Метод решения детерминированных и нечетко заданных задач многокритериального ранжирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сафронов В. В.

ОАО «КБ ЭЛЕКТРОПРИБОР» Саратов

МЕТОД РЕШЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ИНЕЧЕТКОЗАДАННЫХ ЗАДАЧМНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГОРАНЖИРОВАНИЯ

Введение. Модели принятия решений в нечетких условиях находят широкое применение для исследования систем различного назначения. Методам решения нечетких многокритериальных задач, в том чис-лезадач нечеткого многокритериального ранжирования, посвящено большое число работотечественных и зарубежных ученых[7,8,10,13,32].Для решения таких задач необходима информация о значениях функций принадлежности нечеткого множества недоминируемыхи доминируемыхсистем. Вычисления указанных функций принадлежностиможно осуществить, например, методами Орловского [13] и Жуковина [7].

Метод вычисления Орловскогопозволяет найти функции принадлежности: нечеткого отношения пред-

почтения ; нечеткого отношения строго предпочтения;отношения недоминирования; нечеткого множества доминируемых систем; нечеткого множества недоминируемых систем. Последниедве из перечисленных функций принадлежности и используются для решения задачи нечеткого многокритериального ранжирования. Так,в работах [3-5] рассмотренызадачиранжирования для случая, когда критерии могут быть одновременно заданы: в формализованном, количественном виде; в неопределенном, лингвистическом виде; в частично формализованном виде и другие задачи.Задачирешаются в два этапа. На первом этапена основе применения аппарата нечетких множеств, вчастности методаОрловского, определяют функции принадлежностинечеткому множеству недоминируемых систем. На втором этапе с использованием методов теории принятия решений, в частности метода «жесткого» ранжирования [23],строится упорядоченное множество эффективных вариантов (кортежПарето).

На первом этапесталкиваются со следующими проблемными вопросами:

-как выбрать значениеширины интервала оценок по каждому критерию?;

- каким образомунифицировать вычисления для максимизируемых и минимизируемыхкритериев?;

- можно ли упростить вычисления с сохранением корректности итогового решения?

Настоящая статья посвящена обоснованию упрощенного вычисления функций принадлежности, что дает возможностьисключить недостатки, присущие первому этапу.Более того, полученные результатыпозволя-ютсделать универсальной процедурурешения детерминированных задач и задач с нечетко заданными критериями .Методы решения задач, поставленных в [3-5], сводятсяк методу «жесткого» ранжирования.

1. Математическая постановка задачи. Для решения задач нечеткого многокритериального ранжирования в качестве критериев, как правило, используютфункции принадлежности.Их формирование является непростой задачей [7].Рассмотрим математическую постановку задачинечеткого многокритериального ранжирования. С этой целью введем необходимые в дальнейшем обозначения [3,7,13,23,28] :

1. S ={sa,a = \п} - множество возможных вариантов систем,SdQS - множество допустимых систем,

для которых, в зависимости отспецифики системы, должны выполняться некоторые дисциплинирующие условия: неравенства, равенства, логические условия и т. п.;

2. F (Sa)={ fi (Sa), f2 (Sa) fj (Sa) fr (Sa)}

K (Sa) = {K 1 (Sa) , K2 (Sa) K> (Sa) Kr (Sa)}

соответственно векторный критерий, характеризую-

щий систему Sa (до преобразования) и после преобразования.

3. fj (Sa), Kj (Sa), (j = 1, Г) - соответственно скалярный критерий качества

характеризующий систе-

му Sa , до преобразования (в зависимости от смысла значение критерия желательно максимизировать или минимизировать) и после преобразования (значение критерия желательно минимизировать).

4. A = {dj, j = 1, Г}- множество коэффициентов важности критериев, где Qj - коэффициент важностиj-

r

го критерия, причем ^ Qj = 1 .

j=1

5. PKj(Sk,Si) = [(Sk,Si); jUKj (Sk,Si)] - нечеткое отношение предпочтения (НОП) по j-му скалярному

критерию, j = 1, Г "k = 1, П, I = 1, П, k Ф I , где (Sk,Si) - множество упорядоченных пар систем;jUKj(Sk,Si) -

функция принадлежности нечеткого отношения предпочтения.

6. jUdKj (Sk,Si) - функция принадлежности нечеткого отношения строго предпочтения,характеризующая интенсивность доминирования системы Sk над системой Sx по j-му скалярному критерию.

7. jUndKj (Sk,Si) - функция принадлежности отношения недоминирования, характеризующая степень, с

которой система SkHедоминируется системой SlПоj-му скалярному критерию.

8. MND*Kj(Sk)- функция принадлежности нечеткого множества недоминируемых систем,характеризующая степень «недоминируемости» системы Skни одной другой системой поj-му скалярному критерию.

9. jUD*Kj (Sk) - функция принадлежности нечеткого множества доминируемых систем, характеризующая

степень «доминируемости» системы SkДругими системами поj-му скалярному критерию.

10. jUND*K(Sk)- функция принадлежности нечеткого множества недоминируемых систем, характеризующая степень «недоминируемости» системы Skни одной другой системой по векторному критерию.

11. jUD*K(Sk)- функция принадлежности нечеткого множества доминируемых систем, характеризующая степень «доминируемости» системы SkДругими системами по векторному критерию.

С учетом введенных обозначений сформулируем задачу. Даны множества S, A, F (Sa) , выбраны решающие правила [28] .Требуется:

1) определитьфункция принадлежности^*^ (Sk) ,m^D*Kj (Sk) ;

2) найти множество эффективных упорядоченных систем (кортеж Парето) SpcSd, для элементов которого S(* Є SP справедливо:

MndK(Sa) = max pNDK(Sa) . (1)

Sa^D

Эквивалентной, по результатам решения, будет следующая задача. Найти множество эффективных

упорядоченных систем (кортеж Парето) SP^Sd, для элементов которого S'a Є SP справедливо:

MdKS) = min MDK(Sa) . (2)

SaeSD

Для решениянечетких многокритериальных задач необходимо:

1. Вычислить функции принадлежности MND*Kj(Sk) нечеткого множества недоминируемых систем и функ-

ции принадлежности MD*Kj(Sk) нечеткого множества доминируемых систем, j = 1, Г Vk = 1 , П .

2. Решить задачу нечеткого многокритериального ранжирования с использованием выбранного метода, построить кортеж Парето.

3. Сделать выводы.

Функции принадлежности нечеткого множества недоминируемых систем можно вычислить, по крайней мере, сиспользованием двух методов. Первый методоснованна работахОрловского С.А. [13],Жуковина

В.Г.[7].Второйметод - на работах Жуковина В.Г. [7],МихалевичаВ.С.,Волковича В.Л. [10].

2. Методы определения функций принадлежности.Всоответствии с первым методом определяем нечеткое отношение предпочтение PKj(Sk,Si) по j-му частному критерию качества для пары решений (Sk/S2) функцией принадлежности [7,13,32] :

mKj {sk,s,)

fj(Sk) - fj(s,)

m,

, if f.(Sk) > f,(S,)

0, if f.(Sk) < f.(S,),

(3)

где mj - ширина интервала оценок по j-му критерию; fj (Sk) и fj (S,)

J

систем Sk и Si.

значенияj-го критерия для

Назначение величины mj является неформальной задачей и осуществляется с привлечениемэкспертов [3-5] .

Нечеткое отношение строгого предпочтения системы Sk над системой Si определяется функцией принадлежности jUdKj (Sk, Si), характеризующей интенсивность доминирования Sk над Si по j-му частному критерию [13]:

„ ,с Нj(Sk, s,)-mKjS, Sk), if mK,(sk, s,) >мк.(s,,Sk)

Md j (k, ') { 0, if mKj(Sk, s,) <mKjS, Sk). 4

Отношение недоминирования системы Sk системой Si mNDKj(Sk,Si) как дополнение к MDKj(Sk,Si) [13] :

mNDK j (Sk, S, ) = 1 - mDK j (Sk, S, ) ' (5)

определяется функцией

принадлежности

Степень«недоминируемости» системы Sk ни одним другим вариантом по j-му частному критерию характеризуется функцией принадлежности нечеткому множеству недоминируемых вариантов MND*Kj(Sk) и показывает степень полезности варианта системы по рассматриваемому критерию:

mNDK j (Sk ) = П mNDK j (S,, Sk ) . (6)

s/

Тогдастепень «доминируемости» mDK j (Sk ) системы SkДругими системами поj-му скалярному крите-риюбудет равна mDK j (Sk ) = 1 mNDK j (Sk ) .

В соответствии со вторым методомиспользуетсяпреобразование, предложенноев работеМихалевича и Волковича (для исходных максимизируемых критериев) [11] : f0 - f (s )

Kj S)= jo j0 a) .(7)

ТІ T j (min)

Здесь fj (Sa) , j = 1, Г, a = 1, П - j-ймаксимизируемыйкритерий; fj - оптимальное (наибольшее) зна-

j - го критерия; fДтіп)

наименьшее значение максимизируемого критерия.

Преобразование вида(7) представленов монографии Жуковина [7]. Обозначим

MDKj (sa) = Kj (Sa), j = 1,r, a = 1,n -(8)

степень доминируемостиварианта Saпоj-мукритерию.Тогда

чение

M"ndKj (sa) = 1 - Kj (Sa), j = 1,r, a = 1,n-(9)

степень недоминируемостиварианта Sa поj-мукритерию.

Доказана теорема, имеющая важное прикладное значение.

Теорема 1' Результаты решения нечетких многокритериальных задач ранжирования сиспользованием функций принадлежности нечеткому множеству недоминируемых вариантов m^D*Kj(Sk) , полученных по методам 1, 2, совпадают.

3. Решение задачис нечетко заданными значениями критериев методом«жесткого» ранжирования.Без

потери общности изложение будем проводить для систем Sa, a=1, П, свойства которых задают с помощью

функций принадлежности Mdk j (s3, j = 1,Г

нечеткого множества доминируемых систем.В ходе решения

задачи будем анализировать множество упорядоченных пар систем

тат анализа заносить в специальную оценочную матрицу | |Ckl| | . дующем [27, 28] :

Sk, S, (k = 1, n;, = 1, n; k ф,) , а резуль-Сущность метода заключается в сле-

1. На основе

ночной матрицы системы.

попарного сравнения систем

Sk, S, (k = 1, п; , = 1, п; k ф ,)

| |Cki | | . Значения элементов С^подбирают таким образом

определяем элементы Cki оце-чтобы отсечь неэффективные

2

У эквивалентных систем £*,£івсе соответствующие значения функций принадлежности

№йKj (Sa), j = 1, Г равны. Полагаем, Cki= 1, Cik= 1.К числу неэффективных систем отнесем варианты, у

которых:

а) все значения функций принадлежности нечеткого множества доминируемых системі-й системы больше, чем у k-й системы, тогда полагаем Сл=^2>>1;

б) значеният(т<г^функций принадлежности нечеткого множества доминируемых системі-й системы хуже соответствующих значений функций принадлежностик-й системы при равных соответствующих значениях остальных функций принадлежностидоминируемых систем; тогда полагаемС^=^, 1<<N3<N2.

Если же для систем к, і имеем лучшие, худшие и, возможно, равные значения функций принадлежности нечеткого множества доминируемых систем, то значение Скіопределим по методу, изложенному в [16].

Обозначим^/, Nki~,Nki=- соответственно подмножества номеров лучших, худших и равных значений функций принадлежности нечеткого множества доминируемых систем для каждой пары вариантов Sk,Sl

(к = 1, n; I = 1, П, к ФI) .Значения элементов Скі, Сік оценочной матрицы | | Скі | |, в зависимости от возможных

значений подмножеств номерові/, Nkl~,Nkl , представлены в таблице 1.

Таблица 1

N + N- N= С« Скі

И) 0 0 N 2 >> 1 0

0 У! 0 0 N 2 >> 1

0 0 У} 1 1

Ф0 0 Ф0 1 << N 3 < N 2 0

0 Ф0 Ф0 0 1 << N 3 < N 2

Ф0 Ф0 0 или Ф 0 Г У Е a ■ Е a щNkI V 'єЄ^к I J C -1 CkI

2. Для формулировки решающих правилвведем характерные числа: Ні - количество элементов в і-м столбце оценочной матрицы, значения которых больше единицы; Ml- количество элементов в і-м столбце той же матрицы, значения которых меньше единицы; Скітах- максимальное значение элемента в і-м столбце матрицы | | Скі | | .

3. Для реализации «жесткого» ранжирования перейдем от одношагового процесса поиска приоритетного расположения систем к многошаговому процессу[1].

Решающие правила «жесткого»ранжирования

3.1. Ранжирование необходимо проводить среди эффективных систем по шагам. Число шагов t< (n-

1) .

3.2. На каждом шагеt (t=1,2,., n- 1)

- найти числа Ніт, Міи), Скітах^'

- номер j занести в множество P;

- исключить из оценочной матрицы

нужно:

и определить лучшую систему Sj

c минимальным значениемН

j-ю строку

j - й столбец. Если системы

и

с

(t) ;

номерами

Ij Є Lk(t) ={I1, I2, ■■■, !j

имеют одинаковые минимальные значения Hlj(t)

то лучшей является система

SljC максимальным значением M

()= max M(t).

Ij j tLk(t) Ij

3.3. Если системы с номерами IjЄ Lk (t )={ 1 1 I 2, ■■■,1 j, ■■■, !k(t)}

лучшей является система Sj c минимальным значениемС)= min C

имеют соответственно одинаковые значения

Hlj(t),Mlj(t), то

мы считают эквивалентными.

(t) = УУ СкІ:,

j Ч ЄУ (t) ‘

(t), Ml(t), Cklmax'

; t)

і

Теорема 2. Если в і-м

(I Є И)

столбце оценочной матрицы максимальный элемент равен значению

Ыэили значению N2, то і-й вариант системы не принадлежит множеству эффективных решений.

Теорема 3. Множество неэффективных систем не зависит от значений коэффициентов важности критериев .

Впервые теорема 2 доказана в [22,23], а в приведенной интерпретации изложена в [29, 30]. Но не в [4] , как указано в работе [5] . Теорема 3 сформулирована и доказана в работах [29-31] .

Краткая справка. Созданию и становлению метода «жесткого» ранжирования способствовали работы известных отечественных и зарубежных ученых, например [1,6,9,11,12,14,16] .В 1988 году опубликована статья[17], в которой осуществлена постановка многокритериальной задачи и дан метод ее решения.В 1992 году издано пособие [18], в котором фактически изложен метод жесткого ранжирования и обобщенный метод ветвей и границ.В решающем правиле учтены два числа: Hl - введено впервые; Cklmax-предложено профессором Б. Руа, Франция [16].

Дальнейшее развитие методы многокритериальной оптимизации получили в работах [19-24] (построе-

ние множества Парето, подмножества Парето заданной мощности, обобщенный метод ветвей и границ, многокритериальная задача оптимального развития систем).В статьях [22,23] подробно раскрыт метод «жесткого»ранжирования, для формулировки решающих правил введены два числам, Ml, использовано число Cklmax, оговорен их физический смысл, доказана теорема о непринадлежностиі-го варианта множеству эффективных решений.Введены понятия «мягкого» и «жесткого» ранжирования, «кортежа» («подкортежа») Парето.Осуществлен переход к многошаговомупроцессу поиска приоритетного расположения систем .

В [23] доказана теорема и о правилах ветвления из вершины, еще раз более подробно раскрыт обобщенный метод ветвей и границ.На базе метода «жесткого» ранжирования, обобщенного метода вет-

3

вей и границ получен целый ряд новых результатов. В частности, разработан метод гипервекторного ранжирования [25], методы вывода сложных систем в лидеры с использованием различных решающих правил [26] .

Определенный итог проводимым исследованиям подведен в монографиях[27, 28]. В последнее время

получены новые результаты, опубликованные в [29-31]. В частности, сформулирован и доказан критерий построения истинных кортежей Парето.

Численный пример.Дляшести систем с помощью экспертов определенызначения четырех лингвистических критериев. Затем лингвистические оценки были трансформированы в балльные значения критериев

fj(Sa), j = 1,4 , причем, чем значение критерия больше, тем система при прочих равных условиях лучше (табл. 2).

Таблица 2.Значения скалярных критериев

Система Критерии S1 S2 S3 S4 S5 S6 a

f1 (Sa ) 4 2 3 5 8 9 0,15

f2 (А) 3 6 7 4 2 3 0,5

f3 (А) 8 4 9 3 2 5 0,3

f4 (Sa) 4 3 9 8 5 8 0,05

Требуется: а) на основе применения метода 2 найти функции uDKj (S№), j = 1, Г ; б) на основе метода «жесткого» ранжированияпостроить кортеж Парето; в) провести сравнение результатов решения при применении метода Орловского.

Решение.Используя преобразования (7), получим значения UndK j (S№) , которые сведем в табл. 3.

Та блица 3.Значения uDKj (Sa)

Система Значения UdKj (Sa) S1 S2 S3 S4 S5 S6

uD K1 (Sa) 5/7 1 6/7 4/7 1/7 0

UDK2 (Sa) 4/5 1/5 0 3/5 1 4/5

UDK3 (Sa) 1/7 5/7 0 6/7 1 4/7

UDK4 (Sa) 5/6 1 0 1/6 2/3 1/6

Применим метод «жесткого» ранжирования. В результате получим следующий кортеж Парето P = {S3, S4, Si, S6) , т. е. предпочтение следует отдать третьей системе. Системы S2, S5 оказались неэффективными .Аналогичный результат получен и при использовании метода Орловского.

Заключение.Поставлена и решена важная в прикладном плане задача нечеткого многокритериального ранжированиясложной системы.Доказано, что методы определения функций принадлежности, разработанные Орловским иЖуковиным, являются, с точки зрения конечного результата, эквивалентными. Это позволяет: на единой методической основе решать как обычныедетерминированные задачи, так и задачи с нечетко заданными критериями; исключить необходимость введения и использования параметров

fflj, j = 1, Г , которые определяются экспертным путем; исключить проблемувычислительных особенно-

стейдля максимизируемых и минимизируемыхкритериев;упростить вычисления.

Для решения задачи нечеткого многокритериального ранжирования используется разработанный автором метод «жесткого» ранжирования.Особенность заключается в том, чтовместо критериев рассматриваются функции принадлежности нечеткого множества доминируемых систем. Основу работ [4-6]и составляет метод «жесткого» ранжирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белкин А. Р., Левин М. Ш.Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимации информации. М.: Наука. 1990. 160 с.

2. Борисов А.Н., Алексеев А.Н., Крумберг О.А. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. Рига: Зинатне, 1989.

3. Ведерников Ю. В., Сафронов В. В. Метод многокритериального ранжирования сложных систем при различных видах неопределенности исходных данных// Информационно-управляющие системы. 2008. №3. С .32-38.

4. Ведерников Ю.В. Теоретико-множественное обоснование выбора сложных систем при разнородной исходной информации. СПб.:Изд-воМ-ва обороны РФ, 2008. 166 с.

5. Ведерников Ю.В., МогиленкоВ.В.Научно-методический аппарат векторного предпочтения сложных технических систем, характеризующихся показателями качества, заданными в ограниченно-

неопределенном виде //Вестник Тамбовского ун-таим. В.И. Вернадского. №1(32). 2011. С. 81-96.

6. Дубов Ю. А., Травкин С. И., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выборава-риантов систем. М.: Наука, 1986. 296 с.

7. Жуковин В. Е.Нечеткие многокритериальные модели принятия решений. Тбилиси: Мецниереба, 1988. 71 с.

8. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М: Мир, 1976. 165с.

9. ЛаричевО. И.Наукаиискусствопринятиярешений. М.: Наука, 1979. 200 с.

Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

736 с.: ил.

Михалевич В. С., Волкович В. Л. Вычислительныеметоды исследования и проектирования сложныхси-стем.М.: Наука, 1982. 286 с.

Моисеев Н. Н. Математическиезадачисистемногоанализа. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1981. 488 с.

4

Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М: Наука, 1981,

203с.

Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решениямногокритериальных задач. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1982. 256 с.

Прикладные нечеткие системы: Пер. с яп. / К. Асаи, Д. Ватада, С. Иваи и др.; Под ред. Т. Тэре-но, К. Асаи, М. Суджено. М.: Мир, 1993.

Руа Б. Проблемы и методы решений в задачах с многими целевымифункциями // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. С. 20-58.

Сафронов В. В. Многокритериальная оптимизация приборов и систем // Изв. ВУЗов

СССР.Приборостроение. 1988. №5. С. 7-10.

Сафронов В. В. Методы проектирования систем управления.Учебное пособие.Саратов: СВВКИУ, 1992. 48 с.

Сафронов В. В. Методы многокритериальной оптимизации. Ч.1,2. Учебное пособие.Саратов: СВВКИУ,

1995. 75 с.

Сафронов В. В. Методы многокритериальной оптимизации. Ч.3. Учебное пособие.Саратов: СВВКИУ,

1996. 24 с.

Сафронов В.В. Векторная оптимизация структур сложных систем автоматического управления // Тезисы докладов региональной научно-технической конференции «Аналитическая теория автоматического управления».Под ред. В.А. Подчукаева (Саратов, 12-17 мая 1997 года). Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 1997.С. 64-71.

Сафронов В. В. Выбор и ранжирование эффективных вариантов в многокритериальной задаче принятия решений//Тезисы докладов научно-технического семинара «Управление в технических системах».Под ред. В.В. Сафронова (Саратов, 3-5 декабря 1997 года). Саратов: Изд-во СВВКИУ, 1998.С. 84-91.

Сафронов В. В. Проблемы проектирования сложных технических систем и некоторые пути их решения // Доклады Академии военных наук. 1999. №1. С. 84-95.

Сафронов В. В. Методы и алгоритмы построения оптимальных структур сложных технических систем. Саратов: Изд-во Военного артиллерийского ун-та (филиал, г. Саратов), 2000. 162 с.

Сафронов В. В. Гипервекторное ранжирование сложных систем // Информационные технологии. 2003. № 5. С. 23-26.

Сафронов В. В.Гипервекторный перевод сложной системы в число лидеров//Информационные технологии. 2005. № 12. С. 20-25.

Сафронов В. В. Основы системного анализа: методы многокритериального ранжирования: Монография / Поволж. кооп. ин-т Российского ун-та кооперации. Энгельс: Ред.-изд. центр ПКИ, 2007. 185 с.

Сафронов В. В. Основы системного анализа: методымноговекторной оптимизации и многовекторного ранжирования: Монография. Саратов: Научная книга, 2009. 329 с.

Сафронов В. В. Сравнительная оценка методов «жесткого» ранжирования и многокритериальной теории полезности в задаче гипервекторного ранжирования систем // Доклады академии военных наук. 2010.№5(44).С. 101-108.

Сафронов В. В. Сравнительная оценка методов «жесткого» ранжирования, справедливого компромисса и равномерной оптимальностив задаче гипервекторного ранжирования систем // Информационно-управляющие системы. 2011. №3.С.2-8.

Сафронов В. В. Сравнительная оценка методов «жесткого» ранжирования и анализа иерархийв задаче гипервекторного ранжирования систем // Информационные технологии. 2011.№7.С.8-13.

Трахтенгерц Э. А.Эволюция компьютерных системподдержки принятия управленческих решений // Приложение к журналу « Информационные технологии». 2006. №1. 24 С.

5