CC BY
26
УДК 519.7
ТЕОРИЯ ЦВЕТОВОГО ЗРЕНИЯ. III1
БОНДАРЕНКОМ. Ф, ШАБАНОВ-КУШНАРЕНКО С.Ю.
Рассматривается теория цветового зрения человека. Изучается линейная предикатная модель цветового зрения для случаев открытого и произвольного выпуклых множеств, всего пространства; интегральное представление модели.
3.1. Координатная формулировка для случая открытого выпуклого множества
Теорема 3.1. Для того чтобы предикат ф, определенный на квадрате открытого выпуклого множества V с Z2 [0,1], был п -мерным линейным, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял следующим условиям:
4) если фх, у ) = 1 и фх', у' ) = 1, то
Ф Дт, ^ )=1;
5) существуют такие точки {ei }n=11 с V , что для каждого х є V есть единственный набор неотрицательных чисел {аі (x)}n=o и единственное подмножество I(х) є {i = 1, 2,..., n} такие, что
ф(аох + Еаiei, Еад) =1; (3.1)
ІЄІ ЦІ
а о > 0; а і > 0; І є I, ао +^а і = 1; Еа і = 1; (3.2)
ІЄІ ЦІ
6) функции а І (х) непрерывны.
Доказательство. Проверим вначале достаточность.
Зафиксируем произвольные положительные числа
{а 0}n=11, сумма которых равна 1, и положим
а = а10е1 +... + а П+1еп+1 . (3.3) Ч.
Тогда а принадлежит V. Из рефлексивности
предиката ф и условия 5 следует, что аІ (х) = аІ0 (i = 1, 2,..., п +1), а0(х) = 1, I(а) = 0 . Тогда существует такая окрестность и с V точки а , что аІ (х) > 0, I(х) = 0 (i = 1,2,..., п +1; х є и). (3.4)
Неравенства для а i вытекают из непрерывности этих функций. Предположим, что вопреки доказательству существует последовательность {хп }”=1, сходящаяся к точке а , для которой I (хп) ^ 0 .
Поскольку функция х ^ I(х) принимает лишь конечное число значений, из этой последовательности можно отобрать такую подпоследовательность, для
которой I(хп) = I, где I — какое-нибудь непустое
1 Ч. I см. в журнале “Радиоэлектроника и инфор-матика”,1998. №1. С. 106-117
Ч. II см. в настоящем выпуске
подмножество множества {1, 2,..., п +1} . На этой последовательности по условию 5 будет
а0( хп) + Еаі (хп) = 1.
ІЄІ
В пределе по подпоследовательности, используя условие 6 и равенство а 0(а) = 1, получаем
1 + Еа° = 1, I ^0 .
іє!
Но это противоречит положительности чисел а 0,..., а п+1. Заметим теперь, что для всех х, у є V из равенства Ф( х, у ) = 1 вытекают равенства
аг(х)=аі(у), і=0,1, 2,..., п+1; I(х)=(у). (3.5)
Действительно, из равенств ф( х, у) = 1 и ф(еі, еі) = 1 на основании условия 4 получаем
ф(а0(х)х + ^ аі(х)Єі, а0(х)у + Еаі (х)е) = 1.
ієі (х) ієі ( X)
Сравнивая это равенство с (3.1), находим ф(а 0 (х) у + Е а і (х)еі, Еаі (х)е) = 1.
ієі(х) ЦІ(х)
В силу единственности чисел аі (у) и множества
I (у) отсюда вытекает (3.5).
Покажем теперь, что выполняется условие 5 теоремы 2.1 [2]. В качестве U возьмем любое открытое множество, для которого справедливо (3.4).
Пусть последовательности {хп}“=1, {уп}“=iC U сходятся к точкам х, у eU соответственно и ф(хп, уп) = 1. В силу равенства (3.5) тогда аі (хп) = аі (уп), і = 0,1,..., п +1. По непрерывности отсюда заключаем, что аі(х) = аі(у), і = 0,1,..., п +1.
Кроме того, в силу (3.4) I(х) = I(у) = 0 . Таким образом,
п+1 п+1
ф(х, ЕРіЄі ) = 1, ф(у, ЕРіЄі ) = 1 (Рі = аг (х) = аі (у)).
i=1 i=1
Тогда по условиям 2, 3 [1] и ф( х, у) = 1.
В силу теоремы 2.1 имеет место равенство (3.3) с некоторым ортопроектором Р. Тогда
п+1 п+1
Рх = ЕРі(х)Pei, ЕРі(х) =1 (хєV), (3.6)
i=1 i=1
где Рі (х) = -аІ (х)/а0(х) при і є I(х)
и Рі (х) = -аІ (х)/а0(х) при і і I(х) .
Первое равенство (3.6) вытекает из (3.1), второе — из (3.2). Поскольку V — телесное множество, из (3.6) следует, что ImP совпадает с аффинной оболочкой множества точек Pe1,..., реп+1. Проверим, что rgP = п. Для этого достаточно убедиться в аффинной независимости системы точек Pe1,..., Pen+l [1]. Предположим, что эта система аффинно зависима, т.е. существуют такие числа уi, что
РИ, 1998, № 4
123
n+1 n+1
ТугРег = 0, Туi = О, (Уі,...,уи+і) ф (0,...,0). (3.7)
i =1 г =1
Пусть а — точка, определенная равенством (3.3). Подберем число X Ф 0 так, чтобы а0 + Ху г > 0 (i = 1, 2,..., n +1). Используя (1.3), имеем
П+1
Pa = Р\ Т (а0 + Ху г )ег І, Ф\ а Т (а0 + Xy г )et \ = 1
л=1 ) \ i=1
n+1
Значит, аi (а) = а0 + Хуi (i = 1, 2,..., n +1), что противоречит установленным ранее равенствам
аi (а) = а°0. Достаточность доказана.
Необходимость вытекает из леммы 2.1 [2]. Теорема 3.1 доказана.
3.2. Координатная формулировка для случая произвольного выпуклого множества
Нам не известно, остается ли верной теорема 3.1 в случае, когда множество V не является открытым,
но affV = Z2[0, 1]. Верен, однако, вариант этого результата, отличающийся усилением условия 4 и одним дополнительным условием.
Теорема 3.2. Для того чтобы предикат ф, определенный на квадрате выпуклого множества V с
affV = Z2 [0, 1], был n -мерным линейным, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял следующим условиям:
4) если Ф(X, у) = 1 и Ф(Xі, у') = 1 , У Є (0,1),
То Ф((1 — у) x + yx', (1 — у) у + уу' ) = 1 ;
5) существуют такие точки {ei}”+/ , что для каждого x є V есть единственный набор неотрицательных чисел {аг (x)}n+01 и единственное подмножество I(х) с {1, 2,..., n +1} такие, что
Ф(а0X + Тагeг, ТаіЄі) = 1; (3.8)
ієі i&I
а0 > 0; аг > 0; і є I; а0 + Таt = 1, Таг = 1; (T9)
ІЄІ ІЄІ
6) если X, у Є V , у Є (0,1) и при некотором і Ф(ух + (1 — у)Єг, уу + (1 — у)Єг ) = 1 , ТО Ф(X, у) = 1 ;
7) функции аг (x) непрерывны.
Лемма 3.1. Пусть V — выпуклое множество, аффинная оболочка которого совпадает со всем пространством; функция f , определенная на V, удовлетворяет условию
Я X^L )= 2(f(x) + f (у)), x, у є V (3.10)
и функция | f (x) | непрерывна в какой-либо точке x0 є V . Тогда существует единственный функционал f на 1}[0,1] и единственное число C такие, что f (x) = F(x) + C, xєV. (3.11)
Доказательство. Из равенства (3.54) вытекает, что при любом двоично-рациональном числе у є [0,1] имеет место равенство
f ((1 - У)x + уу) = (1 — Y)f (x) + yf (x) x, у є V. (3.12) Поскольку affV = Z2[0,1], то, как это следует из
формулы (2.22), каждая точка ^є Z2[0, 1] может быть представлена в виде
^ = P(x — у); Р> 0; x, у є V. (3.13)
Более того, число Р можно считать двоично-рациональным. Действительно, исходя из (3.13), возьмем любое рациональное число Р>Р ’. Точка
у' = (1
£x+ву
и имеет место равенство
S = P'( X — у').
Положим для £, , представленного в виде (3.13),
F(S) = P(f (x) — f (у)). (3.14)
Проверим корректность этого определения. Пусть одновременно с (3.14) имеет место равенство
^ = Р1(x1 — у1), Р1 > 0 — двоично-рациональное,
x1, у1 єV . Тогда P1(x1 — у1) = Р(x — у) и, следовательно,
Р
-X + -
Р1
-у1 = ^
у+
Р
x.
Р + Р1 Р + Р1 Р + Р1 Р + Р1
Точки, фигурирующие в каждой части этого равенства, являются выпуклыми комбинациями точек из V и поэтому сами принадлежат V. Применяя к
обеим частям равенства функцию f , получаем с учетом (3.12)
Р
-f ( X) +-
Р1
-f (у1) = ■
Р
-f ( у) + ;
Р
-f (x).
Р + Р1 Р + Р1 Р + Р1 Р + Р1
Отсщда p^f (X1) — f (у1)) = P(f (x) — f (у)). Таким
образом, определение (3.14) корректно.
Функция f является аддитивной. Действитель-
но, пусть ^1, ^2 — произвольные точки пространства
Z2[0, 1]. Представим их в виде (3.13):
^1 =P1(x1 — у1); ^2 =e2(x2 — у2).
Тогда
^1 + ^ 2 = (Р1 + Р2 )((
Р1
Р1 + Р:
-x1 +
Р1
Р1
Р 2
— (~^~ у1 +-
Р1 +Р/1 Р 2 +Р
Р1 +Р 2 у2 )^
X2) —
2
F (^1 +^2) = (Р1 +Р2)(/^-в^- X +тА- X2) —
Р1 +Р2 Р1 +Р2
— f (
Р1
Р1 +Р:
-у1 +
в Ю) =
Р2 +Р2
= Рь/ ( X1 ) +e2f ( X2 ) — Рь/(у1 ) Р2 f (у 2 ) = = Р1 (f (X1) — f (у1)) Р2 (f (X2 ) — f (у2 )).
124
РИ, 1998, № 4
Таким образом, F(S1 + S 2) = F (^j) + F (S 2).
Покажем, что функция F непрерывна в нуле.
Пусть последовательность (Sk }^=1 сходится к нулю. Воспользуемся леммой 2.5 [2]:
S k =Pk (uk - vk); uk, vkєУ; Pk >0;
| \uk - X0| | < 1; ||Vk - X0| | < 1; pk < C1|Skl |. (3.15) Рассуждая так же, как и в начале доказательства этой леммы, покажем, что в представлении (3.15) в
качестве Pk можно брать числа, являющиеся квадратами двоично-рациональных чисел. Итак, считаем
д/pk двоично-рациональными числами. Положим
Xk = Хо +л/Р^(Uk - Xo), yk = Xo +$k (Vk - Xo). Из последнего неравенства (3.15) следует, что при
достаточно больших k будет < 1. Поэтому
xk,yk є У . Имеем из (3.15)
Sk = л/РЇ(Xk - yk), ||xk - x0| <^jC\|SJ|,
II II < /ЙЙ (3.16)
y- X0i ч c Ski.
Тогда
F (Sk) = Vp7 (f(Xk) - f(yk)) и | f (Sk )|<Vp7 (|f (Xk )|-|f (yk )|). (3.17)
Из неравенств (3.16) следует, что последовательности (xJkU и (yk}t=j сходятся к точке X0. Тогда по
условию леммы последовательности (| f (Xk)|}^=1 и
(| f (yk) |}itU сходятся к точке \/(хо) и, следовательно, ограничены. Поэтому из неравенства (3.17) следует, что
liml F (Sk )| = 0.
k 1
Поскольку F — аддитивный функционал, то отсюда вытекает, что F (0) = 0 и, следовательно, функционал непрерывен в нуле. В таком случае F — линейный функционал.
Для любой точки X є У в силу (3.14) будет F(X - X0) = f (x) - f (X0). Функционал F линеен, так что F(x - x0) = f (x) - f (x0). Поэтому при
C = f (x0) - F(x0) имеем
f (x)=F (X-X0 )+f (X0 )=F (x)+(f (X0 )-F (X0 ))=F (x)+C. Равенство (3.11) доказано.
Проверим единственность функционала F и числа C . Пусть
f (x)=Fj(x)+Cj, xєУ, (3.18)
где F1 — линейный функционал; C1 — число. Поскольку F1 — линейный функционал, для числа S , представленного в виде (3.13), будет F1(S)=P(F1(x)-F1(y)). Тогда (3.18) дает
Fj (S)=P( f (x)-f (y)).
Сравнивая это равенство с (3.14), получаем F1 =F .
Тогда из (3.11) и (3.18) следует, что C1 =C .
Лемма 3.1 доказана.
Замечание. Утверждение о продолжаемости функции f остается в силе, если взамен равенства
affV=L [0, 1] потребовать лишь замкнутость множества affV . Утверждение о единственности продолжения при этом перестает быть верным.
Доказательство теоремы 3.2. Проверим достаточность. Покажем, что точки e1, e2, en+1 аффинно-
независимы. Пусть
n+1 n+1
Ere- = ° ZYi = 0. (3.19)
i=1 i=1
Положим
P1 =Y1 +1; Pi =yi; i=2,3,...,n+1. (3.20)
Тогда
n+1 n+1
Є1 = EPiei, ЕР- = 1, (3.21)
i =1 i =1
т.е. точка е1 представима в виде (2.24). Перейдем от этого представления к представлению (2.27) по формуле (2.26):
«0С + Еа iei = Еа iei. (3 22)
ієі Ш ( . )
Тогда
Ф\ a0e1 +Еаte,, Еаte, 1 = 1.
V ієі ш )
Кроме того, согласно условию 1 [1], Ф(е1, е1)=1. Поэтому из условия 5 следует, что
I=0, а0 =1, а1 =1, ai =0 при i=2,3,..., n+1. Переходя от (3.22) назад к (3.21), по формулам (2.14) получаем Р1 =1, Pi =0 при i=2,3,..., n+1. Тогда из (3.20) видно, что у1 =у2 =...=уn+1 =0 . Аффинная неза-
висимость точек e1, e2,..., en+1 доказана.
Заметим теперь, что условие 6 обобщается в следующей форме, именуемой в дальнейшем условием 6’: если
n+1
-, УєУ, Ф| Y0 > + Е Yi e* Y0 y0 + Е Yi ei I =1,
n+1
Y0 > 0 Yi ^ 0, Y0 + EYi =1, (3.23)
i =1
то Ф(х, у)=1. Действительно, заменим в (3.23) n на k и проверим по индукции справедливость утверждения при k =0, 1,..., n +1. Если k =0, утверждение вытекает из 6. Пусть утверждение выполняется при
некотором k . Перейдем к k +1. Положим
f k+1
x' =(1 -Yk+2) -1VY0x + Е Y-Єі
f k +2 .
У' =(1 - Yk+1)-1 ^Y0 У + Е Y-Єі J.
РИ, 1998, № 4
125
Посылка утверждения имеет вид
Ф((1 - У к+2) Х' + У к+2 +2 ,(1- Yk+2) У ' + У к+2 +2) = 1.
Тогда из 6 следует, что Ф(X, у1)=1, т.е.
k+1 n+1 Л n+1
Ф\ У'ох +SY,I■e.■, У'оУо + Еу'іЄі| =1, У'о + Еу' =1,
і=1
l=1
І=1
где у'і =(1-у к+2 ) 1 Yі . Предположение индукции позволяет заключить, что Ф(х, у)=1. Выполнимость условия 6’ доказана.
Поставим в соответствие каждому xeV точки x1, x2 и Ax, определенные равенствами
Х1 = Еа к (x)ei,
ІЄІ (x)
x2 = к (x)ei, «о( x) Ax + хг = Х2. (3.24)
Ш (x)
Пусть числа Рі (x) связаны с числами ai (x) равенствами (2.24). Тогда
П+1
Ax = ЕРі(x)ei. (3.25)
І=1
Покажем, что
Ф(х, у)=D(Ax, Ay). (3.26)
Действительно, пусть Ф(х, у)=1. Тогда из условия 4 следует, что
Ф(ао(х)х+х1, ао(х)у+х1)=1. (3.27)
Но (3.8) означает, что
Ф(ао(х)х+х1, х2)=1. (3.28)
Сравнивая (3.27) с (3.28) и используя условия 1 и 2 [1] , получаем
Ф(ао(х)у+х1, х2)=1. (3.29)
Согласно условию 5, последнее равенство может выполняться лишь при ао(x)=ао(у), x1 = у1, x2 = у2. Значит, и Ax=Ay. Пусть, обратно, Ax=Ay. Поскольку система точек {ei }”+ аффинно-независима, представление (2.20) для любой точки из aff {ei }”+ является единственным. Поэтому из третьего равенства (3.24) следует, что ао(x) =ао(у), x1 = у1, x2 = у2. Значит, из
равенства Ф(ао(у)у+у1, у2)=1 вытекает (3.29). Вместе с (3.28) это дает (3.27). Применив к (3.27) условие 6’, получаем Ф(х, у)=1. Равенство (3.26) доказано.
Покажем теперь, что отображение А является аффинным. Пусть x, x1 — произвольные точки
множества V, X, X' — положительные числа, X+X'=1. Нужно проверить, что
A(Xx+X'xr)=XAx+X' Ax'. (3.30)
Согласно условию 5 имеют место равенства Ф(аох+х1, х2)=1, Ф(а'ох'+х'1, х'2)=1,
а=ао(х), а '=ао(х'). (3.31)
Положим
Xа о , X'a0
Y =-----------, у =-----------.
Xa о +X а о Xa о +X а о
Числа у и у' положительны, у + у' =1. Как видно из (3.24) и (3.9), при некоторых неотрицательных числах 51, 5V (і=1,..., n+1) будет
n+1 n+1
ує + у'x! = Е5е, yx2 + уx2 = T5iei,
i=1 i=1
n+1 n+1 (3.32)
а о у + а о у'+Е5і = 1, Е5І = 1.
i =1 i =1
Положим
N = {і 15і >5І}, V = £ (5і -5І), р = Е (5І - 5і).
i£N ІШN
Из (3.32) вытекает равенство
аоу + аоу' + V = р .
Пусть
u = Е (5і -5І )еі, v = Е (5І -5і )еі, z = Е5іс + Е5іеі.
ієї1
Тогда
iєN ІШN ієN ІШN
YlXl +у ' 1 x' 1 =u+z, у 2x2 +у '2 x '2 =V+Z, v-u = у 1 (x2 -x1 )+у'1 (x'2 -x'1). (3.22) и третье равенство (3.33) дают v-u =уа о Ax+Y'a'0 Ax'. Нетрудно подсчитать, что
(3.33)
(3.34)
X уао уао
X f f , X
уа о +у ао p-v Поэтому из (3.34) следует, что
у'а о
уа о +у 'а 'о
у 'а о
p-v'
v - u
р-v
= XAx + X 'Ax' ,
а о
(3.35)
-о yx + а оу x = Xx + X'x'.
р-v
В силу условия 4 из (3.31) вытекает равенство
Ф(а о уг+а'о y'x'+yx1 +y'x'1, yx2 +y'x'2)=1.
Комбинируя его с (3.33) и (3.35), получаем
,, (p-v)(Xx + X'x ') + u v ч ,
Ф(Р—-------------------+ z, р- + z) = 1. (3.36)
р р
Положим уо =р; уі =тіп{5і, 5'і}, і=1, 2,..., n+1. Тогда
n+1 n+1
z = Еу ее, у о + Еу і = 1.
і =1 і=1
Кроме того, р 1 ((p-v)(Xx+X'x')+u)єV .Действительно, если v=о, то u=о и утверждение очевидно. Если же v >о, то и этот факт вытекает из представления в виде выпуклой комбинации
р ^^-vXXx + X’x’) + u) = р—— (Xx + X'x') + р •u.
р р v
Наконец, p-1uєV . Таким образом, для равенства
(3.36) выполняется посылка условия 6. Его заключение дает
ф( —-— (Xx + X 'x ') + u, І р р
v
р
= 1.
Но последнее равенство является соотношением (3.28) для точки XxфX'x'. Поэтому
126
РИ, 1998, № 4
1
A(x + X'x') = —-
v _ u I = - _ u — — J —_ v'
Вместе с первым равенством (3.35) это дает требуемую формулу (3.30).
Поскольку точки {ei}”+ аффинно-независимы,
из равенств (3.25) и (3.30) вытекает, что Рг. — аффинные функционалы на V . Из (2.29) и условия 7 следует, что функции рг](х)| непрерывны. Тогда по лемме 3.1 функционалы допускают однозначное продолжение до аффинных функционалов на всем пространстве. Проверим теперь, что уравнения (2.25)
разрешимы при условии s1 +...+5^ =1. Пусть
s1,..., удовлетворяют этому условию. Покажем,
что точка
П +1
x = Е s,e,
І=1
Ja* (t)aj(t)dt = 8ij, i, jeJ, (3.37)
0
и такая, что для любых x, yeV равенства
ф(X, у)=1 (3.38)
и
1 1 J ak (t) x(t)dt = J ak (t)y(t)dt, keJ (3.39)
00
эквивалентны.
Проверим, что это определение эквивалентно исходному определению, данному в [2]. Пусть для предиката ф выполняется равенство (1.10) (см. [1]). Выберем в пространстве ImP какой-либо ортонормированный базис {ak\keJ} . Тогда
Px =Е (x, ak)ak . (3.40)
keJ
Легко видеть, что Px=Py тогда и только тогда, когда
является решением (2.25). Из равенствФ(еІ, еІ)=1 и условия 5 следует, что I(ei)=0, a0(ei)=1, aj(ei)=8j.. Поэтому из (2.58) вытекает, что Р j (ei )=1. Так как Р j — аффинные функционалы и s1 +...+5^ =1, то
Р j (x)=si.
Таким образом, выполняется первое условие леммы 2.4. Выполнимость второго вытекает из условий 4 и 6’. Утверждение теоремы в сторону достаточности вытекает из леммы 2.4.
Проверим необходимость. Пусть Ф — п -мерный линейный предикат. Тогда выполнимость условий 4 и 6 очевидна. Выполнимость условий 5 и 7 вытекает из леммы 2.4.
Теорема 3.2 доказана.
3.3. Интегральное представление линейных предикатов
В соответствии с теоремой Рисса для любого линейного функционала a(x) в L2[1, 0] существует единственный вектор ael}[1, 0] такой, что
a(x)=(a, x). Это равенство устанавливает канонический изоморфизм между функционалами и векто -рами (и тем самым оправдывает обозначение их одним и тем же символом). В интегральной форме равенство Рисса имеет вид
1
a( x) = Ja(t) x(t)dt.
0
Оно позволяет сформулировать результаты двух предыдущих частей в некотором окончательном с прикладной точки зрения виде.
3.4. Общий случай
Предикат ф, определенный на квадрате выпуклого множества V и удовлетворяющий условиям 13 [1] (рефлексивность, симметричность, транзитивность), назовем линейным, если существует конечная или счетная система функций {a i \ieJ} , a;. eL2[1, 0], удовлетворяющая условиям
ak (x)=ak (y), keJ . Используя формулу Рисса, последние равенства можно переписать в форме (3.39). Пусть, обратно, для предиката Ф существуют
функции {ai \ieJ} , удовлетворяющие (3.37), и такие, что соотношения (3.38) и (3.39) эквивалентны. Определим ортопроектор р равенством (3.40). Легко видеть, что Px=Py тогда и только тогда, когда выполняется условие (3.39). Таким образом, рассматриваемые определения действительно эквивалентны. Как видно из (3.40),
ImP=L({a i\ieJ}). (3.41)
Если affV=L2[1, 0], то линейному предикату отвечает лишь один ортопроектор. Таким образом, в этом случае предикат Ф является п -мерным линейным
тогда и только тогда, когда множество J состоит из п элементов.
Требование ортонормированности системы функций не всегда является удобным в приложениях. Заменим его менее ограничительным требованием. Будем для краткости называть конечную или счетную
систему {a i \ie J} базисной, если она является базисом своей линейной оболочки. Если система конечна, она является базисной тогда и только тогда, когда она
линейно-независима. Если система {at \ieJ} счетная, то линейной независимости, вообще говоря, недостаточно для базисности. Приведем одно достаточное условие. Пусть существуют такие положительные
константы m и M , что для любого собственного значения каждой из матриц Грама ( п =1, 2, 3,...)
Г (ab a 2,..., a п )
'(aba1)(aba2)...(aban) ' (a 2, aO(a 2, a 2)...(a 2, a n)
I (a п , aO(a n, a 2)...(a n, a n) )
справедливо неравенство m<X<M . Тогда система
{a t \ie J} является базисной и существует базисная
система {Рг. \ie J} , двойственная к системе {ai \ie J} .
РИ, 1998, № 4
127
Теорема 3.3. Для того чтобы предикат ф, определенный на квадрате выпуклого множества V, был линейным, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая базисная система функций {a i \ie J},
aeZ2[1, 0], что для всех x, yeV равенства (3.38) и (3.39) являются эквивалентными. При этом, если affV=Z2[1, 0], то предикат Ф n-мерный линейный
тогда и только тогда, когда множество J состоит из n элементов.
Доказательство. Необходимость очевидна — в качестве системы {a i \ieJ} можно взять ортонормированную систему, фигурирующую в определении. Проверим достаточность. Пусть система {a i \ieJ} удовлетворяет условиям теоремы, {Рг. \ieJ} — двойственная система. Определим оператор B равенством Вх = £a г. (x)Pi. (3.42)
ieJ
Поскольку {a i\ieJ} — базисная система, ImB является замкнутым множеством. Очевидно, Вх=By
тогда и только тогда, когда ai (x)=a;. (y), ieJ . Поэтому эквивалентность равенств (3.38) и (3.39) означает справедливость формулы (1.11) [1]. Тогда предикат ф является линейным в силу леммы 1.1 [1]. Если множество J состоит из n элементов, предикат ф является n -мерным в силу леммы 2.1 [2]. Основной в настоящем разделе является Теорема 3.4. Пусть предикат ф определен на квадрате выпуклого множества V с замкнутой аффинной оболочкой. Для того чтобы существовала
базисная система функций {ak\keJ}, aкeZ2[1, 0]
такая, что для всех x, yeV равенство Ф(х, у)=1 выполняется тогда и только тогда, когда
1 1
Jak (t)x(t)dt = Jak (t)y(t)dt, keJ ,
0 0
необходимо и достаточно, чтобы предикат ф удовлетворял следующим условиям:
4) если ф(х, у)=1 и ф(х', у')=1, то
J x+x' y +уЛ
ф(—Hr f1;
5) если последовательность {x;- }“= сходится к
xeV, последовательность {у j }°j=1 сходится к yeV и
ф( х j, у j)=1, то ф( х, у)=1. Этот результат является комбинацией теорем 2.1 и 2.2 [2].
В случае, когда множество V открыто, условие 5 можно ослабить до формы, фигурирующей в теореме 2.1. Другие варианты условий 4 и 5 приведены в комментариях к теореме 2.1.
Будем говорить, что линейно-независимая система функций (не обязательно ортогональная)
{aк (t)\keJ} определяет линейный предикат ф, если равенства (3.38) и (3.39) эквивалентны.
Следствие 3.1. Для того чтобы две линейнонезависимые системы функций {a;- (t)}n=1 и {ui (t)}n=1 определяли один и тот же n -мерный линейный предикат ф на квадрате выпуклого множества с замкнутой аффинной оболочкой, необходимо и достаточно, чтобы существовала невырожденная матрица
a11 a12 .. •. a1n
a 21 a 22 . .. a2n
a n1 an2 . .. a nn
(3.43)
такая, что почти при всех te[0,1]
U1 (t)=a11a1(t)+a12a 2(0+...+a1na n (0,
u2 (t )=a21a1 (t)+a22a 2(t )+...+a2na n (t), .................................. (3.44)
Un (t)=an1a1(t)+an2a2 (t)+...+annan (t).
Это утверждение вытекает из следствия 2.1 [2]. Предположим теперь, что заданы два линейных
предиката ф1 и ф2. Будем говорить, что предикат ф2 грубее, чем предикат ф1, если для всех из условия ф1(x, у)=1 (3.45)
вытекает, что
ф2(X, y) = 1 , (3.46)
и существуют такие x0, y0 e V , для которых
ф1(^ У0)=0, ф2(^ У0)=1. (3.47) Следствие 3.2. Пусть V — выпуклое множество,
affV=Z2[1,0]. Пусть, далее, система {ak}к=1 определяет предикат ф1 на VxV , система {ak }k=1 определяет предикат ф2 на VxV . Для того чтобы предикат ф2 был грубее предиката ф1, необходимо и достаточно, чтобы было n2 <n1 и нашлась такая прямоугольная матрица
что
( с C11 с12 ... с ^ ^1n1
c21 c22 ... C2n1
v Cn2l cn2 2 ... c J ,
a" = cna1 + C12a 2 +... + Cm1 a n1,
a2 = C21a1 + c22a 2 +... + C2n1 a n1 ,
a n2 = cn21a1 + Cn2 2a 2 + .. + C a' n2 n1 n1
(3.48)
(3.49)
Доказательство. Пусть Р1 — ортопроектор, порождающий предикат ф1, Р2 — ортопроектор, порождающий предикат ф2. В соответствии с формулой (1.10) предикат ф2 грубее предиката ф1 тогда и
128
РИ, 1998, № 4
только тогда, когда для x, yeV из равенства
P1( x-y )=0 вытекает, что P2( x-y)=0 и существуют
xo,y0 такие, что р(Хо -Уо)^0, P2(Хо -yo)=0 . Эти равенства и неравенство являются другой формой записи соотношений (3.45)-(3.47). Поскольку
affV=L2 [ 1,0], любой элемент zeL2 [1,0] может быть
записан в виде z=P(x-y), x, yeV . Поэтому тот факт,
что Ф2 грубее, чем Ф\, означает, что для любого
zeL2[1, 0] равенство P1z=0 влечет равенство P2z=0
и существует z0eL2[1, 0] такой, что P1 z0 Ф0, P2z0 =0.
Другими словами, это значит, что KerP1 с KerP2 и это включение является строгим. Пользуясь разложением (1.9), это утверждение можно переписать в виде
ImP1 щ Im P2, причем включение является строгим. Вместе с (3.41) это дает
L({<}?=1) Щ L({<}П=1),
L({aк}П=1) Ф L({aк}£).
(3.50)
Поскольку каждая из систем {a 'к }к= и {a "к }к= линейно-независима, соотношения (3.50) означают, что n2 <n1 и существует такая матрица (3.48), что справедливо (3.49).
Следствие 3.2 доказано.
Обсудим вопрос о процедуре практической проверки линейной независимости функционалов
{a к }n=1. Такая система линейно-независима тогда и только тогда, когда линейно-независима система функций {a к (t )}n=1, 0<t <1, связанная с ней формулой Рисса. На практике система функций {a к (t)}J!=1 не может быть известна в точности. Обычно известными являются некоторые конечные приближения
a к = {a к1, a к 2,..., a кр } функций ak(t). Разумеется, чтобы точность аппроксимации была приемлемой, необходимо, чтобы было р>n . Таким образом, на практике вопрос о линейной независимости системы
{a к }]!=1 заменяется вопросом о линейной независимости системы {a к }]!=1. Оценим погрешность аппроксимации. Положим для 5 = (51 , s2,..., Sn)
Ds = Z Як a к
к=1
Ds = z Як a к
к=1
Мерой линейной независимости систем {a к }1=1 и {a к }n=1 могут служить величины
\\Ds\\
Ds
ц = minj
s ф0
и Ц = minJ
s Ф0
її 2 j
\\s\\ ^0 ||s||
являющиеся наименьшими собственными значениями матриц Грама Г (a1, a 2,..., a n) и Г (a1, a2,..., a n) соответственно. Имеем
2
2
2
iDsll2 \\Ds\
n
Z sksJ ((a к,a j)- (a к,a j))
к, j=1
Z s2
2=1
(3.51)
Для любой симметричной матрицы (by)”;-=1 имеет место неравенство
max
Z bk]SkS]
к, j=1______
n
Z s2
< n • max by .
к, j
Поэтому из (3.51) можно заключить, что
i =1
IDsll2 ||Ds|
m max | (a к, a,) - (a к, a ,) |.
к, j
Но тогда и
|ц-~| < n • max|(aк,a;) - (aк,a;) . (3.52)
к, j
Пусть известна верхняя оценка для точности конечномерной аппроксимации:
||(aк -aк)|<є , к=1, 2,..., n.
Тогда
|(a к, a j) - (a к, a; )| =| (a к, a к -a к) +
+ (a к, a j -a j) + (a к -a к, a j -a j )|< 2сє + є2,
где
с = maxi a J .
1<к <n
Тогда из (3.52) следует, что
|ц - ц| < n/2(є + є2).
Итак, если после вычисления величины ц (эта величина может быть найдена любым методом отыскания наименьшего собственного значения симметрической неотрицательно определенной матрицы)
окажется, что ~ > n/ 2(є + є2), то можно гарантиро-
вать линейную независимость системы {a к }пк=1. В
противном случае есть основания подозревать линейную зависимость этой системы. Во втором случае для дальнейшего уточнения можно попытаться экспериментально найти лучшую конечномерную аппроксимацию и исследовать вопрос для неё. Если окажется, что при уточненном исследовании будет
~ < n / 2(є + є2), а величина є достаточно мала, это
означает, что если система {a к }n=1 и не является
вырожденной, то она настолько близка к вырожденной, что с практической точки зрения её можно считать таковой.
Для более детального изучения n -мерных линейных предикатов рассмотрим раздельно основные интересующие нас случаи множества V .
РИ, 1998, № 4
129
3.5. Предикаты, определенные на квадрате всего пространства
Теорема 3.5. Пусть предикат ф определен на
декартовом квадрате пространства I2[1, 0] и удовлетворяет условиям:
4) если Ф( х, у )=1 и Ф( х', у')=1, то Ф(х+х', y+y')=1;
5) существует такой набор векторов {ek }пк=1, что для каждого хєі2 [1,0] есть единственный набор чисел {a k (х)}1=1, удовлетворяющих условию
х, pa kek j =1; (3-53)
6) функции a k (х) непрерывны.
Тогда существуют такие векторы {a k }Ч=1 сI2 [1, 0], что
1
ak(х) = Jak(t)х(ґ)dt, (3.54)
о
системы {ek }nk=1 и {ak }nk=l являются линейно-неза-
висимыми и пара систем {ek }k=1, {a k (х)}к=1 присоединена к предикату ф (понятие пары, присоединенной к к -мерному линейному предикату, было введено в части 2.1 [2]).
Это утверждение вытекает из теоремы 2.3 [2]. Верным является и обратное утверждение, а именно:
если {ek}k=1 и {ak(х)}к=1 — пара систем, присоединенных к предикату ф, то для этого предиката выполняются условия 4-6. Это утверждение очевидно.
Следствие 3.3. Для того чтобы пара {ak }к=1, {ek }k=1 была присоединена к k -мерному линейному предикату ф, определенному на квадрате пространства
I2[1, 0], необходимо и достаточно, чтобы равенство
Ф( х, у )=1 было эквивалентно равенствам (т.е. чтобы
система {ak }>k=1 определяла предикат ф)
1 1
Jak(t)х^)dt = Jak(t)y(t)dt, k = 1,2,...,k (3.55)
0 0
и чтобы выполнялось равенство
Ja j (t)e; (t)dt = 8y, i, j = 1,2,..., k. (3.56)
0
Это утверждение вытекает из следствия 2.2 [2] и теоремы Рисса.
Если {a k }k=1 — произвольная линейно-независимая система векторов, то условию (3.56) вместе с ней может удовлетворять двойственная ей система {Р i }k=1. Эта система может быть построена по формулам
Р1 = C„a1 + C12a 2 +...+ c1ka k ,
P2 = с21a1 + с22a2 +...+ C2nak, ................................(3.57)
Pk = Ck1a1 + Ck2a2 +...+ Ckkak ,
130
где (Cj )kj=1 — матрица, обратная матрице Грама:
r(ab...,ak)
' 11 1 Л Ja1(t)a1(t)dt Ja1(t)a2(t)dt... Ja1(t)ak (t)dt
0 0 0 1 1 1
Ja2 (t)a1 (t)dt Ja2 (t)a2 (t)dt... Ja2 (t)ak (t)dt
0 0 0
1 1 1
J ak (t)a1 (t)dt J ak (t)a2 (t)dt... Jak (t)ak (t)dt
V0 0 0 j
При практических вычислениях более удобной является схема нахождения системы {р i }k=1, использующая следующий конечный итерационный процесс. Полагаем Pi0 = ai, i = 1,2,...,k . Предположим, что при некотором m=1, 2,..., k уже построена сис-
тема {Pim_1}k=1. Вычислим функцию Р mm по формуле
РР m m_1
mm 1 ,
JP m m_1 (t)a m (t)dt
0
а затем функцииPы (i = 1, 2,..., k, i Ф m) по формулам
Pirn =Pim_1 _[jP,m_1(t)am (t)dt
На n-м шаге получаем требуемый результат:
Рi =Pik, i=1, 2,..., k.
В приложениях одни системы векторов {ek }k=1
могут быть предпочтительнее других (например, потому, что удовлетворяют дополнительному требованию — все функции ек (t) неотрицательны). Поэтому приведем здесь общую конструкцию, позволяющую найти все такие системы векторов.
Следствие 3.4. Пусть ф — п -мерный линейный предикат, определенный на квадрате пространства
I2[1, 0], {a k }k=1 — линейно-независимая система
функционалов, определяющая предикат ф, {р k }k=1 — двойственная система. Для того чтобы пара систем {a k }k=1 и {ek }k=1 была присоединена к предикату ф, необходимо и достаточно, чтобы
ek =Рk + Yk, k = 1,2,..,k , (3.58)
где {y k }k=1 — любая система, удовлетворяющая условию
Jai (t)Yj (t)dt = 0, i = 1,2,..., k. (3.59)
0
Доказательство. Действительно, если система векторов {y j }“= удовлетворяет условию (3.59), т.е. ортогональна подпространству I{a1,..., a k} , то в силу двойственности систем {a i }k=1 и {р i }k=1 выполняются равенства (3.56) и пара {a i }k=1, {e;- }k=1 присоединена к предикату ф в силу следствия 3.3.
РИ, 1998, № 4
Теперь, пусть пара {аг }”=1, {ег }”=1 присоединена к предикату ф. Тогда имеют место равенства (3.56).
Но дёя двойственной системы {Рг }”=1 также вы-поёняются эти равенства. Тогда
(ек -рк,аi) = (ek,аi)-(Рк,аг) = 5ш -5кг = 0. Сёедствие 3.4 доказано.
Мы видеёи, что n -мерный ёинейный предикат ф не опредеёяет однозначно связанную с ним систему
{аг }П=1. Однако есёи задать систему векторов {ег }П=1, то существует ёишь одна система функционалов {а к }П=1 такая, что пара и {ek }П=1 присоединена к
предикату Ф. Действительно, пусть {ак }П=1 и
{uk }П=1 — две такие системы. Тогда они связаны равенством (3.44). Имеем
n
(иг,ek) = Еа1} (а;,ек). (3.60)
j=1
Но согласно следствию 2.1 (иг, ек)=51к,
(а г, ек )=5 }-к. Поэтому из (3.60) следует, что аг =5 jk.
Тогда из (3.44) вытекает, что иі =аг, 1=1, 2,..., п.
Пусть {ак}П=1, {ек}П=1 - оДнa, а {ик}П=1, {.ёк}П=1-другая пара систем, присоединенная к одному и тому
же предикату ф. Предположим, что системы {ак }П=1, {ек }п=1, {gk }П=1 известны. Вопрос заключается в том,
чтобы по этим данным найти систему {ик}П=1. Оказывается, что это может быть сделано даже без
знания системы {ек }П=1. А именно, система {иг }П=1 может быть найдена по формулам (3.44), где (3.43)— матрица, обратная матрице
Г1
|а1(1) g1(t )dt
0
1
|а 2 (t) g1 (t )dt
0
Jаl(t) g 2 (t )dt
0
1
|а 2 (t) g 2 (t )dt
0
1 \ |а1 (t) gn (t )dt
0
1
|а 2 (t) gn (t)dt
0
|а n (t) g1(t )dt
V о
|а n (t) g 2 (t )dt
0
|а n (t) gn (t )dt
0
J
(3.61)
Действительно, если пары {а к }n=1, {ек }n=1 и
{ик }n=1, {gk }n= присоединены к предикату ф, то
каждая из систем {ак }’П=1 и {ик }n=1 определяет этот предикат. Тогда согласно следствию 3.1 имеют место равенства (3.44), где (3.43) — некоторая невырожденная матрица. Умножая скалярно каждое из этих
равенств на gk (к = I, 2,..., n), получаем
n
(иг, gk) = Е av (а 1, gk),
j=1
1, к = 1,2,.., n . (3.62)
Но в силу следствия 3.3 справедливо равенство (иг,gi:) = 51к . Поэтому (2.10) [2] может быть переписано в матричном виде:
a11 a12 . .. a1 n \ Г(а1 g1) (а1?2) ...(a,1gn)^ Г1 о... о\
a21 a22 . .. a2n (а2g1)(а2g2) . . (а2gn) = 0 1 ... 0
a21 an2 . а nn J ч(аng1) (аng2) . . (аngn)у [00...1J
Таким образом, матрица (3.43) действительно обратна (3.61).
Пусть {а к }n=1 и {ик }n=1 — какие-либо системы
функционалов, определяющие предикат ф, {рк }n=1
и {ук }n=1 — двойственные к ним системы. Если известна матрица (3.43), связывающая системы {ак}пк=1 и {ик}пк=1 равенством (3.44), и система
{Рк }n=1, то для нахождения {vk}n=1 нет необходимо-
сти в задании {ик }n=1. Она может быть найдена по формулам
V1 = d11P1 + d12P 2 + ... + d1nP n , v2 = d 21P1 + d 22P 2 + ... + d 2nP n ,
............................. (3.63)
Vn = dn1P1 + dn2$ 2 + ... + dnnP n,
где
d11 d12 .dm ^
d 21 d22 .. dIn
dn1 dn2 .. dnn J
(3.64)
матрица, обратная сопряженной матрице (3.43). Дей-
ствительно, согласно следствию 3.1, системы {уг }n=1
и {Р і }n=1 связаны равенством (3.63), где {dij- }n,j=1 — некоторая невырожденная матрица. Тогда
5 кг = (ик , V1 ) = (ик Е dj Р j ) =Е dj (ик , Р j ). (3.65)
j=1 j=1
Но из (3.44) следует, что
n n n
(ик ,Р j) = (Е ®ьа в j) = Е aks (а s, р j) = Е aks5 щ = ац.
s=1 s=1 s=1
Вместе с (3.65) это дает
n
Е dijakj = 5 ik ,
j=1
или в матричном виде
d11 d12 . .. dm \ г au a12 . .. an1 \ Г1 0 . . 0 \
d 21 d22 . .. d2n a21 a22 . . an2 = 0 1 . . 0
V dn1 dn2 . .. dnn J V a1n a2n . .. a nn J V 0 0 . .lJ
Отсюда видно, что матрица (3.64) действительно обратна сопряженной матрице (3.43).
Сделаем последнее замечание, относящееся к замене координат в интегральном представлении n -мерного линейного предиката. Пусть, как и ранее,
{а к }n=1, {ек }n=1 — какая-либо пара функционалов и
РИ, 1998, № 4
131
векторов, присоединенная к предикату ф, {uk }пк=1 — какая-либо система функционалов, определяющая этот предикат. Требуется найти какую-либо систему
векторов {gk}к=1, которая вместе с {uk}к=1 присоединена к Ф . Эта задача может быть решена без знания {uk }к=і, если известна система {ek }’к=1 и матрица (3.64). Искомая система может быть найдена по формуле
gi = duei + dne2 +... + dlкeк, g 2 = d 21Є1 + d 22e2 +... + d 2кЄк, ........................... (3.66)
gк = dn1e1 + dк2e2 + ... + dккeк ,
аналогичной (3.63), с той же матрицей (3.64) — обратной сопряженной матрице (3.43). Действительно, пусть {gk }к=1 — система, определяемая равенствами (3.66). Положим
S j = gj - vj, і =1,2,...5к .
Тогда из (3.63), (3.66) и (3.58)
S І = Z djk (ek - р k) = Z djkY k .
k=1 k=1
Поэтому из (3.59) получаем
к
(S j,a i) = Z djk (Y k,a i) = 0 .
k=1
Вместе с (3.44) это дает
кк
(S j,us) = (S j,Zaslai) = Zasl (S j,at) = 0 .
i=1 i=1
Таким образом, система {uk}к=1 определяет предикат ф, {vk }к=1 — двойственная система gk =vk +Sk (k=1, 2,..., к) (Sk, uj)=0 (i, j=1, 2,..., к). Тогда, согласно следствию 3.4, пара систем {uk}к=1, {gk}к=1 присоединена к предикату ф, что и требовалось.
Литература: 1. Походенко В.А., Тарасова Т.Т., Шабанов-Кушнаренко С.Ю. Теория цветового зрения. I. Радиоэлектроника и информатика. 1998. №1. С. 106-117. 2. БондаренкоМ.Ф., Шабанов-Кушнаренко С.Ю. Теория цветового зрения. II. Радиоэлектроника и информатика. См. статью в настоящем выпуске.
Поступила в редколлегию 23.10.98 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Левыкин В.М. Бондаренко Михаил Федорович, д-р техн. наук, профессор, академик АН ВШ, ректор ХТУРЭ. Научные интересы: информатика. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина 14, тел. 43-30-53.
Шабанов-Кушнаренко Сергей Юрьевич, д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник кафедры ПО ЭВМ ХТУРЭ. Научные интересы: идентификация механизмов интеллекта человека. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина 14, тел. 40-94-46.
(Окончание. Начало см. на с.34)
Отношение интенсивностей падающего электромагнитного излучения, дифрагированного на модуляции концентрации электронов с амплитудой An и модуляции диэлектрической проницаемости решетки для случая ютр>1, равно [3]
2
ю p є Ак
ю* 2 * * * * * Ає п
4п-рг\єп I e
ТІ. I ~
є р v m
2 d2
A ,
где n — константа электромеханической связи; тр—
импульсное время релаксации; d — частота упругой
волны. При взаимодействии ультразвуковой волны, распространяющейся через проводящий кристалл с носителями заряда, пространственное группирование электронов и дырок не сопровождается формированием объёмного заряда, эффекты экранирования невелики и глубина модуляции плотности носителей n значительно возрастает. В этом случае в монокристалле n-JnSb при 300K на частотах 108-109
Гц, как показывают оценки, вклад в фотоупругий модуль P=Aen(e02S)-1 электронной компоненты почти на порядок превышает решеточную составляющую. Для модуляции интенсивности, распространяющейся через проводящий кристалл электромагнитной волны, может быть использовано явление электронного усиления ВЧ упругой волны дрейфом носителей тока во внешнем электрическом поле.
Эффективность электронного механизма управления излучением С02-лазера с длиной волны l = 10,6 мкм была проверена на экспериментальной ячейке из n-JnSb размером 5х5х15 мм с ориентацией [III] вдоль длинной стороны образца. Исследования проводились на продольных упругих колебаниях частотой 800 МГц в квазинепрерывном режиме с амплитудной модуляцией и синхронным детектированием
сигнала. При приложении к кристаллу потенциала в 10 В в направлении распространения ВЧ упругой волны наблюдается изменение интенсивности дифракционного максимума излучения на 30%. Это обусловлено тем, что усиление продольной ультразвуковой волны в данной геометрии эксперимента не превышает 14 дБ, в то время как на частотах 1,5 ГГц сдвиговых упругих волн оно достигает 26 дБ, что позволяет обеспечить 100% модуляцию дифрагированного светового потока. Другой возможностью повысить эффективность электронного механизма управления излучением является приложение внешнего магнитного поля, на один-два порядка увеличивающего тм и, соответственно, электронное усиление упругой волны, достигающее на частоте 1,5 ГГц величины 66 дБ/см.
Таким образом, приведенные экспериментальные результаты подтверждают возможность использовать электронный механизм управления амплитудой электромагнитного сигнала и создать на его основе аналого-дискретные преобразователи сигналов нового поколения.
Литература: Балакший В.И., Парыгин В.Н. Акустооптические системы непрерывного сканирования // Радиотехника и электроника. 1974, №10. С. 2163-2169. 2. Утида Н.,Ниидзеки Н. Материалы и методы акустооптического отклонения // ТИИЭР. 1974. Т.61, №8. С. 2143. 3. ГуляевЮ.В, ПрокловВ.В., Шкердин Г.Н. Дифракция света на звуке в твердых телах // УФН. 1978. Т.124. Вып.1. С. 61-107. 4. Рой В.Ф. Электродинамические явления в твердотельной плазме // Придніпровський науковий вісник. 1998. №84(151). С. 97-99.
Поступила в редколлегию 04.10.1998 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Горобец Н.Н.
Рой Виктор Федорович, канд. физ.-мат. наук, доцент, докторант кафедры светотехники и источников света ХГАГХ. Научные интересы: радиофизика. Хобби: ампе-леология. Адрес: Украина, 310145, Харьков, ул. Космическая, 27, кв.40, тел. 32-48-01, 40-69-67.
132
РИ, 1998, № 4
