CC BY
81
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
УДК 544.638.2:51-74
01.00.00 Физико-математические науки
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ ЭЛЕКТРОМЕМБРАННЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ВЫНУЖДЕННОЙ, ГРАВИТАЦИОННОЙ И ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ
Коваленко Анна Владимировна к.э.н., доцент
РИНЦ SPIN-код автора: 3693-4813 Scopus Author ID: 55328224000
Письменский Александр Владимирович к.ф.-м.н., доцент РИНЦ SPIN-код: 9932-7747 Scopus Author ID: 13004856800
Уртенов Махамет Али Хусеевич дф.-м.н., профессор РИНЦ SPIN-код: 7189-0748 Scopus Author ID: 6603363090
Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия
В работе предложена общая математическая модель нестационарного неизотермического процесса переноса бинарного электролита в разбавленных растворах в электромембранной системе (ЭМС) с учетом совместного действия гравитационной, вынужденной и электроконвекции в потенциодинамическом режиме. Эта модель представляет собой краевую задачу для системы двумерных квазилинейных уравнений Навье-Стокса, Нернста-Планка-Пуассона в частных производных. Развита теория подобия процесса тепломассопереноса в электромембранных системах, конкретно в канале обессоливания электродиализного аппарата, с учетом с учетом совместного действия концентрационной поляризации, пространственного заряда, гравитационной, вынужденной и электроконвекции. Показано, что критерий электроконвекции явно не зависит от начальной концентрации и поэтому электроконвекция возникает при любой начальной концентрации. В то же время критерий концентрационной конвекции линейно зависит от начальной концентрации и поэтому при высоких концентрациях превалирует концентрационная конвекция, а при более низких концентрациях, роль гравитационной конвекции начинает падать при одновременном возрастании роли электроконвекции. Построенная в работе теория подобия процесса тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата, с учетом совместного действия концентрационной поляризации, пространственного заряда, гравитационной, вынужденной и электроконвекции имеет важное значение для инженерных расчетов, для
UDC 544.638.2:51-74
Physics and Mathematical sciences
THEORY OF SIMILARITY OF ELECTRO MEMBRANE SYSTEMS WITH REGARD TO FORCED, GRAVITATIONAL AND ELECTRO CONVECTION
Kovalenko Anna Vladimirovna Cand.Econ.Sci., associate professor RISC SPIN-code: 3693-4813 Scopus Author ID: 55328224000
Pismenskiy Alexander Vladimirovich Cand.Phys.-Math.Sci., associate professor RISC SPIN-code: 9932-7747 Scopus Author ID: 13004856800
Urtenov Makhamet Ali Khuseevich
Dr.Sci.Phys.-Math., professor
RISC SPIN-code: 7189-0748
Scopus Author ID: 6603363090
Kuban State University, Krasnodar, Russia
In the article, we have suggested a general mathematical model of non-stationary and non-isothermal process of a binary electrolyte transfer in dilute solutions in an electro-membrane system (EMS), taking into account the joint action of gravitational convection, forced convection and electro convection in potential dynamic mode. This model is a boundary problem for a system of two-dimensional quasi-linear Navier-Stokes equation and Nernst-Planck-Poisson in partial derivatives equation. We have developed a theory of similarity of the process of heat and mass transfer in electro-membrane systems, specifically, in a desalting channel of electro dialysis apparatus, taking into account joint actions of concentration polarization, space charge, gravity convection, forced convection and electro convection. It is shown that the criterion of electro convection does not directly depend on the initial concentration, and, therefore, electro convection occurs at any initial concentration. At the same time, the criterion of concentration convection linearly dependents on the initial concentration, and, therefore, at high concentrations, concentration convection prevails, while at lower concentrations, the role of gravitational convection begins to fall whereas the role of electro convection increases. The theory of similarity of the process of heat and mass transfer in the desalting channel of electro dialysis apparatus built in this work taking into account the joint action of concentration polarization, space charge, gravity convection, forced convection and electro convection is important for engineering calculations, for scaling the results of experiments in an electro-membrane cell for industrial electro dialysis water desalting apparatus
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
масштабирования результатов экспериментов в электромембранной ячейке для промышленных электродиализных аппаратов обессоливания воды
Ключевые слова: ОБЕССОЛИВАНИЕ, Keywords: DESALINATION, CRITERIAL NUMBERS,
КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ЭЛЕКТРОДИАЛИЗ, ELECTRODIALYSIS, NERNST-PLANCK-POISSON
УРАВНЕНИЯ НЕРНСТА-ПЛАНКА-ПУАССОНА И EQUATIONS, NAVIER-STOKES EQUATIONS,
НАВЬЕ-СТОКСА, ПОДОБИЕ, КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ SIMILARITY, SIMILARITY THEORY
Введение. Тепломассоперенос бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата сопровождается рядом электрохимических процессов, включая конвективный перенос, диффузию, электромиграцию, образование пространственного заряда, джоулевый разогрев электролита и т.д. Имеется ряд экспериментальных данных, позволяющих предположить, что сверхпредельный массоперенос в электромембранных системах связан с некоторым видом конвективного смешивания, развивающегося вблизи межфазной границы [1, 2]. В качестве такой конвекции в настоящее время рассматриваются гравитационная конвекция и электроконвекция. Возникновение гравитационной конвекции зафиксировано экспериментально шлирен-методом и с помощью лазерной интерферометрии [3].
Современное состояние теории массопереноса в электродных системах с гравитационной конвекцией описано и проанализировано в обзоре [4]. В мембранных системах описание гравитационной конвекции с учетом изменения концентраций и джоулева разогрева проведено в работах В.А. Шапошника, Е.Н. Коржова и О.В. Григорчук (см., например, [5]). Однако в этих работах изучен только стационарный перенос в допредельном режиме и не рассматриваются вынужденная конвекция и перенос тепла через мембрану.
В работах [6, 7] с использованием математической модели была теоретически проанализирована роль гравитационной конвекции и указаны условия, при которых она имеет существенное влияние на тепломассообмен. Было показано, что для этого, например, необходимо, чтобы ширина камеры обессоливания была достаточно большей. Для узких каналов роль гравитационной конвекции
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
незначительна. Однако эти выводы были получены из анализа математических моделей с условием электронейтральности, т.е. при допредельных токовых режимах.
В работе [8] показано, что в запредельном режиме, в области пространственного заряда тепла выделяется значительно больше, чем в области электронейтральности. В связи с этим возникает необходимость в теоретическом исследовании гравитационной конвекции и ее учет в мембранных системах в запредельном режиме с учетом пространственного заряда.
Однако имеются ряд экспериментов ставящих под сомнение роль гравитационной конвекции [9]. В качестве примера можно указать на эксперименты по изменению ориентации электромембранной ячейки относительно поля тяжести Земли [10]. Они показали, что выход по току меняется лишь для относительно широких каналов при небольших скоростях прокачки. Следовательно, возникает гипотеза, что возможно, лишь при таких условиях гравитационная конвекция влияет на перенос ионов соли.
Теоретическое исследование электроконвекции в настоящее время интенсивно развиваются, однако, из-за имеющихся математических и вычислительных трудностей находится, по-видимому, в начальной стадии. Тем не менее, в последнее время, складывается убеждение о значительном вкладе электроконвекции в свехпредельный режим. Современное состояние теории электроконвекции описано и проанализировано в обзоре [11].
Для электроконвекции различают два существенно разных вида: электроосмос первого рода и электроосмос второго рода. Теория электроосмоса первого рода или квазиравновесного электроосмоса у селективной границы была развита С.С. Духиным, Б.В. Дерягиным, Н.А. Мищук и другими [12, 13]. Теория электроосмоса второго рода развита в работах И. Рубинштейна, Б. Зальцмана [14, 15], М. Базанта [16, 17] и др. Таким образом, можно сказать, что в работах С.С. Духина, Н.А. Мищук, И. Рубинштейна и Б. Зальцмана, М. Базанта заложены основы
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
теории электроконвекции в ЭМС.
Однако в этих работах при математическом моделировании электроконвекции накладываются некоторые ограничения: отсутствует вынужденная конвекция, уравнение Пуассона используется лишь для одномерного случая, а в двумерном случае вместо него используется условие электронейтральности в сочетании с условием скольжения на межфазной границе, в качестве граничных условий для концентрации используется условия периодичности, поскольку канал
предполагается бесконечным. Условия периодичности не позволяет учесть обессоливание раствора вниз по потоку. Для решения краевых задач используется метод конечных разностей, и при этом для нелинейного анализа устойчивости используется введение в разностные схемы периодических возмущений. Необходимо отметить, что ошибки, неизбежные при численном решении, в принципе делают ненужным периодические возмущения, вносящие
дополнительные искажения в решение. Расчеты, проведенные нами, показывают, что скорость скольжения, рассчитанная по формуле Рубинштейна и Зальцмана, намного меньше скорости вынужденного течения раствора, реально применяемого на практике, и соответственно, не оказывает существенного влияния на исследуемые процессы. Поэтому подход, используемый ими для моделирования электроконвекции, при наличии вынужденной конвекции неприменим. Кроме того, электроконвекция моделируется лишь для диффузионного слоя, что не позволяет исследовать изменение толщины диффузионного слоя в зависимости от длины аппарата, величины падения потенциала и т. д.
Дальнейшее развитие теория электроконвекции получила в работах [18-21]. В этих работах предложена 2Б-математическую модель переноса ионов в мембранных ячейках с учетом вынужденной конекции и электроконвекции, при отсутствии химических реакций. Модель основана на связанных уравнениях Навье-Стокса и Нернста-Планка - Пуассона и не содержит каких-либо настраиваемых параметров. Численное решение найдено без априорного разделения
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
всего решения на электронейтральную и заряженную области. Учет ненулевой вынужденной конвекции и специфичные граничные условия, отличают модели друг от друга и от тех, которые были разработаны ранее. В этих работах проведен численный анализ исследуемой задачи, установлены основные закономерности возникновения и развития электроконвекции. В работе [20] впервые теоретически рассчитана вольтамперная кривая. Проведено сопоставление численных результатов с экспериментальными данными и показано их качественное сходство.
В проанализированных выше работах используются, как правило, размерные величины. Поэтому фактически исследуется влияние отдельных факторов, например, скачка потенциала, средней скорости вынужденного течения раствора, геометрических характеристик канала, начальной концентрации, и т.д. на процесс переноса. Однако влияние этих факторов проявляется не порознь, а совместно. Таким образом, возникает проблема введения безразмерных комплексов из размерных величин, имеющих физический смысл и позволяющих выразить внутренние связи процесса. Как известно, для решения этой проблемы используется теория подобия, основанная на переходе к безразмерным параметрам в уравнениях и формулах, описывающих процесс, с использованием характерных для изучаемой системы величин.
Имеется много работ (см. [4, 28]), посвященных переходу к безразмерным переменным и критериям подобия в задачах, где предполагается выполнение условия электронейтральности. В этих работах исследуется в основном влияние вынужденной и естественной конвекции на тепломассоперенос. Однако в рамках предположения о выполнение условия электронейтральности прямой учет влияния электроконвекции невозможен, а косвенный учет затруднен и требует привлечения дополнительных условий типа условий скольжения. В связи с этим возникает проблема перехода к безразмерным переменным и построения теории подобия с использованием уравнений Нернста-Планка и Пуассона, Навье-Стокса и уравнения теплопроводности. Связь между этими уравнениями осуществляется за счет учета электрической силы и подъемных сил, возникающих в результате
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
концентрационной поляризации, пространственного заряда и джоулевого разогрева раствора.
Переход к безразмерным переменным в системе уравнений Нернста-Планка и Пуассона в частном случае бинарного 1:1 электролита впервые осуществлен, по-видимому, в [22]. Там же предлагается физический смысл некоторых критериев подобия .
В работах [4, 21] осуществлен переход к безразмерным переменным в связанной системе уравнений Нернста-Планка, Пуассона и Навье-Стокса.
Из-за того, что в качестве характерного масштаба взята длина мембраны физическая интерпретация безразмерных параметров не совпадает с [22, 23], их физический смысл неясен.
В работе [24] нами была разработана теория подобия для электромембранных систем с учетом электроконвекции. Однако в этой работе не учитывалось гравитационная конвекция, возникающая в результате концентрационной поляризации и джоулевого разогрева раствора.
Противоречия в экспериментальных данных и их интерпретации, несовершенство модельных представлений делает невозможным адекватное описание процессов, протекающих в реальных электрохимических системах. Таким образом, теоретическое исследование изучение сверхпредельного
тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата для бинарного электролита в условиях совместного действия концентрационной поляризации, пространственного заряда, вынужденной, гравитационной и электроконвекции, выяснения роли и влияния каждого из них на перенос ионов соли в электромембранных системах является актуальной проблемой.
Данная работа является продолжением и развитием работ [24, 25]. В ней построена теория подобия процессов переноса в канале обессоливания с учетом всех типов конвективного движения раствора в электромембранных системах, а именно с учетом вынужденной конвекции, гравитационной конвекции и
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
электроконвекции, предложены некоторые нетривиальные критерии подобия и определен их физический смысл.
§1 Постановка задачи
Для теоретического изучения взаимодействия вынужденной, гравитационной и электроконвекции, а также джоулева разогрева раствора и переноса тепла через мембраны, построим двумерную модель нестационарного переноса бинарного электролита в гладком прямоугольном канале обессоливания электродиализного аппарата.
В электромембранных технологиях очистки воды, как правило, применяется два основных режима эксплуатации электродиализных аппаратов: гальванодинамический (гальваностатический) и потенциодинамический (потенциостатический).
В данной работе исследуется потенциодинамический режим. Будем считать что рассматриваемые катионообменные и анионообменные мембраны являются гомогенными. Кроме того, поверхности ионообменных мембран будем считать эквипотенциальными.
1.1 Переход к безразмерному виду, оценка критериальных чисел, входящих в уравнения
При проведении и анализе физических и численных экспериментов можно видеть, что часть данных, условно говоря, неизменна, а другая часть варьируется от эксперимента к эксперименту. Если ограничиться экспериментами с раствором хлорида натрия, то неизменными можно считать коэффициенты диффузии катиона (
м2/с) и аниона ( м2/с). Считаются неизменными начальная
плотность раствора кг/м3, коэффициент кинематической вязкости
м2/с, коэффициент кинематической вязкости м2/с, удельная
теплоемкость раствора = 4083 Дж/(кг-К) [26].
Используются также универсальные постоянные: число Фарадея ,
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
универсальная газовая постоянная R , диэлектрическая проницаемость среды s г.
Изменяемыми параметрами, определяющими условия эксперимента,
являются, ширина канала обессоливания H, которая обычно меняется в зависимости
от размера экспериментальной ячейки, длина канала L, средняя скорость
V C
вынужденного течения раствора 0, начальная концентрация раствора 0.
Ниже предлагаются данные характерные для процесса тепломассопереноса в
канале обессоливания электродиализного аппарата. Они используются ниже при
переходе к безразмерному виду. Часть этих данных вводится независимо, другая
получается «автоматически» при переходе к безразмерному виду.
1) Характерные скорость, пространственная величина, время
V — 2 10 6
Средняя скорость вынужденного течения раствора варьируется от 0 _
м/с до V —10 м/с и она берется в качестве характерной скорости.
Поскольку, начальное вынужденное течение направлено вдоль канала, то, казалось бы, что нужно использовать в качестве характерного расстояния длину канала, и, определять через него, например, характерное время, число Рейнольдса и т.д. Однако в гидродинамике, для течения в канале в качестве характерного размера берется именно ширина канала H, а не длина L . Аналогичная ситуация для течения в круглых трубах, в качестве характерного размера берется диаметр трубы, а не длина. Объясняется это с физической точки зрения тем, что:
1) для длинного канала ( ), его длина может считаться бесконечно
большой, поскольку на течение длина уже не влияет и остается всего один линейный размер,- ширина канала ,
2) каким ни было течение в начале канала, она при или вниз по
течению становится течением Пуазейля, т.е. характерная длина - зависит от ширины канала , а не от реальной длины канала .
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
Ширина канала обессоливания ЭДА меняется от 0.5 мм до 10 мм, а длина от 1
мм до десятков сантиметров. С учетом 1) и 2) получаем, время *0 _ - это
характерное время установления течения, при этом величина H рассматривается как длина канала, равная по размеру ширине канала. Кроме того, в данной задаче основное внимание уделяется процессам переноса ионов соли, через ионообменные мембраны, т.е. поперек канала.
2) Характерные значения падения потенциала, начальной концентрации и
температуры. Падение потенциала в камере обессоливания от меняется от _ 0 В до 10 В. Начальная концентрация раствора принимает значения от с _ 0 01 моль/м3 до 0 _ моль/м3, начальная температура раствора 0 _ K.
3) Характерное давление. Для движения раствора со средней скоростью V0
р —0 V2
величина 0 0 0 является характерным давлением, которая называется также
скоростным напором или динамическим давлением. В аэро- и гидродинамике она обычно служит в качестве характерного масштаба гидродинамического давления и используется при определении аэродинамических коэффициентов.
4) Характерные величины плотности тока и электрической силы. Характерным значением плотности тока служить предельная плотность тока, которая считается
по формуле ?пр _ 20H . Для того, чтобы выяснить физический смысл
параметров s( } и Kel (см. ниже), необходимо ввести в рассмотрение характерное значение электрической силы. Для этого в работе [24], используя приближенное решение краевой задачи для системы одномерных уравнений НПП (Нернста -Планка и Пуассона) для раствора хлористого натрия показано [27], что характерным значением пространственной электрической силы в двумерном случае, действующей на квадрат с характерной стороной является:
(1)
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
1.2 Переход к безразмерным уравнениям
1) Формулы перехода. Для математической постановки задачи и численного ее решения необходимо привести уравнения к безразмерному виду. Для этого сделаем следующие замены:
H, /•’ - H, Iм - H, Iм - H, Vм - ^, P'"> - P, P = Po^2
E(u) - HF E m(u) - F m r (u) - RT0S r C(u) - /(“) - H
^ ~ ^ 'Г - ^ b - ^2zj2^ ’ У _ ^ Ji ~ ^ ^ Л
(u) _ У j-(u) _ 1 |(u) _ lV0 V(u) _ V
P
Д0 _ Д1
ji egu) -- g Д“; -^-
(u) _
Д.
RT0 ■ RT0
F2 H 2C„ ' 1 C0
I (u) _
H
dmu) -^- d I (u)-
F
Д0С 0 F
(u) -.
H
AA" ~s g
I f - p0F02 t(u) - — P(u) -
./0 TT T
Ф
RT0
ДС0 F ^ h
—
Д0
j(u) - RC0
P0C^
Лu) - a1C0gH j(u) - a2C0gH j(u) - a——0gH
4 _ _ тл2 ^2 _ TZ2 — TZ2
P0V0 P0V0 P0V0 k - k(d)H(d)
? ? ?
1.3 Безразмерные параметры в уравнениях и краевых условиях и их физический смысл
Рассмотрим безразмерные параметры и выясним их физический смысл:
T-(u) _ т I Z-T _ lr I_7"(u) _ 1
1) Длина - j - d - d. Безразмерная длина является параметром.
2) Число Пекле Pe - VН/Д°> - отношение конвективного переноса к молекулярному.
3) Число Рейнольдса Re - V°H/v - отношение силы инерции Fn - P 0H V к силе
F -VP V H
вязкого трения Ir 0 0 .
4) Число Прандтля - физическая постоянная, которую можно
интерпретировать как количественную меру относительной скорости возрастания гидродинамического и теплового погранслоев.
5) Физический смысл величины . Число можно рассматривать как
величину обратную к характерной безразмерной электрической силе:
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
g (u) = (RT0) gг = к_
H 2RT0C0F2 Fel , где
k = (RT0 )2 g г
F - физическая постоянная величина имеющая
размерность силы. Таким образом:
g(u) = К/ Fei
или
g(u) = і/FjU
(2)
F
(u)
.(u)
где el - безразмерная характерная электрическая сила. Поэтому g может быть названа обратным числом электрической силы.
K = RTqCq
Лel о V 2 K
6) Физический смысл величины PoV . Число el можно рассматривать как
отношение электрической силы к силе инерции
K = RTC = RTqCqH 2 = Fj el PqV°0 PqVqH Fn
, где
(3)
= F = о V2H2
el 0 0 - характерная электрическая сила, in 0 0
Fl = RTqCqH 2
■ сила инерции.
K
7) Общее критериальное число электроконвекции ^ek определяется как коэффициент при безразмерной электрической силе, ответственной за
электроконвекцию, т.е. в виде (4) или через размерные параметры (5):
K =g (u) K
Л ek ь Л el
K = (RT°)2gr
ek o°v°2h2f2
(4)
(5)
Из определения числа электроконвекции
K
ek
следует существование такого
его критического значения везде в канале.
8) Число .
, что при
электроконвекция возникает
9) Числа
. Записывая числа
и
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
A
A (u) = a,C0 gH = atCo gH3 = _F_ Tu) в ВИДЄ t P0V02 P0V02H2 Ftn
і = 1,2
и
A (u) = aTT0 gH = aTT0 gH3 = F_ A P0V02 P0V02 H2 Fm
, где
F = a,.C0 gH3, і = 1,2
, а
Ft = a^gH
A( u), і = 1,2
отношениями сил плавучести
, получаем, что
F,і = 1,2 и Ft
A( u)
и T являются
и T к силе инерции.
-1ЛЧТТ V = Vі- d) H(d) e^u) = g / g
10) Числа V V H ; g * * - единичный вектор поля тяжести
11) Введем в рассмотрение также безразмерные параметры, входящие в
краевые условия [24]: d<p = Fd^ld0} = Fd0IRT|0 , = Fd1 RT0 , Ckm = CkmlC0 ,
C(u) = C /C /-
am aml 0 , имеющие смысл, соответственно, общего значения, начального
значения и темпа прироста потенциала, а также граничных значений концентраций
на анионообменной и катионообменной мембранах. Кроме того, важным
параметром является отношение длины к ширине kd , равное безразмерной длине. В рамках модели мы считаем одинаковыми начальную концентрацию в канале и концентрацию на входе в канал, хотя могут быть эксперименты, когда они разные. В ряде численных экспериментов ниже для простоты расчетов, принято
C = Ck = C 0
am km 0
12) Оценка безразмерных параметров показывает, что для характерных значений размерных величин для электродиализа, число Рейнольдса имеют порядок 1 ^10°, а
число Пекле и 10 ^10 . Число є можно считать малым параметром, поскольку он
меняется от
10
-17
,-7
_ . ТУ' _
до 10 . Число el имеет порядок 10 ^10 . Число ek имеет
Ke
3
порядок .
§2 Краевая задача в безразмерном виде
1) Система уравнений в безразмерных величинах имеет вид (индекс «и» для упрощения записи опущен):
(6)
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
„ д C „
Pe—± = -divji, i = 1,2 д t
(7)
єАф = -(г1С1 + z2C 2 )
(8)
I Z1j1 + Z2 j2
д V - - 1 -
---h (W)V =-VP h--AV + s KelАфУф-
dt Re
-(A(C-1) + A2(C2-1) + AT (
(9)
div(V) = 0
д T
дТ dT 1 f д2T д2T Л
дt дх y ду Re • Pr ^ дх2 ду2
2) Краевые условия в безразмерном виде
Поверхности ионообменных мембран считаются эквипотенциальными ф(1, у,t) - Ф(0, у,t) = dф(tX t > 0, у є [0,L]
1) Условия на поверхности анионообменной мембраны:
С 2 (0, У, t )= Cam t > 0, у Є [0, L]
- n • j1 = -n • (-z1D1C1Vф - D1V C1 + PeC1V) = 0 V(t,0,y) = 0 t > 0,у є [0,L]. д T (t ,0, у)
1))eg (10)
(11)
Л b / \ j + Pe (ixEx + iyEy ) (12)
дx
= -k(T (t ,0, у) -1)
2) Условия на поверхности катионообменной мембраны:
4) Условия на входе в канал обессоливания:
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
Сг (t, х,0) = Сг,о, і =1,2
Vx (t, х,0) = 0 Vy (t, x ,0) = 6V0 x (1 - x)
n -Уф =-n -V(z1D1C1 + z2D2C2)/(D1C1 + z22D2C2). T (t, x,0) = T0
5) Условия на выходе из канала:
дф
ду 1 ду ’
- z DC ,дф - Di ^ = 0, і = 1,2
n-Уф =-n - V(Z1D1C1 + Z2D2C2)/{^Z12D1C1 + Z22D2C2). Vx (t, x, L) = 0, Vy (t, x, L) = 6V0x(1 - x),
P (t ,0, L) = P (t ,1, L) = P0,
д T (t, x, L)
dx
= 0
6) Начальные условия:
Ci (0, x,у) = C,0,i'= 1,2
Vx (0, x, У) = 0, Vy (0, x, у) = 6V0x(1 - x) T(0, x, у) = T
ф(0, x, у) =dф x
§3 Нетривиальные критерии подобия
Один из нетривиальных мультипликативных критериев подобия, вводится по
K =F K
определению: ek el.
Поскольку в данной работе предполагается, что D° и v являются
Pr —v /d
постоянными, то постоянным является число Прандтля: _ ' 0 . Числа Пекле и
Рейнольдса связаны соотношением: Pe = PrRe .
Нетривиальные критерии подобия находим, комбинируя тривиальные критерии
подобия. Через будем обозначать постоянные не зависящие от критериев подобия, т.е. физические постоянные в данной задаче.
Найдены следующие нетривиальные критерии подобия: ,
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
у a1 у _ Ra1sr3cpg2
У1 _ У 2 3 776 pv4
a2 aTF D
Pe 4s3 A-5 _ у 2 A3 B2 AK^Pe2 _ у з A3 B4 A^KAPe2 _y 4^2B2
2 „2
2v_i3 ^ ~ із'x3" ^1 ek± ^ -3" ГДЄ
2
s r PoCpa1
3 4
у _ P0 Cpa1 у _
У 3 _ r, З „Ь%2 ' 4 _ 2 г^2 тр2
Ra3Tg D
aT D F2
§4 Основные закономерности взаимодействия вынужденной, гравитационной и электроконвекции на основе анализа критериев подобия 1) Выводы из анализа критериев подобия
Запишем критерии подобия, отвечающий за электроконвекцию:
К„ _У5(T0JV0H)- где у5 _srRVP0F2
, где
(13)
K T
Из (13) следует, что ek явно зависит только от начальной температуры 0,
начальной скорости прокачки раствора V° и ширины канала H в виде комплекса
3°/VH, причем зависимость квадратичная. При этом, чем меньше скорость вынужденного течения и (или) ширина канала, и (или) выше температура, тем сильнее выражена электроконвекция.
Запишем критерии подобия, отвечающие за концентрационную конвекцию, в виде:
Ai _ Уi,6 • C0H/V0 , і _ 1,2 где у,6 _ atg/P0
(14)
A C
Из (14) следует, что * явно зависит только от начальной концентрации 0,
начальной скорости прокачки раствора V0 и ширины канала H в виде комплекса
. При этом, чем меньше скорость вынужденного течения, тем сильнее выражена концентрационная конвекция, причем зависимость, как и в случае электроконвекции квадратичная. В то же время, в отличие от электроконвекции концентрационная конвекция усиливается с увеличением ширины канала.
Кроме того, критерии подобия, отвечающий за концентрационную конвекцию зависят от начальной концентрации, причем эта зависимость является линейной, и,
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
следовательно, концентрационная конвекция усиливается с увеличением начальной концентрации раствора.
Запишем критерий подобия, отвечающие за тепловую конвекцию в виде:
At = У6 • T0H/V0 , где у6 = aTg/Ро . (15)
A T
Из (15) следует, что T явно зависит только от начальной температуры 0,
начальной скорости прокачки раствора V° и ширины канала H
в виде комплекса
T0 hV
. Зависимость тепловой конвекции от начальной скорости прокачки
раствора V° и ширины канала H аналогично такой зависимости
концентрационной конвекции. В то же время, тепловая конвекция зависит не от начальной концентрации, а от начальной температуры, причем эта зависимость является линейной, и, следовательно, тепловая конвекция усиливается с увеличением начальной температуры раствора.
Таким образом, теоретически доказано, что с увеличением начальной концентрации и (или) ширины канала, начинает превалировать концентрационная конвекция, а с уменьшением начальной концентрации и (или) ширины канала, начинает превалировать электроконвекция. В то же время при прочих равных условиях, с увеличением температуры вначале будет превалировать тепловая
конвекция (зависимость AT от T0 линейная), а затем электроконвекция
K T
(зависимость ек от 0 квадратичная).
Определенные выше теоретические закономерности подтверждены численным исследованием краевой задачи. Показано, что для раствора хлористого натрия при комнатной температуры и ширине канала обессоливания порядка 1 мм и скорости вынужденной конвекции 0.001 мм/с, концентрационная конвекция превалирует в области концентраций порядка 10 и более моль/м3, а электроконвекция превалирует в области концентраций порядка 0.1 и менее моль/м3 [29].
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
2) Выводы из анализа нетривиальных критериев подобия
Запишем для удобства все полученные выше нетривиальные критерии
<3d4 , 2
подобия: A =У 1А2, Kek =гКеі, Pe4s3A1 = у2A3 b2, AiK3elPe2 =yзa;b4 , A KkPe =y44BZ.
С точки зрения влияния начальных данных на концентрационную конвекцию, из равенства А _у 1А получаем, что роль катионов и анионов, практически одинаково. Отсюда следует, что при у 1 _ 1 течение в канале будет симметричным.
т'. Pe 4р3 А5 = у А3 B2
Равенство 1 '23 показывает соотношение между
концентрационной конвекций и тепловой конвекцией с учетом пространственного заряда и джоулевым разогревом раствора и степень влияния каждого из их на тепломассоперенос.
Равенства,
AK\Pe2 =узa3b4 и А12KekPe2 =у4A3B2
и их аналоги, получаемые
Re = Pe ■ Pr а „ме„„п- АКЗі Re2 =у зРг2 A3B4 и А12 Кй Re2 =у 4 Рг2 4Ft2
заменой , а именно:
показывает соотношение между вынужденной конвекцией, концентрационной конвекций и тепловой конвекцией с учетом джоулевого разогрева раствора и степень влияния каждого из них на тепломассоперенос.
Заключение. Построена достаточно общая математическая модель нестационарного переноса бинарного электролита в электромембранных системах с учетом совместного действия гравитационной, вынужденной и электроконвекции. Она представляет собой краевую задачу для системы квазилинейных уравнений в частных производных.
Развита теория подобия процесса тепломассопереноса в электромембранных системах, конкретно в канале обессоливания электродиализного аппарата, с учетом с учетом совместного действия концентрационной поляризации, пространственного заряда, гравитационной, вынужденной и электроконвекции.
Найдены нетривиальные критерии подобия и выяснен вклад концентрационной поляризации, пространственного заряда, гравитационной,
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
вынужденной и электроконвекции в тепломассоперенос.
Показано, что критерий электроконвекции явно не зависит от начальной концентрации и поэтому электроконвекция возникает при любой начальной концентрации. В то же время критерий концентрационной конвекции линейно зависит от начальной концентрации и поэтому при высоких концентрациях превалирует концентрационная конвекция, а при более низких концентрациях, роль гравитационной конвекции начинает падать при одновременном возрастании роли электроконвекции.
Построенная выше теория подобия процесса тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата, с учетом совместного действия концентрационной поляризации, пространственного заряда, гравитационной, вынужденной и электроконвекции имеет важное значение для инженерных расчетов, для масштабирования результатов экспериментов в электромембранной ячейке для промышленных электродиализных аппаратов обессоливания воды.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 13-08-93105-НЦНИЛа, № 13-08-93106-НЦНИЛ_а и № 13-08-96525 р_юг_а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Уртенов М.Х. Конвективно-диффузионная модель процесса электродиализного обессоливания. Предельный ток и диффузионный слой / Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий, В.В. Никоненко, М.Х. Уртенов // Электрохимия. - 1986. - Т. 22, № 3. - С. 298-302.
2. Заболоцкий, В.И. Перенос ионов в мембранах / В.И. Заболоцкий, В.В. Никоненко. - М.: Наука, 1996. - 390 с.
3. Шапошник В.А., Васильева В.И., Григорчук О.В. Явления переноса в ионообменных мембранах. М.: Изд-во МФТИ, 2001. 200 с.
4. Волгин В.М., Давыдов А.Д. Естественно-конвективная неустойчивость электрохимических систем // Электрохимия. 2006. Т.42. №6. С.635-678.
5. Григорчук О.В., Коржов Е.Н., Шапошник В. А. Температурное поле в электромембранной системе при естественной конвекции // Электрохимия. 1991. Т.27, №12. С.1676-1679
6. Уртенов М.Х. Математическое моделирование переноса в электромембранных системах с учетом конвективных течений / А.В. Лаврентьев, А. В. Письменский, М.Х. Уртенов // Краснодар, КубГТУ, 2006. - 146 с.
7. Письменский, А. В. Моделирование и экспериментальное исследование гравитационной конвекции в электромембранной ячейке / Письменский А.В., Коваленко А.В., Уртенов М. Х., Никоненко В.В., Систа Ф., Письменская Н.Д. // Электрохимия. - Т.48, №7. - 2012. - С. 830-842.
8. Уртенов К.М., Коваленко А.В., Шапошникова Т.Л. Математическое моделирование
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
тепломассопереноса в электродиализных аппаратах водоподготовки. М.: Финансы и статистика,
2010. 214 с.
9. Письменская Н.Д., Никоненко В.В., Белова Е.И., Лопаткова Г.Ю., Систа Ф., Пурсели Ж., Ларше К. Сопряженная конвекция раствора у поверхности ионообменных мембран при интенсивных токовых режимах // Электрохимия. 2007. Т.43, №3, С.1-21.
10. Nikonenko Victor V., Pismenskaya Natalia D., Belova Elena I., Sistat Philippe, Huguet Patrice, Pourcelly Gerald, Larchet Christian. Intensive current transfer in membrane systems: Modelling, mechanisms and application in electrodialysis // Advances in Colloid and Interface Science 160 (2010) 101-123.
11. Nikonenko V., Kovalenko A., Urtenov M., Pismenskaya N., Han J., Sistat P., Pourcelly G. / Desalination at overlimiting currents: State-of-the-art and perspectives // Desalination. Elsevier. 342 (2014)pp.85-106
12. Духин, С.С. Исчезновение феномена предельного тока в случае гранулы ионита / С.С. Духин, Н.А. Мищук // Коллоидный журнал. - 1989. - Т. 51, № 4. - С. 659-671.
13. Духин, С.С. Электроосмос второго рода и неограниченный рост тока в смешанном монослое ионита / С.С. Духин, Н.А. Мищук, П.В. Тахистов // Коллоидный журнал. - 1989. - Т. 51, № 3. - С. 616-618.
14. Rubinstein, I. Electro-osmotically induced convection at a permselective membrane / I. Rubinstein,
B. Zaltzman // PHYSICAL REVIEW E. - 2000. - V. 62, № 2. - P. 2238-2251.
15. Rubinstein, I. Electro-osmotic slip and electroconvective instability/ I. Rubinstein, B. Zaltzman // J. Fluid Mech. - 2007. -V. 579. - Р. 173-226.
16. Dydek, E.V. Overlimiting Current in a Microchannel / E.V. Dydek, B. Zaltzman, I. Rubinstein,
D.S. Deng, A. Mani, M.Z. Bazant // Phys. Rev. Let. - 2011 - V. 107. P. 118301.
17. Mani, A. Deionization shocks in microstructures / A. Mani, M.Z. Bazant // Physical Review E.
2011. - V. 84. P. 061504.
18. Рубинштейн, И. Экспериментальная проверка электроосмотического механизма
формирования «запредельного» тока в системе с катионообменной электродиализной мембраной / И. Рубинштейн, Б. Зальцман, И. Прец, К. Линдер //Электрохимия. - 2002. - Т. 38, № 8. - С.
956-967.
19. Kwak R. Pham V.S., Lim K.M., Han J. Shear flow of an electrically charged fluid by ion concentration polarization: scaling laws for convection vortices, Physical Review Letters 110 (2013) 114501.
20. Basic mathematical model of overlimiting transfer enhanced by electroconvection in flow-through electrodialysis membrane cells / Urtenov M.K., Uzdenova A.M., Nikonenko V.V., Pismenskaya N.D., Kovalenko A.V., Vasil'eva V.I., Sistat P., Pourcelly G.// Journal of Membrane Science: научный журнал. - 447. 2013. 190-202pp. http://dx.doi.org/10.1016/i.memsci.2013.07.033
21. Уртенов М.Х. , Никоненко В.В., Коваленко А.В., Узденова А.М. Математическое моделирование электроконвекции в ЭМС с вынужденной конвекцией. Конденсированные среды и межфазные границы. - Т. 13, № 4. 2011. Воронеж. с. 317-324
22. Графов Б.М., Черненко А.А. Прохождение постоянного тока через раствор бинарного электролита // Журнал физической химии. 1963. Т.37. С.664
23. Графов Б.М., Черненко А.А. Теория прохождения постоянного тока через раствор бинарного электролита // Докл. АН СССР. 1962. Т.146. №1. С.135-138
24. Коваленко А.В., Васильева В.И., Никоненко В.В., Узденова А.М., Уртенов М.Х., Sistat P., Белашова Е.Д. Развитие теории подобия процессов переноса в канале обессоливания электродиализного аппарата //Конденсированные среды и межфазные границы, Том 16, № 4, 2014.
C. 429—438
25. Коваленко А.В., Никоненко В.В., Узденова А.М., Уртенов М.Х. Критериальные числа
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
электроконвекции в камере обессоливания электродиализатора // Конденсированные среды и межфазные границы. Воронеж. 2013, № 3 (16) С. 386-394.
26. Исаченко В.П. Теплопередача / В.П. Исаченко, В.А. Осипова, А.С. Сукомел. - М.: Энергоиздат, 1981. - 416 с.
27. Коваленко А.В., Уртенов М.Х. Краевые задачи для системы электродиффузионных уравнений. Часть 1. Одномерные задачи (монография) LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, Saarbrucken. 2011. 281 c.
28. Pham V.S. Direct numerical simulation of electroconvective instability and hysteretic current-voltage response of a permselective membrane / Van Sang Pham, Zirui Li, Kian Meng Lim, Jacob
K. White, Jongyoon Han // PHYSICAL REVIEW E 86, 046310 (2012) pp.1-11.
29. Pismenskiy A.V., Urtenov M.K., Kovalenko A.V., Mareev S.V. Electrodialysis desalination process in conditions of mixed convection //Desalination and Water Treatment 2014 (1-3) London. Taylor & Francis. 2014. DOI: 10.1080/19443994.2014.981407
References
1. Urtenov M.H. Konvektivno-diffuzionnaja model' processa jelektrodi-aliznogo obessolivanija. Predel'nyj tok i diffuzionnyj sloj / N.P. Gnu-sin, V.I. Zabolockij, V.V. Nikonenko, M.H. Urtenov // Jelektrohimija. - 1986. - T. 22, № 3. - S. 298-302.
2. Zabolockij, V.I. Perenos ionov v membranah / V.I. Zabolockij, V.V. Nikonenko. - M.: Nauka, 1996. - 390 s.
3. Shaposhnik V.A., Vasil'eva V.I., Grigorchuk O.V. Javlenija perenosa v ionoobmennyh membranah. M.: Izd-vo MFTI, 2001. 200 s.
4. Volgin V.M., Davydov A.D. Estestvenno-konvektivnaja neustojchivost' jelektrohimicheskih sistem // Jelektrohimija. 2006. T.42. №6. S.635-678.
5. Grigorchuk O.V., Korzhov E.N., Shaposhnik V.A. Temperaturnoe pole v jelektromembrannoj sisteme pri estestvennoj konvekcii // Jelektrohimija. 1991. T.27, №12. S.1676-1679
6. Urtenov M.H. Matematicheskoe modelirovanie perenosa v jelektromem-brannyh sistemah s uchetom konvektivnyh techenij / A.V. Lavrent'ev, A.V. Pis'menskij, M.H. Urtenov // Krasnodar, KubGTU, 2006. - 146 s.
7. Pis'menskij, A.V. Modelirovanie i jeksperimental'noe issledovanie gravitacionnoj konvekcii v jelektromembrannoj jachejke / Pis'menskij A.V., Kovalenko A.V., Urtenov M. H., Nikonenko V.V., Sista
F., Pis'menskaja N.D. // Jelektrohimija. - T.48, №7. - 2012. - S. 830-842.
8. Urtenov K.M., Kovalenko A.V., Shaposhnikova T.L. Matematicheskoe modelirovanie teplomassoperenosa v jelektrodializnyh apparatah vodo-podgotovki. M.: Finansy i statistika, 2010. 214
9. Pis'menskaja N.D., Nikonenko V.V., Belova E.I., Lopatkova G.Ju., Si-sta F., Purseli Zh., Larshe
K. Soprjazhennaja konvekcija rastvora u poverhno-sti ionoobmennyh membran pri intensivnyh tokovyh rezhimah // Jelektro-himija. 2007. T.43, №3, S.1-21.
10. Nikonenko Victor V., Pismenskaya Natalia D., Belova Elena I., Sistat Philippe, Huguet Patrice, Pourcelly Gerald, Larchet Christian. Intensive current transfer in membrane systems: Modelling, mechanisms and application in elec-trodialysis // Advances in Colloid and Interface Science 160 (2010) 101-123.
11. Nikonenko V., Kovalenko A., Urtenov M., Pismenskaya N., Han J., Sistat P., Pourcelly G. / Desalination at overlimiting currents: State-of-the-art and per-spectives // Desalination. Elsevier. 342 (2014)pp.85-106
12. Duhin, S.S. Ischeznovenie fenomena predel'nogo toka v sluchae granu-ly ionita / S.S. Duhin, N.A. Mishhuk // Kolloidnyj zhurnal. - 1989. - T. 51, № 4. - S. 659-671.
13. Duhin, S.S. Jelektroosmos vtorogo roda i neogranichennyj rost toka v smeshannom monosloe
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
22
Научный журнал КубГАУ, №105(01), 2015 года
ionita / S.S. Duhin, N.A. Mishhuk, P.V. Tahistov // Kolloidnyj zhurnal. - 1989. - T. 51, № 3. - S. 616-618.
14. Rubinstein, I. Electro-osmotically induced convection at a permselective membrane / I. Rubinstein, B. Zaltzman // PHYSICAL REVIEW E. - 2000. - V. 62, № 2. - P. 2238-2251.
15. Rubinstein, I. Electro-osmotic slip and electroconvective instability/ I. Ru-binstein, B. Zaltzman //
J. Fluid Mech. - 2007. -V. 579. - R. 173-226.
16. Dydek, E.V. Overlimiting Current in a Microchannel / E.V. Dydek, B. Zaltzman, I. Rubinstein,
D.S. Deng, A. Mani, M.Z. Bazant // Phys. Rev. Let. - 2011 - V. 107. P. 118301.
17. Mani, A. Deionization shocks in microstructures / A. Mani, M.Z. Bazant // Physical Review E.
2011. - V. 84. P. 061504.
18. Rubinshtejn, I. Jeksperimental'naja proverka jelektroosmoticheskogo mehanizma formirovanija «zapredel'nogo» toka v sisteme s kationoobmen-noj jelektrodializnoj membranoj / I. Rubinshtejn, B. Zal'cman, I. Prec, K. Linder //Jelektrohimija. - 2002. - T. 38, № 8. - S. 956-967.
19. Kwak R. Pham V.S., Lim K.M., Han J. Shear flow of an electrically charged fluid by ion concentration polarization: scaling laws for convection vorti-ces, Physical Review Letters 110 (2013) 114501.
20. Basic mathematical model of overlimiting transfer enhanced by electrocon-vection in flow-through electrodialysis membrane cells / Urtenov M.K., Uzdenova A.M., Nikonenko V.V., Pismenskaya N.D., Kovalenko A.V., Vasil'eva V.I., Sis-tat P., Pourcelly G.// Journal of Membrane Science: nauchnyj zhurnal. - 447. 2013. 190-202pp. http://dx.doi.org/10.1016/j.memsci.2013.07.033
21. Urtenov M.H. , Nikonenko V.V., Kovalenko A.V., Uzdenova A.M. Mate-maticheskoe modelirovanie jelektrokonvekcii v JeMS s vynuzhdennoj konvek-ciej. Kondensirovannye sredy i mezhfaznye granicy. - T. 13, № 4. 2011. Voronezh. s. 317-324
22. Grafov B.M., Chernenko A.A. Prohozhdenie postojannogo toka cherez ras-tvor binarnogo jelektrolita // Zhurnal fizicheskoj himii. 1963. T.37. S.664
23. Grafov B.M., Chernenko A.A. Teorija prohozhdenija postojannogo toka cherez rastvor binarnogo jelektrolita // Dokl. AN SSSR. 1962. T.146. №1. S.135-138
24. Kovalenko A.V., Vasil'eva V.I., Nikonenko V.V., Uzdenova A.M., Ur-tenov M.H., Sistat P., Belashova E.D. Razvitie teorii podobija processov pe-renosa v kanale obessolivanija jelektrodializnogo apparata //Kondensirovannye sredy i mezhfaznye granicy, Tom 16, № 4, 2014. S. 429—438
25. Kovalenko A.V., Nikonenko V.V., Uzdenova A.M., Urtenov M.H. Krite-rial'nye chisla jelektrokonvekcii v kamere obessolivanija jelektrodializa-tora // Kondensirovannye sredy i mezhfaznye granicy. Voronezh. 2013, № 3 (16) S. 386-394.
26. Isachenko V.P. Teploperedacha / V.P. Isachenko, V.A. Osipova, A.S. Sukomel. - M.: Jenergoizdat, 1981. - 416 s.
27. Kovalenko A.V., Urtenov M.H. Kraevye zadachi dlja sistemy jelektro-diffuzionnyh uravnenij. Chast' 1. Odnomernye zadachi (monografija) LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, Saarbrucken. 2011. 281 c.
28. Pham V.S. Direct numerical simulation of electroconvective instability and hysteretic current-voltage response of a permselective membrane / Van Sang Pham, Zirui Li, Kian Meng Lim, Jacob
K. White, Jongyoon Han // PHYSICAL REVIEW E 86, 046310 (2012) pp.1-11.
29. Pismenskiy A.V., Urtenov M.K., Kovalenko A.V., Mareev S.V. Electrodialysis desalination process in conditions of mixed convection //Desalination and Water Treatment 2014 (1-3) London. Taylor & Francis. 2014. DOI: 10.1080/19443994.2014.981407
http://ej.kubagro.ru/2015/01/pdf/052.pdf
