CC BY
29УДК 521.1
А. В. Бородин
Метод спектрального барисинтеза и вложение n-мерного диффеоморфизма в векторное поле
В работе методами барианализа, разработанного автором, осуществляется глобальное вложение и-мерного спектрально
разложимого диффеоморфизма класса C3 в векторное поле класса C1 (построение дифференциального уравнения с заданной симметрией).
Ключевые слова: барианализ, спектральная бариалгебра, баридифференцируемость, диффеоморфизм, вложение, спектральный барисинтез, векторное поле, симметрия.
A. V. Borodin
A Method of Spectral Barisynthesis and Inclusion of N-Dimensional Diffeomorphism in the Vector Field
In the work by means of the methods of barianalysis, developed by the author, global inclusion of n-dimensional spectrally
decomposable diffeomorphism of the class C3 into the vector field of the class C1 (creation of the differential equation with the set symmetry) is carried out.
Keywords: barianalysis, spectral barialgenra, baridifferentiability, diffeomorphism, inclusion, spectral barisynthesis, a vector field, symmetry.
Данная работа является продолжением серии работ [2, 3, 4, 5], посвященных приложению барианализа к решению задач из разных разделов математического анализа. В частности, к решению задачи вложения «-мерного диффеоморфизма в векторное поле, решенную для 1-мерного диффеоморфизма класса С6 в работе [7] и класса С3 в работе [1]. Эта задача рассматривается в рамках метода спектрального барисинтеза, предложенного в работе [5] и примененного там к барисинтезу стационарных ДУ Шредингера.
Предполагая известными понятия и обозначения из барианализа на уровне работы [3], расширим их необходимым минимумом определений, обозначений и результатов из работ [1, 5].
1. Пусть Р = С (или Р = Г), П - гиперболическая (5= « + ») или эллиптическая (5= « - ») спектральная бариалгебра над полем Р , элементами которой являются упорядоченные (п +1) -кичисел - бариэлементы (БЭЛ):
(х) = (*„;х) = (*„;х2,..., Х„)е(Р)П (х, ер((0))),
где р((0) - расширение поля р посредством нестандартных нуля (0^ и бесконечности^ (подробнее в [5]). Относительно канонического унитарного барибазиса
(в)0 = (1; 0,0, 0), {в)к = ((0); 1, .,1, (ю), 0,..0) (к = 1,2,...,п) (1)
(где символ нестандартного нуля (0 стоит на нулевом, а символ нестандартной бесконечности = (0 стоит на к-ом месте) любой БЭЛ представляется в канонической форме
X = (x0;x1/x\x2/x\...,xn /x"-1) = £xk{e)k , (2)
k=0
где к-ая барикоордината
© Бородин А. В., 2013
vf
J- s «*) )=п% х - P
- момент k-го порядка БЭЛ . При :
х =,
(х>. При этом,
(х) = (у) « х± = у± (± = 0,1, ...,п); БЭЛ (е^ является единицей относительно эллиптического и гиперболического умножения БЭЛ.
Согласно спектральной теореме [5], наряду с каноническим барибазисом (1), на бариалгебре( рп существует спектральный барибазис
(е)± = ^ 8±, е±,., е±)(± = 0,1,..., п), (3)
_ (2к +1)п + 2кп / \±
где е_ = ехр-г, ек = ехр-г. БЭЛ (е) этого базиса являются эрмитовыми и обла-
п +1 п +1 ±
дают спектральными свойствами:
КО), если 1 Ф± _
е<е>±=| ; „, 2е±=е.
К е , если : = к Для каждого ^х^ е^р имеет место спектральное разложение
м = ^ е ±, (4)
где спектральные барикоординаты (СБК)
х±к =А±((х))= (п +1) ((х),(е)±)= ((е±))' (к = 0,1, ...,п) (5)
- собственные (спектральные) значения БЭЛ ^х^, отвечающие его собственным элементам (3) (общим для всех БЭ), то есть
м е= х± е ±,
а число ^(х^у^ = 2 х±(у±)* - барискалярное произведение БЭЛ {х) и (у). При этом функционалы А± (^х^)- гомоморфизмы из (Р^ + в С. Поэтому любое отображение /: С ^ С, определенное на спектре ст((х^) = {л±((х))} БЭЛ (х) рп, допускает продолжение до бариотображения (/^ : (рп ^ (рп по формуле
(у) = /«х» = 2=0 /Й((х»)<е}± = 2=0/(х± № . (6)
Теперь рассмотрим общее бариотображение (БОТ)
/: « е »«/>ЫУ) Ч/>([хЫР±
с областью определения ® = р(бариоткрытымбарисвязным множеством). В барико-
ординатной форме (относительно барибазиса (1)) оно будет записано так:
У± = /±(х) = /±(х°,х1,.,хп)(± = 0,1, ...,п) ;
в бариспектральной форме (относительно барибазиса (3)) оно будет иметь следующий вид:
У±± = /±±(х±) = /±±(хО,х±,.,хп±) (± = 0,1, ...,п), (7)
где
fk (x±)=л± «/>«*)))=с»+w:)= fj м^ у),
x = (x0,x1,...,xn)e Pn x± = (x0,x^,...,x»)e P»
Определение 1. Бариотображение (/} : D P)» называется s-дифференцируемым в бариточке x e D, если существует бариэлемент ^a^ e ^p» такой, что ( V Дx^ e ^p» : (x) + Д(x) e D ):
д< у)=д f >« X )=< f) « x)+Д x»-< f) « x) )=« a • Д x )±±+*(K xi)
При этом БЭЛ (а} называется s-производной (гиперболической при s=«+» и эллиптической
при s=«-») бариотображения ^ f^ в бариточке^ x^ e D и обозначается символом (f}' (^ x^) или D±( f) (( x ).
Понятно, что s-дифференцируемость БОТ ^f^ в бариточке(x^ влечет дифференцируемость ^f^ по Фреше в ^ и равенство s-производной D{f)((x))и производной по ФрешеD{f)((x)) (относительно соответствующего барибанахова пространства »). Поэтому s-производной D{f)((x^) отвечает следующее барикоординатное (матричное) представление:
D+(f}«x))=(a) = (aj = а^ =д fk (x)), (8+)
D-(f)((x)) = (a) = (а) = sgn(k - j) a^ = д f (x)), (8-)
где
( idef [k- j + n +1, если k- j < 0, [-1, если k- j < 0,
0 - j}=[ sgn(k - j) =[ J
[k - j , если k - j > 0 ; [+1 , если k - j > 0 ;
д . fk (x) - частная производная от функции fk по переменной x' в точке x .
Из (8+) ((8-)) следует, что БОТ {j^ гиперболически (эллиптически) дифференцируемо в (x^ тогда и только тогда, когда ее частные производные dj fk (j, k = 0,1, ..., n) удовлетворяют соответственно условиям:
дjf (x) = d0f ik-j}(x)(jk = 0,1, ...,n), (9+)
df (x) = sgn( k - j) = d0fik-j}(x)(j, k = 0,1, ..., n), (9-)
Условия (9+) ((9-)) являются аналогом условий Коши - Римана в комплексном анализе. Из них вытекает справедливость следующего фундаментального утверждения, касающегося структуры s-дифференцируемых БОТ [5].
Теорема 1. БОТ f ^ : D ^^ps-дифференцируема на D тогда и только тогда, когда его спектральное представление (7) имеет вид
<f>(W)=fiJWk, (10)
k=0
где спектральные компоненты fk(x1)) (k = 0,1, ...,n) - дифференцируемые по соответствую-
щим спектральным аргументам xk G P функции; при этом
ч f) « x )=zf (xk fa k.
k=0
Здесь уместно следующее важное замечание [5].
Замечание 1. 1) Поскольку согласно (5) спектральные переменные х± = Л±((х^) принимают комплексные значения, то функции /к (х±) в спектральном представлении (10) являются голоморфными в области своего определения &± = я(/±± )с С.
2) Векторные поля (¡9 ./к(х) = 90/{±_:(х), / = 0,1,..., п) (± = 0,1, ..., п) - потенциальные.
3) Векторные поля (¡9-/±(х) = Э0/{±_^(х), ± = 0,1,.,п) (/ = 0,1, ...,п) - коммутирующие.
2. Далее изложим основные результаты работы [1]. Пусть р: Ж ^ Ж - отображение класса Ст (т > 2), причем,
р(и) = и + аи2 + о(и2) (м е К, м ^ 0), (11)
где а > 0 - постоянная. С помощью замены функции р(м) на функцию р(м) = ар(а М) можно
добиться, чтобы в (11) параметр а =1 (что дальше и предполагается). Затем посредством функций д(м) и д0 (м) таких, что
д(м) = и2 + о (и2) = и 2(1 + д0 (и)), д0 (и) = о(1) (и ^ 0), функция (11) будет записана так
ри) = и + ¿(и) (и е Ж, и ^ 0). (11)
Задача 1. На прямой Ж найти векторное поле / е С1 (Ж), или автономное ДУ
и(0 = /(м(г)) (г е Ж) (12)
г
такое, что соответствующая однопараметрическая группа диффеоморфизмов ° обладает свойством
^(Мо) = р(ио) (МО е и(0)), (13)
где и(0) с Ж — некоторая связная окрестность нуля.
По-другому эту задачу можно сформулировать так: найти ДУ 1-го порядка (12) такое, что для каждого и0 из некоторой окрестности и(0) с Ж разрешима первая краевая задача
м(0) = и0, м(1) = р(и0). Введем окрестность ио = {и е и(0) : р'(и) > 0 лр'> 0} точки 0. В этой окрестности отображение (11) имеет единственную неподвижную точку и = 0. Справедливо следующее утверждение ([1], теорема 1).
Лемма 1. Для того чтобы векторное поле / е С1 (Ж) решало задачу (12), (13) в окрестности ио, необходимо и достаточно, чтобы в ио функция / удовлетворяла условиям:
1) /(и) * 0 (Vи * 0), 2)/(р(и)) = Р(и)/(и). (14)
При этом, если в (11) д'(м) = 2м + о(м), то есть и д'0 (и) = о(1) при и ^ 0, то
/ (0) = 0, /' (0) = 0.
Таким образом, диффеоморфизм р: Ж ^ Ж является симметрией ДУ (12) (векторного поля / е С1(Ж)) [6].
Лемма 1 (вместе с соответствующими замечаниями к ней [1]) положена в основу доказательства существования решения задачи 1. А именно, сначала с ее помощью доказано промежуточное утверждение ([1], теорема 2).
Лемма 2. Решение / е Сг(ио ), удовлетворяющее условию 1) и уравнению 2) из (14), определяется с точностью до постоянного множителя и потому единственно при выполнении соответствующего условия нормировки.
А затем - основное утверждение работы ([1], теорема 3).
Теорема 2. Если отображение (11) удовлетворяет, помимо указанных условий, еще условиям:
a) ре C3 (R);
b) р имеет на R единственную неподвижную точку u = 0;
c) S(u)~ua, S'(u) ~aua1 (u ), где a = const > 1; то задача (12), (13) имеет глобальное решение f е C*(R).
3. Теперь сформулируем аналог задачи 1 в рамках спектральной бариалгебры(р", где P = R. Пусть
(( :<х) е<р±^<у) = (р}«x))е<р± (14)
-БОТ, спектральное компоненты которого (см. (7)) имеют вид
У± ± (,Xl0 5 Х± 5^5 Х± ) (15)
где
р±(х±)= р](х)((г±))', (k = 0,1, ...,n)
-вещественные функции вещественных аргументов х+, х+,..., хп (см. (4), (5)) класса Ст (т > 2) . Пусть в бариокрестности(и)(у0^)с ^рп баринуля^0^ выполнено условие
<р>«х>) = (х> + ([а)М2)± + о(||<х>||2) (<х) ^ (16)
где ^ = 2 0 а± (е)± - барипостоянная такая, что а± > 0 (± = 0,1, ..., п) (короче (а) > ^0^).
Задача 2. На бариалгебре (^п найти баривекторное поле е^С}1 (Ж)) (дифференцирование понимается в смысле Фреше), или автономное БДУ
^х)(г) = (/>((х)(г)) (г е Ж) (17)
такое, что соответствующая однопараметрическая группа баридиффеоморфизмов ^^ обладает свойством
<*>'(<х>0ЬШ.) {(А еиШ (18)
где (и)) - некоторая связная бариокрестность баринуля. Другими словами: найти БДУ 1-го порядка (17) такое, что для каждого {х^ из некоторой бариокрестности (У^(^0^) разрешима первая краевая задача
{х)(.)=<х«(1)=р>((х0).
Для решения этой задачи переведем ее на язык бариспектральных координат (5). На этом языке условие (16) перепишется так:
р±(х±) = х±± + а±±(х±±) + о(||х±||2)(х± ^0), (16)
где а± > 0 (± = 0,1, ...,п) . Аналогично БДУ (17) примет вид системы ДУ 1-го порядка
ах±±(г) = /±±(х±(г)) (± = 0,1,...,п). (17)
аг
Наложим на БОТ рр и следующие дополнительные условия (см. представление (10)):
Р±(х±) = р±(х±±), /±±(х±) = /±±(х±±), (± = 0,1, ...,п) . (19)
Тогда условия (16 ) примут вид несвязных между собой отношений:
((х±) = x±± + ak± (x± ) + о[ ||x±k|2 ) (xk± ^ 0), (20)
а система ДУ (17 ) распадется на систему несвязных между собой ДУ 1-го порядка
^хк(0 = /к(х±±(0) (к = 0,1, ...,п) . (21)
Таким образом, при дополнительных условиях (19) задача 2 разлагается на конечное число (п+1) задач 1. Согласно теореме 2 каждая из этих задач при соблюдении функциями рк± (х±) условий a), Ь), c) имеет единственное глобальное решение /к (х± )е С*(К) (к = 0,1, ..., п) . Подставляя эти решения в формулу (см. (10))
(/>«х»= ^/к(х± , (22)
получим решение (^х^) е (С} ((К ) задачи 2 (вообще говоря, комплекснозначное). Такой метод
получения решения задачи 2 называется спектральным барисинтезом [5]. Тем самым доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Если отображение (14) такое, что ее спектральные компоненты (15)удовлетворяют условиям (19), (20) и условиям теоремы 2, то задача 2 имеет глобальное решение (22) из класса
С\{ Кп).
Поскольку по лемме 1 спектральные компоненты решения (22) необходимо удовлетворяют уравнениям
/крх))=()х)/к(хк±), (к=0,1,...,п),
то
/ т х) ))=2 /к и (х ;=2 п (р (х± ;=2 р ы > п х) <«>;=
= 2 (О ( Х± ) <«);. 2 /к ( Х±) (44Р)'({Х)Х/)((Х))1 ,
то есть и само решение (22) необходимо удовлетворяет аналогичному бариуравнению
(/К((^Х))=((^<ХК/> (Х). (23)
Следовательно, диффеоморфизм (( : (рр, удовлетворяющий указанным в теореме 3 условиям, является симметрией ДУ (17), (22) (векторного поля (22)).
Вопрос о том, является ли условие (23) достаточным для того, чтобы БОТ (^х^) разрешало задачу 2 в общем случае (16) (без соблюдения условия (19)), остается открытым.
Замечание 2. Ввиду теоремы 1 условие (19) заведомо выполняется, если (14) - я-диф-ференцируемоеБОТ. Однако при этом, согласно замечанию 1, спектральные компоненты (19) будут голоморфными функциями, и, следовательно, задачу 1 необходимо решить в классе голоморфных функций р и /.
К сказанному уместно добавить, что можно с самого начала взять (п+1) диффеоморфизмов (±(х+ ): Л ^Л (к = 0,1, ...,п) , удовлетворяющих условиям теоремы 2, и вложить каждый из них
в векторное поле /к е С*(К) (к = 0,1, ...,п) соответственно. Тогда спектрально барисинтезирован-ный диффеоморфизм
«х))= х±М (к; ^(С>;
будет соответственно вложенным в векторное поле (в общем случае, комплекснозначное)
/((х>)= 21,/'(х± )<*»<С'«К)п)
и удовлетворяющим условию симметрии (23).
Библиографический список
1. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / В. И. Арнольд. - М. : Наука, 1978. - 304 с.
2. Бородин, А. В. Барианализточных решений нелинейных эволюционных уравнений [Текст] / А. В. Бородин // Ярославский педагогический вестник. - 2007. - № 3 (52). - С. 72-78.
3. Бородин, А. В. Бариоперационный методрешения алгебраических уравнений [Текст] / А. В. Бородин // Ярославский педагогический вестник.- 2010. - № 2. - Т. III (Естественные науки). - С. 7-14.
4. Бородин, А. В. Бариоперационный методрешения нелинейных эволюционных уравнений [Текст] / А. В. Бородин // Ярославский педагогический вестник. - 2012. - № 3 - Т. III (Естественные науки). - С. 50-56.
5. Бородин, А. В. Многомерный барианализ и его приложения. Часть I [Текст] / А. В. Бородин. - Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2005. - 432 с.
6. Бородин, А. В. О вложении диффеоморфизма класса C3 в векторное поле [Текст] / А. В. Бородин // Математика и математическое образование. Теория и практика : Межвуз. сб. научн. тр. - Вып. 2. - Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2001. - С. 14-37.
7. Newhouse S., Palis J., Takens F. // Publ. Math. INES. - 1983. - V. 57. - P. 5-72.
Bibliograficheskij spisok
1. Arnol'd, V. I. Dopolnitel'nye glavy teorii obyknovennyh differencial'nyh uravnenij [Tekst] / V. I. Arnol'd. - M. : Nauka, 1978. - 304 s.
2. Borodin, A. V. Barianaliztochnyh reshenij nelinejnyh jevoljucionnyh uravnenij [Tekst] / A. V. Borodin // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik. - 2007. - № 3 (52). - S. 72-78.
3. Borodin, A. V. Barioperacionnyj metodreshenija algebraicheskih uravnenij [Tekst] / A. V. Borodin // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik.- 2010. - № 2. - T. III (Estestvennye nauki). - S. 7-14.
4. Borodin, A. V. Barioperacionnyj metodreshenija nelinejnyh jevoljucionnyh uravnenij [Tekst] / A. V. Borodin // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik. - 2012. - № 3 - T. III (Estestvennye nauki). - S. 50-56.
5. Borodin, A. V. Mnogomernyj barianaliz i ego prilozhenija. Chast' I [Tekst] / A. V. Borodin. - Jaroslavl' : Izd-vo JaGTU, 2005. - 432 s.
6. Borodin, A. V. O vlozhenii diffeomorfizma klassa C3 v vektornoe pole [Tekst] / A. V. Borodin // Matematika i matematicheskoe obrazovanie. Teorija i praktika : Mezhvuz. sb. nauchn. tr. - Vyp. 2. - Jaroslavl' : Izd-vo JaGTU, 2001. - S. 1437.
7. Newhouse S., Palis J., Takens F. // Publ. Math. INES. - 1983. - V. 57. - P. 5-72.
