Использование метрики интервальных множеств в задаче гипервекторного ранжирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.45: 519. 816

Г.М. Чуркин, Э.Р. Богданов, Е.А. Тырин ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТРИКИ ИНТЕРВАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ В ЗАДАЧЕ ГИПЕРВЕКТОРНОГО РАНЖИРОВАНИЯ

Рассмотрена задача определения оценок отношений доминирования на множестве систем с интервальными показателями качества. Для определения оценок отношений доминирования предлагается использовать метрику интервальные, множеств. Рассмотрены случаи скалярных, векторныгх и многовекторныгх критериев. Приведены численные примеры.

Интервальный анализ, отношения доминирования, ранжирование G.M. Churkin, Е^. Bogdanov, Е.А. Tyrin

USING THE METRICS OF INTERVAL SETS IN THE PROBLEM OF HYPER VECTOR RANGING

The article considers the problem of defining estimates for the relations of domination on a set of systems with interval indicators of quality. To define the estimates for

the domination relations it is offered to use a metrics of interval sets. The cases of scalar, vector and multivector criteria are considered. Numerical examples are provided.

Interval analysis, domination relations, ranging

Введение. При построении реальных технических систем различного назначения встречаются ситуации, когда лицо, принимающее решение (ЛПР), должно определить предпочтения между всеми или некоторыми из альтернативных вариантов решений [1]. Для выхода из этих ситуаций необходимо знание доминирования альтернатив по критериям различного вида. Это позволяет в дальнейшем решение задач многокритериальной оптимизации и ранжирования.

Рассмотрим задачу определения отношений доминирования на множестве технических системы для случая, когда их показатели качества заданы в интервальном виде. Для нахождения решений будем использовать методы интервального анализа [7].

Определения и система обозначений, используемые в изложении материала, следуют [2, 7]. Постановка задачи. Для постановки задачи гипервекторного ранжирования при интервальных критериях качества в соответствии с [2,4] введём обозначения:

£={£^0=1, п} - множество систем;

К .(Б ) = {К ..(Б ),/ = 1, е } - множество скалярных критериев; е а ет а ]

Кф (Б^Кф (£а);К]. (£^)] _ т-й скалярный критерий ]-й векторной компоненты, которая входит в многовекторную компоненту с номером 8 (е= 1,Е, ] = 1, У , т = 1, Г ), где Кф (Ба) - нижняя гра-

£ £]

ница интервала; К) _ верхняя граница интервала; Е - число многовекторных компонент; у^ -

число векторных компонент в многовекторной компоненте с номером 8;

К£(Ба) = {К$ (£д), ] = 1 е К(0) = {Ке(£о),е = 1, Е}- соответственно множества векторных

и многовекторных компонент, характеризующих систему Ба;

А . ={а т =1,у .},А ={а ] =1,у }, А={а ,£=\Е} - соответственно множества коэффициентов

е] ф е е е е е ^

важности скалярных, векторных и многовекторных компонент;

БР - множество Парето-оптимальных систем с числом элементов пж , БР Е Б;

БР Е Бр- варианты систем, входящие в множество эффективных решений р Е {1, п };

Р = {Б0,Б0,...,Бк }- упорядоченное множество эффективных систем (кортеж Парето),

1 2 пр

Р с Бп. для элементов которого £,0 е Брсправедливо Б? >-УБ0 У...УБ0 , где « У « - знак отно-

и к] Ч 1 р

шения доминирования, к. Е {1,2,...,п}. Длина кортежа равна пР.

На элементы множества Б = {Ба,а=1, п} могут быть наложены ограничения вида

где Д (Ба) - 1-е ограничение системы Ба; Д0 - допустимое значение т-го ограничения, М - число ограничений.

D (Sa) = {D. (S„)}; Д (Sa) £D0,i = 1,M,

(1)

Пусть известны множества А, А£ А£,Б, К. (Ба), В( Ба) (а = 1, п,,е = 1, Е, ]=1, у£) и решающие правила. Требуется найти кортеж Парето Р, для элементов которого справедливо

и выполняются условия (1). 154

Неинтервальный скалярный показатель Кф(Ба) будем рассматривать как частный случай интервального показателя, который представлен в виде вырожденного интервала [4], то есть интервала

с совпадающими концами К ..(Б ) = К ..(Б ) = К ..(Б ).

а а а

Решение. Методика решения задачи гипервекторного ранжирования изложена в [2, 5]. В соответствии с этой методикой последовательно проводится ранжирование по скалярным, векторным и многовекторным компонентам методом «жёсткого» ранжирования [5]. Метод базируется на оценках отношений доминирования Ск1 , полученных каким-либо способом, попарно сравниваемых систем Бк

и Б1 (Бк еБ и Б1 еБ, где к = 1,п ; / = 1,п ; к */). В [3, 4] для определения оценок доминирования Ск/ по скалярным и векторным критериям введены интервальные функции принадлежности. Оценки Са позволяют выделить доминирующие и эквивалентные варианты реализации системы.

Рассмотрим особенности определения оценок Ск1 для интервальных критериев при использовании интервальных метрик. Содержание остальных этапов реализации метода «жёсткого» ранжирования для интервальных критериев совпадает с содержанием соответствующих этапов этого метода в общем случае.

Скалярные критерии. Определение отношений доминирования будем проводить на множестве пар Бк и Б1 (Бк еБ и Б1 еБ, где к = 1,п ; / = 1,п ; к * /) вариантов системы Б ={Ба}, а= 1,п по каждому т-му скалярному интервальному критерию К (Ба) =[К, (Ба); Кт (Б а) ], т= 1,у , у, а= 1,п Индексы

]-й векторной и 8-й многовекторной компонент в данном разделе не будут использованы.

Для определения оценок отношений доминирования будем использовать метрику на множествах интервалов [7] скалярных критериев К (Ба), т= 1,у ,а= 1,п . Анализ расположения концов интервалов критерия К (Ба) позволяет определить возможные выигрыши и потери при признании доминирования какой-либо системы из пар Бк и Б\ . Выигрыш оценим положительно, а потери - отрицательно. Оценку отношений доминирования (или недоминирования) на множестве пар будем формировать сравнением возможных потерь и выигрыша.

Рассмотрим относительные оценки возможных потерь и выигрыша при различных способах расположения интервальных критериев К;(Ба), / =1, у, а =1,п, на заданном интервале [К/ (Ба )тп;

К\ (Б а ) тса\ числовой оси R.

1. Интервалы критериев не пересекаются, т.е К(Б /) < Ю (Бк).

При признании того, что Бк У Б1 относительная величина максимально возможного выигрыша по т-му интервальному скалярному критерию будет равна расстоянию

Рвш (Кг(Бк,Б))= (К (Б), К (Бк ))/тг = тах {\К1 (Б) - К, (Бк)1, \К (Б), - \}/тг = (3)

=№Ш> - К^^Цт, ,

где тт = widК (Ба)= Кт (Ба ) тах - К (Ба) тп - известная величина [4].

Относительные потери относительно Б1 равны

рпи (К (Бк ,Б))= 0.

При признании того, что Б1 У Бк относительная величина максимально возможных потерь по т-му интервальному критерию Кт будет равна обратному расстоянию

Рпи (К, (Бк, Б)) = - dist (К (Б), К (Бк ))/тг = -К (Б), - К^Бк ) \) /тг . (4)

Относительный выигрыш относительно Бк равен

Рви (К (Бк ,Б)) = 0.

2. Интервалы критериев пересекаются и Кт (Б/) < Кт (Бк), Кт- (Б/) < Кт- (Б к).

При признании того, что Бк У Б1 относительная величина максимально возможного выигрыша по т-му интервальному скалярному критерию по сравнению с Б1 будет равна расстоянию

Рви (К (Бк,Б)) = dist (К(Б), ))/тг = \ К (Б) -К^Щ) \/тг ; (5)

Относительные максимально возможные потери по сравнению с Б,. по і-му интервальному скалярному критерию при этом равны

Рпи (К (Бк ,Б)) = - йш (КЛ& ), к^б,))/т = - \ КШ - К'№)_ )\т ; (6)

При признании того, что Б, У Бк, относительная величина максимально возможного выигрыша по і-му интервальному скалярному критерию по сравнению с Бк будет равна

Рви (К Б ,Б) = йішґ( КОБУ КМ ))/т =\ Кі (Бк) - К і (Б,) )\/т,. (7)

Относительные максимально возможные потери по сравнению Б, с Бк. при этом равны

Рпи (К Б ,Бк)) = - йішґ (Кі (Бі), Кі(БГк))/ті = - \ Кі (Б,) - \/тг . (8)

Если К,- (Б,) < КіАБк ), Кі (Б,) > Кі (Бк ) , то при признании Бк У Б, относительная величина максимально возможного выигрыша по і-му интервальному скалярному критерию по сравнению с Б,. будет равна расстоянию

Рви (К (Бк ,Б,,)) = йішґ (К (Б), К7(Б_) )/тг = \ К (Б,)- \/т„ (9)

Относительные максимально возможные потери по сравнению с Бк с Б,, по і-му интервальному скалярному критерию при этом равны

Рпи (К(Бк,Б)) = - йішґ (КіЩ,), КБ ))/т = -\ К (Бк) -КТ0Б_) \/тг . (10)

При признании того, что Б\ У Бк, относительная величина максимально возможного выигрыша по і-му интервальному скалярному критерию по сравнению с Бк будет равна

Рви (Кі (Б, ,Бк)) = йШ () ,К1АБк ))/тг = \ КЩ. - КД^) \/тг . (11)

Относительные максимально возможные потери по сравнению с Б, с Бк. при этом равны

рпи (К (Бк ,Б,)) = - йШ (КШ К7Бк))/тг- = -\К_АБ)- К_Щ) \/тг (12)

Возможные относительные значения максимально возможных выигрышей и потерь (3)-(11) заносим в специальную оценочную матрицу \\ри(Кі (Бк, Б,))\\. При сравнении систем Бк и БІ, к-системы располагать в строках, а /-системы - в столбцах.

Оценки отношений доминирования (или недоминирования) множества пар Бк и Б, (Бк єБ и Б, єБ, к = 1, п ; , = 1, п ; к * ,) по расположению интервальных критериев Кі (Ба), і =1, г, а =1,п, на интервале ГКі (Ба )тіп; Кі (Ба ) тах] числовой оси R определяем как результат вычитания потерь из выигрыша по каждому факту признания доминирования, т.е.

РІ {К (Бк ,Б,)) = \ Рви (Кі (Бк ,Б)\-рпш (К (Бк ,Б,)\. (13)

При р1 (К(Бк ,Б,)) > 0 имеет место Бк У Б, с оценкой р^ (К (Бк ,Б,)).

Результатыр” (Кі(Бк ,Б)) (УБк и Б,) будем заносить в специальную оценочную матрицу \\ р” (Кг(Бк,Б,)) \\.

Отношение интервального не доминирования системы Бк над системой Б, обозначим как р К (Бк, Б,) и определим его как дополнение к и ри (Кі(Бк Б,)) в виде [4]

р (К Б Б))-11,еслири(К>б,Б,))<0; (і4)

рЫП (Кі (Бк, Б, )) — | (14)

[1 - рі (К і (Бк, Б,), если р1 (К і (Бк, Б,)) > 0.

Результаты выполнения условия (13) будем заносить в оценочную матрицу \\ рNDКі (Бк, Б,)\\.

Оценку «недоминируемости» системы Бк ни одной другой системой по і-му скалярному интервальному показателю качества определим в виде [6]

рі (Кі (Бк )) = тіп рш (Кі (Бк, Б,)) , і= 1,г , к = Щ ; I = 1п ; к * ,. (15)

Величину р* (К (Бк)) будем рассматривать как оценку доминирования системы Бк перед Б, по

критерию Кі (Бк ).

Пример 1.(из 4].) Постановка задачи. Необходимо отдать предпочтение одной из трех систем (Бь

Б2, Б3}, характеризующихся показателями К(Б ), К2(Б ) и К3(Б ), а={1, 2, 3}, значения которых в интер-

ос ос ОС

вальном виде и ширина интервала оценок по і-му скалярному критерию заданы в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные

Показатели К (Ба) Системы Ба

Эз ті

К(Ба) - тоимость образца (тыс. у.е.) [40;90] [50;70] [60;65] 100

К2(Бз) - эффект от эксплуатации образца (баллы) [5;6] [3;9] [4;7] 10

Кз(Бз) -скорость выполнения контрольных операций (опер. /с) [80;100] [100; 120] [110;115] 150

Решение. 1. Используя выражения (7), (8), определим р^(К1(Б1 ,Б2)) ирпи (К1(Б1 ,Б2))'.

р ви (К/й = 0,4; рпи (К1@1,82)) = - = -0,3.

Аналогично рассчитываем рви (К,Б)), р* (К^ ,Б)), рви (К/Зк ,Б)), р* (К/Зк ,Б) и рви (К3(Бк ,Б)) , рпи (К3(Бк ,Б)) (ЧБк и 57). Полученные результаты сводим в табл. 2.

Таблица 2

Оценки рвИ(Кі(Бі ,Б2)) и рпи (Кі(Бі Б2))

Системы Б* Системы Б/

Э2 Эз

раИ(Кі(Бі ,Б2)) и рпи (К,(Бі ,Б2))

ві - [0,4; - 0,3] [0,3; - 0,25]

в2 [0,3; - 0,4] - [0,1; - 0,15]

вз [0,25; - 0,3] [0,15; - 0,1] -

Рв"(К2(Бі ,Б2)) и Рпи (К2(Бі ,Б2)))

ві - [0,3; -0,4] [0,2;- 0,2]

в2 [0,4; - 0,3] - [0,5;- 0,4]

вз

в2

в2

вз [- 0,2; 0,2] [0,4; - 0,5] -

вз

в2

вз

рвИ(Кз(Б1 ,Б2)) и рпи (Кз(Б1 ,Б2))

82

Ээ

ві -8283 [0; - 0,26] [0; - 0,23]

в2 [0,26; 0]

вз 82 [0,06; - 0,1]

в2 83

в2

вз

вз [0,23; 0]8283 [0,1; - 0,06]

в2

вз

2. Используя выражение (13), определяем (К(Б1 Ы) 1=1,2,3.

Полученные данные сводим в табл. 3.

Таблица 3

Оценки р^ (К(Б1 Б))

Системы Бк Системы Б/

в, в2 вз

р^ (К1(Бк ,Б/))

в1 - 0,1 0,05

в2 - 0,1 - - 0,05

вэ - 0,05 0,05 -

р^ (К2(Бк ,Б/))

в1 - - 0,1 0

в2 0,1 - 0,1

вэ

в2

в2

вэ 0 - 0,1 -

вэ

в2

вэ

со (Бк £ К С) р

Э2

Эз

в1

в2 £52 - 0,26 - 0,23

вэ Эз

в2 0,26 - 0,04

в2

вэ

вэ 0,23 0,04

в2

вэ

3. Используя выражения (14), (15), находим значения р (^^ ,81 )), р (^^ ,81 )), р (^^ ,81 )) ир*в (K1 (8к )). Полученные данные сводим в табл. 4.

Таблица 4

Оценочная матрица || р^о (К, (Бк, Б/))||

Системы Бк Системы Б/

в, в2 вз

рт (К б Б/))

в1 - 0,9 0,95

в2 1 - 1

вэ 1 0,95 -

р*в (К1 (Бк )) 1 0,9 0,95

рмо (К2 (Бk, Б/))

в1 в2 вэ - 1 1

в2 в2 вэ 0,9 - 0,9

вэ в2 вэ 1 1 -

р*в (К2 (Бк )) 0,9 1 0,9

Рю (Кэ Б Б/)) 32 33

ві

в2 Э2 1 1

вз Ээ

в2

в2 0,74 1

вз

вз

в2 0,77 0,96

вз

р*в (Кэ (Бк )) 0,74 0,96 1

4. Значения р*о (К (5к )) для всех показателей сведем в табл. 5. При значении р0 ‘ (К(&)) = 1 система Бк является лучшей по /-му скалярному показателю в рассматриваемом множестве систем, 0 - худшей, а значение из диапазона [0; 1] показывает величину доминирования системы при выборе. Чем она выше, тем предпочтительнее является рассматриваемая система Бк по /-му показателю качества.

Таблица 5

Значения р*в (К (Бк ))

Системы Бк * Рв (К (Бк))

РІ (Кі (Бк )) РІ (К2 (Бк )) РІ (Кэ (Бк ))

ві 0,9 0,9 0,74

в2 1 1 0,96

вз 0,95 0,9 1

Далее, реализуя решающие правила «жесткого» ранжирования [2, 5], получим кортеж предпочтений Парето:

Р = {52, 53, 51}.

Векторные критерии. Векторные компоненты в силу интервальности скалярных компонент также будут интервальными. Отношения доминирования по векторным компонентам предлагается оценивать по норме интервальных векторов [7]. Имеется большое количество приёмов конструирования норм интервальных векторов. «Весьма общий приём конструирования норм интервальных век-

торов» [7] в нашем случае для каждого вектора К . (5а), у = 1, г , £=(1,Е) даёт норму как величину

£ £

ге

К (Б„) * а) :=і £ і=1 К* (Ба)1т

где

кеі(Б’)

,е=01 £),./' =\г^=\ге..

= тах [К„(Л'а); К .. (Ба ) ] - модуль интервального скалярного критерия Ке]1(Ба). £]1

(16)

При задании коэффициентов важности скалярных критериев (16) примет вид

Vа*

)\е=0,£у=1,г£,і =\е, £ а* =1.

(17)

Оценку отношений доминирования (или недоминирования) при попарном сравнении систем Б = {Ба,а = 1, п} будем рассматривать как отношение норм интервальных векторов сравниваемых

систем Б* и Бі (Бк єБ и Бі єБ, к = 1, п ; і = 1, п ; к * I) по критерию К . (Ба ), ] = 1, г , равное

є

2

/~1и _______

скі =

К* (Бк)

К* (Б>)

си = (С-)-1,к = 1,п ; і = 1,п ; к *і.

(18)

Оценки (18) заносим в оценочную матрицу | СИ || и по их величине определяем доминирующие

и эквивалентные образцы [2, 5].

На следующем этапе методики «жёсткого» ранжирования для формулировки решающих правил вводят числа: Н" - количество элементов в 1-м столбце оценочной матрицы, значение которых

больше единицы; М;и - количество элементов в 1-м столбце той же матрицы, значение которых меньше единицы; С^тах - максимальное значение элемента в 1-м столбце матрицы Цс^Ц . Числа Н" показывают, сколько вариантов систем из рассматриваемого множества превышают 1-й вариант; М ;и -сколько вариантов доминирует 1-й вариант системы; С^тах определяет, во сколько раз 1-й вариант системы «превышается» к-м вариантом (ке {1, п }, к Ф I) [2, 5].

Следующий этап «жесткого» ранжирования реализует переход от одношагового процесса поиска приоритетного расположения вариантов систем в кортеже Парето к многошаговому процессу. На каждом шаге / (I = 1,2,...,п-1) этого процесса выбираем.-й вариант системы, лучший с точки зрения решающего правила. Затем его номер включаем в множество Р и в последующем рассмотрении .-й вариант больше не участвует (в матрице Сш вычеркиваем.-ю строку и.-й столбец). Указанная процедура позволяет исключить влияние варианта § на выбор лучшего варианта системы, проводимого уже на шаге , (+1.

Пример 2. Постановка задачи. Определить отношения доминирования на множестве

8={£1, §2, §3}, характеризуемых векторным показателем качества К(§а) = {К1(§а), К2(§а), К3(§а)},

а= {1, 2, 3}, значения которых в интервальном виде и ширина интервала оценок по /-му скалярному критерию заданы в табл. 1.

Решение. По выражению (16) определим

||К(§1)|:^0,81+0,36+ 0,435=1,266, ||К(§2)|| :=^0,49+0,81 + 0,64=1,392, ||к(§3)|| :=^0,422+ 0,49+0,577

=1,220

и используя (18), вычислим С^, к = 1,3 ; I = 1,3 ; к ф1. Результаты сведем в табл. 6.

Таблица 6

____________Оценки доминирования С ии___________

Системы Бк Системы Б;

в1 в2 вэ

в1 - 0,909 0,998

в2 1,1 - 1,141

вэ 1,002 0,876 -

Далее, реализуя решающие правила «жесткого» ранжирования [2, 5], получим кортеж предпочтений Парето:

Р = {§2, §3, §1}.

Многовекторные критерии. Многовекторные компоненты в силу интервальности скалярных и векторных компонент также будут интервальными. Отношения доминирования по многовекторным компонентам предлагается оценивать по норме интервальных многовекторных компонент (гипервекторов) [7]. Имеется большое количество приёмов конструирования норм интервальных векторов. Приём конструирования норм интервальных гипервекторов аналогичен конструированию норм векторных компонент.

Для каждого гипервектора К£(§а),е = (1, Е) определяем норму как величину

К£(Ба) : =^ I .=1 Ке §)

,е=в=1^=\г£.

(19)

где

Ке (8а)

= тах\К,/(§а); К .(§а ) ] - модуль интервального векторного критерия Кг;(§а), определя-5}

емого по выражениям (16) или (17).

При задании коэффициентов важности векторных критериев (19) примет вид

2

■Ч Т (ає кє (^“))2 є—(1 =Хгї1=Хгєі, Т ає —1 •

(20)

Оценкой отношений доминирования при попарном сравнении систем Б—{Ба,а— 1, п} предлагается использовать отношение норм интервальных гипервекторов сравниваемых систем Бк и Б1 (Бк єБ

и Б1 єБ, к — 1, п ; і = 1, п ; к * 1) по критерию К (Ба), є — (1, Е), равное

Є

__

Ск1 —

Кє(Бк)

Кє(Бі)

, си — (С-)-1,к — 1,п ; 1 — 1,п ; к Д

(21)

Оценки (21) сведём в оценочную матрицу | С^ .

Содержание остальных этапов реализации метода «жёсткого» ранжирования для интервальных многовекторных критериев совпадает с содержанием соответствующих этапов этого метода в общем случае и кратко описано для случая векторных компонент.

Пример 3. Постановка задачи. Определить отношения доминирования на множестве 8={£1, §2, §3}, характеризуемых нормами векторных компонент по выражению (16), значения которых заданы в табл. 7.

Таблица 7

ІІК^ІІ Системы Ба

Эз

К (Б«)| 1.266 1,392 1,220

К2 (Ба) 1,153 1,453 1,118

К3 (Ба) 1,318 1,242 1,376

Г

Г

Решение. Используя (19) и (21), определяемС^,,к = 1,3 ; I = 1,3 ; к Д Результаты сведем в табл. 8. Анализ оценочной матрицы Цс^Ц позволяет получить на 1 шаге (^ = 1) решения показатели Н^1,М"1, Ситах , которые приведены в табл. 9.

и1

х , которые приведены в

Таблица 8 Таблица 9

и|

Оценки С^ Показатели первого шага

Системы Бк Системы Б/

ві в2 вз

ві - 0,914 1,004

в2 1,094 - 1,098

вз 0,996 0,910 -

Показатели Системы Б/

ві в2 вз

Ни1 0 0 2

м;1 1 2 0

Ґ~ш1 кітахі 1,094 0,914 1,098

Далее, реализуя решающие правила «жесткого» ранжирования [2, 5], получим кортеж предпочтений Парето

Р = {§2, §1, §3}.

Заключение. Вместо спорного понятия «интервальная функция принадлежности» [4] для определения оценок доминирования образцов систем по векторным, скалярным и многовекторным критериям предлагается использовать метрику интервальных множеств. Подробно рассмотрены различные способы расположения интервалов.

Результаты конкретных решений для скалярных критериев совпадают с результатами [4], что объясняется непреднамеренным использованием метрики числовой оси К.

Точность оценок доминирования по векторным и многовекторным критериям зависит от приёмов конструирования норм интервальных векторов и гипервекторов.

Оценки отношений доминирования по различным критериям с их коэффициентами важности позволяют определить оценку предпочтения ЛПР, что способствует качественному решению задачи выбора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Макаров И.М. Теория выбора и принятия решений / И.М. Макаров, Т.М. Виноградская, А.А. Рубчинский, В.Б. Соколов. М.: Наука, 1982, 328 с.

2. Сафронов В.В. Гипервекторное ранжирование сложных систем / В.В. Сафронов // Информационные технологии. 2003. № 5. С. 23-26.

3. Ведерников Ю.В. Теоретико-множественное обоснование выбора сложных систем при разнородной исходной информации: монография / Ю.В. Ведерников. СПб.: Изд-во М-ва обороны РФ, 2008. 166 с.

4. Ведерников Ю.В. Научно-методический аппарат векторного предпочтения сложных технических систем, характеризующихся показателями качества, заданными в ограниченнонеопределенном виде / Ю.В. Ведерников, В.В. Могиленко // Университет им. В.И. Вернадского. 2011. №1 (32). С. 81-86.

5. Сафронов В.В. Основы системного анализа: методы многовекторной оптимизации и многовекторного ранжирования: монография / В.В. Сафронов. Саратов: Научная книга, 2009. 329 с.

6. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации: монография / С. А. Орловский. М: Наука, 1981. 203 с.

7. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ / С.П. Шарый. Новосибирск: ХУ2, 2012.

601 с.

Чуркин Геннадий Максимович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Gennady M. Churkin -

Ph. D., Associate Professor Department of Technical Cybernetics and Informatics

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Богданов Эдуард Русланович -

студент Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Тырин Евгений Александрович -

студент Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Eduard R. Bogdanov -

Undergraduate

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Eugeny A. Tyrin -

Undergraduate

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 11.05.13, принята к опубликованию 15.09.13