УДК 519.7
МОДЕЛИ КОМПАРАТОРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕНИЯ МНОЖЕСТВА ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ ТИПА КОНУСА
ИВА ЩЕНКО В.В., ПАРШИН О.В.______________
Рассматриваются характеристические свойства линейных предикатов, заданных на положительном конусе линейного пространства.
Во многих практических задачах, решение которых связано с применением компараторной идентификации, возникает ситуация, когда множество входных сигналов не является линейным или гильбертовым пространством, а составляет какую-либо его часть или подмножество [2].
Сначала рассмотрим случай положительного конуса к и на его примере поговорим об особенностях, которые здесь возникают (они характерны и для других вариантов).
Пусть предикат E(x,y) задан на декартовом квадрате положительного конуса K с< L,R >. Необходимо найти характеристические свойства, обеспечивающие его представимость в виде линейного предиката. На первый взгляд может показаться, что эта задача полностью совпадает с той, которая решалась в работе [1]. Однако это не так. Сужение области определения предиката E( x,y) приводит к ряду принципиальных отличий, которые не позволяют автоматически перенести условия, сформулированные в [1], на данный случай.
Рассмотрим свойство n - мерности. Оно гласит следующее: существует набор векторов {ei )Щ=1 = L (в данном случае нам придется формулировать принадлежащий K ), такой что для любого x є K найдется единственный набор чисел {a^x})™^, для которого
E(x, 'Zai(x)ei) = 1. і=1
Однако здесь сразу возникает замечание, которого не было ранее. Необходимо как-то регламентировать этот набор чисел с тем, чтобы обеспечить принадлежность к положительному конусу к
n
линейной комбинацией Zai(x)ei. Это можно
і=1
сделать, добавив условие, что числа {a^(x))”=i >0
(последнее влечет за собой трудность в доказательстве необходимости, так как придется доказывать положительность решения системы линейных урав-
нений) или каким-либо другим способом. Отсюда следует, что условие n - мерности требует изменения.
Непрерывность, в некоторых случаях, тоже нельзя сохранить. Например, в пространствах L2 [a,b] любая окрестность точки положительного конуса содержит “проколы”, т.е. точки, ему не принадлежащие.
В целом ограничение на множестве входных сигналов заставляет постоянно следить за принадлежностью аргументов предикатов области его определения. Это обстоятельство вносит принципиальные изменения в формулировки аксиом и создает целый ряд технических трудностей при доказательстве. Таким образом, возникает необходимость подробного рассмотрения отдельных типов ограничения.
Как уже говорилось выше, начнем рассмотрение с положительного конуса K пространства < L,R >. Допустим, на нем задан линейный предикат
E(x,y) = D(F [x],F [y]), (1)
где d - предикат равенства на
Rn хRn,F[x] = (fi(x),...,fn(x)),[fi]ln=1 -
линейно-независимые функционалы над < L,R >.
Предположим сначала, что dim L конечно, но dimL > n. Изучим некоторые свойства линейного предиката. Зафиксируем систему линейно-независимых векторов {ei fn=i є K и для произвольного x є K составим систему линейных уравнений относительно неизвестных {ai(x))n_1 вида
n _________
fk(x) = 'Eai(x)fk(ei),k = 1,n . (2)
i=1
Матрица этой системы, равная A = (fk(ei i _1, имеет определитель, равный нулю, если строки или столбцы ее линейно-независимы, т.е. найдется набор чисел 2-1 ,...,Яп , для которых
fk(T^iei) = 0,k = 1,n , £2.2 Ф °.
i=1 i=1
Это может происходить только в том случае, когда n
для функционала f1, iei є Kerf1.
i=1
Однако подобной ситуации всегда можно избежать. Kerf1 представляет собой гиперплоскость пространства < L,R >, а Z({et)f=1) - подпространство размерности n. Всегда можно сделать выбор
{ei)n=1 таким образом, чтобы Kerf1 п,^({ei ) = 0.
При таком выборе detA ф 0 и система (2) будет иметь единственное решение. Оно характеризуется единственным подмножеством индексов 1,2,...,n ,
68
РИ, 2001, № 3
обозначим его I(x), для которого щ(х) < 0, если і є I(x) , и щ(х) > 0, если i £ I(x) . Обозначим
a.j(x)
ai(x), i g I(x), -щ(х), i є I(x)
(3).
Тогда система (2) с учетом линейности {fi(x)}i_i может быть переписана в виде
fk(x + £ ai( x)ei) = fk(x + £ ai(x)ei,k
ieI(x)
i є I(x)
1,n .
Заметим, что a^(x) > 0 при любом i, поэтому
x + £ ai(x)ei, £ ai(x)ei
ieI(x)
i є I (x)
K.
Эго означает, что для линейного предиката вида (1), заданного на K хК , последние равенства эквивалентны
E(x + £ ai(x)ei, £ ai(x)ei) = 1.
ієі (x)
i є I(x)
(4)
Таким образом, мы установили аналог свойства n - мерности для линейного предиката, заданного на положительном конусе. Сформулируем его.
Будем говорить, что предикат E(x,y) обладает свойством n - мерности, если существует система линейно-независимых векторов {e^}™^ є К такая, что для любого x є К найдется единственный набор чисел {ai(x)}n=i и единственное подмножество I(x) <z {n,...,n}, для которых ai(x) > 0, при i є I(x),ai(x) > 0, при i є I(x) и имеет место равенство (4).
Сформулируем еще набор свойств, которым удовлетворяет предикат E(x,y) и в справедливости которых легко убедиться непосредственной проверкой.
Однородность. Если E(x,y) =1, то для любого
А> 0 E(Ax, Ay) = 1.
Аддитивность. Для произвольных x, y, x', y'e К из равенств E(x,y) =1, E(x',y) вытекают равенства
E( x + x,y + y) = 1,E( x + y,y + x') = 1.
Полуаддитивность. Для произвольных x,y,z є К из равенства E(x + z,y + z) = 1 вытекает E(x,y) = 1.
Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему об условиях существования линейных предикатов на положительном конусе.
Теорема. Для того чтобы предикат E(x,y) , заданный на К х К, был линейным, необходимо и достаточно, чтобы он обладал свойствами n - мерности, однородности, аддитивности и полуаддитивности.
Доказательство. Фактически необходимость сформулированных выше условий уже доказана. Остановимся на достаточности.
Допустим, предикат E(x,y) удовлетворяет условиям теоремы. Тогда из n - мерности и аддитивности при произвольных x,y є К будем иметь
E(x + £ ai(x)ei, £ ai(x)ei) = 1,
ieI(x) ieI(x)
E(y + £ ai(y)ei, £ai(y)ei) =1
ieI(y) ieI(y)
E(x + y + £( ai( x)ei +ai (y)ei +
ieI(x)tx I(y)
+ £ ai(x)ei) + £ ai(y)ei, (5)
ieI(x)\I(y) ieI(y)\I(x)
£ (ai(x) + ai( y))ei + £ ai( y)ei) +
ieI(x)\I(y) ieI(x)\I 9 y)
+ £ ai(x)ei) = 1, (6)
ieI(y)\I(x)
где через I (x) мы обозначили множество индексов, равное {1,...,n}\I(x), и использовали равенство
I(x)\I(y) = T(y)\T(x).
Введем теперь следующие множества:
^1 = {i Є I(x)\I(y) : ai(x) > ai(y)},
N2 = {i є I(x)\I(y) : ai(x) < ai(y)},
N3 = {i є I(y)\I(x) : ai(y) > ai(x)},
N4 = {i є I(y)\I(x) : ai (y) < ai (x)},
и воспользуемся полуаддитивностью. Тогда равенство (6) можно переписать в следующем виде:
E(x + y + T(ai(x)ei + ai(y))ei +
ieI(x)txI(y)
+ £ (ai(x) - ai(y))ei + "Z(ai(y) ~ ai(x))eh ієЩ i£N3
T(ai(x) + ai(y))ei + ieI(x)txI(y)
+ £ (ai(y) - ai(x))ei + £(ai(x) - ai(y))ei) = 1.(7) veN2 ieN4
Заметим, что множества
I(x) n I(y), T(y) n I(x), {Ni }4=1 -
непересекающиеся и в объединении дают все множество индексов. В этом случае из n - мерности и равенства (7) вытекает
I(x + y) = (I(x) n I(y)) u N1 u N3,
РИ, 2001, № 3
69
at(x + y) = <
ai(x) + af(y),i є I(x) nI(y) , aj(x) - ai(y),i є N\ , ai(y) - ai(x),i є N2 ,
ai(x) + ai(y),i є I (x) n I (y), ai(x) - ai(y), i є N4 , ai(y) - ai(x),i є N 3.
Так как из (3) вытекает
ai(x) = I ai(x),i є I (x) ,
[- ai (x),i є I(x),
то если рассмотреть ai(x + y), получим
ai(x + y) = ai(x) + ai(y;. (8)
Действительно, пусть i є I(x) nI(y) тогда i є I(x + y) и
ai(x + y; = -ai(x + y; = a,-(x; -a,-(y7 = a,-(x; + ai(y) Допустим, i є Nj, значит, i є I(x + y7 и
a/(x + y; = -ai(x + y; = at(y) - ai (x) = ai(x) + ai (y), так как i є I(x)\ I(y), в силу определения Nj и т.д. Рассмотрев все шесть случаев, легко убедиться, что при любом индексе i выполняется равенство (8) для произвольных x,y є K. Таким образом, функционалы {ai(x)}П_і аддитивны. Покажем их однородность для л> 0.
Действительно, для произвольного x є K и Л> 0 из n - мерности и однородности следует
E(x + X ai(x)ei, Е ai(x)ei) = 1, ieI(x) ieI(x)
Далее, если E(x,y) = 1 и из рефлексивности E(y,y) = 1, то при помощи аддитивности и полуаддитивности получим Е( 2 y,x + y) = 1 и E(y,x) = 1 .
Теперь допустим, что E(x,y) = 1, E(y,z) = 1, тогда ясно, что E(x + y,y + z) = 1 иE(x,z) = 1. Утверждение доказано.
Пусть E(x,y) = 1. Используя свойства теоремы и доказанное утверждение, нетрудно убедиться в правильности следующей цепочки равенств:
E(x + ^ ai(x)ei,y + X ai(x)ei) = 1, (Q)
ieI(x) ieI(x) (9)
E(x + ^ ai(x)ei, E ai(x)ei) = 1,
ieI( x)
ieI( x)
(10)
E(y + E ai(x)ei, E ai(x)ei) = 1.
ieI(x)
ieI(x)
(11)
Из единственности I(x) и набора чисел {ai(x)}tn_1 имеем I(x) = I(y) и ai(x) = a^(y), что означает E(x,y) = 1 тогда и только тогда, когда
ai(x) = ai(y),i = 1,n , (12)
поскольку цепочку равенств (9)-(12) можно провести и в обратном порядке. Все это означает, что предикат E(x,y) представим в виде
E(x,y) = D( а( x),a(y)),
где a(x) = (a1(x),...,an(x)).
Таким образом, для того, чтобы он был линейным, осталось показать, что набор линейных функционалов {ai(x)}in= 1 - линейно-независим.
Действительно, в противном случае можно считать,
E( Ax + Е Eai(x)e^, '^Aai(x)ei) = 1. ieI(x) ieI(x)
Последнее равенство означает, что I(x) = I(Ax) и ai(Ax) = Aai(x),i = 1,n . Следовательно,
Aaii(x) = ai(Ax),i = 1,n ,Л> 0.
Поскольку положительный конус в линейном пространстве воспроизводящий, то функционалы ai(x) могут быть продолжены до линейных на всем пространстве < L,R >.
Докажем теперь одно вспомогательное утверждение.
Утверждение. Если предикат E(x,y) обладает перечисленными в теореме свойствами, то он рефлексивен, симметричен, транзитивен.
Действительно, для любого x є K из n - мерности и аддитивности вытекает
E(x + Е ^i(x)ei, Е ai(x)ei) = 1, ieI(x) ieI(x)
nn
E(x + Eai(x)ei,x + Eai(x)ei) = 1, • i=1 i=1
учитывая полуаддитивность, имеем E(x,x) = 1.
70
n
без ограничения общности, что a1(x) = £Лг-аг-(x).
i=2
Однако из рефлексивности предиката E(x,y) , примененной к вектору ex, получим E(e1 ,e1) = 1. Следовательно, из n - мерности вытекает, что а1( e1) = 1, «2 (e\ ) = ... =an(e\ ) = 0. Тогда из предположения линейной зависимости функционалов {ai(x)}”=1 вытекает, что 1=0. Противоречие. Следовательно, функционалы {ai(x)}n= 1 линейно-независимы, а предикат E(x,y) линеен. Теорема доказана.
Литература: 1. Воскобойник О.Н., Иващенко В.В. Компараторная идентификация абстрактных линейных операторов // АСУ и приборы автоматики, 2000. Вып.113. 2000. С.35-41. 2. Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Теория интеллекта: Проблемы и перспективы.Т.3. Харьков, Выща шк., 1987. 158 с.
Поступила в редколлегию 11.12.2000
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шабанов-Кушнаренко С.Ю.
Иващенко Валерий Владимирович, аспирант ХНУРЭ. Научные интересы: математические методы анализа сложных систем. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-72.
Паршин Олег Владимирович, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математические методы анализа сложных систем. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-72.
РИ, 2001, № 3