Метод сравнения в линейных динамических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51.015

МЕТОД СРАВНЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

НАТАЛУХА Ю.В.

Рассмотрена задача описания входных сигналов с помощью гильбертова пространства с использованием элементов абелевых групп. Данный подход позволяет осуществить более точное разбиение пространства входных сигналов на классы эквивалентности.

Проблема идентификации включает определение структуры и параметров динамических о бьектов. Без знания закономерностей, которым подчиняются управляемые обьекты, невозможно управлять ими. Методы идентификации обьектов управления, систем контроля, регулирования и управления различных динамических систем, основанные на количественных измерениях, зачастую не приносят желаемого результата, как правило, не отличаются высокой степенью точности.

Классическая постановка задачи идентификации формулируется так: рассматривается объект, содержание которого не известно, на вход этого объекта подается сигнал x любой природы, который всегда регистрируется, а на выходе объекта известен сигнал у. Требуется расшифровать вид математической зависимости y=F(x). Для этого можно воспользоваться различными формами описания изучаемого процесса: дифференциальными, разностными уравнениями, передаточными функциями, градиентными выражениями и др.

Из рис. 1 видно, что для решения задачи идентификации оператора F необходимо точно знать, какие пространства образуют входные и выходные сигналы. Идентификация параметров играет существенную роль в управлении процессами, что в свою очередь часто связано с дифференциальными уравнениями. Поэтому входные и выходные сигналы должны образовывать пространство непрерывно дифференцируемых функций.

В качестве пространства входных сигналов (входного пространства функций) выбрано гильбертово функциональное пространство, скалярное произведение в котором задается с помощью интеграла. А математический аппарат теории предикатов n-мерной линейности удобно использовать в рассматриваемом методе сравнения, так как на выходе получается двухзначная функция.

X

F

Рис. 1. Классическая схема идентификации

Известно много методов идентификации систем, но все они основаны на измерении входного и выходного сигналов. Оказывается, для идентификации линейных динамических систем можно применить метод сравнения [1] (рис. 2). Он состоит в том, что обследуются одновременно два идентичных объекта, выходные сигналы которых подаются на нуль-

орган (НО) [1,2], где производится их сравнение и формируется двоичный ответ (1 или 0) в зависимости от совпадения или несовпадения выходных сигналов.

X

у

F

F

F(x)

Fy)

НО

{0,1}

=^>

Рис. 2. Схема метода сравнения

Идентификация объекта ведется путем математической обработки входных сигналов x(t) и y(t) и соответствующего двоичного ответа z=D[F(x(t)), F(y(t))], где D — предикат равенства; F — оператор преобразования, заданный набором функционалов. Этот метод является развитием метода взвешивания масс на чашечных весах (метод компаратора). Он обладает точностью, намного превосходящей точность идентитфикации по методу "черного ящика". В тех же случаях, когда выходные сигналы объекта исследования не доступны непосредственному измерению (например, органы чувств человека), метод сравнения оказывается единственно возможным для идентификации объекта.

В качестве характерного примера подобной ситуации можно указать на управление технологическими процессами в металлургической и химической промышленности, где цветовые оттенки не подлежат количественному измерению.

Однако процесс идентификации, основанный на методе нуль-органе, за исключением простейших ситуаций практически не использовался при решении технических задач. В то же время широкое применение этого подхода позволит расширить функциональные возможности имеющихся средств управления техническими системами, а также разработать принципиально новые подсистемы, обладающие любой требуемой точностью. Прямой перенос в технические задачи известных в психофизике результатов невозможен, и это объясняется спецификой идентификации технических систем, разнообразием возможных входных сигналов.

В настоящей работе используется метод сравнения, позволяющий существенно повысить точность процессов идентификации, что ведет к улучшению контроля и управления для различных объектов и систем.

Метод сравнения позволяет фиксировать значения предиката 0(x,y) как функцию двух входных сигналов, а предикат 0(x,y) представить в виде

0(x,y)=D(9(x),9(y)), (1)

где элементы x, y пробегают произвольную абелеву

группу G[4, 5], а ф: G^-L — гомоморфизм G на некоторую абелеву группу L, т. е. ф — отображение G на L, удовлетворяющее условию

ф(х+ у) =ф(k) + ф(у).

Таким образом, имеет место понятие о равенстве и не равенстве двух предикатов, которое дает инфор-

РИ, 1998, № 1

61

мацию о разбиении множества входных сигналов на классы эквивалентности относительно неизвестного преобразователя.

Один преобразователь осуществляет более мелкое разбиение, другой — более крупное, что физически определяет точность идентификации.

Физическую интерпретацию изменения точности предикатов n-мерной линейности можно показать на эффекте дальтонизма. Огрубление предикатов ведет к сокращению числа классов эквивалентности входного пространства — слиянию и неразличению цветов, например, синего-зеленого и красного-оранже-вого.

Математические модели идентификации реальных систем основываются на методе сравнения и используют конечные наборы линейных функционалов [3]. В этом случае пространство входных сигналов отображается с помощью линейного преобразования ср в n-мерное арифметическое пространство; ф: H ^ Rn, где H — вещественное гильбертово пространство, выбранное в качестве входного, что позволяет с высокой степенью адекватности описывать широкий класс динамических процессов.

Утверждение 1. Предикат Ф(х, у) определяет на абелевой группе отношение эквивалентности:

x~y, если Ф(х, у)=1. (2)

Классы эквивалентности Aj (i=0, 1, ..., n) являются полными прообразами элементов ae L в группе G. В силу основной теоремы о гомоморфизмах групп [4,

5] полные прообразы элементов ae L при гоморфизме

р: G ^ L являются смежными классами x+A0 группы G по ядру отображения

Kerp=Ao, (3)

где Ao={xeG, р(х)=0}.

Элементы x, ye G эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат в одном и том же смежном классе группы G по подгруппе Ао = Кеф. Значит, предикат Ф(х, у) вполне определяется заданием подгруппы

Ao={xeG, x ~0}=Кегф.

При формализации процессов идентификации линейных динамических систем доказаны следующие утверждения.

Утверждение 2. Равенство

Фі(х,у)=Ф2(х,у)( Vx,y e G ) имеет место тогда и только тогда, когда

Кегф 1=Кегф2 . (4)

Утверждение 3. Предикат Ф2(х,у) грубее предиката Ф1(х,у) тогда и только тогда, когда Kerфі < Kerф2 . (5)

Данные утверждения позволяют синтезировать алгоритмы идентификации наиболее рационального вида, в том числе с заданной точностью.

Возьмем G=H — вещественное гильбертово пространство, L — конечномерное евклидово (вещественное) пространство, а ф: H ^ L — непрерывный линейный оператор из H на L. Тогда Kerф=H0 есть замкнутое подпространство пространства H.

Рассмотрим произвольный базис l1, l2, ..., ln в L. Тогда

ф(х)=^ (x)l l + ...+fn(x)ln, (6)

где f1(x), ..., fn(x) — непрерывные линейные (вещественные) функционалы на H (ясно, что они линейно независимы). Введем в рассмотрение координатное пространство

L'=(fi(x), ..., fn(x)).

Назовем предикатом n-мерной линейности (n- предикатом) [6,7] выражение

Ф(х,у^(ф(х),ф(у)). (7)

Здесь ф: H ^ L по-прежнему непрерывный линейный оператор из H в любое конечномерное линейное пространство над полем вещественных чисел. Этот предикат Ф(х,у) n-мерной линейности на H реализуются следующим образом:

а) задаем произвольно n-линейно независимых непрерывных линейных функционалов f1 (x),..., fn(x) на H и вводим линейное n-мерное пространство

L'=(fi(x), ..., fn(x));

б) вводим линейный оператор

ф: H ^ L ,

где ф(х)=Д(х), ..., fn(x);

в) полагаем, что

Ф(х,у^(ф(х),ф(у)).

Утверждение 4. Пусть Ф1(х,у) и Ф2(х,у) — два предиката n-мерной линейности на H х H , т. е.

Фі(х,у^(фі(х),фі(у)), фі(х)=(Д(х), ..., fn(x)),

(8)

Ф2(х,у^(ф2(х),ф2(у)), ф2(х) = (фі(х), ..., фи(х)),

где fi(x), yi(x) — непрерывные линейные функционалы на H. Предикат Ф2(х,у) грубее предиката Ф1 (х,у) тогда и только тогда, когда существует такая вещественная матрица

(а11 ....... а121

A =

(9)

Xа n1 ... ... а nrX

что fj(x)=anyi(x) + ... + ajrVr(x), (i=1, 2, ..., n).

Данное утверждение используется при построении процедур идентификации с заданной точностью [8] и позволяет учитывать особенности пространства входных сигналов.

Следующая формула является каноническим видом предиката n-мерной линейности [7], дающим возможность унифицировать программно-аппаратную реализацию алгоритмов

Ф(х, у^(Рх,Ру). (10)

Здесь P — оператор проектирования пространства H на его конечномерное пространство L [9]. При этом для любого xe H имеет мество равенство

P(x)=fi(x)li+...+fn(x)ln, (11)

где f1(x), ..., fn(x) — непрерывные линейные функционалы на H.

Утверждение 5. Пусть предикат n-мерной линейности Ф^,у) задается с помощью непрерывных линейных функционалов f1(x), ..., fn(x). Функционалы f1(x), ..., fn(x) тогда и только тогда реализуются как координаты в базисе l1, ..., ln некоторого конечно-

62

РИ, 1998, № 1

мерного замкнутого подпространства Li пространства H, когда имеет место свойство биортогональности

^ _ Г1, при i = j; 11 j [0, при i ф j.

(12)

При проектировании P на конечномерное подпространство L1 пространства H базисы в H можно выбирать различными способами. Для перехода от одного базиса к другому используется соотношение

a(x) _ A 1ф(х). (13)

Здесь а1(х), ..., an(x) — координаты векторов PxeL1 в базисе u1, ..., un: ф(х)=^(х), ..., fn(x) — координаты вектора Рх є L1 в базисе l1, ..., ln: A=(ai|)=fiuj — матрица перехода от одного базиса к другому.

При данном подходе в качестве H практически всегда выбирается подпространство L2[0,1] — интегрируемых по Лебегу вещественных функций на отрезке [0,1]. В силу известной теоремы Рисса об общем виде линейного функционала на H [3] каждый линейный функционал fi(x) имеет вид

1

fi(x) _j x(t)a i(t)dt, (14)

0

где x(t) пробегает L2[0,1], а ai(t^L2[0,1] — фиксированная функция.

Функционалы f1(x), ..., fn(x) вида

1

fi(x) _ jx(t)ai(t)dt

0

линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы на отрезке [0,1] функции a1(t), a2(t), ..., an(t).

В силу этого выбор n-линейно независимых непрерывных линейных функционалов f1(x), ..., fn(x) на H=L2[0,1] сводится к выбору n-линейно независимых функций a1(t), ..., an(t^L2[0,1]. Получен удобный критерий линейной независимости функций, связанный с оценкой собственных чисел матрицы Грама.

Показано, что две линейно независимые системы функций определяют один и тот же предикат n-мерной линейности, если существует матрица перехода A*, удовлетворяющая условию

aA*-f=0. (15)

С целью повышения помехоустойчивости алгоритмов идентификации критерий точности выбора матрицы A* определяется следующим образом:

шш||аА* -f|| <S, (16)

где 5>0 — наперед заданный порог.

Наборы функций {a i (t)}n_1 и {fi (t)>n_1 всегда можно задавать своими конечными аппроксимациями на отрезке [0,1], т. е. зафиксировать наборы точек t1, t2, ..., tpє[0,1] и определить значения функций в этих точках. Тогда при высокой точности

аппроксимации возможна замена наборов {ai(t)}P=1 и {fi(t)>n_1 на приближенные значения линейно

независимых функций {oq(t)}n_1 и {fi (t)>n_ 1.

Литература: 1. Шабанов-Кушнаренко Ю. П, Рвачов В. Л., Мурашко А. Г. Математичні модєлі зору. К.: Наук. думка.

1967. 87с. 2. Шабанов-Кушнаренко Ю. П. Математическое моделирование некоторых функций человеческого зрения. X. 1970. 317с. 3. Рисе Ф, Секефалъви-НадъБ. Лекции по функциональному анализу. М: Мир, 1979. 587с.

4. Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967. 648с.

5. Н. Бураки. Общая топология. М.: Наука, 1969. 392с.

6. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М.: Высш. шк., 1986. 311с. 7. Бондаренко М. Ф, Шабанов-Кушнаренко Ю. П, Шляхов В. В. Предикаты n-мерной линейности и их свойства. 1982. 19 с. Деп. в ВИНИТИ, № 4764-82. 8. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т.1. 632 с. 9. D.Hilbert und P. Bernays. Grundlagen der mathematic//Springer-Verlag.

1968. 557c.

Поступила в редколлегию 21.03.98 Наталуха Юрий Владимирович, канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: алгебра, диагностика, управление, контроль и надежность в технических системах. Увлечения: растениеводство, автотуризм, баскетбол, теннис. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-72.

РИ, 1998, № 1

63