Метод расщепления графа и принцип аддитивности тепловой сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оригинальная статья / Original article УДК 518.5:532.54

DOI: 10.21285/1814-3520-2017-4-127-138

МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФА И ПРИНЦИП АДДИТИВНОСТИ ТЕПЛОВОЙ СЕТИ © С.В. Яшин1

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 130.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬЮ является ускорение процесса проектирования многоконтурных тепловых сетей путем получения аналитических зависимостей для задачи потокораспределения. МЕТОД. Были использованы математическое моделирование гидравлической цепи, метод расщепления графа (МРГ), графический метод решения алгебраического уравнения. РЕЗУЛЬТАТЫ. Получены аналитические зависимости для многоконтурной тепловой сети, показана техническая и экономическая аддитивность элементов схемы тепловой сети, содержащей замкнутые контуры, приведены расчеты многоконтурной тепловой сети для сравнения с другими методами. ВЫВОДЫ. Предложенный метод расщепления графа позволяет уменьшить размерность задачи и снизить затраты машинного времени при численном моделировании гидравлической цепи. При малой размерности задачи получены выражения для ручного счета.

Ключевые слова: тепловая сеть, гидравлический расчет, многоконтурность, аддитивность элементов графа, потокораспределение, экономическая эффективность.

Формат цитирования: Якшин С.В. Метод расщепления графа и принцип аддитивности тепловой сети // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 4. С. 127-138. DOI: 10.21285/1814-35202017-4-127-138

THE METHOD OF GRAPH SPLITTING AND THE PRINCIPLE OF HEATING NETWORK ADDITIVITY S.V. Yakshin

Melentiev Energy Systems Institute SB RAS,

130, Lermontov St., Irkutsk, 664033, Russian Federation.

ABSTRACT. The PURPOSE of the research is acceleration of the design process of muli-loop heating networks by obtaining analytical dependences for a flow distribution problem. METHOD. The study employs the mathematical modeling of a hydraulic circuit, the method of graph splitting (MGS), the graphical method of algebraic equation solution. RESULTS. The analytical dependences for a multi-loop heating network are obtained. Technical and economic additivity of the elements of the heating network circuit containing closed loops is shown. The calculations of the multi-loop network are given to be compared with other methods. CONCLUSIONS. The proposed method of graph splitting reduces the dimension of the problem and decreases the cost of computer time under hydraulic circuit numerical simulation. Expressions for manual counting have been obtained at a small dimension of the problem.

Keywords: heating network, hydraulic calculation, muli-loop, additivity of graph elements, flow distribution, economic efficiency

For citation: Yakshin S.V. The method of graph splitting and the principle of heating network additivity. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no 4, pp. 127-138. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-4-127-138

Введение

Основы теории гидравлических цепей (ТГЦ) были сформулированы в шестидесятые годы прошлого века В.Я. Хасилевым. Источником идей послужил разработанный Кирхгофом и Максвеллом аппарат теории электрических цепей.

В настоящее время ТГЦ стала научной основой для математического моделирования гидравлических систем различного рода в Институте систем энергетики им. Л.А. Мелентьева (ИСЭМ), бывшем Сибирском энергетическом институте [1, 2, 3]. Решение практических задач по расчету гидравлических режимов сложных многоконтурных тепловых сетей приводит к исследованию потокораспределения и выбору оптимальной конфигурации тепловой сети. Для

1

Якшин Сергей Владимирович, ведущий инженер, e-mail: s.yakshin@isem.irk.ru Sergey V. Yakshin, Leading Engineer, e-mail: s.yakshin@isem.irk.ru

решения задач потокораспределения В.Я. Хасилевым был предложен метод контурных расходов, который представляет собой сочетание метода контурных токов для электрических цепей и метода Ньютона для решения системы нелинейных алгебраических уравнений. Суть предложенного В.Я. Хасилевым метода заключается в использовании законов Кирхгофа для узлов и контуров гидравлической цепи и последующей итерационной увязки замкнутых контуров.

В данной работе предлагается метод расщепления графа (МРГ) при решении задачи потокораспределения тепловой сети, который не требует итерационной увязки замкнутых контуров и приводит к решению алгебраического уравнения. Показана возможность применения МРГ при проектировании тепловой сети.

Математическая модель

Сформулируем математическую модель тепловой сети с сосредоточенными параметрами при известных технических характеристиках узлов и ветвей:

- первый закон Кирхгофа

Ax = Q, (1)

- второй закон Кирхгофа

BZXx = BP, (2)

w < w < w, (3)

где x = (xv ..., xn)T - вектор расходов на ветвях; Q = (Q, ..., Qn)T - вектор расходов в узлах;

А - матрица соединений для линейно независимых узлов; В - матрица контуров; Z - диагональная матрица гидравлических сопротивлений трубопроводов; Х - диагональная матрица расходов на ветвях; Р - вектор действующих давлений; w - вектор параметров схемы, имеющих ограничения; w - вектор нижних ограничений; w - вектор верхних ограничений.

Применение МРГ удобно рассмотреть на симметричной многоконтурной сети, включающей насосную установку. Минимальный граф тепловой сети в данном случае состоит из двух контуров (первый уровень) рис. 1 [4].

1 0

Рис. 1. Гидравлическая цепь: © - источник движущего давления; 1,2- номера узлов;

цифры в кружках - номера ветвей Fig. 1. Hydraulic circuit: © - source of driving pressure; 1, 2-node numbers; numbers in circles are numbers of branches

Система уравнений (4)-(7) для двухконтурной схемы тепловой сети (рис. 1) содержит три уравнения для трех неизвестных. Решаем систему уравнений аналитически:

X - x2 - x3 = 0, (4)

+ 2гх\ = Р, (5)

2x1 + гэХ1 = Р, (6)

хг > 0. 7)

Выразим х и X из (5)-(6) и подставим в (4), в результате преобразований найдем вектор х в зависимости от коэффициентов гидравлического сопротивления 2 и действующего давления Р (табл. 1, схема рис. 1).

Метод расщепления графа

Увеличим количество контуров до четырех (второй уровень) с сохранением симметрии схемы. На схеме наглядно покажем использование метода расщепления графа (рис. 2).

Рис. 2. Гйдравлическая цепь: а - замкнутая исходная схема сети; b - преобразование схемы с расщеплением второй ветви: © - источник движущего давления; 1-5 - номера узлов; цифры в кружках - номера ветвей; стрелки на линиях - заданные направления потоков на ветвях Fig. 2. Hydraulic circuit: a -original closed circuit of a network; b - circuit transformation with the splitting of the second branch: @ - driving pressure source; 1-5 - node numbers; numbers in circles are the numbers of branches; arrows on the lines are specified directions of flows on the branches

Система уравнений для данной схемы тепловой сети (рис. 2, а) содержит восемь уравнений для восьми неизвестных:

Xy ^ — 0, (8)

— 0, (9)

+ x^ Xy — 0, (10)

x^ + X^ Xg — 0, (11)

X, > 0, (12)

Z2 X2 + Z4 X4 Z6 X6 — 0-

Z2 X2 + Z3 X3 Z5X5 — 0-

(13)

(14)

2 , 2 2 _ T)

ZlX^ ^^ ZfiX^ Z-jXj — P,

Z1X1 + Z5 X5 + Z8 X8 — P-

(15)

(16)

где х - объемный расход жидкости; ^ - коэффициент гидравлического сопротивления жидкости в трубопроводе.

Допустим условное расщепление второй ветви на два участка с сохранением всех физических параметров сети [5]. Таким образом, получим преобразование исходного графа (рис. 2, а) в граф с расщепленной второй ветвью (рис. 2, Ь), которая вместо гидравлического

л

сопротивления ^ имеет два неизвестных гидравлических сопротивления: ^ - ветвь 2-31 и

о

^ - ветвь 2-32. В связи с этим необходимо добавить к системе (8)-(16) два уравнения (17) и (18):

2 _ 2

S1X4 — S2Х3 -

2 2 S3 X7 — S4 X8 '

(17)

(18)

При этом сеть делится на две части: левую и правую - с гидравлическими сопротивле-

ниями s и s4 соответственно:

— (si + Z4 )

+ Z4 )

+ Z7

2 7

(19)

S4 — (S2 + Z3)

(4S2 + Z3 +4^5 )

+ Z.

2 ' 8

(20)

Решаем систему уравнений (8)-(20) методом последовательного исключения неиз-

вестных и получим одно алгебраическое уравнение с одной неизвестной величиной

s.

siZ6

S2 Z5

Z6 + Z7

1 +

5 J

Z5 + Z8

f I->

1 + '—

V

6 J

(21)

где введены обозначения:

S2 — S

1 )2

(22)

S5 — S1 + Z4 -

S6 — S2 + Z3 .

(23)

(24)

Z

6

Z

5

s

5

Z

2

Для поиска решения уравнения (21) исследуем графически функцию при из-

вестных и постоянных 2:

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,05 0,07 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 О,В

а Ъ

Рис. 3. Графики функций: а - выражение (25) при варьировании гидравлического сопротивления Sj;

13

b - F(k1) = Pxx -X zrf

i=1

Fig. 3. Function graphs: а - expression (25) under flow resistance Sj variation;

13

b - F(k,) = Px, -X zxV

i=l

Из графика (рис. 3, а) видно, что функция f(sj имеет три корня: ^ = (0; 0,004795; 0,051474) при z = (0,0049; 0,0222; 0,8327; 0,3308; 0,0819; 0,0819; 0,0814; 0,1638), где размерность Sj и z МПа ■ с2 / м6. Из равенства перепадов давлений на второй ветви следует, что

d(sx) < d2. В этом случае очевидно, что s > z2. Следовательно, выбираем наибольший корень функции f(sx) в качестве решения уравнения (21). С помощью выражений (19), (20) и (22)-(24) найдем s2 , s3 , s4 , s5 , s6. Для поиска x перепишем уравнения (15), (16):

zx2 + sX = P, (26)

zX + S4 x88 = P. (27)

Выразим вектор расходов x = (xv ..., xs)T через найденные гидравлические сопротивления s , s , s , s , s , s (табл. 1, схема рис. 2).

Таким образом, задача потокораспределения для симметричной четырехконтурной схемы сведена к решению одного алгебраического уравнения (21). Для того чтобы понять, как возрастает сложность решения задачи при увеличении количества контуров, сделаем следующий шаг: добавим два контура (третий уровень). В результате получим граф тепловой сети, состоящий из шести контуров и включающий насосную установку (рис. 4).

Таблица 1

Аналитические выражения для вектора расходов

Table 1

Analytical expressions for the flow rate vector_

№ Вектор расходов на ветвях / Flow rate vector on branches

Схема рис. 1 Fig. 1 circuit Схема рис. 2 Fig. 2 circuit Схема рис. 4 Fig. 4 circuit

1 x = i P X — i P X1 — i p

Z2 Z3 + _ s3s4 ! z k3k4 ! z

(л/^ + л/^)2 1 +л/^)2 1 (y[k3+Vk4)

2 — X — X X X X2 — X1 X5 X6

3 X —-1— x — X8 X3 X131 k2 + Z10

^+1 V Z2 "3 S ! 1 \Z5 (yj k2 + z10 +4Z3)

4 x С,— X7 X4 — X121 k1 + Z11

4 1 * + 1 lz6 Щ k1 + Z11 +yl Z4)2

5 X5 — X8 X3 X5 X8 X13

6 X6 — X7 X4 X6 — X7 — X12

7 X7 p-zx2 X7 P - zX

S3 k3

8 X8 — p-zx2 X8 — P - ZX2

S4 ¿4

9 x9 — x^ x3 x4

10 X10 — X13 — X3

11 X11 — X12 — X4

12 X12 — X7 £+1' Z6

13 X13 — i X8 \K / +1 Z5

Система уравнений для данной схемы тепловой сети (рис. 4, а) содержит тринадцать уравнений для тринадцати неизвестных:

Х-х7-Х = 0, (28)

X - X - х5 - х = 0, (29)

X + Хо - Хз = 0, (30)

Рис. 4. Гидравлическая цепь: а - замкнутая исходная схема сети; b - преобразование сети с расщеплением второй и девятой ветви;€) - источник движущего давления; 1-8 - номера узлов; цифры в кружках - номера ветвей; стрелки на линиях - заданные направления потоков на ветвях Fig. 4. Hydraulic circuit: а - original closed circuit of the network; b - network transformation with the splitting of the second and ninth branches: @ - driving pressure source; 1-8 - node numbers; numbers in the circles are the numbers of branches; arrows on the lines are the specified directions of flows on the branches

X4 + Xu X12 — 0, (31)

X5 x^ — 0, (32)

X6 X7 + X12 — 0, (33)

X9 — x10 — Xu — 0, (34)

X, > 0, (35)

«2 1 2 2 I 2 r\ 2 + Z4 X4 — Z6 X6 + Z12 X12 = 0, (36)

2 + Z3X 3 Z5X5 + Z13X13 — 0, (37)

z3x3 — . Z X2 — Z T2 — 0 9 9 10 10 (38)

Z4 X4 — - Z X2 — Z X2 — 0 ^9Л9 11 11 ' (30)

2 2 2 T) Z^X^ Z6x6 Z-jXj — P, (40)

Z1X1 + Z5 x5 + Z8 — P. (41)

Замкнутая схема сети (рис. 4, б) с преобразованием второй и девятой ветвей имеет дополнительно четыре неизвестных гидравлических сопротивления: ^ - ветвь 2-31 и -

ветвь 2-32, ^ - ветвь 31-61 и &2 - ветвь 32-62. Поэтому необходимо добавить к системе (28)-(41) уравнения (42)-(44):

^1Х12 = Х13' (42)

кцХц = ^2 Х10, (43)

■>2 с2

k x2 — k x2 k3X7 — ¿4X8 ■

(44)

Аналогично рис. 2 граф тепловой сети делится на две части: левую и правую, с гидравлическими сопротивлениями к3 и к4 соответственно, а ^ и ^ связаны соотношением (22).

г.

k3 — К5

(4^5 +4^ )

2 + Z7 '

(45)

где введены обозначения

К4 — k

(4k6+4*5)

2 + Z8

(4KÎ 4^9)

(46)

(47)

k5 — S1 + (к1 + Z11)

Цк+z11 )

+ Z12,

2 ' 12

(48)

k6 — S2 + (К2 + Z10)

ЦК2 + Z10 + )

+ Z,, ■

2 ' "13

(49)

Преобразуем систему уравнений (28)-(49) методом исключения неизвестных и получим одно алгебраическое уравнение = 0 с двумя неизвестными величинами ^ и к:

/(^1 ) —

s1Z6

S2 Z5

к

Z6 + Z7

f I->

1 + ^ V Vk5 у

Z5 + Z8

1 +

6 у

= 0.

(50)

Уравнение (50) связывает два гидравлических сопротивлениями ^ и к . Для ускорения расчетов проведем аппроксимацию функции ^(к):

s/kj — 0,0178kl — 0,0344kl + 0,024k + 0,0467 ■

(51)

В результате остается не определенным одно гидравлическое сопротивление к, и для

него требуется замыкающее уравнение. Таким уравнением, например, может быть уравнение баланса энергии для замкнутой гидравлической цепи с постоянной температурой жидкости, которое используется в экстремальном подходе для расчета потокораспределения [6, 7, 8]:

Px1— Е zx3 •

(52)

Выражаем вектор расходов х = (хи ..., хи)т через гидравлические сопротивления ^, X, к, к, к, к, к , к (табл. 1, схема рис. 4).

Z

4

Z

3

г—1

Для поиска решения уравнения (52) графически строим функцию невязки уравнения 13 2 6

Г(к1) = Рхгггхъг (рис. 3, Ь), которая имеет один корень при к = 0,443714 МПа•с /м .

г—1

Найденное значение к позволяет рассчитать все необходимые параметры тепловой сети

(табл. 2). 1

Потокораспределение для схемы тепловой сети рис. 4 Flow distribution for the heat network diagram in Fig. 4

Таблица 2 Table 2

Ветвь Branch Диаметр ветви, м Branch diameter, m Длина ветви, м Branch length, m Скорость, м / с Speed, m/s Коэффициент сопротивления, МПа • с2/ м6 Resistance coefficient, MPas2 /m6 Объемный расход, 3 / м / c Volumetric flow rate, m3/s Потеря давления, МПа Loss of pressure, МРа

1-2 1,2 1000 2,68 0,0049 3,04 0,0450

2-3 0,9 1000 1,43 0,0222 0,91 0,0183

3-8 0,5 1000 1,03 0,4164 0,22 0,0193

3-7 0,6 1000 1,47 0,1654 0,44 0,0315

2-5 0,7 1000 2,54 0,0819 0,98 0,0791

2-4 0,7 1000 2,97 0,0819 1,15 0,1081

4-1 0,8 2000 3,45 0,0814 1,74 0,2470

5-1 0,7 2000 3,35 0,1638 1,30 0,2760

3-6 0,6 1000 0,87 0,1654 0,26 0,0109

6-8 0,5 2000 0,48 0,8327 0,10 0,0084

6-7 0,5 2000 0,75 0,8327 0,16 0,0205

7-4 0,6 1000 2,00 0,1654 0,59 0,0582

8-5 0,5 1000 1,51 0,4164 0,32 0,0414

Примечание. Движущее давление Р = 400 000 Па / The driving pressure is Р = 400 000 Pa.

Принцип аддитивности тепловой сети

Основная цель применения МРГ заключается в выделении условной элементарной ячейки сети одного замкнутого контура. Физические параметры двух контуров связаны соотношением (22). Возникает вопрос выбора оптимального контура и включения его в тепловую сеть. Для этого рассмотрим экономическую часть задачи.

Критерием оптимизации сети является минимум целевой функции, представляющей собой зависимость расчетных затрат от искомых параметров системы [9]:

З = Зс + Зн + Зэ + Зт, (53)

где первое слагаемое - сумма затрат на сооружение и эксплуатацию трубопроводной сети; второе - затраты на сооружение и эксплуатацию насосной установки; третье - стоимость электроэнергии, использованной для перекачки теплоносителя; четвертое - стоимость тепловых потерь. В связи с тем, что мы рассматриваем отдельные замкнутые контуры и аддитивное связывание их в сеть, нас интересует первое слагаемое Зс,, остальные считаем постоянными величинами.

Допустим, что капитальные затраты трубопровода ветви 2-3 (рис. 2) можно представить в виде суммы капитальных затрат трубопроводов, полученные при расщеплении графа с некоторым коэффициентом С:

З( d 2 ) = Cj (З( d(s, ) ) + З( d(s2 ) )).

(54)

Удельные капиталовложения на единицу длины сети записываются в виде линейной аппроксимации в зависимости от диаметра трубопровода [10]:

к = a + bd .

(55)

В нашем случае из формулы Б.Л. Шифринсона (56) в области квадратичного закона сопротивления следует связь и ^ (57).

1 = 0,11(A/,25, d

(56)

где Л - коэффициент гидравлического трения в трубопроводе, А - абсолютная шероховатость внутренней стенки трубы, d - внутренний диаметр трубы, р - плотность воды.

d = J A( 0,88L -P- )4 M л z

(57)

Тогда из (54)-(57) найдем соотношение для С:

C =■

a — + 21 b 2J A( 0,88L2 P \4 2 ) Г Z2

2a b+(2j Ia(0,88L p4 A(0,88L2 -2)4 Л S2

(58)

где ^ и х удовлетворяют уравнению (22). Исследуем зависимость С от ^ (рис. 5).

Рис. 5. График функции выражение (58) при а = 0,107[9], А = 0,0005 м, р = 958,4 кг/м

Fig. 5. Graph of the function Cx(sx) expression (58) at — = 0.107 [9], A =0.0005m, p = 958.4 kg/m

Из графика (рис. 5) видно, что функция C/sJ слабо меняется в диапазоне 0,04 < s < 0,4 МПа • с2 / м6, что соответствует изменению диаметров 0,5 м < d(s1) < 0,8 м. В этом диапазоне среднее значение с = 0,64 его можно принимать в качестве постоянной величины для с, так как максимальное отклонение составляет 1,5%.

Заключение

Сравнительный анализ схем позволяет сделать следующие выводы:

- метод расщепления графа дает возможность свести задачу потокораспределения к решению алгебраического уравнения для симметричной схемы тепловой сети;

- для схемы тепловой сети, содержащей n (n > 2) замкнутых контуров, требуется

0.5. - 2 замыкающих уравнений;

- результатом применения МРГ является возможность выделения замкнутого контура как независимого элемента, оптимизация контура и добавление его в схему гидравлической цепи;

- показана справедливость принципа аддитивности условных замкнутых контуров при выполнении соотношений (22) и (58).

Библиографический список

1. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей. М.: Наука, 1985. 278 с.

2. Новицкий Н.Н., Сухарев М.Г., Тевяшев А.Д. и др. Развитие методов теории гидравлических цепей для анализа и синтеза свойств трубопроводных систем как объектов управления // Трубопроводные системы энергетики: математическое моделирование и оптимизация. Новосибирск: Наука, 2010. C. 58-73.

3. Новицкий Н.Н., Сухарев М.Г., Сарданашвили С.А. и др. Численное решение задачи потокораспределения в гидравлических цепях с сосредоточенными параметрами при произвольных замыкающих соотношениях // Трубопроводные системы энергетики: математическое и компьютерное моделирование. Новосибирск: Наука, 2014. C. 34-45.

4. Каганович Б.М., Якшин С.В. Термодинамическое описание нестационарных процессов в многоконтурных гидравлических системах // Моделирование неравновесных систем: материалы XVI Всероссийского семинара. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2013. C. 65-68.

5. Новицкий Н.Н., Сухарев М.Г., Тевяшев А.Д. и др. Декомпозиция и эквивалентирование расчетных схем тепловых сетей для задач эксплуатации и диспетчерского управления // Трубопроводные системы энергетики: математическое моделирование и оптимизация. Новосибирск: Наука, 2010. C. 379-390.

6. Новицкий Н.Н., Сеннова Е.В., Сухарев М.Г. и др. Уточненная формализация задач анализа гидравлических цепей // Трубопроводные системы энергетики: Управление развитием и функционированием. Новосибирск: Наука, 2004. C. 15-24.

7. Каганович Б.М., Воропай Н.И., Стенников В.А., Зароднюк М.С. Термодинамика, теория цепей и их совместные применения в энергетических исследованиях // Изв. АН. Энергетика. 2014. № 5. C. 3-15.

8. Каганович Б.М., Зароднюк М.С., Якшин С.В. Равновесное термодинамическое моделирование движения вязких жидкостей в многоконтурных гидравлических системах // Доклады Всероссийской конференции XXXI «Сибирский теплофизический семинар», 17-19 ноября 2014 г., Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2014. С. 62-68. [Электронный ресурс]. URL: http://www.itp.nsc.ru/conferences/sts31/Doklad/papers_STS31.pdf (19.11.2014).

9. Сеннова Е.В., Сидлер В.Г. Математическое моделирование и оптимизация развивающихся теплоснабжающих систем. Новосибирск: Наука, 1987. 222 с.

10. Справочник проектировщика. Проектирование тепловых сетей / под ред. А.А. Николаева. М., 1965. 359 с.

References

1. Merenkov А.Р., Khasilev V.Ya. Teoriya gidravlicheskix cepei [Theory of Hydraulic Circuits]. Мoscow, Nauka Publ., 1985, 278 p. (In Russian)

2. Novitsky N.N., Sukharev M.G., Tevyashev A.D et al. Razvitie metodov teoriigidravlicheskix cepei dlya analiza i sinteza svoistv truboprovodnyx sistem kak ob'ektov upravleniya [Development of methods of hydraulic circuit theory for the analysis and synthesis of pipeline system properties as controlled objects]. In: Truboprovodnye sistemy energetiki: ma-

tematicheskoe modelirovanie i optimizatsiya [Pipeline Energy Systems: mathematical modeling and optimization]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2010, pp. 58-73. (In Russian)

3. Novitsky N.N., Sukharev M.G., Sardanashvili S.A. et al. Chislennoe reshenie zadachi potokoraspredeleniya v gidravlicheskix cepyax s sosredotochennymi parametrami pri proizvolnyx zamykaiushix sootnosheniyax [Numerical solution of the problem of flow distribution in hydraulic circuits with lumped constants for arbitrary closing relations]. In: Truboprovodnye sistemy energetiki: matematicheskoe i komp'yuternoe modelirovanie [Energy Pipeline Systems: mathematical and computer modeling]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2014, pp. 34-45. (In Russian)

4. Kaganovich B.M., Yakshin S.V. Termodinamicheskoe opisanie nestacionarnyx processov v mnogokonturnyx gidravlicheskix sistemax [Thermodynamic description of nonstationary processes in multi-loop hydraulic systems]. Mate-rialy XVI Vserossiiskogo seminara "Modelirovanie neravnovesnyx system" [Proceedings of the XVI All-Russian Workshop "Modeling of nonequilibrium systems"]. Krasnoyarsk, IVM SO RAN Publ., 2013, pp. 65-68. (In Russian)

5. Novitsky N.N., Sukharev M.G., Tevyashev A.D. et al. Dekompoziciya i ekvivalentirovanie raschetnyx sxem teplovyx setei dlya zadach ekspluatacii i dispetcherskogo upravleniya [Decomposition and equivalenting heating network design schemes for operation and dispatch control problems]. Truboprovodnye sistemy energetiki: matematicheskoe modelirovanie i optimizatsiya [Pipeline Energy Systems: mathematical modeling and optimization]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2010, pp. 379-390. (In Russian)

6. Novitsky N.N., Sennova E.V., Sukharev M.G. et al. Utochnennaya formalizaciya zadach analiza gidravlicheskix cepei [Refined formalization of hydraulic circuit analysis problems]. Truboprovodnye sistemy energetiki: Upravlenie razvitiem i funktsionirovaniem [Pipeline Energy Systems: Management of development and operation]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2004, pp. 15-24. (In Russian)

7. Kaganovich B.M., Voropai N.I., Stennikov V.A., Zarodnyuk M.S. Termodinamika, teoriya cepei i ix sovmestnye prime-neniya v energeticheskix issledovaniyax [Thermodynamics, circuit theory and their joint applications in physicochemical and energy studies]. Izvestiya Akademii Nauk Energetika [Proceedings of the Academy of Sciences. Power Engineering]. 2014, no. 5, pp. 3-15. (In Russian)

8. Kaganovich B.M., Zarodnyuk M.S., Yakshin S.V. Ravnovesnoe termodinamicheskoe modelirovanie dvigeniya vyazkix gidkostei v mnogokonturnyx gidravlicheskix sistemax [Equilibrium thermodynamic modeling of viscous fluid motion in multi-loop hydraulic systems]. Doklady Vserossiiskoi konferentsii XXXI "Sibirskii teplofizicheskii seminar" [Reports of the All-Russian Conference XXXI "Siberian Thermophysical Seminar"]. Novosibirsk, Institute of Thermal Physics SB RAS Publ., 2014, pp. 62-68. Available at: http://www.itp.nsc.ru/conferences/sts31/Doklad/papers_STS31.pdf (accessed 19 November 2014).

9. Sennova E.V., Sidler V.G. Matematicheskoe modelirovanie i optimizaciya razvivaiuschihsya teplosnabgaiuschih system [Mathematical modeling and optimization of developing heat supply systems]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1987, 222 p. (In Russian)

10. Spravochnik proektirovshika. Proektirovanie teplovyx setei [Designer's Handbook. Design of heating networks]. Moscow, 1965, 359 p. (In Russian)

Критерии авторства

Якшин С.В. подготовил статью и несет ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Yakshin S.V. has prepared the article for publication and bears the responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The author declares that there is no conflict of interests regarding the publication of this paper.

Статья поступила 08.02.2017 г.

The article was received 8 February 2017