Метод распределенных лагов в анализе временных рядов метеопараметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

т- =

г1 А

ик+1^к+1

г1+ А + А

(37)

к+2 к+2 к +1

Подставив (37) в (28), мы найдем значения функций а{

а - -гт А А АТ1 ■

“О _ к+2 к+2 к+1 к к-1 >

а = -гт А А АТ2 ■

Ы1 к+2 к+2 к+1 к к-1 ’

а = -гт А А АТ3

2 к+2 к+2 к+1 к к-1

В общем случае выражения (37) и (38) имеют вид

гт А

к+1 к+1

(38)

Т-1 =

гт А А

ик +2 к+2 к +1

п-1

- П А

'к+п-1± X к+(п-і)

І=1

(39)

аа = -г

т

к+( п-1)

(П А

к+(п-і)

)Тк

І+1 к-1 ■

(40)

І=1

Таким образом, из (26) видно, что Тк - матрица являющаяся обратной к матрице (37), есть искомая матрица перехода к канонической форме по входу при п — 3. При этом необходимо отметить, что выражения (38), а следовательно и преобразованная каноническая модель нелинейной динамической системы, зависят от будущих значений переменных состояния.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А.Красовского. -М.: Наука, 1987.

2. Подчукаев В.А. Аналитические методы теории автоматического управления. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

3. Гайдук А.Р. Полиномиальный синтез нелинейных систем управления // АиТ. 2003.-№10: С. 144-148.

4. Краснощеченко В. И., Крищенко А. П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза.-М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,2005.

т

г

к

т

Г

к

т

Л.Ж. Шугунов, Куповых Г.В. МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЛАГОВ В АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ МЕТЕОПАРАМЕТРОВ

В работе проведен анализ распределенных лагов временных рядов среднегодовых значений метеопараметров: температуры и количества осадков в предгорной зоне Кабардино-Балкарской республики. Рассматривая попарно метеопараметры и считая, что один из них является независимой переменной, проводится анализ рядов. В результате анализа определяются регрессионные уравнения[1] для каждой пары метеорологических параметров. Для различных пар рядов такая зависимость характеризуется значениями лагов, при которых наблюдается наиболее тесная корреляционная связь. Для оценки тесноты связи используются статистические характеристики временных рядов, в частности для оценки коэффициентов регрессии используются стандартные ошибки, значения t-статистики, соответствующие уровни при различных сдвигах ряда. Если исходные ряды нестационарные, то для дальнейшего анализа необходимо привести их к стационарности, исключая из них полиномиальные тренды.

Среднегодовые значения исследуемых метеорологических параметров можно в наиболее общем виде описать моделью вида [2]

Z(t) = T(t) + C(t) + e(t), (1)

где Т- тренд (детерминированная функция); C - циклическая составляющая; e - нерегулярная случайная компонента ряда.Тогда центрированный временной ряд примет вид

Zc(t) = C(t) + e(t). (2)

В общем случае модель для анализа распределенных лагов имеет

вид

Y(t) = b0*Z(t) + b*Z(t -1) +... + bk*Z(t - k) t = 1,2... , (3)

где Y- зависимый ряд наблюдений, Z-независимый ряд.

Для получения устойчивых оценок в модели часто используют метод Алмона, в котором неизвестные регрессионные коэффициенты

представляют в виде полинома: bt = a0 + a1*i +... + ai*i1 (l < k) ,

коэффициенты, которого оцениваются из наблюдений.

По изложенной методике проведены анализ и расчеты для временных рядов метеопараметров в предгорной зоне КБР. Установлены корреляционные связи для различных пар временных рядов метеопараметров и получены регрессионные уравнения. Так, регрессионное уравнение, определяющее связь между среднегодовым количеством осадков и среднегодовой температурой в рассматриваемой зоне (г. Нальчик) имеет вид

YJt) = 0,001597* ZJt - 2), (4)

где Y и Z-анализируемые ряды, 2-значение лага ряда, соответствующего, наиболее тесной связи.

Для корреляционной связи количества осадков в г. Нальчике и г. Баксане получено регрессионное уравнение

Y(i) = 519,3 +1 ,22 *(i) + 0,745 * Z(i). (5)

На рис. 1 приведены исходные временные ряды среднегодового количества выпавших осадков в предгорной зоне КБР (гг. Нальчик, Баксан). На рис.1 приведены исходный ряд среднегодовых осадков в г.г. Нальчика и Баксана (аргумент - ряд Нальчик) и ряд, построенный по лаговым

соотношениям. Приведенные графики находятся в удовлетворительном согласии.

■і --- НЛЧ0С --- Б ICO С

Рис. 1. Исходные временные ряды среднегодового количества осадков Результаты анализа по лаговым соотношениям среднегодового количества выпавших осадков в городах Нальчик, Баксан с учетом лагов 0,1 приведены в табл.1.

Pled о f selected uariables (series)

800 750 700 650 1500 550 500 450 400 350 300

1944 1960 1966 1976 1984 1992 2000

1956 1964 1972 1980 1988 1996

— 6KCGC -- - БКЛАГ

Рис. 2. Исходный ряд ( сплошная линия) и ряд, построенный по лаговым соотношениям (пунктирная линия)

Таблица 1

Статистические характеристики анализа временных рядов

Коэф. регр Станд. откл. t( 43) P

0 0,9785 0,076538 12,7853 0,0000

1 0,13759 0,076523 1,79811 0,07918

Из табл. 1 видно, что между рассматриваемыми параметрами существует тесная связь на лаге 0, коэффициент корреляции равен 0,9785.

Ofifi

Анализ, проведенный с учетом большего числа лагов, показывает, что на различных лагах регрессионные коэффициенты и другие статистические характеристики принимают различные значения и позволяет установить наиболее значимые параметры регрессионного уравнения. В табл. 2 приведены результаты такого анализа среднегодовых количеств выпавших осадков для значений лагов 0-5.

Таблица 2

Статистические характеристики анализа временных рядов

Коэф. регр Станд. откл 1( 35) Р

0 0,819330020772 0,125147666583 6,546906092156 0,000000148012

1 0,017714359463 0,121530694902 0,145760373359 0,884946814193

2 0,113735834322 0,112101140158 1,014582315228 0,317267675870

3 0,042676575751 0,115212814627 0,370415182453 0,713305512617

4 0,058320723477 0,122682066115 0,475381001671 0,637468943230

5 0,066948929009 0,126790003412 0,528030027664 0,600810574605

Из табл. 2 видно, что и в этом случае наибольший вклад в регрессионное уравнение вносит слагаемое при значении лага 0, о чем свидетельствуют приведенные в таблице статистические характеристики в исследуемых временных рядах.

Рассмотрен также случай, когда в качестве аргумента (предиктора) взят временной ряд среднегодового количества выпавших осадков в г.Баксане, результаты которых приведены в табл. 3.

Таблица 3

Статистические характеристики анализа временных рядов

Коэф. регр Станд. откл !( 35) Р

0 0,635818576176 0,096030103579 6,62103395163 0,000000118473

1 0,041630855436 0,092441204817 0,45034955481 0,655235782396

2 -0,12195539649 0,088956302529 -1,3709584709 0,179115559238

3 0,131436915329 0,088158314970 1,49091909679 0,144941074007

4 0,076620931771 0,092369353335 0,82950598878 0,412440105425

5 0,132193312179 0,096553730757 1,36911656486 0,179685375818

Из таблицы видно, что и в этом случае наиболее тесные связи

наблюдаются на лаге 0 , однако связь при этом слабее, тогда имеем

регрессионное уравнение вида

1(1) — 391,5 + 2,01 * / + 0,64 * У(1) . (6)

Аналогичные результаты получены и по другим парам

метеорологических параметров.

Проведенный анализ показывает, что корреляционная связь наблюдается практически для всех пар рассмотренных метеорологических параметров, степень связи которых зависит от значений лагов. Результаты такого анализа для различных пар метеопараметров приведены в табл. 4.

Таблица 4

Результаты анализа распределенных лагов различных пар метеопараметров

Метеопараметр Значение лага Коэфф. регрессии

1 Ср. температура 0 0,977892784683

2 Ср. осадки 0 0,819330020772

Ср.температура/Осадки- 2 0,001597155624

Данные, приведенные в табл. 4 показывают, что наиболее сильные корреляционные связи наблюдаются для среднегодовых значений температур, а для среднегодовых количеств осадков связи слабее. Это объясняется, по- видимому, орографией местности, которая сильнее влияет на среднегодовое количество осадков, нежели на температурный режим территории.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе БТАИБТЮА в среде WINDOWS.- М: Финансы и статистика,1999.- 382 с.

2.Шугунов Л.Ж. Динамика среднегодового количества осадков в горной зоне КБР.// Вестник КБГУ. Серия Физ. науки. Вып. 9. Нальчик, 2004.- С.56-57.

Л.Ж. Шугунов, Куповых Г.В. РАЗЛОЖЕНИЕ, АНАЛИЗ И ПРОГНОЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ МЕТЕОПАРАМЕТРОВ

Исследование погодно-климатических характеристик региона проводится с использованием различных видов метеорологической информации. Однако в ряде случаев использование для этих целей временных рядов метеопараметров при их обработке современными средствами позволяет наиболее простыми методами получить достаточно надежные результаты, имеющие важное практическое значение. Для исследования и анализа временных рядов различной природы использованы методы, предложенные в работах [1,2].

В работе проводится анализ, разложение и прогноз временных рядов различных метеопараметров в предгорной зоне КБР (в гг. Нальчике и Баксане) за период с 1944 по 2002 гг. Предварительный анализ исходных данных позволяет сделать ряд общих предположений относительно исследуемых временных рядов.Тогда для описания временных рядов исследуемых метеопараметров можно использовать аддитивные модели следующего вида:

У(1) — ш(г) + С(1) + £, (1)

где т(1) - полиномиальный тренд ряда; 0(1) - циклический тренд,

подлежащие определению, а £ - случайная часть с нормальным законом распределения, с нулевым математическим ожиданием; £ - время. Анализ исследуемых временных рядов показал, что их тренды с хорошим приближением можно описать моделью, определяемой формулой ш(1) — к + ё * I, где коэффициенты к и б определяются методом наименьших квадратов. Для дальнейшего анализа необходимо исключить линейный тренд из ряда, тогда получим центрированный ряд