Применение метода идеальной точки в пространстве критериев для решения задачи гипервекторного ранжирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сафронов В. В.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИДЕАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ПРОСТРАНСТВЕ КРИТЕРИЕВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГИПЕРВЕКТОРНОГО РАНЖИРОВАНИЯ

Введение. На практике все чаще приходится решать задачи гипервекторного ранжирования (ГВР). В работах [6, 7] осуществлены постановки задач ГВР, рассмотрены характерные особенности такого

класса задач, дан метод решения, основанный на методе «жесткого» ранжирования. Вместе с тем, отечественными и зарубежными учеными накоплен солидный опыт решения задач многокритериальной оптимизации и ранжирования, разработаны методы, которые широко применяются в прикладных задачах [1-5]. Очевидна целесообразность применения известных методов многокритериального ранжирования, в частности метода идеальной точки в пространстве критериев, с целью решения более сложной задачи ГВР.

2. Математическая постановка задачи гипервекторного ранжирования. Введём необходимые в дальнейшем обозначения:

5 = ^а,а = 1, п)

К ( 5а) = {К( Яа),Є = 1Ё )

- множество сложных систем;

множество многовекторных компонент

К Л5а) ,

характеризующих систему

К^) = {Кє- (Ба), і = 1, £ , Кє- (Ба) = {К- (Ба),і = 1, £ )

лярных компонент, характеризующих систему Ба Є Б ;

А = {ає,є =1Е) , Ає = {аЕ-,- =1,£ , Ає- = {а-,і =1,г—

соответственно множество векторных и ска-

соответственно множество коэффициентов

многовекторных,

екторных

скалярных

компонент,

причем

£ ае=1, £

і=1

£ а8Ц = 1,-= 1 Г£

числом элементов

= 1,Е ; 5*

= {5°, р Є{1,п))

*5* Є 5 ; В(5а) = {^і (!5а), і = 1М) -

множество эффективных (Парето оптимальных) систем с

множество ограничении, накладываемых на слож-

ную систему, причем должно выполняться условие лО

В/ (і а ) ~ Ві, і = 1, М , (1)

где

ВО

допустимое значение 2-го ограничения,

М

число ограничении;

р = {5^ 50 *)

ранжированы

упорядоченное множество эффективных систем (кортеж Парето); элементы кор-соответствии с решающими правилами так, что выполняется условие

Б" У

решаю-

к_ , где «>■ » - знак отношения доминирования, .

Допустим, известны множества А,А,Б,К(Ба),К£ (Ба),К^ (Ба),О(Ба) , (а = 1,п; ] = 1,ге\е = 1,е) ,

щие правила. Требуется найти кортеж Парето Р , для элементов которого справедливо

КБ) = т^пК(?*)>^еР (2)

и выполняется условие (1).

2. Принципы решения задачи гипервекторного ранжирования. Рассмотрим общие принципы решения задачи ГВР, которые практически не зависят от принимаемого решающего правила.

1. Представление критериев в виде иерархической структуры.

Скалярные критерии располагаем на нижнем (третьем) уровне иерархии и объединяем в векторные компоненты (второй уровень иерархии). Векторные компоненты - в многовекторные (первый уровень иерархии), а многовекторные - в гипервекторную компоненту (корневая вершина).

2. Решение задачи многокритериального ранжирования по скалярным критериям каждой векторной компоненты.

С этой целью могут применяться, например, методы: «жесткого» ранжирования [6,7]; идеальной

точки в пространстве критериев [2] и многие другие [3]. В результате будут построены частные кортежи Парето, которые позволяют однозначно определить расположение варианта сложной системы Ба относительно других вариантов по каждой векторной компоненте. Причём выявляются как доминирующие (доминируемые), так и эквивалентные варианты.

3. Получение количественных оценок векторных компонент:

а) при использовании метода «жесткого» ранжирования всем векторным компонентам ставим в соответствие некоторые числа, значения которых зависят от расположения вариантов: для доминируемых

вариантов эти числа больше, чем для доминирующих, а для эквивалентных вариантов эти числа будут равными. Назовём такие числа псевдозначениями (рангами) векторных компонент;

б) при применении других методов получаем оценки векторных компонент, которые зависят от специфики методов.

Во всех случаях неэффективные варианты не исключаем из рассмотрения. Заметим, что достаточно просто идентифицировать такие варианты можно методом «жесткого» ранжирования.

4. Ранжирование систем по совокупности многовекторных компонент.

Введение рангов либо количественных оценок векторных компонент позволяет применить один из методов многокритериального ранжирования. Число обращений к методу будет равно числу многовекторных компонент. В результате получаем расположение вариантов по совокупности многовекторных компонент, что позволяет построить соответствующие частные кортежи Парето.

5. Построение искомого кортежа Парето.

Введение рангов либо количественных оценок многовекторных компонент позволяет применить один из методов многокритериального ранжирования. В итоге и будет построен искомый кортеж Парето.

4. Особенности применения некоторых методов для решения задачи гипервекторного ранжирования. 4.1. Метод «жесткого» ранжирования. Без потери общности изложение будем проводить для систем

, а=1,п , свойства которых задают с помощью критериев К . (Ба),] = 1,г . В ходе решения задачи будем

1

ности

и

£=1

Г.

¿=1

В

анализировать множество упорядоченных пар систем , Б (к=1,п; I = 1,п; к Ф11 , а результат анализа зано-

Бк, Б (к=1, п; /=1, п; к Ф/) ,

сить в специальную оценочную матрицу СИ, (к=1 ,п;/=1, п) . Сущность метода заключается в следующем.

1. На основе попарного сравнения систем Бк, (к=1,п;/=1,п; к Ф/) определяем элементы Си оценочной матрицы |С|| . Обозначим N¿, N^, N= - соответственно подмножества номеров лучших, худших и

равных критериев для каждой пары вариантов систем Бк,Б/ (к=1,п;/=1,п ,кФ/) . Для возможных значений подмножеств номеров N^^, N= введем следующие значения элементов оценочной матрицы ||С&|| :

если К=0, =0, ^={1, г}, то Ск/ =1,С/к =1; (3)

если К ={1, г}, Щ1=0, щ,=0, то Ск/ = N2, С/к =0, N2 >>1; (4)

если КI =0 , Щ={1,г}, Щ,=0, то Сы =0, Ск=N2; (5)

если N¿Ф0, N^=0, N"=1Ф0 , то С^ =N3,^. =0,1«N3<N2 ; (6)

если N¿=0, NуФ05 N= Ф0 , то С^ = 0, С^ = N3 ; (7)

если ^Ф0, NуФ0, N= |>0 , (8)

^ Л"1

то определим Ск/ в виде: Си = ^ а, • ^ а,- ,С/к = С« С/к = С—1 [5]. (9)

./■елк/ м6";" у

2. Для формулировки решающих правил введем характерные числа: Н - количество элементов в 1-м

столбце оценочной матрицы, значения которых больше единицы; М1 - количество элементов в 1-м

столбце той же матрицы, значения которых меньше единицы; С - максимальное значение элемента в

1-м столбце матрицы СИ.

3. Для реализации «жесткого» ранжирования перейдем от одношагового процесса поиска приоритетного расположения систем к многошаговому процессу [1]. Решающие правила «жесткого» ранжирования:

3.1. Ранжирование необходимо проводить среди эффективных систем по шагам. Число шагов I<(п "1) .

3.2. На каждом шаге I (I=1,2,..., п — 1) нужно: найти числа Нр, М^и определить лучшую систему

^ с минимальным значением Нр и Су > 1У/е{1,п},/Ф, ; номер , занести в множество Р ; исключить из оценочной матрицы j-ю строку и j-й столбец. Если системы с номерами /^ еЬ^)={А/,...,//,...,/^)} имеют одинаковые минимальные значения , то лучшей является система Б/

ниемы\*^ = max ы\*) .

j h tLk(t) /j

3.3. Если системы с номерами lj )=jli ,І2 ,■■■, l^t

c максимальным значе-

имеют соответственно одинаковые значения

Н(/),М,(/) , то из оценочной матрицы надо выделить подматрицу с номерами столбцов и строк Ч Л

j (j=1,k (t))

Ї)) и провести ранжирование ее элементов.

3.4. Эквивалентные системы Бі_, 1- єЬт с Ьк следует упорядочить на основе анализа чисел

,Climax , полученных на первом

l ’ 11 ’ Ckl max ■

Доказаны две теоремы, имеющие важное прикладное значение.

Теорема 1. Если в 1-м (/ Є {l,w}) столбце оценочной матрицы максимальный элемент равен значению

N или значению N, то 1-й вариант системы не принадлежит множеству эффективных решений.

Теорема 2. Множество неэффективных систем не зависит от значений коэффициентов важности критериев.

4.2. Метод идеальной точки в пространстве критериев. Метод идеальной точки (опорной точки) широко освещался в литературе [2, 3].

Допустим, выполнено решение r однокритериальных задач min Kj (Sa),j — 1,r . В результате решения

Sa ^SD

каждой задачи найдем оптимальную систему Sß ЄSD , доставляющую минимальное значение критерию

к ( s;)—к;=j— 1,r . Говорят, что в многокритериальном пространстве определена идеальная точка

к0 — {к0,K0,...,к0}, которую называют точкой утопии [2]. Систему с такими значениями критериев

называют идеальной. Как правило, не существует системы, для которой бы все критерии принадлежали этой точке. Поэтому в качестве наилучшей системы предлагается выбирать систему, которая находится

і

ближе всего к

идеальной. С этоИ целью введем новую целевую функцию [3]:

W (Sа) = [iaj (К- (5„)-КО )

Оптимальной будет такая система Ба е БГ) , для которой выполняется

условие: Ш(Ба) = тіп Ш(Ба)

5ає5В

Методика решения задачи гипервекторного ранжирования с использованием метода идеальной точки в пространстве критериев

1. Провести анализ исходной информации, формирование критериев оценок систем. Определить коэффициенты важности критериев или группы коэффициентов важности.

2. Вычислить оценки векторных компонент. Ранжировать системы с использованием метода идеальной

точки в пространстве критериев по множеству скалярных критериев каждой векторной компоненты.

3. Построить частные кортежи Парето по векторным компонентам.

4. Ранжировать системы с использованием метода идеальной точки в пространстве критериев по

множеству векторных компонент.

5. Определить значения оценок многовекторных компонент и построить частные кортежи Парето по многовекторным компонентам.

6. Ранжировать системы с использованием метода идеальной точки в пространстве критериев по

множеству многовекторных компонент. Построить кортеж Парето.

7. Провести анализ результатов решения.

8. В случае необходимости уточнить исходные данные, изменить коэффициенты важности критериев. Перейти к шагу 2. В противоположном случае перейти к шагу 9.

9. Конец решения.

Замечание. Метод идеальной точки не лишен недостатков, отмеченных, в частности, в [2]. К их числу относятся: неоднозначность выбора метрики; невыполнимость аксиомы независимости. Кроме того, при решении ряда задач получено, что заведомо худшая альтернатива может доминировать лучшую альтернативу. Целесообразно при решении прикладных задач использовать и иные методы, например, метод гипервекторного ранжирования [6].

1. Белкин А. Р., Левин М. Ш. Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимации информации.

М.: Наука, 1990. 160 с.

2. Дубов Ю. А., Травкин С. И., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. 296 с.

3. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 488 с.

4. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. 2-е

изд., испр. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 256 с.

5. Руа Б. Проблемы и методы решений в задачах с многими целевыми функциями // Вопросы анализа

и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. С. 20-58.

6. Сафронов В.В. Основы системного анализа: методы многовекторной оптимизации и многовекторного ранжирования: Монография. - Саратов: Научная книга, 2009. 329 с.

7. Сафронов В. В. Гипервекторное ранжирование сложных систем // Информационные технологии.

2003. № 5. С. 23-26.

ЛИТЕРАТУРА