Применение метода расщепления графа при оптимизации параметров тепловой сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оригинальная статья / Original article УДК 518.5:532.54

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-10-129-140

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФА ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ТЕПЛОВОЙ СЕТИ

© С.В. Якшин1

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 664033, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 130.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬЮ исследования является аналитическое решение задачи потокораспределения многоконтурной тепловой сети и использование этого решения при оптимизации параметров тепловой сети. МЕТОД. Метод расщепления графа, математическое моделирование гидравлической цепи, аналитический метод решения алгебраического уравнения четвертой степени. РЕЗУЛЬТАТЫ. Задача потокораспределения сведена к алгебраическому уравнению четвертой степени и получены решения этого уравнения методом Феррари. Проведена оценка погрешности приближенного аналитического решения задачи. Найдены зависимости экономической целевой функции от параметров схемы тепловой сети. ВЫВОДЫ. Предложенный метод расщепления графа позволил свести задачу потокораспределения к алгебраическому уравнению и получить его аналитическое решение, что существенно снизило объем вычислительной работы при моделировании и оптимизации гидравлической цепи. Линейное приближение функции, содержащей квадратный корень, дает результат с точностью, приемлемой для инженерных расчетов.

Ключевые слова: тепловая сеть, гидравлический расчет, многоконтурность, потокораспределение, аналитический расчет, экономическая эффективность.

Информация о статье. Дата поступления 25 мая 2018 г.; дата принятия к печати 28 сентября 2018 г.; дата онлайн-размещения 31 октября 2018 г.

Формат цитирования. Якшин С.В. Применение метода расщепления графа при оптимизации параметров тепловой сети // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 10. С. 129-140. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-10-129-140

APPLICATION OF GRAPH SPLITTANCE METHOD WHEN OPTIMIZING HEATING NETWORK PARAMETERS S.V. Yakshin

Melentiev Energy Systems Institute SB RAS,

130, Lermontov St., Irkutsk, 664033, Russian Federation

ABSTRACT. The PURPOSE of the study is an analytical solution of the flow distribution problem of a multi-circuit heating network and the use of this solution in the optimization of heating network parameters. METHOD. The study uses the method of splittance of graph, the mathematical modeling of a hydraulic circuit, the analytical method for solving biquadratic equation. RESULTS. The problem of flow distribution is reduced to an algebraic equation of the fourth degree, which is solved by Ferrari method. The error of the approximate analytical solution of the problem is estimated. The dependences of the economic value function on the parameters of the heating network circuit are found. CONCLUSIONS. The proposed method of graph splittance allowed to reduce the problem of flow distribution to the algebraic equation and obtain its analytical solution. This significantly reduced the amount of computational work when hydraulic circuit modeling and optimization. The linear approximation of the function containing the square root gives the result, the accuracy of which is acceptable for engineering calculations.

Keywords: heating network, hydraulic calculation, multi-circuit, flow distribution, analytical calculation, economic efficiency

Information about the article. Received May 25, 2018; accepted for publication September 28, 2018; available online October 31, 2018.

1Якшин Сергей Владимирович, ведущий инженер, e-mail: [email protected] Sergey V. Yakshin, Leading Engineer, e-mail: s. [email protected]

For citation. Yakshin S.V. Application of graph splittance method when optimizing heating network parameters. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 10, pp. 129-140. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-10-129-140. (In Russian).

Введение

Топливно-энергетический комплекс (ТЭК) России включает в себя шесть отраслевых систем: угле-, газо-, нефтеснабже-ние, атомную энергетику, электроэнергетику и теплоснабжение. Все эти отрасли используют трубопроводные системы. Поэтому выбор наиболее экономичных вариантов развития трубопроводных и, в частности, теплоснабжающих систем является актуальной задачей. Решение практических задач по расчету сложных многоконтурных тепловых сетей приводит к исследованию потокорас-пределения и выбору оптимальной конфигурации тепловой сети. В тридцатые годы прошлого века аналитические методы технико-экономического расчета получили большое развитие в нашей стране в связи с периодом индустриализации и созданием систем централизованного электро-, тепло- и водоснабжения городов и промышленных центров. Именно в эти годы появились известные работы Л.К. Якимова, А.М. Занфирова, Б.Л. Шифринсона, В.Г. Лобачева, М.В. Кирсанова, Л.Ф. Мошнина и других авторов. Основы теории гидравлических цепей (ТГЦ) были сформулированы в шестидесятые годы прошлого века В.Я. Хасилевым [1]. Появление вычислительной техники позволило решать задачи большой размерности в плане проектирования, эксплуатации и развития трубопроводных систем [2-6].

Модельный аппарат и методы решения задач потокораспределения являются фундаментом ТГЦ. В основе этой теории лежат законы Кирхгофа для узлов и контуров гидравлической цепи. В настоящее время методы решения задач потокораспределения - это набор численных методов, к которым предъявляются требования сходимости и быстродействия. В работе [7] был предложен метод расщепления графа (МРГ). С помощью МРГ задача потокорас-пределения тепловой сети сведена к решению алгебраического уравнения и получено решение этого уравнения графически. Следующий этап исследования - это поиск возможности представить решение в аналитическом виде. В настоящей работе получено уравнение четвертой степени с помощью линейной аппроксимации функции, содержащей квадратный корень, и его решение в радикалах. На примере четырехконтурной схемы проведен анализ погрешности, возникающей при аппроксимации функции. На основе анализа сделан вывод, что полученное решение имеет погрешность, приемлемую для инженерных расчетов. В качестве примера проведена оптимизация параметров четырехконтурной схемы тепловой сети с применением полученного аналитического решения.

Математическая модель

Сформулируем математическую модель тепловой сети с сосредоточенными параметрами при известных технических характеристиках узлов и ветвей:

первый закон Кирхгофа

Ax = Q, второй закон Кирхгофа

(1)

BZXx = BP,

w < w < w,

(2)

(3)

где х = (хх, ..., хп)т - вектор расходов на ветвях; Q = (^, ..., ()т - вектор расходов в

узлах; А - матрица соединений для линейно независимых узлов; В - матрица контуров; Z - диагональная матрица гидравлических со-

противлений трубопроводов; Х - диагональная матрица расходов на ветвях; Р - вектор действующих давлений; w - вектор пара-

метров схемы, имеющих ограничения; ^ -вектор нижних ограничений; w - вектор

верхних ограничении. Метод расщепления графа

Применение МРГ в [7] показано на четырехконтурной симметричной сети, включающей насосную установку (рис. 1).

Система уравнений для данной схемы тепловой сети (рис. 1, а) содержит восемь уравнений для восьми неизвестных.

Xj Xy Xg — 0, (4)

X^ X^ X5 -X6— 0, (5)

X4 X6 Xy — 0, (6)

X^ X^ Xg — 0, (7)

X, > 0, (8)

2 2 z ^X 2 1 Z ^X ^ 2 z6 X6 — 0, (9)

2 2 Z 2 1 Z^X^ 2 Z5 X5 — 0, (10)

2 . 2 . 2 _ ZxXx Z6X6 Z-jX^ — P, (11)

222 Z1X1 + Z5 X5 + Z8 X8 — P, (12)

где х - объемный расход жидкости; ^ - коэффициент гидравлического сопротивления жидкости в трубопроводе.

Предполагается условное расщепление второй ветви на два параллельных участка с сохранением всех физических параметров сети. Таким образом, получим преобразование исходного графа (рис. 1 а) в граф с расщепленной второй ветвью (рис. 1 Ь), которая вместо гидравлического сопротивления ^ имеет два неизвестных гидравлических сопротивления: ^ - ветвь 2 - 31 и ^ - ветвь 2 - 32. В связи с этим добавляются к системе (4)-(12) два уравнения (13)-(14).

= ^Х2 , (1 3)

^Х7 . (14)

Система уравнений (4)-(14) методом последовательного исключения неизвестных приводится к одному алгебраическому уравнению с одной неизвестной величиной ^.

Рис. 1. Гидравлическая цепь: а - замкнутая исходная схема сети; b - преобразование схемы с расщеплением второй ветви: ;Э - источник движущего давления; 1-5 - номера узлов; цифры в

кружках номера ветвей; стрелки на линиях - заданные направления потоков на ветвях Fig. 1. Hydraulic circuit: а - original closed circuit of a network; b - network transformation with the split of the second branch: @ - source of driving pressure; 1-5 - node numbers; figures in the circles stand for the numbers of branches; arrows on the lines - set directions of flows on branches

1 + p Vs5 у

1 + — К у

(15) новые обозначения ^, ^ , ^, ^ , ^, я6 гидравлических сопротивлений приведены в табл. 1.

Аналитическое решение задачи потокораспределения

Для поиска решения уравнения (15) представим его в виде равенства двух функций (16), (17) и исследуем графически функции / (^), /(^) (рис. 2) в зависимости от коэффициентов гидравлического сопротивления ^ и (табл. 3):

/i( si) = ()si +

z3 z5 + ( z3 + z5) z8

z2 z5

(Tí -^f +- 2z'

л/z

(16)

\

si(4si -Vz2)2+—(Ví -Vz2)

/2 ( si) = (si + za)(1 + -Ц +

+ 2 z,

'V

(si + z4)

(17)

+ z7.

Из графика (рис. 2) видно, что функция / (^) имеет линейную зависимость от ^. Разложим подкоренное выражение функции / (^) в ряд Тейлора и используем линейную часть разложения (18).

V

(si + z4)

— (1 +

2 z.

(18)

тогда / (s ) примет вид

/2 ( si) = ( si + z4)(1 + +

+ 2 z.

1

z±(i + + z7. z 2z

(19)

Теперь представим равенство двух функций в виде полинома (20) с коэффициентами а0, а, а2, а3, а4 (табл. 2):

a+al

Vs!

+a s +a s

i Vsi + aA s2 = 0. (20)

Для решения уравнения (20) введем обозначение г = и получим уравнение четвертой степени для г (21):

a0 + axt + a2t + aj + aAt = 0.

(21)

Таким образом, задача потокораспределения для симметричной четырехконтурной схемы сведена к решению одного алгебраического уравнения (21) в виде полинома четвертой степени. Известно, что уравнение четвертой степени разрешимо в радикалах2. Преобразуем уравнение (21) к виду без коэффициента при максимальной степени переменной величины

t4 + at3 + bt2 + ct + d = 0, (22) с коэффициентами

a^ a2 a^ ^ aQ

Уравнение (22) решается методом Феррари с использованием формул Кар-дано для нахождения корней кубичных уравнений.

Для определения точности расчетов сравним полученные результаты с помощью численного и аналитического решений уравнений (15). На основе исходных данных (табл. 3) решаем численно уравнение (15),

2Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. 432 с. / Kurosh A.G. The course of higher algebra. M.: Science,

1968. 432 p.

siz6

s2 z5

zб + z7

z5 + z,

s

s

5

б

z

5

4

2

z

б

z

б

a

a

a

a

4

4

4

4

z

z

б

б

z

б

Таблица 1

Аналитические выражения для вектора расходов

Table 1

Analytical expressions for the flow rate vector_

№ Вектор расходов на ветвях

Обозначения переменных величин Схема рис. 1 а

1 ^ - независимая переменная величина, гидравлическое сопротивление, рис. 1 Ь, ветвь 2 - 31 xi " 1 P S3S4 + z ^Vs4)2 1

2 X2 " X1 X5 X6

3 Эз + г4) , / 2 + Ч ' + + Л/ 2б) x3 =- X8 &+1 Vz5

4 Э4 ('2 + гз) , 1 1 ч2 + Ч '2 + ^3 +у1 г5) X4 = f^+1 iz6

5 '5 = '' + ^4 X5 Xg x^

6 'б = '2 + 23 X^ Xy x4

7 - X7 "v D 2 P - zxxx S3

8 - X8 " 2 P - z^! S4

2 1,8 1,6 1,4 _ 1,2 3Ü 1

4—

0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,01

0,02

0,03 0,04 s1

0,05 0,06

0,07

Рис. 2. Графики функций: 1 - f (s ) выражение (16); 2 - f2 (s ) выражение (17) при

варьировании гидравлического сопротивления s Fig. 2. Function graphs: 1 - f (s ) expression (16); 2 - f (s ) expression (17) under flow

resistance s variation

1

0

Таблица 2

Коэффициенты уравнения четвертой степени (21)

Table 2

_Coefficients of the biquadratic equation (21)_

Коэффициент Расчетные выражения для коэффициентов полинома

ao 4(— z72-^z82) + 52 + Y2 + (4z — — 25) y —4z7 —5 Z6 Z5 V Z6 V Z6

a 85 ZJ- ^ + 4 (5Y 52 + 4 Z3 z2) ■\l Z8 Z6 \ Z 2 Z5

a2 4Z?2 + 8 Лт—(y 5) + 6 (52 4Z3 z8) 25 4z8 + 4z7(£ 5) Z4 + 8y£ 2 5 Z6 VZ4 Z6 Z2 Z5 Z5 Z2 1 Z6 Z2

a3 45£ + -\= Z82--^(52—4 Z3 Z82) + 45^=Zz= \Z2 Z5\ Z2 Z2V Z2 Z5 Z2Z4Z6

a4 £2 + 1(52 4Z3 Z82) 2 5 4 z* + 2(£ 5 ) Z2 Z5 Z2 Z2 Z5 Z2 \ Z4 Z6

Y zz Z4 + z4 — + zz z6

5 z8 Z 1 z3— 1 Zg Z5

£ ZZ Z8 Z6 Z5

Таблица 3

Потокораспределение для схемы тепловой сети (рис. 1)

Table 3

Flow distribution for the eating network circuit (Fig. 1)

Ветвь Диаметр ветви, м Длина ветви, м Коэффициент сопротивления, МПа ■ с2/ м6 Объемный расход, м3/ с Погрешность расчетов в %

1-2 1,2 1000 0,0049 3,0152 8-10"10

2-3 0,9 1000 0,0222 0,8304 610-5

3-5 0,5 2000 0,8327 0,2848 5-10"4

3-4 0,6 2000 0,3308 0,5455 2 • 10-4

2-5 0,7 1000 0,0819 1,0061 1 • 10-4

2-4 0,7 1000 0,0819 1,1788 5-10"5

4-1 0,8 2000 0,0814 1,7243 2 • 10-5

5-1 0,7 2000 0,1638 1,2909 310-5

Примечание: движущее давление Р = 400000 Па / The driving pressure Р = 400000 Pa.

получим ^ = 0,051474615 МПа • с2/м6. Аналитическое решение уравнения (22) дает второе значение для ^ = 0,051472803

МПа • с2/ м6. Далее используем зависимости для вектора расходов из табл. 1 и заполняем табл. 3.

Из табл. 3 видно, что расчеты выполненные с помощью аналитического решения уравнения (15) дают результат с погрешностью не более чем на одну тысячную процента.

Приближенное решение задачи потокораспределения

В работе [7] была рассмотрена ше-стиконтурная схема тепловой сети (рис. 3).

Для решения задачи потокораспре-деления замкнутая схема сети (рис. 3 а) преобразуется в схему с расщеплением второй и девятой ветвей (рис. 3 Ь). В этом случае дополнительно получаем два неизвестных гидравлических сопротивления: ^ - ветвь 2-31 и ^ - ветвь 31-61 (рис. 3 Ь), что приводит к уравнению (23)

Уравнение (23) является алгебраическим равнением от двух переменных и в этом случае требуется замыкающее уравнение или условие для определения ^. Одним из таких условий может быть равенство гидравлических сопротивлений ^ и , где - гидравлическое сопротивление ветви 32-62. Тогда из уравнения связи ^ и £2 (аналог связи ^ и ^ табл. 1):

К

К

f (Si,kl) "

z6 + z7

1 +

k

z5 + z8

1 +

"\2

k

6

" 0.

(23)

k2 " k1

(24)

получим, что = 4^.

В результате такое приближение для неизвестной величины ^ позволяет свести решение задачи потокораспределения ше-стиконтурной схемы к решению (15) уравнения (табл. 4).

Рис. 3. Гидравлическая цепь: а - замкнутая исходная схема сети; b - преобразование сети с расщеплением второй и девятой ветви;0 - источник движущего давления; 1-8 - номера узлов; цифры в кружках - номера ветвей; стрелки на линиях - заданные направления потоков на ветвях Fig. 3. Hydraulic circuit: а - original closed circuit of a network; b - network transformation with the split of the second and the ninth branch: 0 - source of driving pressure; 1-8 - node numbers; figures in the circles stand for the numbers of branches; arrows on the lines - set directions of flows on branches

z

9

S1z6

2

z

6

S2 z5

z

5

Потокораспределение для схемы тепловой сети (рис. 3)

Таблица 4 Table 4

Flow distribution for a heating networ k circuit (Fig. 3)

Ветвь Диаметр ветви, м Длина ветви, м Объемный расход, м3/ с Объемный расход к = 4х при 429 , м3 / с Погрешность расчетов в %

1-2 1,2 1000 3,04013 3,03980 МО"2

2-3 0,9 1000 0,90872 0,90876 4-10"3

3-8 0,5 1000 0,21528 0,20852 3,14

3-7 0,6 1000 0,43624 0,44285 1,51

2-5 0,7 1000 0,98269 0,98043 210"1

2-4 0,7 1000 1,14873 1,15061 210"1

4-1 0,8 2000 1,74201 1,74079 710"2

5-1 0,7 2000 1,29813 1,29900 710"2

3-6 0,6 1000 0,25720 0,25740 810"2

6-8 0,5 2000 0,10016 0,11006 9,89

6-7 0,5 2000 0,15704 0,14734 6,18

7-4 0,6 1000 0,59328 0,59018 510"1

8-5 0,5 1000 0,31544 0,31858 0,99

Примечание: движущее давление Р = 400000 Па / The driving pressure Р = 400000 Pa.

Анализ табл. 4 показывает, что ветви 6-7 и 6-8 наиболее чувствительны к изменению к. Однако видно, что приближенный расчет дает точный баланс теплоносителя

по контурам и небольшую невязку по давлениям (14%) в контурах, содержащих ветви 6-7 и 6-8, что можно устранить с помощью нескольких итераций.

Оптимизация тепловой сети

Методы оптимизации тепловых сетей [8-11] позволяют повысить эффективность работы трубопроводной сети, а также выбрать наилучший вариант сети по заданному критерию. В данной работе в качестве критерия оптимизации тепловой сети используется минимум целевой функции, представляющей собой зависимость расчетных затрат от искомых параметров системы [12].

З = Зс + Зн + Зэ + Зт. (25)

Здесь первое слагаемое - сумма затрат на сооружение и эксплуатацию трубопроводной сети; второе - затраты на сооружение и эксплуатацию насосной установки; третье - стоимость электроэнергии, использованной для перекачки теплоносителя; четвертое - стоимость тепловых потерь.

п п

З = (/с + /Т + Ен)(а£!, + ЬX d1l1) +

I=1 1=1

+ (1 + атсос3 + Кн (1 + ¡и\/н + Ен )х

х(1 + а) РО (26)

где /с и /н - отчисления в долях от капиталовложений на амортизацию, ремонт и обслуживание сети и насосной установки соответственно; /т - стоимость теплопо-терь в долях от капиталовложений; Е -нормативный коэффициент эффективности капиталовложений; а и Ь - коэффициенты в формуле (27), связывающей стоимость трубопроводов с их диаметром; п - число участков сети; т - число часов работы сети в год; с - коэффициент, учитывающий влияние формы графика изменения расхода воды в сети на расход энергии насосами;

с3 - замыкающие затраты на 1 кВт • ч электроэнергии; Кн - стоимость единицы установленной мощности насосов; л - коэффициент резерва насосной установки; а - коэффициент потерь напора в местных сопротивлениях; Р - манометрическое давление на выходе из насоса; 0 - суммарный расход воды в сети; ц - КПД насосной установки. Капиталовложения на единицу длины сети записываются в виде линейной аппроксимации в зависимости от диаметра трубопровода 3:

d о "(

В

5,25 A

-6,25

(33)

Для разных типов трубопроводов капиталовложения на единицу длины сети (27) записывают в более общем виде, т. е. используют нелинейную аппроксимацию [14]:

к, "a + bdß.

(34)

В этом случае целевая функция (28) примет универсальный вид:

k " a + bd.

(27)

З = Ap y + Bp -p + C,

(35)

Запишем целевую функцию (26) для одной ветви [13]:

З = Ad ~5'25 + Bd + С, (28) где введены обозначения:

А = (то)с3 + Кн (1 + л)(/н + Ен))

(' + а) Лз -, (29)

п

П

где Л - абсолютная шероховатость внутренней стенки трубы (Л = 0,0005 м), р^ -плотность воды (р = 958,4 кг/м3),

В = (/с + / + Ен) Ы, (30)

С = (/с + / + Ен). (31)

Целевая функция (28) является выпуклой в зависимости от d, т. е. она имеет глобальный минимум. Найдем производную от З по d и приравняем ее нулю:

-5,25 Ad ~6'25 + B = 0.

(32)

Тогда из (32) найдем оптимальный диаметр для выбранной ветви сети.

где Арг - затраты на перекачку теплоносителя; Вр р - затраты, пропорциональные капиталовложениям в трубопроводы; С - постоянная составляющая затрат для выбранного варианта трубопроводной сети; А и В - коэффициенты, зависящие от технических и экономических показателей сети. В нашем случае при выборе диаметра трубопровода в качестве независимой переменной р = d , у = -5,25, р = -@ и, соответственно, (33) принимает вид

рВ

Ро "(—т) yA

У+Р

(36)

Для получения универсальных зависимостей между расчетными затратами и независимыми переменными, справедливых при разных сочетаниях исходных технико-экономических показателях, представим эти величины в относительных единицах:

р

S "

а" (З-Зо)/(Зо- C ),

(37)

(38)

где З0 - целевая функция, рассчитанная при р = р0 и заданном расходе теплоносителя.

3Справочник проектировщика. Проектирование тепловых сетей / под ред. А .А. Николаева. М., 1965. 359 с. / Design-

er's Guide. Design of heat networks / under edition of A.A. Nikolaev. M., 1965. 359 p.

)

0

После подстановки (35) в (38) с учетом (37) целевая функция (38) примет вид

ais) =

ps'

■ +

rs

-1

Г + Р Г + Р и, соответственно, при

p = d, y = -5,25, p = -p, p = 1;

a(s) = 0,16s 5 25 + 0,84s -1.

(39)

ности системы отопления выбираются диаметры трубопроводов; проводится оценка необходимого давления и расхода насоса; следующий шаг - аппроксимация характеристики насоса (41):

P = axl + bxt + с,

(41)

где P и x удовлетворяют уравнению (42) табл. 1; a = -17535; b = -1015,4; с = 565715;

(4Q)

Выражение (40) можно использовать для линейной схемы (древовидной) тепловой сети при фиксированном расходе теплоносителя. Для качественного понимания зависимости целевой функции многоконтурной цепи при варьировании диаметров ветвей построены линии а(е) для ветвей схемы рис. 1 (табл. 5). Анализ показывает, что максимальное изменение целевой функции дает изменение диаметра на ветви 4-1, а минимальное - на ветви 2-3. Линейность функций можно пояснить выражением (26) при изменении диаметров в области, где мощность насоса близка к постоянной величине.

Порядок расчетов оптимальных диаметров следующий: в зависимости от мощ-

x1 =

1

P

(42)

+z, 21

поиск гидравлических сопротивлений ^, s2, ^, s4, ^, 56 с помощью уравнения (15) и табл. 1; решение системы уравнений (41)-(42) относительно ^ и расчет вектора расходов х = (х1, ..., хпУ по табл. 1; определение коэффициентов A и B для всех ветвей; расчет оптимальных диаметров трубопроводов.

В данном случае (/ = 1, PQ - постоянная величина) целевая функция З не является выпуклой (в зависимости от диаметра) и достигает минимума на границе области исходных (варьируемых) параметров.

Линии целевой функции тепловой сети (рис. 1) Lines of the heating network objective function (Fig. 1)

Таблица 5 Table 5

№ Ветвь Оптимальный диаметр, м Целевая функция

1 1-2 1,143 a(s) = 0,1428s -0,1428

2 2-3 0,615 а(е) = 0,0752s -0,0752

3 3-5 0,368 а(е) = 0,09s -0,09

4 3-4 0,503 <г(е) = 0,123s -0,123

5 2-5 0,675 (т(е) = 0,0934s -0,0934

6 2-4 0,728 (Tie) = 0,105s -0,105

7 4-1 0,804 (r(s) = 0,2185s- 0,2185

8 5-1 0,760 ((s) = 0,1878s -0,1878

Заключение

Современное проектирование трубопроводных систем предполагает использование численных методов и комплексов программ. Существенную роль в понимании процессов и упрощении программных продуктов играют аналитические методы. В работе использовались аналитические методы для решения задачи потокораспреде-ления и оптимизации многоконтурной тепловой сети. На основе сравнительного анализа результатов можно сделать следующие выводы:

- метод расщепления графа дает возможность свести задачу потокораспре-деления к решению алгебраического уравнения для симметричной схемы тепловой сети и получить аналитическое решение

этого уравнения;

- линейное приближение функции (17) при разложении в ряд Тейлора дает результат с погрешностью не более чем на одну тысячную процента по сравнению с численным решением уравнения (15);

- для схемы тепловой сети, содержащей четыре замкнутых контура, проведена оптимизация аналитическим методом с целью определения оптимальных диаметров трубопроводов и получены зависимости целевой функции от диаметров трубопроводов;

- для схемы, содержащей шесть замкнутых контуров, предложен способ приближенного решения задачи потокораспре-деления тепловой сети.

Библиографический список

1. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей. М.: Наука, 1985. 278 с.

2. Новицкий Н.Н., Сухарев М.Г., Тевяшев А.Д. и др. Развитие методов теории гидравлических цепей для анализа и синтеза свойств трубопроводных систем как объектов управления // Трубопроводные системы энергетики: математическое моделирование и оптимизация. Новосибирск: Наука, 2010. C. 58-73.

3. Токарев В.В., Шалагинова З.И. Методика многоуровневого наладочного расчета теплогидравличе-ского режима крупных систем теплоснабжения с промежуточными ступенями управления // Теплоэнергетика. 2016. № 1. C. 71-80.

4. Токарев В.В. Разработка методики секционирования кольцевых тепловых сетей закрытых систем теплоснабжения // Теплоэнергетика. 2018. № 6. С. 84-94.

5. Алексеев А.В., Новицкий Н.Н. Современное состояние и опыт применения ИВС «АНГАРА» для решения задач проектирования, эксплуатации и диспетчерского управления системами водоснабжения // Трубопроводные системы энергетики: Математические и компьютерные технологии интеллектуализации. Новосибирск: Наука, 2017. C. 340-353.

6. Vasant P., Voropai N.I. Sustaining power resources through energy optimization and engineering. Hershey, PA: Engineering Science Reference (of IGI Global), 2016. DOI: 10.4018/978-1-4666-9755-3

7. Якшин С.В. Метод расщепления графа и принцип аддитивности тепловой сети // Вестник ИрГТУ. 2017. Т. 21. № 4. С. 127-138. DOI: 10.21285/1814-35202017-4-127-138.

8. Todini Е., Pilati S. A gradient algorithm for the analysis

of pipe networks // Computer Applications in Water Supply. L.: John Wiley & Sons, 1988. Vol. I. P. 1-20.

9. Review of optimization models for the design of polygeneration systems in district heating and cooling networks / J. Ortiga, J.C. Bruno, A. Coronas, I.E. Grossman; ed. by V. Plesu, P.S. Agachi // 17th European Symposium on Computer Aided Process Engineering. ESCAPE 17. Elsevier, 2007.

10. Wang Jinda, Zhou Zhigang, Zhao Jianing A method for the steady-state thermal simulation of district heating systems and model parameters calibration // Energy Conversion and Management. 2016. V. 120. P. 294-305.

11. Static study of traditional and ring networks and the use of mass flow control in district heating applications / Maunu Kuosa, Kaisa Kontu, Tapio Makila, Markku Lamp-inen, Risto Lahdelma//Applied Thermal Engineering. 2013. V. 54. № 2. P. 450-459.

12. Стенников В.А., Соколов Д.В., Барахтенко Е.А. Методический подход к оптимизации параметров сложных теплоснабжающих систем на основе многоуровневой декомпозиции модели // Трубопроводные системы энергетики: математические и компьютерные технологии интеллектуализации. Новосибирск: Наука, 2017. C. 247-257.

13. Хасилев В.Я. Обобщенные зависимости для технико-экономических расчетов тепловых и других сетей // Теплоэнергетика. 1957. № 1. C. 28-32.

14. Пеньковский А.В. Стенников В.А. Поиск равновесия спроса и предложения на конкурентном рынке тепловой энергии // Трубопроводные системы энергетики: Математические и компьютерные технологии интеллектуализации. Новосибирск: Наука, 2017. C. 293-307.

References

1. Merenkov A.P., Khasilev V.Ya. Teoriya gidravlich-eskix cepei [Theory of hydraulic circuits]. Moscow: Nauka Publ., 1985, 278 p. (In Russian)

2. Novitsky N.N., Sukharev M.G., Tevyashev A.D. Razvitie metodov teorii gidravlicheskix cepei dlya analiza i sinteza svoistv truboprovodnyx sistem kak ob'ektov up-ravleniya [Development of hydraulic circuit theory methods for the analysis and synthesis of pipeline system properties as controlled objects]. Truboprovodnye sis-temy energetiki: matematicheskoe modelirovanie i opti-mizatsiya [Pipeline Power Systems: Mathematical Modeling and Optimization]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2010, pp. 58-73. (in Russian)

3. Tokarev VV, Shalaginova Z.I. Technique of multilevel adjustment calculation of the heat-hydraulic mode of the major heat supply systems with the intermediate control stages. Teploenergetika. [Thermal Engineering], 2016, no. 1, pp. 71-80. (In Russian)

4. Tokarev V.V. Development of a sectionalizing procedure for ring heat networks of closed heat supply systems. Teploenergetika [Thermal Engineering], 2018, no. 6, pp. 84-94. (In Russian)

5. Alekseev A.V., Novitsky N.N. Sovremennoe sos-toyanie i opit primeneniya IVS "ANGARA" dlya resheniya zadach proektirovaniya, ekspluatacii i dispetcherskogo upravleniya sistemami vodosnabjeniya [Current state and experience of using "ANGARA" computer system for solving the problems of design, operation and dispatch control of water supply systems]. Truboprovodnye sistemy energetiki: Matematicheskie i kompyuternie texnologii intellektualizacii [Pipeline Power Systems: Mathematical Modeling and Optimization]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2017, pp. 340-353. (In Russian)

6. Vasant P., Voropai N.I. Sustaining power resources through energy optimization and engineering. Hershey, PA: Engineering Science Reference (of IGI Global), 2016. DOI: 10.4018/978-1-4666-9755-3

7. Yakshin S.V. The method of graph splitting and the principle of heating network additivity. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 4, pp. 127-138. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-4-127-138.

Критерии авторства

Якшин С.В. самостоятельно подготовил рукопись и несет ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

(In Russian)

8. Todini E., Pilati S. A gradient algorithm for the analysis of pipe networks // Computer Applications in Water Supply. L.: John Wiley & Sons, 1988, vol. 1, pp. 1-20.

9. Review of optimization models for the design of polygeneration systems in district heating and cooling networks / J. Ortiga, J.C. Bruno, A. Coronas, I.E. Grossman; ed. by V. Plesu, P.S. Agachi // 17th European Symposium on Computer Aided Process Engineering. ESCAPE 17. Elsevier, 2007.

10. Wang Jinda, Zhou Zhigang, Zhao Jianing A method for the steady-state thermal simulation of district heating systems and model parameters calibration. Energy Conversion and Management. 2016, vol. 120, pp. 294-305.

11. Static study of traditional and ring networks and the use of mass flow control in district heating applications / Maunu Kuosa, Kaisa Kontu, Tapio Makila, Markku Lamp-inen, Risto Lahdelma. Applied Thermal Engineering. 2013, vol. 54, no. 2, pp. 450-459.

12. Stennikov V.A., Sokolov D.V., Baraxtenko E.A. Metodicheski podxod k optimizacii parametrov slojnix teplosnabgaiuschix system na osnove mnogourovnevoi dekompozicii modeli [Methodical approach to optimization of complex heat supply system parameters based on multilevel decomposition of the model]. Truboprovodnye sistemy energetiki: Matematicheskie i kompyuternie texnologii intellektualizacii [Pipeline Power Systems: Mathematical Modeling and Optimization]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2017, pp. 247-257. (In Russian)

13. Khasilev V.Ya. Generalized dependences for technical and economic calculations of thermal and other networks. Teploenergetika [Heat Engineering], 1957, no. 1, pp. 28-32. (In Russian)

14. Penkovski A.V., Stennikov V.A. Poisk ravnovesiya sprosa i predlogeniya na konkurentnom rinke teplovoi energii [Search for a balance between supply and demand in a competitive market of thermal energy]. Trubo-provodnye sistemy energetiki: Matematicheskie i kompyuternie texnologii intellektualizacii [Pipeline Power Systems: Mathematical Modeling and Optimization]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2017, pp. 293-307. (In Russian)

Authorship criteria

Yakshin S.V. has prepared the manuscript for publication and bears the responsibility for plagiarism.

Conflict of interests

The author declares that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.