Метод реальных опционов в динамическом портфельном управлении Текст научной статьи по специальности «Математика»

нии для конкретного момента времени некоторой реальной нечеткои ситуации (сложившейся на исследуемом объекте), нахождении наиболее «близкой» эталонной нечеткой ситуации для данной реальной нечеткой ситуации, а затем формировании соответствующего решения.

Вариант задания функций принадлежности НП «давление газа в трубопроводе» - «величина оборотов коленчатого вала в единицу времени» приведен на рис. 2.

Низкое .....

Нормальное

Рис. 2. Функции принадлежности НП

Очень высокое

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Егупов Н.Д., Гаврилов А.И., Коньков В.Г., Милов Л.Т., Мочалов И.А., Мышляев Ю.И., Трофимов А.И. Методы робастного, нейронечеткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. Н.Д. Егупова; изд 2-ое, стереотипное. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 744 с.

2. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. - М.: Мир, 1978. - 412 с.

3. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. - М.: Наука, 1990. - 272 с.

4. Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели принятия решений: дедукция, индукция, аналогия. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. - 110 с.

5. Павленко Е.Н., Финаев В.И. Нечеткие интервальные оценки при описании параметров водно-химического режима тепловых электростанций // Материалы Международной научной конференции «Анализ и синтез как методы научного познания». - Таганрог: ТРТУ, 2004.

В.С. Васильев

МЕТОД РЕАЛЬНЫХ ОПЦИОНОВ В ДИНАМИЧЕСКОМ ПОРТФЕЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ

Начиная с моделей оценки премии за опцион [1, 2], в финансовой математике используются идеи оптимального стохастического управления, названные «метод реальных опционов» или «опционный подход». Ознакомиться с моделями можно в [3, 4]. Достаточно разносторонний обзор постановок задач оптимального

стохастического управления, в том числе и в финансах, и библиография приводятся в [5]. Но эти постановки отличает то, что уравнение оптимального управления Беллмана и эволюционное стохастическое уравнение Колмогорова (в частных производных) совмещены. А в постановках, сводящихся не к единственному уравнению, а к системе, уравнения системы являются взаимозаменяемыми. Это не является необходимым условием. Актуальным российским проблемам посвящены [6-8]. Там же приведена и более поздняя библиография. Кроме того, в [8] постановка задачи сводится к паре уравнений Колмогорова, из которых является и уравнением Белл-мана только одно, которое использует решение другого уравнения в частных производных. В данной работе постановка задачи сводится к паре уравнений Колмогорова, но уравнение Беллмана явно не присутствует. Оптимальное управление в каждой вершине находится из решения некоторой задачи квадратичного программирования, коэффициенты которой формируются по решениям уравнений Колмогорова. Одно из уравнений Колмогорова использует решение другого, и оба используют уже найденное оптимальное управление. Возможна модификация, когда в паре уравнений Колмогорова одно будет и уравнением Беллмана, порождающим ту же самую задачу квадратичного программирования, но предыдущий выбор сделан именно для того, чтобы продемонстрировать гибкость опционного подхода.

Бесфрикционный рынок. Пусть на рынке обращаются п иностранных валют со случайно изменяющимися курсами С,= С(), 1</<п (С, - количество национальной валюты в единице иностранной). Валютный рынок выбран для упрощения как рынок активов, не предполагающих срока погашения и промежуточных процентных или дивидендных выплат. В момент времени /0 инвестор располагает суммой 5<0) в национальной валюте и стремится добиться наилучших результатов (относительно некоторого критерия) к моменту времени т Управление состоит в купле-продаже валют в моменты времени ' 0</<т-1. Рынок бесфрикционный, то есть разница между курсами продажи и покупки, комиссионные и налоги отсутствуют, и абсолютно ликвидный. Также для простоты инвестор не зарабатывает процент по вкладам до востребования (или по МБК). Начнем со случая единственной иностранной валюты на рынке.

Портфель «рубль-доллар». Пусть к моменту времени ' - рублевая наличность инвестора, - долларовая наличность (в номинальном выражении), а

£/)=5Г/)+Л/)С/) - рублевая стоимость портфеля «рубль-доллар» по курсу. Управление состоит в покупке или продаже ДЛ' долларов в номинальном выражении (дЛ'^0 - покупка; ДЛ()<0 - продажа) по курсу СС ). Если операции в долг не доступны, то дЛ/)<5Г/)/С() (можно оплатить покупку долларов только в пределах имеющейся рублевой наличности) и дЛ/)>-Л/) (нельзя продать долларов больше имеющихся). Тогда к моменту времени /,-+1 (моменту следующего управления) инвестор подойдет с рублевой наличностью и долларовой налич-

ностью Л'+^Л^+дЛ' Если курс изменится до величины с(/+1)=с(/)+дс(/), то рублевая стоимость портфеля станет равна

£(+1) = б1/+1) + N(+1)С(+1) = (я/ - ДЛ(/)с(/))+(л(/)+дл(/))с(/) + дс/+1 ) =

= (я/ + N(С()+ (л(/) + ДЛ(/))дС/+1 = £' + N(/Ч1)ДС(/+1). (1)

С учетом (1) ограничения для ДЛ() преобразуются в ограничения для Л/+1)

0 < N(/Ч1) < £(/У С(/).

Выбирая в качестве критерия оптимальности максимизацию ожидаемого значения рублевой стоимости портфеля в tm, получим уравнение Беллмана (если предположить, что движение курсов C(t) описывается случайными процессами с последействием, то последействие будет проявляться и в оптимальном управлении, что требует согласования с принципом Беллмана)

max E(m)[s(m)] = max E 0m-i)[s(m-l) + N(m) E M [aC (m)|| = к

... = max E -i)[s(1 -l) + N1)]+ Y{j)],

где Ejk\...], k>j - операция взятия (условного) ожидаемого значения в tk при ус-

ловии, что в tj курс был CJ); Y1 - максимум ожидаемого значения дохода, который можно «наиграть» при старте в момент времени tj от значения курса C(j) (и рублевой стоимости портфеля S1).

В силу линейной зависимости max E0m )[s (m)| от оптимальное управление (все вкладывается в доллары N^ = S^-^/C(1 1), если Ej-^AC(1)]> 0, либо

у) Л 1 ) I. „( 1 )1 _ Л.

все вкладывается в

только от предыстории Ng, Ng, ..., N0p-1), и задача допускает следующее решение: по S0 и signE()AC(l)] назначается Ng; по результату Sm]x и signE(2)[AC(2)] назначается и т.д.

Если же требуется диверсификация вложений, перейдем от максимизации ожидаемого значения рублевой стоимости портфеля в tm к максимизации функции полезности, равной взвешенной разности ожидаемого значения рублевой стоимости портфеля в tm и дисперсии этой стоимости F(1) = E(m)[s(m)]-A D(m)[s(m)], где A

- коэффициент «избегания» неопределенности; D(k )[S ] = E(k) [S - E((

Оптимальным управлением на последнем шаге

max F(m-1) = max^ [s (m)]-A d";-^ (m)J =

= maxfEM [s(m-l) + N(m)AC(m)]- A E] (n(m))2(aC(m) - E[aC(m){2]

рубли N^p) = 0, если Ej-1[AC(1 )]< 0) зависит (через SJ((axl))

= Smmax-l) + maxi N(m)E(mm)UcH-A(N(m)) D™

0 [^c(m)]- a(n (m))2 dM [ac WJJ

будет nM = max(0;min(N<m); S^/c(m-l)))= min(max(0; N™!)S^/c (-l)

где

opt - mcuvyv, Iiimyvv ,^max

nV;) = E^C(m)y(2ADm-^AC(m)J - положение вершины параболы

Оптимальным управлением на предыдущих шагах

max^M [s(-l) + N(1 )AC(1) + Y(1)]- A d" [n(1 )AC(1) + Y(1)]) =

= S^ + maxfN() E(/-)1 [aC()]+ E^ [y()]- A(n())2 D(/-)1 [aC()]+

+ 2N(] Е[(ДС(] - е/ [ДС(1 )]](7(1] - е/ [г(1)])] + б/ [г(1)]))

будет N () = тах(0; тт(л( (; £ ШаХ] / С(т-1 ])) = тт(тах(0; Л(у] ] ]£11 ] / С(т-1] ], где положение вершины определяется следующим образом:

n(;) Е(Д [AC(j)]- 2AN1Е(Д [(aC(i) - E1

AC(1 )])(y (1)- e(^^L)1 |y (i)

'j-1

+1)

2 A D1S1

а операции eJ— [y(j)] и dJ— [y(1)] берутся по значениям суммы S'-1 в tj.

Зависимость N0py от Y1), которая, в свою очередь, зависит от N0pt N0pt+2), ..., NW, предполагает определение N<(pt) в следующем порядке: N<(;;t), N0pt-1), ..., N((1p)t. Но ограничение N(1 )< Sm^1ax1^C(1-1) делает N<(pt) зависящим и от

предыстории N(1p)t, N(pt, ., N(pt-1) (через smax1)), а это делает решение задачи

(экспоненциально) сложным.

Обойти указанную трудность (и сделать решение задачи полиномиально сложным) позволяет введение традиционных для портфельных задач неизвестных. Пусть - доля рублевой стоимости (по курсу) долларов в рублевой

стоимости портфеля. В отличие от ограничение для x() не зависит от предыстории (и постистории): 0<x^/)<1. Максимизация функции полезности, равной взвешенной разности ожидаемого значения отношения финальной (в tm) суммы Sm) к стартовой (в tj) сумме (ожидаемое значение множителя наращения) e() и дисперсии dJ) этого множителя наращения, fjj = e(j)-adj), где a - безразмерный коэффициент «избегания» неопределенности, позволяет полностью избавиться от S1^ : фактически максимизируется взвешенная разность ожидаемого значения дохода на единицу вложений и его дисперсии.

На последнем шаге

e(m-1) = Em-) [s(m)/S(m-1)] = e"- [(l - x(m))+ x(m)(l + r(m))] = 1 + x(m) E[r(m)], (2)

dS-1)= E [(s M) S(m-1)- eS-1))2 =(x(m))2

= Етл^£ 7^ ;-= [хт) Гт)|, (3)

где г (] = ДС (У С (-1] - относительный рост курса на -м интервале.

Из уравнения Колмогорова-Смолуховского-Чепмена для предыдущих шагов (здесь и далее предполагается, что С/(0 - процессы без последействия (марковские, которые и описываются уравнениями Колмогорова) и, более того, ветвящиеся, хотя это может не соответствовать валютной динамике) следует

е(-1] = е(-) [я (т]/ £ (-1)] = е/Х [(я (/У £ (/-1])б(т]/ Б(/])] = е/ [(1 + X (/]г(/]]е(/)], (4)

= '[/Б"-11= \№>/8и-1>№т>/Би> -вУ> + е(])-е(-1]

/(-1) = dS-) [s (тУ S (1-1)]= eS-1 ((s (j)/ S S-1))(s (m У SS) - e(j) + e(j))- eS-1))2 ] =

- [( + x(jyr(j))2 dУ) + ((l + x(jyr(jy)e(1У - e(j-1))

= E(j У

(5)

Здесь использовано ЕХт][БХт]/БХ/]- еХ 1 ]] = 0 и независимость (Б(т)£(1)- ^)] и

(б Х/ У Б Х/-1])(б Х1У Б (-1))е(] - е( 1 -1]). Заметим, что (2), (3) совпадают с (4), (5), если

положить е(т)=1 и ^т)=0 (что естественно).

Оптимальным управлением будет

хОР = тах(0;тт(хХ1];1)) = тт(тах(0; хХ} ])1,

где

opt

положение вершины на последнем шаге: xXm) = E “Д [r (m)^(2a d'”-) [r Xm)]) , и на предыдущих шагах:

( E(j)1[rXj)eXj)]-2aЕХД[гX()dXj) +(rX()eXj) -ЕХД[гXj)eXj)J(eXj) -eS'-l))]

xVJ> = ----------------------------------------------------------------------

(r Xj ))2 f d Xj ) + (eS'))2

2a ЕХД

Непрерывное время. Предположим, что курсовая динамика описывается стохастическим дифференциальным уравнением r=dC/C=|adt+adw, где w - стандартный винеровский процесс. Не исключается и случай арифметического ц = Я-J (c - C) и геометрического ц = X 2 (с/с -1) законов возвращения к среднему (долгосрочному значению курса C ). Тогда, пользуясь леммой стохастического дифференцирования Ито [9], и учитывая, что E[dw] = 0 , E[dw2] = 1, после сокращения dt получим

w2

- e' = -1 а2e"rr + (ц + а2x)e'r + |axe . Аналогично получается уравнение Колмогорова для d(t, r):

- а2x)xd + а2 (e' + xe

- d’t = -2 а2 dlr + (ц + 2а2x) + (2ц + а2x)xd + а2 (є' + xe)2 .

Мультивалютный портфель. Возвращаясь к случаю п валют на рынке, аналогично (2)-(5) получим

е(-1) = БХ”-] [Б Х“У Б(1 -1)] = БХД [е( 1)] + (х( 1\ БХД [г(1V1)]),

- 1

d s-l) = dX'-) [s Х“У SXj-l)] = eXj)1 d s) + (es)-ЕХД [eXj)])2 j +

+ 2(xXj), eXJ-) [rXj)dXj ) + (eXJ) - ЕХД [eXJ )D(rXJ )eXJ) - ЕХД [rXJ )eXJ) fo)+

+ | xXj^eX-)

r Xj )(r Xj )) d Xj ) + (r Xj )es) - ЕХД [r Xj )eXj )J(r Xj )eXj) - E(/l) [r Xj )eX( )]f JxXj )

где х = (х1,х2,...,хп), г = (г1;г2,...,гпУ , г, =ДС,/С, , вХт] = 1, ё(т] = 0, а также

использовано ЕХт][бХт]/БХ1 ]-вХ 1 ]]= 0 и предположение о некоррелированности (б ХтУ Б Х/]- еХ/]) и (б Х1У БХ1 -1])((б Х1У БХ1 -1]]еХ 1 ]- вХ 1 -1]).

Предполагая, что курсовая динамика описывается следующими стохастическими дифференциальными уравнениями г^у/Ф+Ъ/йм/, 1</<п, получим уравнения Колмогорова:

- e' = ~2 (С,|pk/ д Vdrkdr\nn ®) + S Ve)+ (x^ ^e + ЦрИakVe) ^ e(tm ) = l,

d't = 2 (в,||Pk/ d2dldrkdr\nyn в) + (l Vd)+ (Ve,||pklCTkCTl||nXn Ve) +

2 )

+ 21

(x, id

+ рист,ст,

(Vd + eVe + -2 (d + e2 )x)), d(tm ) = 0

■'и^гИпжпУ'" ' - ■ - ' 2' где рк1, 1 < к, I < п - корреляционная функция, о = (ст1, ст2,..., ап ^ ,

^ = ( Уп У , Vе <„ ^ , ^ , <„ У .

Предельные случаи. В случае прямой корреляции рк1=1

- et = 2

-2 (в, 1| V2e| |о)+ (l, Ve) + (x, ie + в(в, Ve)), e(tm ) = 1,

- d't = 2 (в, ||V2d||c)+(ji, Vd) + (в, Ve)2 +

+ 2(x, id + в(в, Vd + eVe + -2(d + e2 +x+), d(tm )= 0 .

Употребляя для аппроксимации производных центральные разности [10]

Ш k У= T h-(fki-1 (f?r)k У= h-2 f+j)- 2 f0) + f-j У) (в угловые скобки будем заключать аппроксимируемые выражения), получим явную схему [10]

eS 1У = eS) +Т

(-2 (в, ||V2e |в)+ (, Ve) + (x, ie + в(в, Ve)))

dk1 -1) = dkjУ + ^ -2 (в, | V 2d| |в )+(, Vd )+(в, Ve) + 2(x, id + в(в, Vd + eVe + -2 (d + e2 +x++

(j+

= 1,

(j y k

df> = 0.

Оптимальным будем считать управление x(1), доставляющее максимум функции полезностиf,-r)=e(j-r)-a.dj-r) при ограничениях: xltj)>0, 1<i<n; (x(j),u)<1, где u=(U,...,1f.

Необходимыми условиями максимума функции Лагранжа L = f + (x, к) + X(1 - (x, u)) ^ max,

где

к = (( X2,..., Xn У , Xi, 1 < i < n, X - множители Лагранжа, будут [11] VL = i(e - 2ad) + (ввг )(Ve - 2a(Vd + eVe + (d + e2 )x))+ к - Xu = 0,

X,■ = 0, xi > хг

1 < i < n,

xi = 0, xi < Xi,

X = 0, (x, u )< 1 -X,

(x, u) = 1, (x, u)> 1 -X.

Для того чтобы система

(оот )2а(уё + еУе + (ё + е2 ]х)-Уе) = ^(е - 2ай) + Я -Хи

была совместна, необходимо, чтобы для любого к (1<к<п) (п-1) чисел

стк(е- 2ай)+Хг-Х)-стг(ук(е -2ай) + Хк-Х), 1 < I < п , I Ф к были равны нулю.

Если e - 2ad > 0, то пусть максимум среди чисел цг/стг- приходится на цк/стк , то есть цк/стк = тах(ц/стг). Тогда все Xj=0, кроме хк.

1<i<n

Если цк (e - 2ad) + стк (о, Ve - 2a(Vd + eVe)) > 0 , то Xк = 0 и

цк (e - 2ad) + стк (о, Ve - 2a(Vd + eVe)) ,

если ----------------¥-------\ . v------------- > 1, то хк = 1 и

2a(d + e2 ) 2 к

X = цк (e - 2ad ) + стк (о, Ve - 2a(Vd + eVe))-2a(d + e2 цк(e - 2ad) + стк (о, Ve - 2a(Vd + eVe))

иначе X = 0 и хк = -

/.(й + е )к

В противном случае (цк (е - кай) + стк (о, Уе - ка(Уй + еУе)) < 0) хк = 0, X = 0, X к = -цк (е - кай )-стк (о, Уе - ка(Уй + еУе)).

Остальные X,- (1<,<п, /^к) равны

Хг = ст, ( к/ СТк - Ь' /СТ/ )(е - кай) + Хк ст, / СТк + Х(1 - ст, / стк ) .

Если же е - кай < 0, то в качестве цк/стк выбираем минимум среди чисел ц,/ст,, то есть цк/стк = тш(ц,/ст,). Остальное без изменения.

1<,<П

Таким образом, стратегия диверсификации между рублевыми и валютными вложениями, но оказывающая исключительное предпочтение валюте с максимальным отношением (коэффициентов сноса и диффузии) ц/ст, оказывается оптимальной, например, для коррелированного рынка г^цй+стуй^, 1<<п.

В случае -1<ри<1 диверсифицируются и сами валютные вложения.

В другом предельном случае независимых случайных блужданий Е[йм’кйм’1 ] = 0 (кёГ) матрица ||рк1 сткст 1 || будет диагональной, то есть

ц, (е - кай)+ стк (у,е - ка(у,й + еУ,е + (й + ек )х, ))+Х, - X = 0, 1 < / < п .

В этом случае, если ц, (е - кай )+стк (У ,е - ка(У,й + еУ ,е))> 0, то X, = 0, иначе х,=0 и X, =-ц,(е - кай)-стк(У,е - ка(У,й + еУ,е)) для 1 <, < п .

-Л ц (e - 2ad) + ст2 (V e - 2a(Vid + e V,-e)) + Хг- .

I ----erV------—------ < 1, то X=0, иначе

2a (d + e2 )2

2a(d + e2 )+ I (ст-2 (цг (e - 2ad) + Xг.) + Vie - 2a(Vid + eVie) . Остальные Xi равны xi = (ц(e-2ad)+ст2(V;e-2a(Vid + eVie))-X^')/(la(d + e2)ст2).

i =1 f n

X = I ^ i=1

ст-2

БИБЛИОГРАФЧЕСКИЙ СПИСОК

1. В1аск F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. - J. of Polit. Economy, V. 81, No. 3, 1973.

2. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach. - J. of Financ. Econ., 1976, v. 7 (Sept.), pp. 229-263.

3. Ширяев А.Н., КабановЮ.М., Крамков Д.О., МельниковА.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. I. Дискретное время. - Теория вероятн. и ее при-мен. 1994. Т. 39. Вып. 1, с. 23-79.

4. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время. - Теория вероятн. и ее примен. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 80-1к9.

5. Бенсусан А., ЛионсЖ.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства: Пер. с фр. / Под ред. А.К. Керимова. - М.: Наука, 1987. - 600 с.

6. Ковалишин Е.А., Поманский А.Б. Реальные опционы: оптимальный момент инвестирования // Экономика и мат. методы. 1999. Т. 35. № к. С. 50-60.

7. Дорофеев Е.А. Облигации с переменным купоном: принципы ценообразования // Экономика и мат. методы. к000. Т. 36. № 1. С. 55-6к.

8. Выгон Г.В. Оценка фундаментальной стоимости нефтяных месторождений: метод реальных опционов // Экономика и мат. методы. к001. Т. 37. № к. С. 54-69.

9. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Наука, 1975.

10. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1987. - к88 с.

11. БертсекасД. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа: Пер. с. англ. -М.: Радио и связь, 1987. - 400 с.: ил.

С.П. Вовк

ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В НЕЧЕТКИХ УСЛОВИЯХ

Модели нечеткой ожидаемой полезности позволяют осуществить выбор в ситуациях, когда исходы (состояния системы) являются нечеткими, что влечет за собой размытость оценок функции полезности. В последнее время появились публикации по нечетким лотереям [1], нечетким деревьям предпочтений [к], нечетким байесовским оценкам [3, 4] и т.п., где неполнота информации о законе распределения вероятности моделируется с использованием нечетких чисел и лингвистических вероятностей. Другой подход предлагается в работе Э. Санчеса [3]. При работе с лингвистической структурой человеческих знаний используются нечеткие интервалы. Это позволяет использовать нечеткость при рассмотрении граничных случаев и сравнивать лингвистические признаки объекта с лингвистическими интервалами образов с использованием мер возможности.

Нужно различать случайные и нечеткие составляющие неопределенности (табл. 1).

Таблица 1

Три меры информации

Объект исследования Основная теория Измеряемая характеристика Мера информации

Случайность Теория вероятностей Энтропия Ожидаемая полезность Количество Ценность

Нечеткость Теория возможностей Степень разделения возможностей Эффект различения

Особый интерес представляют попытки применения к задачам ПР теории возможностей.

Нечеткая оценка возможности понимается как субъективное отражение внутренних ограничений объекта, требующее меньшего уровня априорной информиро-