Бариоперационный метод решения нелинейных эволюционных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

А. В. Бородин

Бариоперационный метод решения нелинейных эволюционных уравнений

В работе методами бариоперационного исчисления нелинейное эволюционное уравнение (на примере модельного уравнения Кортевега - де Фриза) редуцировано в бесконечномерную нелинейную автономную динамическую систему уравнений, получено решение этой системы, а с его помощью - периодическое решение исходного уравнения.

Ключевые слова: спектральная алгебра, спектральный базис, гиперболическая бариалгебра, бариэлемент, спектральная функция, спектральное разложение, ряд Фурье, уравнение КдФ, динамическая система, решение динамической системы, периодическое решение КдФ.

А. V. Borodin

The Barioperation Method to Solve Non-Linear Evolution Equations

In the work by means of methods of barioperatsion calculation the nonlinear evolutionary equation (on the example of the modeling equation of Korteweg-de Vries) is reduced into the infinite-dimensional nonlinear independent dynamic system of equations, a solution of this system is received, and with its help the periodic solution of the initial equation..

Keywords: spectral algebra, a spectral basis, hyperbolic bari-algebra, a barielement, a spectral function, spectral decomposition, Fourier number, KdV equation, a dynamic system, solution of the dynamic system, a periodic solution of KdV.

Следуя работам [2, 3], рассмотрим бесконечномерную гиперболическую бариалгебру (ГБА) ^А) "

(А - спектральная B+ -алгебра над полем комплексных чисел С), элементами которой являются бесконечные в обе стороны последовательности вида

(Xj = ,x_2,x_1;x0;x1,x2,.. = ,x~2 /x_1,x_ /x0;x0;x1 /x0,x2 /x1,.., (1)

при условии, что

xii=a *n <+-, (2)

k=_«

где xk g A - компонента k-го порядка,

= Mk (x) )=Ilx,

j=o

— барикомпонента (или момент) к-го порядка бариэлемента (БЭЛ) ('л} • При этом

{у) = (л) & ук = лк (У к еТ). Подробное описание ГБА ^А^ " дано в [3]. Приведем лишь определения основных четырех алгебраических операций над элементами (1) этой алгебры:

1) [Лк л^) = X рк((л^) (умножение на скаляр X е А );

2) ((л) + (у))=рк((л)) + рк((у)) (сложение (л) + (у));

3) Мк(0{у)) = Ъ^((л))мк~а((у)) (умножение {л){у));

4) /ик (x) ) = (w k ((x))) (инволюция (x)*), а также определения спектральной алгебры и B+ -алгебры.

© Бородин А. В., 2012

Алгебра А над полем С называется спектральной, если в ней существует спектральный базис

е1> ^ ет . (3)

то есть базис, элементы которого обладают спектральными свойствами:

[0, если к Ф к',

екек' = ] 11' \ек, если к = к ,

2—ik=1

m

e^ = e

где е е А - единичный элемент. Если а е А и

а=ЕГ=1 аЧ (ак еС),

то

а ек = акек (к = 1,2,..., т), то есть элементы спектрального базиса (3) являются собственными для всех а е А, а спектральные координаты ак (к = 1, 2,..., т) - собственными значениями для элемента а е А . Поэтому если ком-плекснозначная функция / определена на спектре и(а) = {ак}т=1 элемента а е А, то

/ (а) = Ц/ (ак) ек.

К числу спектральных алгебр относятся конечномерные гиперболические (А^ и эллиптические (А)е± алгебры, построенные и исследованные в работах [3, 4].

Банахова алгебра А называется Б+ -алгеброй, если для каждого элемента а е А

a a = IL/II2 e .

Заметим, что Б+ -алгебра является Б* -алгеброй [4], но обратное, вообще говоря, неверно. Примерами Б+ -алгебр являются множества комплексных чисел С = (Л)^ , кватернионов Н = , октав

Са = (Н^ (последние две представляют собой некоммутативные Б+ -алгебры [4, 6]).

Относительно бесконечномерной гиперболической бариалгебры ^А^ " справедливы следующие утверждения [3].

Теорема 1. Если А - конечномерная спектральная алгебра над полем С, то для каждого БЭЛ (х^ е (А^ " имеет место равенство

(х) & = Л(( х) , (4)

где

& = (..., е Л ., е е; е[,..., е[,...), (5)

Ф))= £ е'квхк (6)

к=-о>

[в = е *е(А На е А: а = ^ акек, ак ^})

и, следовательно, (5) - собственные обобщенные бариэлементы, а (6) - соответствующие обобщенные собственные значения БЭЛ (х^ е ^А^ " .

БЭЛ (4) имеет приставку «обобщенный», поскольку он не содержится в ^А^ " и его следует понимать как линейный непрерывный функционал на ^А^ ", то есть как элемент банахова пространства (А) Г ограниченных последовательностей с нормой [3, 7]

Ч|Г = ^Р

ке2

< +Г .

При этом и равенство (4) надо понимать в обобщенном смысле (в смысле теории распределений [7, 9]), а именно,

{х№ = 4х))Ю о ((а), Ш) = {{а), (V (а)е(А}Г),

где внешние треугольные скобки «(..., ...^ » обозначают обобщенное барискалярное произведение с

присущими ему стандартными свойствами [3] (или, что то же самое, действие функционала справа от запятой на элемент слева от нее [9]).

Дальше, выражение (6) как функция переменной в е А со значениями в А (Лв ((х^) е А) называется спектральной барифункцией (СБФ) бариэлемента (х) е (А} Г .

Теорема 2. Если А - конечномерная спектральная алгебра над полем С, то СБФ (6) БЭЛ (х^ е (А} Г является над А суммой ряда Фурье с коэффициентами Фурье, равными моментам хк = /к ((х)) (к е г) БЭЛ (х) е (А) Г .

Теорема 3. Если А - конечномерная спектральная алгебра над полем С, то Лв(х}) как функция переменной (х^ е^А} Г есть мультипликативный функционал на банаховой бариалгебре ^А^ Г и, следовательно, является гомоморфизмом алгебр ^А^ Г и А .

Теорема 4. Если А - конечномерная спектральная алгебра над полем С , то ГБА ^А^ Г с обобщенным скалярным произведением

<(х) Л >» = 1+1 хк (/ )*

изометрически изоморфна алгебре Л1 СБФ (6) со скалярным произведением

((х)\ в(у)))=П ГА(х)Ш(у) ))в.

ж

Теорема 5 (спектральная). Для каждого БЭЛ е (А) Г имеет место спектральное бари-разложение

х = 2П №Шв*в. (7)

-П

Доказательства этих и других утверждений даны в работе [3]. Мы же, следуя схеме, изложенной в [2, 3], применим теоремы 1-5 к анализу и решению ненормированного уравнения КдФ [8]

51 и(в, г) - 6а и (в, г) д1вы (в, г) + Ь д\и(в, г) = 0 (а, Ь еС) (8) и схожих с ним нелинейных дифференциальных уравнений (см. также [1]). Будем искать 2ж -периодические (по в е Яе(А ]) решения ДУ (8) в виде СБФ (6) некоторого БЭЛ (1), (2), то есть в виде

и(в, г ) = Л[ ((х(г)))=%+Г-г хк (г) е-кв, (9)

где

(л(?)) = (..., л-2 (()/л-1 (?), л-1 (?) / л0 (0; л0 (О; л1 (?)/ л0 (?), л2 (()/л1 (?),...) (10) - неизвестный БЭЛ, подлежащий определению.

Дальше для простоты будем считать, что А = С, и, следовательно, ^А^ "= ^С) ", в е Р . Согласно теоремам 1-5, моменты л = л ) БЭЛ (10) удовлетворяют бесконечномерной автономной дина-

мической системе (ДС)

id]xk(t) = 3ak^Z^xa(t)xk-a(t) + bk3xk(() ((eZ), (11)

или

Iд\лк(() = к(Ък2 + бал0) лк(?) + 3ак £ ла(?)лк-а() (к е2), (11')

аеТ\{0, к}

причем при к = 0 имеем

I д| л0 (?) = 0, то есть л0 (?) = с0,

0 /Ч

где с е О - произвольная постоянная.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 6. Для того чтобы СБФ (9) была решением КдФ (8), необходимо и достаточно, чтобы БЭЛ (10) был решением ДС (11) (или (11')).

Найдем часть решений этой системы при условии, что

лк = лк (?)= 0 (Ук еИ: к < 0) . (12)

Нетрудно убедиться, что условие (12) согласуется с ДС (11') и упрощает ее до вида

/д;лк(() = к (Ък2 + б ас0 )лк ) + 3ак^а-=11л"(/)лк-а(() (к > 2), (13)

причем при к = 1 имеем

i д1 л1 (?) = (ъ + б ас0) л1 (?), то есть л1 (?)= с1 ехр(- i ( Ъ + б ас0) ?),

где с0, с1 е С - произвольные постоянные. Следовательно, ДС (13) имеет рекуррентную форму, позволяющую каждое следующее решение лк (?) (к > 2) этой системы выражать через предыду-

щие х x(t) (а = 0,1,...,k -1) по формуле общего решения линейного ДУ первого порядка: (t ) =

)(- i(bk3 + 6akc0)t))ck + 3ak £(k^i ха(т) xk-a(r))exp(i(bk3 + 6ak c0) т) dr),(14)

лк1 = ехр\

где ск = лк(0)е С - произвольная постоянная (начальное значение). Остается подставить (14) в (9), чтобы при условии (12) получить комплекснозначные решения уравнения (8).

Однако формула общего решения (14) ДС (13) достаточно сложна для своего анализа. Поэтому рассмотрим частные решения этой системы, а именно, решения вида

лк (?) = Ск (((?)) = Ск (с1/ехр(- 1к ( Ъ + б ас0) ?) (Ук еИ : к > 2), (15)

где Ск е С - постоянные, подлежащие нахождению. Подставляя (15) в (13), найдем, что при Ъ Ф 0

Ск =—Ъ3а— V*-1 СаСк-а (к = 2,3,4,...). (1б)

Ъ (1 - к2)^а=1 У '

Отсюда последовательно получаем

, 3

С2 = -£(С1)2, с3 = 31 -1 (С1)2, с4 = --21 £ ] (С1)2, с5 = -61 ъ j (С1)2,

5 к 1 (17)

С6 =-(-Ъ^С1)2, к , С = (-1)k-1 Dk'(С1)2, ...

где С1 е С - любое допустимое число, Пк (к е N) - числа, определяемые рекуррентным образом, согласно соотношению (16) (первые шесть из них выписаны в (17) в явном виде). Нетрудно показать, что

Бк

Отсюда

< 3/(к +1) (к е1Ч).

\ск

3 а к-1

<

к +1 Ь

с1!

(18)

Следует заметить, что оценку (18) можно улучшить. Действительно, из (16) на основании (18) сначала получаем

Ск

<

27

(к2 -1)

к+1

с14 у к-1 1

1

а +1 к-а +1

(к = 2, 3, 4, к ),

а затем, согласно неравенству Коши - Буняковского [6] и равенству У а 2 = п2/6,

Ск

<

27

(к2 -1)

к+1

к-1

С1 У-

1

< 27

6

Л

-1

С1

к+1

1

к2 -1

(к = 2,3,4, к ) (19)

а=1(а +1)

Тем самым формула (15) дает более простое по форме, чем (14), решение ДС (13). Подставляя (12) и (15) в (9), получим решение уравнения КдФ (8) в форме неполного ряда Фурье по переменной веН:

и(в,г) = с0 + с1 ехр(-г(Ь + 6а с0) г)е-'в + У+"2 Ск (с1/ ехр(- 1к(Ь + 6а с0)г) в-кв, (20)

где Ск е С (к = 2, 3,... ] определены по формулам (17) (с оценкой (19)), с0 - любая, а С е С - допустимая постоянные.

За счет выбора параметра с1 в (20) (либо ввиду (19) параметров а и Ь в (8)) можно добиться равномерной сходимости функционального ряда (20) и всех его производных и тем самым получить классическое решение ДУ КдВ (8).

Понятно, что решение (20) является комплекснозначным. Это следствие условия (12), приведшего к неполному ряду Фурье. Условие же (12) продиктовано соответствующей простотой решения бесконечномерной ДС (11). Но даже в этом частном случае вещественная ыг (в, г) = Яе(и(в, г)) и мнимая и. (в, г) = 1т(и (в, г)) части решения (20) являются при а = аг + гаг, Ь = Ьг + гЬг вещественными 2п -периодическими (по ве ) решениями непростой нелинейной системы ДУ

д|иг - 6аг игд\иг + Ьг дъвиг + 6агиг д\иг + 6агд\иг иг = -6агигд\иг + Ь.д, д|иг- + 6а. игд\иг + Ьг д3ви. - 6агиг д\иг - 6агд\иг ui = 6а.игд\иг - Ь.д\иг,

(21)

где первое (относительно и. (в, г)) и второе (относительно иг (в, г)) - неоднородные уравнения КдФ. Отметим, что, когда а, Ь е 14 (то есть аг = 0, Ь. = 0), система (21) имеет вид

д\иг - 6аг иг д\иг + Ьг д\иг = -6агигд1ви., д|иг. + Ьг д3виг - 6агиг д\и. - 6агд\иг ui = 0,

(21')

Понятно, что возможны и другие комбинации вещественной и мнимой частей комплексных параметров а = аг + га. и Ь = Ьг + гЬ. ДУ (8).

Далее, решение общей ДС (11) можно (как и в ее частном случае (13)) искать в форме (15), точнее, в форме

хк (г) = Ск (с1 )к ехр(- гкС0 г) (к е г ), (22)

2

4

где Ск е С - постоянные (кроме С0 = с0), подлежащие нахождению; с1 е С и С0 е С - допустимые условием (2) постоянные. Подставляя (22) в (11) или (11'), получаем для определения постоянных Ск (к \ {0}) бесконечную квадратичную алгебраическую систему уравнений типа свертки :

а^т к-а

аEZ

или

3 а

Ск = —3-а—Т уСаСк-а (к еИ \{0}) (23)

Со Ьк

Ск =-—0-- У СаСк-а (к ег\{0}). (23')

Г -&пг0 -Ы-2

(^0 оис ик ае2.\{0, к}

Зная решение системы (23), можно по формулам (22) и (9) получить часть 2п -периодических (по в) решений исходного ДУ (8). В связи с этим отметим, что в работе [5], в силу применяемого там метода, решаются только линейные алгебраические системы уравнений типа свертки.

В нашем же случае важно заметить, что задачу поиска решения и(в, t) ДУ (8) можно обратить, а именно, зная 2п-периодическое (по в) решение и(в,t) ДУ (8), можно по формуле (7), где Лв((х(1)) ) = и(в, {), получить решение (10) ДС (11) и тем самым свести решение бесконечномерной

автономной квадратичной динамической системы (11) к решению нелинейного эволюционного уравнения третьего порядка (8).

Понятно, что таким методом можно получить решения достаточно широкого класса линейных и нелинейных конечных и бесконечных алгебраических систем уравнений типа свертки. В частности, возвращаясь к системе (23), можно заключить, что для ее решения достаточно уметь решать нелинейное ДУ второго порядка

Ь у"(в) + 3а у2 (в) - С у(в) + с0 = 0. (24)

Уравнение (24) (при а = Ь = 1) рассмотрено, например, в работе [8] в связи с частными (типа бегущих волн) решениями уравнения КдФ. При условии, что

У1 ^ У2 ^ Уз, У2 = 0

- действительные корни кубического уравнения

У3 - 2 С0 У2 + С1У = У (у - Ух)(У - У3) = 0

(С0 = 2(У1 + У3), С1 = У1У3 е Р - любые обеспечивающие это условие постоянные), приведено Т - периодическое решение ДУ (24) (а = Ь = 1):

У(в) = У! СП2(V(У! - У3>/2 (в - в0), к), (25)

Т = У1 - У3) К(к) = ^8/(У1 - У3) Ю((1 - П(1 - к2^2))^ , где сп( к) - эллиптическая функция Якоби с модулем

к = л/У1/СУ1 - У3).

Пусть С0, С1 е Р (или У1 > 0, У3 < 0) такие, что период функции (25) Т = 2п, то есть

К(к) = п^2 к"1. (26)

Сравнивая график функции К(у3) = К(к(у3)) (см. [10]) с графиком функции

((у3) = Пк у3) (при любом фиксированном у1 > 0), нетрудно убедиться, что уравнение (26) имеет единственное решение

У3 =¥(ух) < 0 (Vу > 0), (27)

при котором функция (25) является (2п) — периодическим решением ДУ (24) (а = Ь = 1). Следовательно, решение системы (23) определяется по формуле (7):

1

Ск = — | у (в) в,кв ёв (к е И), (28)

2п —п

где ввиду (25) и (27)

у(в) = у СП2 (V (у —щ( у))/2 (в — во), к( у)) (к(у) = yíУJb\-ЙУlj). (29) Подставляя (29) в (22)

х

( , п Л

/„К к

1

(() = (с>)к _п |у(в) екв ёв ехр(— гкС0г) (к еИ), (30)

2п

V —п у

а затем полученный результат в (9), находим 2п -периодическое решение ДУ (8):

( 1 п Л

"(в,гЫЦ (с')к 7- |у(в) е™ ёв

2п

V — п

е~Ис (в+Со г ) (31)

где с1 е С и С0 е К - допустимые постоянные. При этом знак «скорости»

С0 = 2( У1 + ¥( У1))

зависит от у1 > 0 и функции (27). Таким образом, величина у1 > 0 является важнейшим «скрытым» параметром 2п-периодического решения (31). Явный же параметр с1 еС определяет многообразие 2п -периодических решений ДУ (8), получаемых описанным бариоперационным методом.

Остается заметить, что функция (29) - аналитическая, поэтому проблем с выполнением условия (2) для (30) и сходимостью ряда (31) (вместе со всеми его частными производными из ДУ (8)) при условии, что | с1 |= 1 не существует. Случаи, когда | с1 | -ф-1, требуют дополнительного исследования.

В заключение работы отметим, что изложенный метод нахождения периодического решения уравнения КдФ (8) применим к достаточно широкому классу линейных и нелинейных эволюционных уравнений. Причем в случае более общей конечномерной спектральной алгебры А (над полем С) -к системам таких уравнений. Но об этом в последующей работе.

Библиографический список

1. Бородин, А. В. Барианализ точных решений нелинейных эволюционных уравнений [Текст] / А. В. Бородин // Ярославский педагогический вестник. - 2010. - №3 (52). - С. 72-78.

2. Бородин, А. В. Бариоперационный метод решения нелинейного эволюционного уравнения [Текст] / А. В. Бородин // Сб. тр. МНК ММТТ-23. - Т. 1. - Саратов : Сарат. гос. техн. ун-т, 2010. - С. 61-63.

3. Бородин, А. В. Многомерный барианализ и его приложения. Часть I. [Текст] / А. В. Бородин. - Ярославль : Изд-во ЯГТУ 2005. - 432 с.

4. Бородин, А. В. Одномерный барилинейный анализ и изоспектральные уравнения Шредингера [Текст] / А. В. Бородин. - Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 1997. - 177 с.

5. Гахов, Ф. Д. Уравнения типа свертки [Текст] / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский. - М. : Наука, 1978. - 296 с.

6. Кантор, И. Л., Солодовников, А. С. Гиперкомплексные числа [Текст] / И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. -М. : Наука, 1973. - 144 с.

7. Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1976. - 543 с.

8. Кудряшов, Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений [Текст] / Н. А. Кудря-шов. - М.-И. : Институт компьютерных исследований, 2004. - 360 с.

9. Рудин, У. Функциональный анализ [Текст] / У Рудин. - М. : Мир, 1975. - 443 с.

10. Янке, Е. Специальные функции [Текст] / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. - М. : Наука, 1977. - 344 с.