CC BY
180А4В4 перпендикулярна В2В3, получим, что В4' = В4, т. е. А4В4 = А2В2 и В3В2 = В4В2.
Проведем через точку В3 лучи Ь = В3С3
и к = В3С4, где вектор В3С3 = В2А2 , вектор
В3С4 = В4А4 перпендикулярны прямой
В2В2 и 8(В2А2) = В3А3, то и параллельные им лучи Ь и к также будут перпендикулярны прямой В2В3 и 8(Ь) = к. Отсюда следует, что Z С2В3А3 = Z А3В3С3 = р, и отрезок
В2А2 (В3А3) перейдет в отрезок В3А3 (В4А4) в результате параллельного переноса на вектор
В2В3 и поворота на угол р относительно
точки В3 (В4) в плоскости, перпендикулярной
В3В2.
Аналогично, рассматривая отображение 8' от прямой В2А2, получим, что 8'(А^ = А3,
8'(Ві) = В3, вектор В1В2 = В2В3 и угол между лучами В1А1 и В2А2 равен углу между лучами В2А2 и В3А3, то есть равен р. Это значит, что движение £ = £ о g, где g - параллельный перенос на вектор В2В3 , а £2 - поворот на угол р относительно прямой В2В3, отрезок ВА переводит в отрезок В1+1 А1+1, т. е. £1(В1) = В1+1, £1(А1) = А1+1. Получили, что репер
А1А2А3В2 переходит при движении ^, как и при движении £, в репер А2А3А4В3, то есть f = fl.
Таким образом, движение f является композицией поворота на угол ^^180° относительно некоторой прямой т и параллельного переноса на вектор, параллельный этой прямой, причем не зависимо от их порядка.
Движение f имеет единственную инвариантную прямую т и называется винтовым движением. Отметим, что наш метод проведения классификации движений дает возможность конструктивно и аналитически найти ось винтового движения и его угол поворота.
Библиографический список
1. Скопец З.А., Понарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч. I. М.: Просвещение, 1986.
3. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. Ч. II. М.: Сан-такс-Пресс, 1997.
4. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Ч. II. Геометрия в пространстве. М.: Л.: ГИТТЛ, 1949.
А.В. БОРОДИН
Барианализ точных решений нелинейных эволюционных уравнений
Настоящая статья является развитием работ [1, 2]. Но сначала изложим в сжатой форме необходимый минимум бариоперационных понятий из [3, 4, 5].
Пусть (х} = (х0, х^ — упорядоченная пара чисел х0, х1 е С; х0 = /и° (х^)= хо и
х1 =и (х)) = х°х1 — её моменты 0-го и 1-го порядка соответственно. Тогда (х^ = (х°; х1/х0^,
причём если х° = 0, ах1 Ф 0, то нуль “ х0 = 0”, стоящий в знаменателе, называется нестандартным и обозначается символом (0^ . В этом случае ^х И № ={ (0>. х'( »». где
= (0) 1 — нестандартная бесконечность, такая что (0^ = 1, но (ю} 0 = 0. Если же и
х0 = 0 и х1 = 0 , т.е. (х} = (0 ; х1 ^ , то элемент (0; х1 ^ называется баринулевым и обозначается
символом (0) . Два элемента (х^ = (х0; х1 /х0^ и (у^ = (у°; у1 /Уназываются равными, если
и (х))=ик уу)) (х = 0,1)-
Далее, если (х) = ^х0;х1/х0^, (у) = (у°;у7У°) и Ле С , то по определению
л<х) = (Лх0;х1>,, (1)
(х) + (у) = (х 0 + у0; (х1 + у1 )/(* 0 + у0)), (2)
<х><у> = {х0у0 - х1 у1; (х0у1 + х1 у0)/(х0у0 - х1 у1)) . (3)
72
В работах [3, 4] показано, что операции умножения на скаляр (1), сложения (2) и эллиптического умножения (3) удовлетворяют аксиомам коммутативной ассоциативной алгебры;
при этом для сложения нулём будет (~ , противоположным к элементу (х = (х0; Xі/хбудет элемент х} = (— х0; х1 /х; для умножения (3) единицей будет элемент (Є) = (1; 0^ , обратным к элементу (х) = (х0;х1/х0^ Ф ^0^ будет элемент (х) 1 = ^х0; — х1/х|(х)|| , где
||(х)|| — норма элемента (х}, порожденная скалярным произведением ^х ).(у»=
0 ґ 0 \ * 1 ґ 1 \*
= х (у ) + х (у ) . В работе [4] эта алгебра названа эллиптической бариалгеброй (ЭБА) 1-го порядка и обозначена символом (С)е, элементы ^х^ є (Се этой алгебры названы бариэле-ментами (БЭ) 1 -го порядка. Там же заложены основы анализа на ЭБА (С)е любого порядка п . Естественный бариортонормированный базис в образуют бариорты (в} 0 = (1;0) и
Є1 =( Ш»» ■ при этом х^ = (х0; х1 /х є (СЄ имеет место разложение
М = х Че> 0 + х'(Є1.
Барилинейной структуре на (С) е, индуцированной бариумножением на скаляр (1) и ба-
рисложением (2), отвечает барилинейный оператор (БЛО) ^А^ на (Се, который определяется по формуле
(А)(х>)=(^> о'А^) (х))= х°(а) 0 + Я»!, (4)
где(а)к = (А)\к = (А)(е)к)= [ак0;аи) = (а°;а!/а°к) є (С)'е (к = 0,1) — барик°мп°ненты
БЛО (А). В частности, М =( е Л е),) — единичный БЛО. Величина |^А^| = а°а\ — а0а0
12
называется определителем, а ||^А^|| = а^Л + ||(а)Л ] — нормой БЛО (4). Если|(А^| Ф 0, то
(А 1 = ^(а\; — аЦа\^;(^ — а10;—а°/а0^/|(А^| — обратный к (А/ БЛО.
Далее, функция вида
Ці = (и (х, ґ)^ = (и0(х, ґ); и1(х, ґ)^ = (и 0(х, ґ); и'(х, ґ)/и 0(х, ґ)^, (5)
где (и) є (С)е — зависимая барипеременная, х, ґ є Р - независимые переменные, называется
барифункцией (БФ) вещественных переменных, или, короче, (Се" функцией Р -переменных. Частная барипроизводная к -го порядка дкх(и(х, ґ)} (при к = і дх(и( х,ґ ))=д х{и (х,ґ))) от БФ (5) по переменной х є Р определяется так:
д кх(и) = д х(и( хґ У) = (д кхи 0( хґ);д У(. хґ V д кхи 0( хґ ^.
Соответственно, бариинтеграл |(и(х, ґ)^ йх от (и(х, ґ)^ по х є Р так:
| (и( х, ґ)} йґ = и 0( х, ґ) йх; | и1( х, ґ) йх I1 и 0( х, ґ) йх^
(по переменной ґ є Р всё аналогично). Множество непрерывно дифференцируемых (дважды по х є Р и один раз по ґ є Р) в области В ^ Р2 БФ (5) обозначается через (С(2’і:і(В)^ . Подробнее обо всех этих понятиях см. [3, 4].
Рассмотрим на (С(2Д)(В)^, где В = Р х (0, ю), эволюционное барилинейное дифференциальное уравнение (БЛДУ) в частных производных второго порядка вида
д = (с)(д 2Л™))+(В)(д *(™>)+(А) (( ), (6)
где = (^( х, I)} = (у( х, I); и (х, I )^ — неизвестная БФ; А = (Л(х, I )), (Щ = {В( х, I)), С = С ( х,I)^ — заданные БЛО вида (4). Относительно 1-й ^ = V и 2-й ^|2 = и бари-компонент БФ БЛДУ (6) равносильно системе ДУ в частных производных 2-го порядка
дV = с0 дIV + с01 д2 0vu) + Ь00д1^ + Ь?д1х 0уи) + а0 V + а01 vu, (7)
д и = ( — с0 и )д 2и С
V
Ц0 + 2 с1
V
и
+
а1 — а^ +
д,Ч")
д1^
+ ГС1 — С0 ^
у У
д 2х^ С
и —
0х
V
У
д хи +
д1^
1 11 ^ хг 1 д^ ^
ао + *0 — + с0 —
д1 V
V
V
V
+
У
а» + + с0 &^
(8)
V
V
V
У
где
ак = м ((А>1к), Ц = м (Ик), ск = м ((С1) ^к = 0’1).
Для решений этой барисвязанной системы имеет место типичное для бариопера-ционного исчисления утверждение [3 -6].
Теорема 1. Если v(x, ґ;4) и и(х, гЛ) (4 = 1,2, к , т) — решения системы ДУ (7), (8), то
(Vс(4) є С ( = 1,2,к,т)):
т
v(x’ґ ) = 2 с (о )у(х,ґ;о),
о=1
тт
и(х,ґ) = ^ с (о )у(х’ґ;о ) (х,ґ;о ) / ^ с(о )у(х’ґ;о )
о=1 о=1
—решения системы ДУ (7), (8).
Тем самым, множество решений V = v(x, ґ) ДУ (7) в барисвязке (у; и^ с множеством (и) соответствующих решений и = и(х, ґ) ДУ (8) образует барилинейное пространство (V;И^ барирешений ^(х,ґ);и(х,ґ)) БЛДУ (6) [3, 4]. Если решения V и и система (7), (8) связаны между собой вытекающим из вида ДУ (8) преобразованием Коула-Хопфа [7, 8]: и(х, ґ) = д Xv(x, ґ У V (х, ґ), (9)
то система (7), (8) распадается на два формально не связных ДУ. А именно, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Для того, чтобы функция (9), где V — решение ДУ (7), (9), т.е. решение ДУ
д 1 ^) = с10 д3 ^) + (с00 + Ц10 ) д 2 (v) + (ц0 + а10 ) дх (v) + а00 V ’ (10)
была решением ДУ (8), (9), т.е. решением ДУ
ди = (с1 — с0и) д2хи + (с1 + Ц1 + (3с1 — с0 — Ц0 )и — 3с10 и2) д1хи +
+ а0 + (0 + а1 — а0 )и + (с1 + Ц1 — Ц0 — а0 )и2 + ( — с0 — Ц0 )и3 — с10 и4, необходимо и достаточно, чтобы функция V была одновременно решением ЛДУ
с0 д У+(дхс0 +с0 — с1 + *1°) д Xv+(д х с0 + дх*10 — с1 + *0— *1 + а0) д ^+ + (д х*00 + д ха0 — *0 + а0— а1) ^+(д1ха0— а1) =0 ’
или, если параметры БЛДУ (6) не зависят от х, ЛДУ
(11)
с0д^ + (с0 — с1 + *10) д3v + (— с1 + Ц0 — *1 + а0 ) д2v +
+ (— Ь0 + а0 — а1) дXv — а1 V = 0 .
(13)
2
и
Кроме того, при условии (12) функция (9), (10) является решением ДУ
ди = дх Xс10д2хи + 0с0 + К + 3с10и) дхи + с10и3 + (с0 + Ь10) и2 + (ъ0 + а10) и + а0 ). (14)
Отметим, что ДУ (14) является обобщением аналогичного ДУ из работ [5,6,9], где оно было получено бариоперационным методом из БЛДУ 3-го порядка и где была выявлена тесная связь его решений с нелинейными волнами типа кинков, солитонов, волнистой боры.
Понятно, что (10) — линеаризованное уравнение КдФ-Бюргерса, (11) — квази-линейное (КВЛ) параболическое уравнение, обобщающее известные ДУ Бюргерса-Хаксли, КПП, Фитц-Хью-Нагумо-Семёнова (см. [8, 10] и ссылки в них); (12) — ЛДУ согласования между (10) и (11).
Сначала рассмотрим случай (13). Пусть
vk = vk (х-1) (к = 1-2- 3,4) (15)
— фундаментальные решения (ФР) , а
4
^ 4 ■
0х-1 )=Е ску К(х-1) (16)
'к
к=1
— общее решение (ОР) ЛДУ (13), где ск (|)е С(1) (Р) (к = 1,2,3,4) — произвольные функции от I, где время I играет роль параметра. Для определения этих функций воспользуемся теоремой 2 и подставим (16) в (10). В результате получим ДУ
дс = Лк(I)ск (к = 1,2, 3,4), (17)
где
Лку )=(- дЯ + с10 д + (с0 + ь10 )д + (ь00 + а0 )д + а0 ^ V ^
— функции, зависящие только от I. Чтобы их найти, выпишем характеристическое уравнение для Ду (13):
б л4 + в л3 + г л2 + дл + е = 0, (18)
где
б = , в = с0 — с + Ъ , г = — с0 + Ъ — Ъ + а1 , д = — Ъ + а0 — а^ , е = — а0 (19)
независимые друг от друга коэффициенты алгебраического уравнения (АУ) (18). Пусть лк (к = 1,2,3,4) (20)
его простые характеристические корни. Тогда
vk (х, I) = ехр(Лкх) (к = 1,2,3,4) (21)
— соответствующие ФР. Подставляя (21) в (17), получим:
Лк =—х д1 лк +с0 лк +(с0 + Ъ10 )лк +(ъ00 + а10) лк + а0 (к =1,2,3,4) • (22)
Следовательно, чтобы Лк не зависели от х, необходимо и достаточно, чтобы
д1 лк = 0 (к = 1,2,3,4). (23)
С этого места условие (23) предполагается выполненным.
Далее, подставляя (22), (23) в (17) и решая полученное ДУ, имеем
ск 0) = Ск ехР(ЛkI) (к =12,3,4), (24)
где
Лк =с0 лк3 + (с0 + Ъ10) лк2 + (ъ00 + а0 )лк + а0 (к =12,3,4), (25)
а Ск е С (к = 1, 2,3,4) — произвольные постоянные. Из (16), (21) и (24) получаем сначала частные решения
= £Ск ехр(лкх + Л^) к=1 (26)
ЛДУ (10), а затем посредством (9) находим частные решения
д1 v 4 / 4
u(x,t) = — = Z Ck лк exp(jik(x+хkt)) / Z Ck exp(лk (x+хкО)
____ " к лк '
V к=1 / к=1
, (X7)
хк = с1°лк2 + (co + Ъ1° ) лк + (bo0 + ai° ) (к = 0 X 3>4), (X8)
KBЛДУ (11).
Согласно теореме 1, 4-мерное над C (и соответственно 8-мерное над R ) линейное мно-
жество V решений (2б) ЛДУ (10) в барисвязке ^ "и^ с нелинейым множеством U4 решений (X7), (X8) ГОЛДУ (б) образует 4-мерное над C барилинейное множество (V4;U^ ба-
рирешений БЛДУ (б). Отсюда, если Uj дx(Vj ^ Vj є U4 (J 1,X), то
u0 + u2=f viui + v2u2 =д°^о^ є и4
v1 + v2 v1 + v2 , (29)
и значит, (X9) — операция “сложения” в U4. Другими словами, формула (X9) описывает (над
R) взаимодействие двух “волн-кинков” вида (X7), (28). Понятно, что волны-кинки (X7), (X8)
u,= m1n лк и *= max лк расположены между двумя своими горизонтальными асимптотами 1£k £4 и 1£k
Поэтому, если все корни (20) и коэффициенты к е ( , , , )
шения (27), (28) положительные. Кинки (27), (28), как частные случаи, включают в себя кинки, описанные в работе [1], а также частично в [10] (где они получены с помощью анзаца метода Р. Хироты).
Возникает естественный вопрос: когда “узкое” линейное множество У4 (в (29)) можно
заменить на “широкое” линейное множество V всех решений ЛДУ (10). Согласно условию согласования (13), для этого необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты (19) ЛДУ (13) равнялись нулю. В этом случае ЛДУ (10) и КВЛДУ (11) примут соответственно вид:
д> = с1 д ^+(с0 + Ъ1) д>+(ъ0 + а1) v, (30)
ди = с1 д 2хи + (с0 + Ъ11 + 2 с1 и) д\и
^0 1 1 ' . (31)
При этом ЛДУ (30), будучи переписанным посредством (7) в равносильной форме
гд1v = ~11 д2ху + Ъ00 дXv + а0 + ~10 и^
'1 д^ + Ъ00 д> + ^ + а10 “/ - (32)
~1 = /с 1, Ъ1 = /Ъ1, ~00 = га0, а1! = га 1 Ш
где , является одномерным нестационарным ДУ Шре-
л = 50 и = а0 и и = д1у^
дингера с собственным значением 0 и потенциалом , где х — решение
ДУ Бюргерса (31). Нетрудно показать, что если и = и(х,1) — решение ДУ Бюргерса (31), х0е Р — любое допустимое фиксированное значение и
^ = ехрр0 (с1 д\(и)+(Ъ0 + а1)+(с1 + Ъ1)и+с1 и 2 |Х=Х0 л
то функция
v(x,I) = s(l)ехр^| и(о^)Ло
— решение ДУ (30) (или (32)). Следовательно, для решений ДУ Бюргерса (31) формула сложения (взаимодействия) (29) примет вид
и0 s0(t)expl J u0dxl + и2 s0(t)expl J и2dx
Ui + и 2 =
s0(t) expl J u0 dxl + s2(t) expl J и2 dx
w xo У xo У (33)
7б
Тем самым, множество решений ДУ Бюргерса (31) относительно операции “сложения” (33) образует коммутативную полугруппу без “нуля”. Кроме того, формула (33) позволяет по известным решениям ДУ Бюргерса (31) строить его новые решения.
Замечание 1. Относительно потенциала
и {х^СССуС,^) = а10 u(x,I;C1,C2 ,С3,С4)
u{xJ,Cl,C2,СЪ,СА) _ . 1 _____ л — а0
„-а0
где 1 2 3 4 определено по формуле (27), и собственного значения 0 ЛДУ (7),
переписанного в форме
д|v — с0 д ^ + с + Ъ10 )д ^ + Ъ0 д1xV + (л + и (х^С С С ,С 4 )) v
л — а00 Ск (к — 1, 2,3,4)
является изоспектральным, т.е. 0 не зависит от постоянных к 4
л = ~
Замечание 2. Для ДУ Шредингера (32) собственное значение 0 не зависит от решений ДУ Бюргерса (31), и в этом смысле ДУ Бюргерса (31) подобно ДУ КдФ [7].
Вернемся к общему КВЛДУ (11). Согласно теореме 2, каждое решение v ЛДУ (10) определяет по формуле (9) решение и КВЛДУ (11), тогда и только тогда, когда все коэффициенты ЛДУ (12) равны нулю, т.е. выполняются условия:
с0 — 0, с0 + Ъ0 — с1, дхс0 +д хЪ0 + Ъ0 + а10 — с1 + Ъ1,
дх Ь0 + дх а? + а0 — Ь0 + а’, 0^ а0 — а0. ’ (34)
При условиях (34) ЛДУ (10) и КВЛДУ (11) принимают соответственно вид: д^ — с0д2ху + Ъ0дXv + а0v, (35)
д(и — с0 д2хи + (с1 + 2с0и) д1^ + дха0 + (дХЪ0)и + (дхс0)и2, (36)
с0 — с 00 + Ъ0 Ъ0 — Ъ00 + а,0 а0 — а°п с1 — д1с0 + Ъ0 ,
где 0 1 , 0 1 , 0, х — произвольные (за исключением
последней с ) дифференцируемые по х функции от (х’I)е В .
Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Множество решений и КВЛДУ (36), определенное по формуле (9) (посредством всего линейного множества решений V ЛДУ (35)), образует относительно операции “сложения” (29) ((33)) коммутативную полугруппу без нуля.
Это утверждение существенно расширяет и уточняет заключительные результаты работы
[1].
Библиографический список
1. Бородин А.В. Бариоперационное исчисление и нелинейные уравнения для химических реакций в газе.Ш // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2004. Т. 47. Вып.6. С. 95-98.
2. Бородин А.В. Бариоперационное исчисление и нелинейные эволюционные уравнения // Сб. тр. МНК ММТТ-19. В 10 т. Т.1. Воронеж: ВГТА, 2006. С. 21-25.
3. Бородин А.В. Одномерный барилинейный анализ и изоспектральные уравнения Шредингера. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 1997. 177 с.
4. Бородин А.В. Многомерный барианализ и его приложения. Ч. I. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2005. 432 с.
5. Бородин А.В. Нелинейные уединенные волны — барисоны // Материалы конф. “Чтения Ушинского” ФМФ. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2003. С. 22-27.
6. Бородин А.В. Спектральные бариалгебры и их приложения I (II) // Вестник ЯГТУ. Вып.4(5). Яро-славль.2004 (2005). С.192-206 (93-114).
7. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир. 1988. 694 с.
8. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 360 с.
9. Бородин А.В. Уединенные волны — барисоны // Сб. тр. МНК ММТТ-2003 Т. 1, СПб.: СПГТИ, 2003. С. 73-77.
10. Волосов К.А. Об одном свойстве анзаца метода Хироты для квазилинейных параболических уравнений // Математические заметки. 2002. Т. 71. Вып. 3. С. 373-389.
