанского государственного университета. Естественные науки. Издательско-полиграфический центр Кубанского государственного университета. -Краснодар: 2013. 52-57с.
26. Лаврентьев А.В., Письменский А.В., Уртенов М.Х. Математическое моделирование переноса в электромембранных системах с учетом конвективных течений: Монография / Кубан. гос. технол. ун-т.- Краснодар: ГОУ ВПО «КубГТУ», 2006. -147с.
27. Pismenskiy A., Urtenov M., Nikonenko V., Pismenskaya N., Pourcelly G Modelling of gravitational convection in electromembrane systems Book of Abstracts of International Congress «Euromembrane’2004», Hamburg, Germany, 28 Sep. - 1 Oct. 2004. TUHH-Technologie GmbH, Hamburg, Germany, 2004. - P.489.
28. Urtenov M., Pismenskiy A.,Nikonenko V.,Pourcelly G.Pis'menskij A., Nikonenko V.,Purselli Zh., Mathematical modelling of gravitational convection in electrodialysis processes // Desalination. - 2006. Vol.192.
29. Коваленко А.В., Уртенов М.Х. , Письменский А.В., Никоненко В.В., Систа Ф., Письменская Н. Д. Моделирование и экспериментальное исследование гравитационной конвекции в электромембранной ячейке //Электрохимия Т.48 №7, 2012. С.830-842
30. Коваленко А.В., Никоненко В.В., Уртенов М.Х., Лойко В.И. Физический смысл некоторых критериев подобия процесса переноса в канале обессоливания электродиализного аппарата с учетом электроконвекции // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета: научный журнал КубГАУ. - № 01 (105). http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/51.pdf г. Краснодар"КубГАУ" 2015. с. 846-865
31. Хромых А. А., Коваленко А.В., Уртенов М.Х Двумерные математические модели переноса тернарного электролита в мембранных системах Краснодар, Кубанский государственный университет, 2014. с. 227
32. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. 207 с.
33. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач.
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
20
М.: Наука, 1989. 336с.
34. Коваленко А.В. Численный анализ 2D модели ЗОМ переноса симметричного бинарного электролита // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 11-1. - С. 59 -65
REFERENCES
1. Orenstein D. ’Microfluidic’ chips may accelerate biomedical research//Stanford Report, Jan 18, 2006
2. Holstun C.L., Tyvoll D. (assignee: Hewlett-Packard Development Company, L.P.) Generation of gas in a lab-on-a-chip environment//US Patent, 6814852 B2, 2004, 1-14
3. Kim H.Y. (assignee: Electronics and Telecommunications Research Institute) LAB-ON-A-CHIP AND METHOD OF DRIVING THE SAME//US Patent, 0151475, 2011, 1-15
4. Grafov B.M. Prohozhdenie postojannogo toka cherez rastvor binarnogo jelektrolita / B.M. Grafov, A.A. Chernenko // Zhurnal fizicheskoj himii. — 1963. — T.37. — S. 664.
5. Grafov B.M. Teorija prohozhdenija postojannogo toka cherez rastvor binarnogo jelektrolita/ B.M. Grafov, A.A. Chernenko // Dokl. AN SSSR. — 1962. — T. 146. №1. — S. 135-138.
6. Duhin S.S. Ischeznovenie fenomena predel'nogo toka v sluchae granuly ionita / S.S. Duhin, N.A. Mishhuk// Kolloidnyj zhurnal —1989. — T.51. — №4.—S.659.
7. Kovalenko A.V. 2D modelirovanie perenosa 1:1 jelektrolita v jelektromembrannyh sistemah pri vypolnenii uslovija jelektronejtral'nosti // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal KubGAU — Krasnodar: KubGAU, 2015. — №06(110).
8. Kovalenko A.V. Kraevye zadachi dlja sistemy jelektrodiffuzionnyh uravnenij. Chast' 1. Odnomernye zadachi. / A.V. Kovalenko, M.H. Urtenov Germany, Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG. — 2011. — 281 s.
9. Listovnichij A.V. Prohozhdenie tokov bol'she predel'nogo cherez sistemu jelektrod-rastvor jelektrolita // Jelektrohimija. — 1989. — T.25. — №12. — S.1651.
10. Nikonenko V.V. Jelektroperenos ionov cherez diffuzionnyj sloj s narushennoj jelektronejtral'nost'ju / V.V. Nikonenko, V.I. Zabolockij, N.P. Gnusin // Jelektrohimija. — 1989. — T.25. №3. — S.301.
11. N'jumen Dzh. Jelektrohimicheskie sistemy. M.: Mir, 1977, 463 s.
12. Urtenov M.H. Analiz reshenija kraevoj zadachi dlja uravnenij Nernsta-Planka-Puassona. Sluchaj 1:1 jelektrolita / M.H. Urtenov, V.V. Nikonenko // Jelektrohimija. — 1993. — T.29. — №2. — S.239
13. Urtenov M.H. Asimptoticheskij i chislennyj analiz uravnenij Nernsta-Planka-Puassona // Dep. №6968-V86.M.: VINITI, — 1986. 18s.
14. Urtenov M.H. Matematicheskie modeli jelektromembrannyh sistem ochistki vody
(monografija) / M.H. Urtenov, R.R. Seidov — Krasnodar: KubGU, — 2000. — 140 s.
15. Urtenov M.H. Matematicheskoe modelirovanie jelektrokonvekcii v kanale obessolivanija jelektrodializatora s uchetom vynuzhdennoj konvekcii/ M.H. Urtenov, A.V. Kovalenko, V.V. Nikonenko, A.M. Uzdenova // Jekologicheskij vestnik nauchnyh centrov ChJeS. — Krasnodar: KubGU. — №4. — 2011. — S. 68-74
16. Belashova E.D. Overlimiting mass transfer through cation-exchange membranes modified by Nafion film and carbon nanotubes / E.D. Belashova, N.A. Melnik, N.D. Pismenskaya, K.A. Shevtsova, K.A. Lebedev, V.V. Nikonenko // Electrochim. Acta — 59 (2012) — P. 412
17. Dukhin S.S. Unlimited increase in the current through an ionite granule / S.S. Dukhin, N.A. Mishchuk // Kolloid. Zh. — 49 (8) (1987) — P. 1197.
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
21
18. Kwak R. Shear flow of an electrically charged fluid by ion concentration polarization: scaling laws for convection vortices/ R. Kwak, V.S. Pham, J. Han// Phys. Rev. Lett. — 110 (2013) — P. 114501.
19. Rubinstein I. Role of the membrane surface in concentration polarization at ion-exchange membrane/ I. Rubinstein, E. Staude, O. Kedem, // Desalination — 69 (1988) — P. 101.
20. Rubinstein I. Voltage against current curves of cation-exchange membranes / I. Rubinstein, L. Shtilman// J. Chem. Soc., Faraday Trans. 1979 (75) P. 231.
21. Urtenov M.K. Basic mathematical model of overlimiting transfer enhanced by electroconvection in flow-through electrodialysis membrane cells / M.K. Urtenov, A.M. Uzdenova, V.V. Nikonenko, N.D. Pismenskaya, A.V. Kovalenko, V.I. Vasil'eva, P. Sistat, G. Pourcelly // Journal of Membrane Science — 447. USA. ELSEVIER. — 2013. — P. 190-202
22. Zabolotsky V.I. Coupled transport phenomena in overlimiting current electrodialysis / V.I. Zabolotsky, V.V. Nikonenko, N.D. Pismenskaya, E.V. Laktionov, M.Kh. Urtenov, H. Strathmann, M. Wessling, G.H. Koops // Separ. Purif. Technol. — 14 (1998) — P. 255.
23. Urtenov M.H., Pis'menskij A.V. Modelirovanie gravitacionnoj konvekcii v jelektromembrannyh sistemah ochistki vody // Jekologicheskij vestnik nauchnyh centrov Chernomorskogo jekonomicheskogo sotrudnichestva. - Krasnodar: KubGU, 2004. - №3. -S.64-69.
24. Kovalenko A.V., Urtenov M.H. Vyvod i obosnovanija formul dlja priblizhennogo reshenija uravnenija dlja plotnosti toka pri vypolnenii uslovija jelektronejtral'nosti // Obozrenie prikladnoj i promyshlennoj matematiki. - 2010. - № 5(2).
25. Kovalenko A.V., Urtenov M.H., Jaroshhuk A.Je., Zholkovskij Je.K. 2D-modelirovanie perenosa binarnogo jelektrolita v jelektromembrannyh sistemah. Izvestija Kubanskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki. Izdatel'sko-poligraficheskij centr Kubanskogo gosudarstvennogo universiteta. - Krasnodar: 2013. 52-57s.
26. Lavrent'ev A.V., Pis'menskij A.V., Urtenov M.H. Matematicheskoe modelirovanie perenosa v jelektromembrannyh sistemah s uchetom konvektivnyh techenij: Monografija / Kuban. gos. tehnol. un-t.- Krasnodar: GOU VPO «KubGTU», 2006. -147s.
27. Pismenskiy A., Urtenov M., Nikonenko V., Pismenskaya N., Pourcelly G Modelling of gravitational convection in electromembrane systems Book of Abstracts of International Congress «Euromembrane’2004», Hamburg, Germany, 28 Sep. - 1 Oct. 2004. TUHH-Technologie GmbH, Hamburg, Germany, 2004. - P.489.
28. Urtenov M., Pismenskiy A.,Nikonenko V.,Pourcelly G.Pis'menskij A., Nikonenko V.,Purselli Zh., Mathematical modelling of gravitational convection in electrodialysis processes // Desalination. - 2006. Vol.192.
29. Kovalenko A.V., Urtenov M.H. , Pis'menskij A.V., Nikonenko V.V., Sista F., Pis'menskaja N.D. Modelirovanie i jeksperimental'noe issledovanie gravitacionnoj konvekcii v jelektromembrannoj jachejke //Jelektrohimija T.48 №7, 2012. S.830-842
30. Kovalenko A.V., Nikonenko V.V., Urtenov M.H., Lojko V.I. Fizicheskij smysl nekotoryh kriteriev podobija processa perenosa v kanale obessolivanija jelektrodializnogo apparata s uchetom jelektrokonvekcii // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta: nauchnyj zhurnal KubGAU. -№ 01 (105). http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/51.pdf g. Krasnodar"KubGAU" 2015. s. 846865
31. Hromyh A.A., Kovalenko A.V., Urtenov M.H Dvumernye matematicheskie modeli perenosa ternarnogo jelektrolita v membrannyh sistemah Krasnodar, Kubanskij gosudarstvennyj universitet, 2014. s. 227
32. Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskie metody v teorii singuljarnyh vozmushhenij. M.: Vyssh. shk., 1990. 207 s.
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года
22
33. Il'in A.M. Soglasovanie asimptoticheskih razlozhenij reshenij kraevyh zadach. - M.: Nauka, 1989. 336.
34. Kovalenko A.V. Chislennyj analiz 2D modeli ZOM perenosa simmetrichnogo binarnogo jelektrolita // Fundamental'nye issledovanija. - 2015. - № 11-1. - S. 59 - 65
http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/28.pdf
