Метод расчета гармоник в зазоре электрических машин с постоянными магнитами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

МОДЕЛИРОВАНИЕ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

УДК 621.313.3

Я.Б. Данилевич, И.Ю. Кручинина, Л.Ю. Штайнле

МЕТОД РАСЧЕТА ГАРМОНИК В ЗАЗОРЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ

Постановка задачи

Для машин с постоянными магнитами, имеющих большой эквивалентный зазор [1], магнитная цепь загружается не только потоком основной пространственной гармоники [2], но и суммарным потоком, создаваемым также высшими и низшими гармоническими обмотки статора. Следовательно, расчет магнитной цепи машины и потерь в активной стали необходимо вести с учетом влияния этих гармонических, особенно при малых числах пазов на полюс и фазу (0). Отметим,что МДСэтих гармонических могут отличаться по фазе.

Для учета пространственных гармонических обмотки статора целесообразно уточнить известные методы [3, 4] анализа МДС и потока в расточке. Эти аналитические методы, несмотря на их математическую сложность, не учитывают ряд физических факторов, влияющих на процессы в машине. Например, они не учитывают влияние открытия паза статора, так как в них предполагается, что ширина паза статора Вп « 0. Кроме того, они справедливы только для случая, когда число 0 (целое или дробное) больше единицы. Поэтому для обмоток с дробным 0, ВТОМ числе для обмоток в особом случае 0 < 1, целесообразно эти методы уточнить, используя численный анализ магнитного поля в расточке.

Для того чтобы учесть перечисленные дополнительные физические факты (Вп ^0,0 — дробное, в том числе 0 <1), удобно применить численный метод, разработанный в [6, 7]. Отметим, что его использование в случае машин с постоянными магнитами имеет особенности, изложенные ниже.

Для простоты изложения этого численного метода проиллюстрируем его сначала на простей-

шей задаче, имеющей аналитическое решение, — вариант однослойной обмотки с 0 = 1, р = 1, Шф = 3, Вп =0 (где Шф — число фаз, р — число пар полюсов). Это позволит:

проверить результаты, полученные численным методом согласно [6,7] для данного частного случая;

распространить метод [6, 7] на весь класс задач, связанных с проектированием машин с постоянными магнитами, в том числе и для 0<1идр.

Представление гармоник МДС обмотки статора (для случаев (¿>\т(1 <1) в комплексной форме (при Ви » 0)

Однослойная обмотка с О = 1. Рассмотрим простейшую задачу — обмотку с р = 1, = 3. Это соответствует разложению в гармонический ряд ступенчатой кривой МДС, которая получена в предположении, что ширина паза Вп= 0. Учет ненулевой ширины паза изложен в следующем разделе. МДС первой фазной зоны (например, В) такой шестизонной обмотки нетрудно представить в комплексной форме:

,2 кт ,2 ш

р% = сву—х + ф]—х, (1)

где т — номер гармоники; — коэффициент разложения в ряд Фурье для гармоники порядка т фазы В\ х— пространственная координата ( 0 < х< кИ); И — диаметр расточки. В общем виде коэффициент разложения в ряд Фурье [8] выражается формулой

у Т +т)х

С±т=-{ф(х)е т с1х, 1 о

где ф(х) — функция, разлагаемая в ряд.

Для фазы В выражение соответственно имеет вид

соответственно

гв

_ ,2л 1 ^ Т ,2лт

1-х

Т ёх_

]2лт

2Т 6

2л .Г 2лт-2 2л^

е~ -е ^ 6 _3 >

где 1А — амплитуда тока в фазах, Т = пЛ— период.

Для того чтобы получить выражение для ком-

С* следует в выражении заменить т на (—т).

Для второй фазной зоны В'

ГВ' _ ~1ле

,2л

Г

,2лт

_

_

5Т_

6

-

]2лт

,2л /2лт-5 2л

С об _ г-? А . гчВ . А А' . _

СУ180°

у'2ят

ят

(2)

Г/2 ,2лт

5±т = | С±1ге ^ Л.

Гармоника потока порядка /я выражается формулой

Ф =Б

г т т

5 к.,„.

'

Комплексные амплитуды для остальных ''

гично. Следовательно, комплексную амплитуду любой гармоники номера т (т = 1,-5,7, —11,13, ...), не равную нулю, для для всей обмотки получаем в виде

Для того чтобы подтвердить справедливость этого результата, покажем, что площадь под этой многоступенчатой кривой МДС, которая соответствует обмотке с0 = 1,/? = 1,/Яф=3, равна (при т ^8) сумме площадей вида

^сум = + £5 + £7 + ••• +

В результате ступенчатая кривая МДС может быть представлена в виде гармонического ряда

,2лт ,2л т

, Ч ег -X , + I-X

где &нас — коэффициент насыщения; 5 — воздушный зазор.

Площадь 5т под каждой гармоникой МДС

согласно (3) соответствует в определенном мас-'

сумма этих площадей должна быть равна площади под многоступенчатой кривой, которая разлагается в ряд. Эта площадь в том же масштабе соответствует результирующему потоку в зазоре обмотки статора.

Нетрудно показать, что в случае такой обмотки для гармоник порядка т =6к +1 (к — 0,1, 2,...) С_тФ 0 и определяется из соотношения (1), а С+т = 0 ; в то время как для гармоник порядка т = 6£+5(£ = 0, 1,2...) С+т*0,а С_„=0.

Сумма площадей гармоник 5 при общем числе гармоник 7 равна 0,6447, при 31 — 0,6605, а при 991 -0,6665.

Из этого следует, что при общем числе гармоник, стремящемся к бесконечности (в случае Вп / г = 0), =0,666(6)т. Здесь принято 1А = 1.

В Приложении 1 показано, что площадь многоступенчатой кривой МДС, соответствующей обмотке С0 = 1,^ = 1,я7ф=3, равна 0,666(6)/^т. Это подтверждает справедливость разложения ступенчатой кривой МДС в гармонический ряд в комплексной плоскости.

Таким образом, разложение в ряд в комплексной форме в общем случае может быть использовано и для многоступенчатых кривых МДС, которые соответствуют обмоткам с0<1и0>1.

Метод определения гармоник МДС двухслойной обмотки с использованием гармонического анализа однослойной (0— целое или дробное). Комплексная амплитуда МДС для двухслойной обмотки может быть получена путем гармонического анализа МДС однослойной обмотки следующим образом:

г-обмдв _ Г"Обм

-*• _ РИ -*• _ РУ1

1 + е

. , , Р т

(4)

Аналогично

г-обмдв _ робм

_L PVJ _1_ ш

1 + е

где р — укорочение шага обмотки.

Причем, как и в случае с целым 0, существует (то есть не равна нулю) либо гармоническая составляющая для +т либо для — т .

В частном случае для обмотки с полным шагом получаем известное соотношение [5]

F

обм дв

= 2F

обм

соответственно

гобмдв г( +т ~ АГ+,„

Приведенные соотношения (4) и (5) справедливы как для целого 0, так и для дробного.

В Приложении 2 (табл. 2) приведены в качестве примера результаты расчета гармоник МДС для двухслойной обмотки с целым 0.

Особенности однослойных и двухслойных обмоток с дробным Q (Q > 1, Q < 1). Известно [2], что в кривой МДС обмотки с целым числом 0 присутствуют гармоники порядков т = р, —5р, 1р, —11 р, 13р, —\1р, 19р,...

Особенностью обмоток с дробным 0 является наличие в кривой МДС, помимо высших (т. е. порядка т =р) гармоник, также и низших, порядок которых т <р.

В случае обмотки с дробным 0 (где 0 = а + b/c, а, 6, с — целые числа) появляются дополнительные (по сравнению со случаем, когда 0 — целое) гармоники «дробных» порядков. Рассмотрим варианты, когда знаменатель дробности с — четное число и когда с — нечетное число:

а) с — нечетное число. В этом варианте два смежных основных сектора начинаются разноименными полюсами (за начало отсчета принимается ось симметрии обмотки) [9], поэтому кривая МДС второго основного сектора повторяет кривую МДС первого сектора с переменой знака. Таким образом, кривая МДС двух смежных основных секторов представляет период кривой МДС всего статора и может быть разложена на основную и высшие гармонические. Основная гармоническая этой кривой, полюсное деление которой охватывает дугу ст, является низшей гармоникой порядка 1 /с по отношению к нормальной (основной) гармонике, вращающейся синхронно с ротором. Остальные гармоники по-

^ обм

рядков 5, 7, 11, 13 и т. д. по отношению к нормальной гармонике являются низшими, порядка 5/с, 7/с, 11/с, 13/с,... Соответственно в кривой МДС имеются гармонические с номерами т =р/с, 5р/с, 1р/с, 11 р/с, 13р/с, 17р/с, \9р/с,...

Таким образом, например, для обмотки с 0=4/5,/? =40, ж = 192 (табл. 3 в Приложении 2) все номера т гармоник получаются четными (40/5, 200/5, 280/5...). В случае нечетного числа пар полюсов все т окажутся нечетными;

б) с — четное число. В этом случае с — четном два смежных основных сектора начинаются одноименными полюсами, т. е. повторяют кривую МДС. Поэтому здесь каждый основной сектор в кривой МДС, равный ст, следует принимать за двойное полюсное деление. Следовательно, в кривой МДС имеются гармоники с номерами т =р/(с/2), 2р/(с/2), Ар/(с/2), 5р/(с/2), 1р/{с/2/)Лр/(с/2), Юр/(с/2), Пр/(с/2), Пр/(с/2), \4р/(с/2) ... В этом случае возможно наличие и четных, и нечетных порядков т.

Сумма площадей для дробной обмотки (аналогично (2)) описывается формулой

Sm —

£

Т((т-\)/(т)

Fme

2жт

~dx —

=4 (-1)

т

j2nm

2ямГ(2м-1)

2 m

-

=("1Н

F"T (е->(2»-0_е-уо\_

J2nm V

FT FT

j2nm Jnm

(6)

Гармоника порядка т потока дробной обмотки записывается аналогично (3').

Представление гармоник МДС обмотки статора ((2 — целое или дробное, случаи (2>1и(2<1) в комплексной форме для случая ВиФ 0

В случае ВпФ 0 ступенчатую кривую распределения МДС в зазоре в пределах одного зубцо-вого деления Т3 представим в виде двух участков: участка протяженностью В3, в пределах которого функция тока сохраняется неизменной, и участка протяженностью Вп, в пределах которого функция тока изменяется по линейному закону (В3 — ширина зубца в зоне расточки,

и = 7 + 7 )• Это допущение о линейном законе распределения тока по ширине паза Вп оправдано, так как с достаточной для практики точностью линии потока пазового рассеяния являются прямыми [4], параллельными основанию паза.

Плотность тока в пазу =

где Уд, — ток в пазу с номером Н — высота паза.

Результаты расчета для этого случая приведены в табл. 1,2, 3 Приложения 2.

Коэффициент аЕ для расчета ЭДС генератора с учетом высших пространственных гармоник

На практике в рамках приемочных испытаний машины с постоянными магнитами определяется характеристика холостого хода генератора в виде Е=Дп), где Е— ЭДС фазы, п — частота вращения машины. Эта ЭДС с учетом гармоник высшего порядка т может быть записана в виде

где

Е = Ел + Е$ + Е& +... + Е ,

Ет = —юФ тШо6м.

Ор = 1+-

Есп + Е1п + Е,,п + ■■■ + Е,

-5 р т

11 р

СТг =1 + -

А

Рр^обырОК-З

(7)

Проведенные расчеты показывают, что для целых значений 0, равных 1, 2, 3,4, 5, коэффициенты а Е при Вп = 0 и при Впф0 примерно равны 1.

Здесь и в последующих примерах коэффициенты аЕ получены с учетом фазы МДС при ОКЗ =1.

Коэффициент аЕ дня случая, когда 0 — дробное. Потери в активной стали. Для генераторов с постоянными магнитами, имеющих дробное 0, большее или меньшее единицы, в соответствии с (7) получим следующее:

для дробной обмотки с нечетным знаменателем дробности

а г =-

обм

5р/

ОКЗ к

обр

250КЗ к

+ ...+

+ ! + ... + ■

г л2 тс

ОКЗ

обр

обм т , обр

для обмотки с четным знаменателем дробности с

Здесь Фт определяется согласно (7); коШ — обмоточный коэффициент для гармоники порядка т\ ]¥— число витков обмотки; ю =2р/— круговая частота вращения (/— частота сети).

Соответственно для /Г можно записать

к2 р

п С2 + Ор =----+

1 40 КЗ к2-

оомр

+1+.

обм-

2р (с/2)

440КЗ 4м,

кК

оомт

Г \2

тс

ОКЗ

к2 обм р

Коэффициент аЕ для случая, когда 0 — целое. Для генераторов с постоянными магнитами и шихтованным ротором может быть получено выражение

В табл. 2 и 3 (Приложения 2) приведены в качестве примера результаты расчета гармоник МДС для двухслойных обмоток с дробным 0,

меньшим единицы (0 = —) и близким к единице

= 1 +

^обм5р + ^ ^обм7 р +121

^обм! р

ОКЗ

--Ц-2

2 "-обм тр

т_.

^ " ^Ър ^обм5/> + ^Тр у^-обмТр + + \р ^^обм! \р + ••• + ^т~^обмтр-

(О = —). Обе обмотки используются для вариантов расчета генераторов с постоянными магнитами. Из анализа результатов расчета МДС следует, что обе эти обмотки отличаются значительными амплитудами низших гармоник. Следует отметить, что эти гармоники вызывают не только значительные добавочные потери в активной стали, но и вибрации корпуса.

Отметим также, что учет ширины паза связан с увеличением добавочных потерь от высших зубцовых гармоник.

Предложен численный метод анализа МДС обмоток с произвольным числом 0 (целым, дробным, (К1 и 0>1). На основе этого анализа определен коэффициент аЕ, необходимый для расчета потока взаимоиндукции в зазоре и ЭДС обмотки

Расчет площади под многоступенчатой кривой МДС однослойной обмотки с 2 = 1, /» = 1, г = 6

Пусть А — амплитуда тока; У0 — некая координата, выбранная таким образом, чтобы площадь кривой выше этой оси равнялась площади кривой, расположенной ниже этой оси.

Шаг Т/6 соответствует пазовому делению. Площадь кривой:

(Л + У0)) + ( + У0+0,5Л)) + ( + У0+0,5Л-0,5Л)) + + (Л + Уо+0,5Л-0,5Л-Л)) +

статора, индуктированной этим потоком. При а

отличаться по фазе. При нетрадиционных конструкциях обмотки статора, например при (К1, гармонические составляющие в обмотке статора (как высшие, так и низшие) могут увеличить ЭДС основной гармоники на 15—20 %.

Работа выполняется при поддержке гранта РФФИ 10-08-00399

Приложение 1 + (Л + Уо+0,5Л-0,5Л-Л-0,5Л)) +

+ (Л + Уо+0,5Л-0,5Л-Л-0,5Л + 0,5 Л)) = 0.

Отсюда следует, что У0 = —0,5А.

Вычислим площадь под кривой на интервале от 0 до Т/2:

(Л-0,5Л)) + (Л-0,5Л + 0,5Л)) +

к ' 6 6 3 3

(В нашем случае Т = 2т, так как р —

Приложение 2 Таблица 1

Результаты расчета гармоник для двухслойной обмотки с Я = 12; У = 6; р = 1; <2=2

т V = т/р С(±т)/С' (±т) для тф=3 Ф(±т)/Ф' (±т) для тф = 3

1 1 1-/ЛШ/0,9971еДЛШ 1-/""70,9971-е Я74*"

-5 -5 0,0536-е 0498-е ки'ш 0,0107-е "зо70,0100-е" ™

7 7 0,0383-ениь'У0,1397-е |, %'5 0,0055-е "-'070,0047-е а5'43

-11 -11 0,0909-е " ,о70,0626-ею "ш 0,0082-ениь1!,/0,0057-е"%'5

13 13 0,0769- е|Ш70,0448-еа№ь 0,0019-ениь70,0034-е№5

Таблица 2

Результаты расчета гармоник для двухслойной обмотки с г = 192; У = 2; р = 40; 0= 4/5 [4]

т V = т/р С(±т)/С (±т) для тф= 3 Ф(±т)/Ф'(±т) для тф= 3

-8 40 1/5 1 0,2873-е я"70,2870-е 1,0-е"'7<"7/0,9819-еи,!'8 1,4340-е |<1Ь571,4358-е 1,0-е|<ш70,9811-е|<1'4ЬН1

Примечание: Амплитуда основной гармоники (т = р = \) при 0 принята за 100 %. В первом столбце номерам гармоник т со знаком «минус» соответствуют обратные гармоники (вращающиеся в направлении, противоположном вращению основной гармоники), а со знаком «плюс» — прямые (направление вращения которых такое же, как и у основной гармоники). В третьем столбце указаны С_,„, где в скобках — значение из первого столбца (с тем же знаком). Амплитуды С соответствуют анализу при Вп ^ 0, а амплитуды С— при Вп/ (= 0,5. В четвертом столбце аналогично приведены Ф_,„.

Окончание табл. 1

т V = т/р С(±т)/С' (±т) для тф = 3 Ф(±т)/Ф'(±т) для тф= 3

-56 -7/5 0,0940-е ао,70,0907-е'"'04 0,0692-е " 4'70,0648-ен 'ш

88 11/5 0,0200-eU4S7'/0,0183-е аоь'1'1 0,0091-eiO,,'70,0083-е 14 64,17

-104 -13/5 0,0170-е jOb570,0150-е jL5°7 O^OÖSS-e^^OOS?-/^'

Таблица 3

Результаты расчета гармоник для двухслойной обмотки с Z = 180; У = 2; р = 25; Q = 1/5

т V = т/р С(±т)/С (±т) для тф= 3 Ф(±т)/Ф'(±т) для тф= 3

-5 -1/5 0,1722-е 100Ж/ОД722-еа0'07 0,8609-ei,4S70,8609-ei45S'5

25 1 1,0- е'0"4'"'/0,9921 • е Я4"' 1,0-е jL,'70,9934-еj4057'1

-35 -7/5 0,0842 • е j0"'0"/0,0829- е'ыш 0,0596-е|О',570,0596-еа7%'

55 11/5 0,1150-е j2JS,7/0,1106-ei,4W 0,0530-е а7570,0132-еj0J W

-65 -13/5 0,0337-еj,J'70,0319-eiL4W 0,013 2 • е'0"4'"'/0,00 3 3 • еао'07

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Данилевич, Я.Б. Гидрогенератор с возбуждением от постоянных магнитов |Текст| / Я.Б. Данилевич, В.Н. Антипов, Л.Ю. Штайнле // Энергетик,-2010. №2.

2. Вольдек, А.И. Электрические машины |Текст| / А.И. Вольдек, В.В. Попов,- СПб.: Питер, 2007.

3. Вольдек, А.И. Намагничивающие силы трехфазных дробных обмоток |Текст| / А.И. Вольдек // Труды ЛПИ,- 1960.— № 209.

4. Каазик, П.Ю. Магнитное поле в воздушном зазоре асинхронных машин с дробными обмотками |Текст] / П.Ю. Каазик // Труды ЛПИ. 1960.— № 209.

5. Коетенко, М.П. Электрические машины: Часть 2 |Текст| / М.П. Коетенко, Л.М. Пиотровский,— М.-Л.: Энергия, 1965.

6. Богуславский, И.З. Метод исследования НС реакции якоря обмотки с дробным (? |Текст| / И.З. Бо-

гуславский, Я.Б. Данилевич, Л.Ю. Федоришина (Штайнле) // Scientific proceeding of Riga technical university. Power and electrical engineering.— Рига: Изд-во РТУ, 2001,- Сер. 4. 4. 4.

7. Кручинина, И.Ю. МДС многофазных обмоток статора с дробным числом пазов на полюс и фазу |Текст| / И.Ю. Кручинина, Л.Ю. Штайнле // Электротехника,- 2010,-№8.

8. Корн, Г. Справочник по математике |Текст| / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1970.

9. Бергер, А.Я. Синхронные машины |Текст| / А.Я. Бергер,- М.: ГОНТИ, 1938.

10. Богуславский, И.З. Двигатели и генераторы переменного тока: теория и метод исследования при работе в сетях с нелинейными элементами |Текст| / И.З. Богуславский.— С-Пб.: Изд-во Политехнического университета, 2006.

УДК620.1 78.746.22:669.001.5

А.И. Рудской, Н.Г. Колбасников, А.И. Боровков, A.C. Немов, О.Г. Зотов, A.A. Лукьянов

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДАРНОЙ ВЯЗКОСТИ СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ МЕТАЛЛОВ

Ударная вязкость — функция множества переменных. В работе принято, что значение ударной вязкости определяется структурой металла, которая в свою очередь зависит от химического

состава и параметров обработки. Используя модель горячей прокатки Hot Strip Mill Model, можно перед прокаткой определить механические свойства и параметры структуры сталей, а най-