CC BY
73
УДК 303.732.4+514.84+515.1+530.1
01.00.00 Физико-математические науки
ВЛИЯНИЕ РЕАКЦИИ ДИССОЦИАЦИИ/РЕКОМБИНАЦИИ МОЛЕКУЛ ВОДЫ НА ПЕРЕНОС 1:1 ЭЛЕКТРОЛИТА В МЕМБРАННЫХ СИСТЕМАХ В ДИФФУЗИОННОМ СЛОЕ. ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Коваленко Анна Владимировна к.э.н., доцент
Scopus Author ID: 55328224000 SPIN-код автора: 3693-4813 Кубанский государственный университет, Россия,350040, Краснодар, Ставропольская, 149 savanna-05@mail. ru
Уртенов Махамет Али Хусеевич д.ф.-м.н., профессор Scopus Author ID: 6603363090 SPIN-код: 7189-0748
Кубанский государственный университет, Россия,350040, Краснодар, Ставропольская, 149, urtenovmax@mail. ru
Сеидова Наталья Михайловна
к.ф.-м.н., доцент
Scopus Author ID: 23470572500
SPIN-код автора: 8290-7153
Кубанский государственный университет,
Россия,350040, Краснодар, Ставропольская, 149
natalia. seidova@gmail. com
Письменский Александр Владимирович к.ф.-м.н., доцент Scopus Author ID:13004856800 SPIN-код: 9932-7747
Кубанский государственный университет, Россия,350040, Краснодар, Ставропольская, 149, [email protected]
Учет влияния реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды важен для понимания процессов электроконвекции, поскольку ряд авторов считает, что появление новых носителей тока H + и OH-может привести к уменьшению пространственного заряда и, соответственно, к исчезновению электроконвекции. Однако, как показано в работе [5], диссоциация молекул воды, хотя и уменьшает пространственный заряд и увеличивает пороговое значение падения скачка потенциала, при котором начинается электроконвекция, тем не менее, она сохраняется и достаточно эффективно перемешивает раствор. Данная статья посвящена математическому моделированию электродиффузии четырех сортов ионов одновременно (двух ионов соли, а также H+ и OH-ионов) в диффузионном слое в электромембранных
UDC 303.732.4+514.84+515.1+530.1
Physic and mathematics
THE INFLUENCE OF REACTION OF DISSOCIATION / RECOMBINATION OF WATER MOLECULES ON ELECTROLYTE TRANSPORTATION 1: 1 IN MEMBRANE SYSTEMS IN THE DIFFUSION LAYER. PART 1. MATHEMATICAL MODEL
Kovalenko Anna Vladimirovna Cand.Econ.Sci., associate professor Scopus Author ID: 55328224000 SPIN-code: 3693-4813 Kuban State University, Krasnodar, Russia
Urtenov Makhamet Ali Khuseevich Dr.Sci.Phys.-Math., professor Scopus Author ID: 6603363090 SPIN-code: 7189-0748
Kuban State University, Krasnodar, Russia
Seidova Natalia Mikhaylovna Cand.Phys.-Math.Sci., associate professor Scopus Author ID: 23470572500 SPIN-code: 8290-7153
Kuban State University, Krasnodar, Russia
Pismenskiy Alexander Vladimirovich Cand.Phys.-Math.Sci., associate professor Scopus Author ID:13004856800 SPIN-code: 9932-7747 Kuban State University, Krasnodar, Russia
The influence of dissociation / recombination of water molecules is important for understanding electroconvection processes, as some authors believe
that the emergence of new carriers H+and OH - , and can lead to a reduction in the space-charge and, consequently, to electroconvection disappearance. However, as shown in [5], the dissociation of water molecules, although it reduces the space charge and increases the threshold fall potential jump at which begins electroconvection, yet it persists and effectively mixes the solution. This article is devoted to mathematical modeling of electrodiffusion of four types of ions at the same time (two salt ions as well as
H + and OH - ions) in the diffusion layer in electro-membrane systems with perfectly selective membrane under the joint influence of violation of electrical
системах с идеально селективной мембраной при совместном влиянии нарушения электронейтральности и реакции диссоциации/ рекомбинации молекул воды, разработке математических моделей этих процессов, построению эффективных алгоритмов асимптотического и численного анализа для различных типов электролитов. В статье предложена новая математическая модель процесса переноса ионов соли с учетом пространственного заряда и реакции диссоциации/ рекомбинации воды в виде краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Данная система приведена к виду удобному для численного решения. Рассчитанные необходимые дополнительные краевые условия для напряженности электрического поля. Численному и асимптотическому решению этой краевой задачи и физико-химическому анализу влияния реакции диссоциации/ рекомбинации на перенос ионов соли предполагается посвятить следующие части работы
Ключевые слова: ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИЯ, РЕАКЦИЯ ДИССОЦИАЦИИ, РЕАКЦИЯ РЕКОМБИНАЦИИ МОЛЕКУЛ ВОДЫ, ЭЛЕКТРОМЕМБРАННЫЕ СИСТЕМЫ, ОБЛАСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА, КАТИОНООБМЕННАЯ МЕМБРАНА, АНИОНООБМЕННАЯ МЕМБРАНА
neutrality, and the reaction of dissociation / recombination of water molecules, development of mathematical models of these processes, building efficient algorithms asymptotic and numerical analysis for different types of electrolytes. The work proposes a new mathematical model of the process of transfer of salt ions in view of the space charge and the dissociation / recombination of water in the form of a boundary value problem for a system of ordinary differential equations. This system is reduced to a form convenient for numerical solution. We have calculated the required additional boundary conditions for the electric field. Numerical and asymptotic solution of the boundary value problem and physico-chemical analysis of the influence of dissociation / recombination on the transfer of salt ions is expected to devote the next part of the work
Keywords: ELECTROCONVECTION, DISSOCIATION REACTION, RECOMBINATION REACTION OF MOLECULES OF WATER, ELECTRO-MEMBRANE SYSTEMS, CHARGE SPACE REGION, CATION EXCHANGE MEMBRANE, ANION EXCHANGE MEMBRANE
Doi: 10.21515/1990-4665-121-122
Введение
В настоящее время в электромембранных системах (ЭМС) используются интенсивные токовые режимы, когда токи в несколько раз превышают предельный электродиффузионный ток. При таких условиях возникают вторичные (или сопряженные) явления концентрационной поляризации: пространственный электрический заряд занимает макроскопическую область, сравнимую с толщиной диффузионного слоя; вблизи границы мембрана/раствор интенсивно протекает диссоциация воды и продукты диссоциации (Н + и ОН- - ионы) участвуют в переносе заряда; в системе возникают микроконвективные течения, облегчающие массоперенос, исследованию которых посвящено большое количество работ [1-4].
Однако в указанных работах эффекты, вызываемые диссоциацией воды и нарушением электронейтральности в диффузионном слое, рассматривались либо независимо, хотя в действительности описываемые явления всегда протекают одновременно, влияя друг на друга, либо без учета рекомбинации ионов воды [5-6].
Отметим, что учет влияния реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды важен для понимания процессов электроконвекции в ЭМС, поскольку ряд авторов считает, что появление новых носителей тока Н + и ОН- может привести к уменьшению пространственного заряда и, соответственно, к исчезновению электроконвекции. Однако, как показано в работе [5], диссоциация молекул воды, хотя и уменьшает пространственный заряд и увеличивает пороговое значение падения скачка потенциала, при котором начинается электроконвекция, тем не менее электроконвекция сохраняется и достаточно эффективно перемешивает раствор. Однако в работе [5], не была учтена рекомбинация Н + и ОН- -ионов. Можно ожидать, что учет рекомбинация молекул воды снизит влияние новых носителей тока на электроконвекцию.
При рекомбинации Н + и ОН- выделяется достаточное количества тепла, причем вдали от межфазных границ, что может привести к развитию гравитационной конвекции.
Таким образом, теоретическое изучение одновременного влияния нарушения электронейтральности и реакции диссоциации/ рекомбинации молекул воды, разработка математических моделей этих процессов, построение эффективных алгоритмов асимптотического и численного анализа для различных типов электролитов, является актуальной проблемой.
1. Физическая постановка задачи
Рассмотрим перенос ионов 1:1 - зарядного электролита и ионов Н+ и ОН- через диффузионный слой Нернста. Одномерный стационарный процесс переноса ионов соли в диффузионном слое с учетом диссоциации/ рекомбинации воды описывается системой уравнений:
£> = -и{')РС{')С^ - , х(г) е (0,8) (1)
2г) = ^ - В<г) ^, (2)
2 2 2 Сх(г) 2 Сх(г)
3г)=^ - Ы.г) ^, (3)
3 3 3 Сх(г) 3 Сх(г)
7(') = ((') рг(т) - п(г) сс() (4)
74 = 4 ёх(г) °4 сЫ(г) , (4)
с
( Сц(г) ^
Сх(г)
Сх
(с(г) -с{г) + С(ъг) -с(г)), (5)
у
~Р(') С1 е0
С 1(г). + Ы').
01+к',г=^ (6)
Я(г)\ = Я(г)2 = 0, Я(г)3 = Я(г)4 = -К(г)(к(г)^ - С(Г)3С(Г)\), (7)
Здесь К(г) - константа скорости диссоциации/рекомбинации, к(Г) = 10-14 ^мс>ль| - константа равновесия при 250С, I = 1,2 - ионы соли, I = 3 и I = 4 - соответственно ионы водорода Н + и гидроксила ОН-, Е(г) = - СФ( ^ - напряженность электрического поля, с(г) - концентрация,
- поток, - подвижности, Ц(г) - коэффициент диффузии ¿-го иона, 1(г) - плотность тока, - парциальный ток, е0г) - диэлектрическая проницаемость, ^ - число Фарадея. Здесь индекс (г) означает, что соответствующие величины размерны. Обозначим:
I"> = 1В"> + ф, (8)
http://ej.kubagro.ru/2016/07/pdf/122.pdf
h,r> = F-/{'), W = F.j" -). (9)
Из (6) и (7) следует:
j(r)i = j(r)2 = Cons, Is(r) = F jr) - j2r))= const
d j(r)3 = j(r)4 = K(r)(k(r)w -C(r)3C(r)4) . (10)
dx(r)J 3 dx(r)J 4 " 1" w
Следовательно, d . IW(r) = d . j(r)3 —^ j(r)4 = 0, IW(r) = const, но
dx(r) W dx(r) dx(r) W
■ (r) ■ (r) j3 ^ const , j4 ^ const.
Будем считать, что x(r^ = 0 соответствует глубине раствора, где
выполняется условие электронейтральности C(r^ - C(2r) + C(r) - C(r/) = 0, а
x(r) = 5 соответствует условной межфазной границе раствор/мембрана или раствор/мембрана. Таким образом, 5 - это толщина слоя Нернста. Поскольку предполагается, что диссоциация молекул воды происходит внутри мембраны, и, соответственно, в раствор из мембраны выносятся или ионы H + или ионы OH-, то их рекомбинация возможна лишь при условии, что раствор либо подщелочен, либо подкислен. Кроме того, мембрана может быть катионообменной (КМ) или анионообменной (АМ). Рассмотрим более подробно один из этих случаев.
Модель КМ. Пусть x(r) = 5 соответствует условной межфазной границе раствор/КМ. В этой работе для простоты КМ будет
предполагаться идеально селективной (j^ = 0).
При диссоциации молекул воды из КМ выносятся ионы OH- (рис.1) и для рекомбинации необходимо, чтобы раствор был подкислен, т.е.
C^r)( 0) = C$0J > 0, C(r)(0) = 0, C(r)(0) = Cft > 0, C(2r){ 0) = C(0 > 0.
При допредельных плотностях тока условие локальной электронейтральности выполняется с большой точностью практически во
всем интервале [0,8) . Из чего следует, что при учете (9) справедливо, что
С(г) + С(г) - С(г)
с10 + с30 - с20 •
Однако, при запредельных токовых режимах область выполнения условия локальной электронейтральности уже не заполняет весь интервал. Вблизи х(г) -8 (рис. 1) появляется область пространственного заряда (ОПЗ), где уже не выполняется условие локальной электронейтральности и для описания процесса переноса необходимо использовать уравнение Пуассона (5). А это в свою очередь требует задания еще одного граничного
условия х(г) —8. В работе в качестве такого граничного условия задано значение концентрации катиона, равного обменной емкости КМ
€<-> (8) — ст .
Замечание 1. Аналогично модели КМ можно рассматривать модель АМ, когда х(г) — 8 соответствует межфазной границе раствор/АМ. 2. Алгоритм исследования краевой задачи
В данной статье предлагается следующий алгоритм исследования описанной выше краевой задачи при запредельных плотностях тока:
1. С использованием характерных для данного процесса значений параметров осуществляется переход к безразмерному виду. При этом интервалу [0,8) соответствует интервал [0,1). Дается оценка безразмерных параметров и производится предварительное асимптотическое упрощение.
2. При запредельных плотностях тока (> 1пр) вблизи мембраны
появляется ОПЗ х < х < 1, где уже условие локальной электронейтральности не выполняется. Вместо него нужно использовать уравнение Пуассона. В то же время в интервале [ 0,х) выполняется условие электронейтральности.
Рис.1. Схема к структуре диффузионного слоя при интенсивных токовых режимах согласно математической модели КМ. Масштаб не соблюден, переменные приведены в безразмерном виде
3. Предполагается, что центр реакционного слоя 0 (точка рекомбинации ионов водорода и гидроксила) расположена в области электронейтральности (0,х).
4. В окрестности этой точки появляется внутренний погранслой (узкий реакционный слой), где происходит рекомбинация молекул воды и находится решение в этом погранслое, которое сращивается с решениями в областях (0,0) и (0,х).
5. Для решения краевой задачи в (0,х) используется методика работы [1], которая заключается в разбиении интервала (0,х) на два интервала (0,0) и (0,х), в которых выполняется условие равновесия.
6. В ОПЗ (х,1 ] краевая задача решается с использованием асимптотического метода разработанного нами в работах [4, 7]. А именно, http://ej.kubagro.ru/2016/07/pdf/122.pdf
ОПЗ (х,1] разбивается на две подобласти: основную часть (х,€), где решения относительно медленно меняются и квазиравновесную часть (€,1 ] (погранслой), где решения экспоненциально меняются и удовлетворяют граничному условию.
7. Вводится промежуточный слой около точки х = х, который используется для сращивания решений из области электронейтральности [ 0,х) и ОПЗ (х,1 ] .
8. Реакция диссоциации молекул воды учитывается в виде граничного условия на межфазной границе раствор/ КМ на поток OH-, притом зависящего от напряженности электрического поля достигающего значительных величин на поверхности мембраны. В работе [2] показано
Iw(r> = #),№>< 1) . (13)
9. Хотя проведенное ниже исследование большой частью справедливо для раствора произвольной бинарной соли, для определенности будем рассматривать раствор хлористого натрия.
3. Переход к безразмерному виду 3.1. Система уравнений
Обозначим через - концентрацию катионов соли, а D^ -
коэффициент диффузии электролита и перейдем к безразмерным
х(г> г dF dj(r> r I(r)d T I(sr)d величинам: х =-, E =----v—, I = —, , , , , IS =-S-
RT cbir>' D(0r)C(0r)F' S D(0r)C(0r>F
I(r)d C(r> (r>d D(r> j = jw d с =-i_ i = Ji d D = Di_ i = j 2 3 4
W D(r)C(r)F ' Ci C(r> , Ji D(r)C(r> , Di D(r> , i j, 2 3 4,
D0 C0 F C0 Di C0 D0
9 9
к^ С%> (0). ф (0) (о" (0)1 Г СОН (0)1 , №
К _ "Ж ^ОНУ-Ч _ ^ -- -
СГ С^^) ^ Н0П ог ^
'0НУ~' к„ - . , << 1
о( -.
е- _.„., V» -2|-?1 ,К - ° _„.,(0) -—К ,кз --0(1).
С0г)¥282 I 5 Г 3 -3^ —^ -з ' 3 -3г)
-0г) К(Г)52С(0Г) 1 К(г^5 С(0)
:4 ---^к, к4 - —- - 0( 1), к--
4 -4г) -0г) -4 4 -4г; -0г)
+ % -1, где /^ - -17 - -272, % - -373 - -4у4, причем для идеально селективной мембраны у2 - 0.
Параметр кш представляет собой квадрат отношения концентрации ионов Н + или ОН_ в нейтральном растворе (рН - 7) к концентрации электролита, а параметр е представляет собой удвоенный квадрат отношения дебаевской длины -- к толщине диффузионного слоя 5.
При реальных значениях концентрации раствора С^и толщины диффузионного слоя 5 параметры е и % можно рассматривать как малые параметры, поскольку их реальные значения находятся в диапазоне от
_4 _10 _8 _12
10 и10 и от 10 до 10 соответственно, а К как большой параметр, поскольку константа скорости диссоциации и рекомбинации достаточно велика, причем - большой параметр.
Зависимость безразмерной плотности тока /W от безразмерной напряженности электрического поля Е(1) согласно (11) можно записать
^ - IIеУ2Е( 1) . (12)
Вместо (12) удобнее использовать условие % -у1еУ2^ф(где 1) скачок потенциала на границе мембрана/ раствор, в квазиравновесной
С
ОПЗ. Можно показать [4], что (1) пропорционально Iп—1т »-пСХт, где
С15
С^ - С1(€) << С1т .Следовательно, (12) можно записать в виде /W - уС^ . http://ej.kubagro.ru/2016/07/pdf/122.pdf
С учетом соотношения Нернста-Эйнштейна безразмерная система из семи обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) имеет вид:
dcL = CE - ji, ji = Cons, (13)
dx
^ = -C2E - j2, j2 = Cons, (14)
dx
C3E - j3, (15)
dC3
дх
-^73 = - С3С4) , (16)
ах
= -СЕ - 74, (17)
ах
а74 = К4(К - С3С4), (18)
ах
= Сх -С2 + С3 -С4. (19)
ах
Замечание 2. Умножим уравнение (17) на Б3, а (19) на й4 и вычтем, тогда с учетом = б3 у3 - в4 у4, получим:
П3(С - С3Е) - В4(аС4 + С4Е) = -(В3]3 -В474) или (20) ах ах
04(дС± + С4Е) - щЩк - С3Е) = . (21)
ах ах
3.2. Краевые условия
С1 х=0 = 1' С21х=0 = 1 + а , С3|х=0 = С30 = а, 73|х=0 = 730 , Л\х=0 = 740 = 0
С1 х=х = С\ш' 731х =1 = 73т = 0 , 741х=1 = 74т . (22)
Хотя формально число граничных условий равно восьми, но поскольку первые три условия зависимы (они удовлетворяют условию электронейтральности), то число независимых граничных условий равно семи, т.е. числу дифференциальных уравнений.
3.3. Приведение краевой задачи к виду, удобному для численного решения
Для численного решения система (13)-(19) неудобна, поскольку она первого порядка, а для нее ставится краевая задача. К тому же в уравнении (19) для напряженности электрического поля правая часть не зависит от Е . Приведем система (13)-(19) к виду удобному для численного решения. Дифференцируя все уравнения один раз, и учитывая потоки и уравнения для концентраций, можно перейти к следующей системе уравнений:
- —(СХЕ) = 0, (23)
йх2 —X
й С2 й
йх2 —X
2
йх2 —X
+ — (С2 Е) = 0, (24)
В^ -Вз—(СЗЕ) = -К(К -С3С4), (25)
й С3 ^ й
X'
2
й С4 й
йх2 йх
+ (С4Е) = -К(к^ -С3С4), (26)
е = (С: + С2)Е + йСз - йС4 -^. (27)
йх2 йх йх В
Краевые условия для этой системы уравнений можно поставить в виде.
1) При х = 0:
С1 х=0 = 1 С21х=0 = 1 + й, Сз|х=0 = С30 = й , С41х=0 = ^ Е|х=0 = Е0 . (28)
Здесь последнее условие должно вычислено из условия выполнения условия электронейтральности в точке х = 0. Складывая уравнения (13)-(15) и (17) для Сг-, I = 1,...,4 и используя условие электронейтральности
Сх - С2 + С3 - С4 = 0 можно получить соотношение:
= л( 0) - ]2( 0) + Ы 0) - j4 ( 0) = А
Е(0) = Л< = ^0 (29)
С:(0) + С2(0) + С3(0) + С4(0) 2 + 2й ' ^ '
поэтому можно положить Е0 = ——, где /0 = — + —. 3 2 + 2й 0 В В3
2) При х = 1: Сх| х=1 = С\т, (—х2 + С2 Е)| х=1 = 0,
Сэ|х=0 = 0,('С + С4Е)|х=: = С12,Щх=1 = Ет . (30)
Первые пять условий следуют непосредственно из (22). Для вычисления последнего условия необходимо использовать:
С + С2 + С4 =1 еЕ2 - Зух + а, (31)
где = —-—, а а некоторое известное постоянное. Соотношение
А ^4
(31) выполняется с большой точностью в окрестности точки х = 1.
Из (31) следует, что значения функций С, С2,С4 и Е при х = 1 связаны между собой. С учетом Сх( 1) = С1т >> С2(1) = С2т и предполагая
1 2
С1( 1) = С1т >> С4 (1) = С4т, получаем, что С1т » —еЕт - + а. Отсюда следует
Ет 2(С1т + .¡\ - а)/4е , где а = С1(х) + С2(х) + С4(х) + 0(е).
Краевая задача (23)-(27) удобна для численного решения, однако для асимптотического решения и аналитического исследования следует использовать исходную краевую задачу.
Заключение. В статье предложена новая математическая модель процесса переноса ионов соли с учетом пространственного заряда и реакции диссоциации/ рекомбинации воды в виде краевой задачи для системы ОДУ. Эта система приведена к виду удобному для численного решения. Рассчитаны необходимые дополнительные краевые условия для напряженности электрического поля. Численному и асимптотическому решению этой краевой задачи и физико-химическому анализу влияния реакции диссоциации/рекомбинации на перенос ионов соли предполагается посвятить следующие части работы.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта 16-08-00128 А "Теоретическое и экспериментальное исследование гравитационной конвекции в мембранных системах с учетом реакции диссоциации/рекомбинации молекул воды". http://ej.kubagro.ru/2016/07/pdf/122.pdf
Библиографический список
1. Сокирко А.В., Харкаца Ю.И. К теории эффекта экзальтации миграционного тока в кислых средах//Электрохимия, 1989г, т.ХХУ, вып.2, с.232-239
2. Заболоцкий В.И., Шельдешов Н.В., Гнусин Н.П. Диссоциация молекул воды в системах с ионообменными мембранами// Успехи химии. 1988, т. 57, № 8, с. 1403-1414.
3. Заболоцкий В.И., Никоненко В.В. Перенос ионов в мембранах. М.: Наука, 1996.
392 с.
4. Заболоцкий В.И., Никоненко В.В., Корженко Н.М., Сеидов Р.Р., Уртенов М.Х. Влияние гетеролитической диссоциации воды на массоперенос ионов соли в электромембранной системе при нарушении электронейтральности в области диффузионного слоя. // Электрохимия. 2002. Т.38, №8. С.912-921
5. Коваленко А.В. Влияние диссоциации воды на развитие электроконвекции в мембранных системах // Конденсированные среды и межфазные границы, Том 16, №3, с. 288-293
6. Nikonenko У., Kovalenko A., Urtenov M., Pismenskaya N., Han J., Sistat P., Pourcelly G. Desalination at overlimiting currents: State-of-the-art and perspectives. // Desalination. 342 (2014) pp. 85-106.
7. Коваленко А.В., Уртенов М.Х. Краевые задачи для системы электродиффузионных уравнений. Часть 1. /LAP Lambert Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, Saarbrucken, 2011. 280 с.
References
1. Sokirko A.V., Harkaca Ju.I. K teorii jeffekta jekzal'tacii migracionnogo toka v kislyh sredah//Jelektrohimij a, 1989g, t.XXV, vyp.2, s.232-239
2. Zabolockij V.I., Shel'deshov N.V., Gnusin N.P. Dissociacija molekul vody v sistemah s ionoobmennymi membranami// Uspehi himii. 1988, t. 57, № 8, s. 1403-1414.
3. Zabolockij V.I., Nikonenko V.V. Perenos ionov v membranah. M.:Nauka, 1996.392s.
4. Zabolockij V.I., Nikonenko V.V., Korzhenko N.M., Seidov R.R., Urtenov M.H. Vlijanie geteroliticheskoj dissociacii vody na massoperenos ionov soli v jelektro-membrannoj sisteme pri narushenii jelektronejtral'nosti v oblasti diffuzionnogo sloja. // Jelektrohimija. 2002. T.38, №8. S.912-921.
5. Kovalenko A.V. Vlijanie dissociacii vody na razvitie jelektrokonvekcii v membrannyh sistemah // Kondensirovannye sredy i mezhfaznye granicy, Tom 16, №3, s. 288293
6. Nikonenko V., Kovalenko A., Urtenov M., Pismenskaya N., Han J., Sistat P., Pourcelly G. Desalination at overlimiting currents: State-of-the-art and perspectives. // Desalination. 342 (2014) pp. 85-106.
7. Kovalenko A.V., Urtenov M.H. Kraevye zadachi dlja sistemy jelektrodiffuzionnyh uravnenij. Chast' 1. /LAP Lambert Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, Saarbrucken, 2011. 280 s.
