Метод решения задач динамики пластинок сложной формы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 138-144

= Механика =

УДК 539.3

Метод решения задач динамики пластинок сложной формы

В. В. Тюханов

Аннотация. Приводится методика формирования суперэлемента пластинки полигональной в плане формы, основанная на разложении движения точки срединной поверхности па переносное и относительное. Переносным считается движение заданных узлов, разбивающих плоскость пластинки на элементарные четырехугольники; относительным — движения элементарных четырехугольников относительно неподвижных границ. Параметры относительных движений предлагается отыскивать аналитически.

Для определения параметров переносного движения формулируется система уравнений движения в изображениях Лапласа.

Ключевые слова: пластинка, динамические задачи, суперэлемент.

Для моделирования сложных конструкций организацией в настоящее время широко применяется метод суперэлементов, основные идеи которого были изложены в [4, 5]. Рассмотрим возможности применения этого метода к решению задач динамики пластин сложной формы в плане.

Пусть линейно-упругая тонкая пластинка, подчиняющаяся гипотезам Кирхгоффа [8], занимает внутреннюю область А полигонального контура С (может быть, многосвязного). Также предположим, что внутренняя область контура разбита на четырехугольные подобласти узлами, среди которых присутствуют как вершины контура, так и некоторые внутренние точки, определяющие множество непересекающихся четырехугольников Еп:

N

и^п = А; р| = 0, (1)

п=1 /

п=т,

п,т£1--^

Представим движение пластинки в неподвижной системе координат в виде суммы переносного и относительного движений [2]. Вектор перемещений точек срединной плоскости представим в виде суммы

и(г,і) = и^і) + ип(г,і), г Є ¥п,

(2)

где г — вектор места материальной точки в неподвижной системе координат, вектор ип удовлетворяет однородным кинематическим граничным условиям на каждом элементарном четырехугольнике ^п, ип — вектор перемещений предварительно заданных граничных узлов, векторы ип и ип считаем независимыми. Подставляя это выражение в вариационное уравнение Лагранжа-Д’Аламбера и используя гипотезу прямой нормали, получим

N

/ ¿¿в/р (ип0) • -В • ■йв/р (ип0) +к(х, у) ■ Б ■ ■к(х, у)йБ+

п=1 Еп

+ / 5йв/р (ип0) ■ ■С ■ к(х, у)йБ + / ¿к(х, у) ■ С ■ ■¿в/р (ип0) ¿Б+

Е„ Е„

+ ^ (¿и^ + ¿ип) ■ Мп (ип0 + ип) ¿Б—

Еп

— / (5и1п0 + ¿ип) ■ ШпОйБ — / ¿0 ■ тп (ип0 + ип) ¿Б+

Еп

Еп

+ / ¿0 ■ ЦпОЛБ — / (¿ип0 + ¿ип) ■ qn¿Б = 0,

Еп Еп

¿в/р (ип) =

иг0 ,х 2 (иг0,у +^т0,х')

2 (иг0,у +^т0,х')

Vг0

У

В

к(х,у) =

к/2

1

-Н/2

К(х,у) ,хх К(х,у) ,ху (х, у),ху ^п(х, у) ,уу

72

/2

/2

г; С = / Егйг; .7

~Н/2

к/2 Г Н/2 Г

/ ргд,г; №п = І

.7 -Н/2 .7 —Н/2

Н/2

-Н/2

72

— /2

(3)

где Е — тензор постоянных упругости, р — плотность материала, к — вектор массовых сил, { — вектор поверхностных сил, ¿в/(■) — оператор малой деформации (оператор Коши) [3]. Заметим, что в силу линейности оператора ¿в/ справедливо следующее представление:

¿в/(ип + ип) = ¿в/(ип) + ¿в/(ип) = ¿в/(ип),

(4)

2

2

п

п

п

так как по определению (2) переносное движение и” можно рассматривать как движение абсолютно твердого тела, или, пользуясь терминологией [2], движение скелета, ассоциируя деформацию с относительным движением и”. Относительное движение, пользуясь [1], представим с помощью модального разложения:

и”(г, г) = Нп(г)аи^), г е Ри, п = 1, 2...Ы, (5)

где матрица Ни(г) составляется из собственных функций задачи

I {5 [йе/ (Ь*)] • Е ■ -йе! (Ь*) - и2г8Ьг ■ рЬ*} йБ = 0, (6)

К

п = 1, 2,...,Ы, I = 1, 2,..., М.

Как показано в [6], определенные таким образом вектор-функции Ь* (моды) обладают свойством ортогональности в смысле

/ РЬ ■ Ьй' = {1 к=] ;

к

I йе! (Ь*) ■ Е ■ йе! (Ь-) = { ^, (7)

к

и полноты как собственные функции линейного оператора. Также примем, что моды удовлетворяют однородным кинематическим граничным условиям на контуре Ри. В качестве таковых можно использовать систему полиномов, построенную автором совместно с В.И. Желтковым и доложенную на конференции в Перми в 2007 году.

Используем вариационное уравнение (3) с учетом (4) и разложения (5):

N М М

£££/ 8 [йе! (Ь*)] а* ■ -Е ■ ■йе! (Ь-) а-¿V + (8)

и=1 *=1 -=1'п

+8 (и” + Ь*а*) ■ р (и” + Ь-а- — к) йV — ^ 8(и” + Ь*а*) ■ £йв = 0.

Перейдем к матричной форме записи и учтем соотношения ортогональности (7), а также очевидное равенство

8и”(г, г) = Ни(г)8аи(г), г е Ри, п = 1, 2...Ы,

N ГГ

^2 5аЩ {П2ап + ап + Я (йЩ)} + 5иП р {йЩ + Иа„ - к}йУ - 5иП ійБ = 0;

п=1 Уп яп

(9) Яп = / НПр (йЩ - к)йУ - [ НП{йв = тпй^і) - Рп(і),

Уп ^

тп = J рНПйУ; Рп(і) = J НПркйУ + J НЩр{йБ.

Уп Уп

Напомним, что функции и” есть перемещения узловых точек, определяющих элементарный четырехугольник Уп и, поэтому являются функциями только времени.

Собирая коэффициенты при независимых вариациях, получим систему двух матричных уравнений относительно векторов а и и„:

а„ + О2а„ - т„и„(£) = Р„^),

М„и„ + т„ а„ = К„ + Б’п, (10)

М„ = I / ; К„ = / ЫУ; Е„ = / ОД

Уп Уп ^

где I — единичная матрица, О2 — диагональная матрица, составленная из квадратов частот свободных колебаний элементарного четырехугольника. Смысл этих уравнений очевиден: первое представляет собой уравнение вынужденных колебаний относительно неподвижных границ под действием внешних сил, в число которых включены переносные силы инерции, а второе

— уравнение вынужденных переносных движений под действием внешних сил и относительных сил инерции. Матрица М„ — диагональная матрица, составленная из масс элементарных четырехугольников.

Для решения (10) используем преобразование Лапласа, обозначая (*) изображение функций времени:

(з21 + О2) а„(я)* + з2т„и„(«)* =

= а„(0) + 5а„(0) + т„ {и„(0) + „(0)} + Р„(«)*,

з2М„и„(з)* + 82т„ а(в)* = (11)

= т„ {а„(0) + за„(0)} + и„(0) + зи„(0) + К„(«) + Р„(8)-

Выразим параметры относительного движения а* через параметры переносного движения и начальные условия:

&п(в)* = (в2і + ^П) Ч-в2тпип(в)*+ (12)

+ап(0) + вап(0) + тп [иП(0) + виП(0)] + Рп(в)*} •

Из второго уравнения нетрудно получить выражения для параметров переносного движения через начальные условия и внешние нагрузки:

^2Ып - в4тп (в21 + ^пГ1 т^| ип(в)* =

= |і - в2тп (в21 + ^Г1} {*п(0) + вап(0) + тп [ип(0) + вип(0)]} - (13)

-в2тп (в21 + ^пГ1 Рп(в)* + Кп(в) + ¥*п(в).

Теперь нетрудно найти аналитическое выражение для изображений параметров переносного движения:

<(в)* = W¿n(в) {ап(0) + вап(0) + <(0) + вЦп(0)} - W5n(в)Pn(в)* +

+Wn(в) {Кп(в)+ ¥*п(в)} ;

^(в) = {в2Мп - в4тЛ(в21 + ^2)-1 рп} ; (14)

^п(в) = ^(в) {1 - в2<(в21 + ^2 Г1};

^п(в) = wn(в)в2mП(в21 + ^2)_1 •

Оригинал решения (14) нетрудно найти, пользуясь теоремами о дифференцировании оригинала и теоремой о свертке [7]:

ип(*) = Won(í) {ап(0) + ип(0)} + Won(í) {ап(0) + ип(0)} -

* * (15)

-I W1n(t - Т)Рп(т)йт + / Wn(t - Т) {Кп(т) + Еп(т)} йт•

0 0

Таким образом, если известны функции Wn, Won, Wln, внешние нагрузки как функции времени и начальные условия, то перемещения узлов элементарного четырехугольника находятся аналитически, а по ним — и параметры относительного движения по (12).

Уравнение (13) в соответствии с [4] можно рассматривать как определение суперэлемента. Обозначая элементы (13) как матричные характеристики суперэлемента

аСЭ(в) = [wn(в)]-1,

РсЭ(в) = {і - в2тп (в2І + О2)-11 {ап(0) + ва„(0) + ип(0) + втіп(0)} --в2тп (в2І + О2)-1 Р„(в)* + Кп(в) + ¥*п(в),

(16)

мы приходим к матричному уравнению, ничем не отличающемуся от такого же уравнения МКЭ:

0*Сэ (в)иГ(в) = Р*Сэ (в), (17)

где матрица в^э имеет физический смысл матрицы жесткости, ЦЛ* — вектора узловых перемещений, РСэ — вектора узловых сил. Проделывая эту операцию с каждым элементом конструкции, мы приходим к ансамблю суперэлементов, матричные характеристики которого можно получить, используя известный алгоритм МКЭ. Вводя кинематические ограничения на ансамбль суперэлементов, мы получаем задачу линейной алгебры относительно изображений перемещений граничных узлов. Оригиналы узловых перемещений можно найти, используя алгоритмы дискретного преобразования Лапласа.

Список литературы

1. Желтков В.И., Комолов Д.В., Хромова Н.Г. Некоторые возможности автоматизации расчетов динамики вязкоупругих систем // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1995. Т. 1. Вып. 2. С. 58-69.

2. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

3. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 840 с.

4. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов А.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979. 288 с.

5. Пржеминицкий Е.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур // Ракетная техника и космонавтика. 1963. № 1.

6. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

7. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стриган М.: Наука, 1979. 830 с.

8. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 308 с.

Тюханов Валерий Викторович (drnitro@tula.net), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

A method for solving dynamic problems for plates of a

complicated form

V. V. Tukhanov

Abstract. The technique of shaping of a superelement of a plate polygonal in respect of the form, based on expansion of movement of a point of a median surface of a pas portable and relative is reduced. Portable it is considered movement of the set knots dividing a plane of a plate on elementary tetragons; relative — movements of elementary tetragons concerning motionless boundaries. Parameters of relative movements are offered to be discovered analytically. For definition of parameters of portable movement the movement set of equations in images of Laplace is formulated.

Keywords: plate, dynamic problems, superelement.

Tukhanov Valeriy (dmitro@tula.net), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 10.02.2011