Метод принятия решения в условиях неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 007.621: 518.2 Д.Б. Козлов (Тула, ТулГУ)

МЕТОД ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Предложен метод принятия решения с использованием приближенной лингвистической модели трудноформализуемого процесса, основанный на графовом представлении такой модели. Представлены способы оценки достижимости цели принятия решения и генерации альтернатив с использованием предлагаемого подхода. Произведена пиенка его эффективности.

В современных условиях все чаще наблюдается возрастание сложности процессов в таких областях, как экономика, медицина, экология. Лицу, принимающему решение (ЛПР) в этих условиях, необходимо перерабатывать большое количество информации за короткий промежуток времени, поэтому подготовка решений должна производиться при помощи информационных технологий. Задачи выдвижения множества возможных решений - альтернатив, оценка последствий их влияния на исследуемый объект и формирования подмножества рациональных решений возложены на так называемые системы поддержки принятия решений (СППР).

Как правило, любая система, имеющая взаимодействия с внешней средой, может быть представлена в виде кортежа <2,Е, ЩХ, 11,5, У> , где Z-мнoжecтвo факторов, влияющих на поведение внешней среды; Е - множество переменных, описывающих состояние внешней среды; X - множество переменных, описывающих неуправляемые входные воздействия исследуемой системы; ^-множество неучтенных факторов (возмущений), влияющих на систему; и - множество переменных, характеризующих управляемые входные воздействия; 5 - возможные состояния исследуемой системы; У - множество выходных переменных, характеризующих исследуемую систему. Тогда поведение системы может быть описано как отображение: (Х,У,\У) ->£'—> У, а описание текущей ситуации определено как

(адк)->1 = <£■,£)

{гк-ихк>Ук-\) = ^ке1,гег,хеХ,уе¥, где оценка текущей ситуации, Е- множество подобных оценок.

Поведение системы предлагается описывать соотношениями

{хк,ик,у>к,Ук-\)^>Ук>{2к-\>хк,*гк)^>зк, ук = V* +у1>

где И] -взаимосвязь между вектором состояний системы и выходными параметрами, VI- некоторое возмущение. Характер поведения среды определен следующим образом: (гк,ук_\) -»• =^2гк +у2> гДе Л2-взаимосвязь

между вектором факторов, влияющих на среду, и параметрами среды, оказывающими влияние на систему, V2— некоторое возмущение, состоя-

ние среды. Полагая существование обратной зависимости g = h~\ возможно построение оценки текущей ситуации

h =(4>h)-{si(sk),g2(xk)},p(dk,5l)>b, где р() - метрика расстояния

Л А у

между оценками ситуаций, дк~ оценка текущей ситуации, 5к - оценка желаемой ситуации, 8- величина в заданной метрике, характеризующая наличие проблемной ситуации. Под проблемной ситуацией рассматривается

А А ф

выполнение неравенства of5,*..§.%) > 5. Задача поддеожки принятия пеше-

Г " Г* \ К' К ' “ ’ х х I

ний (ПР) формулируется тогда в виде задачи выдвижения множества возможных управляющих воздействий U, и подмножества U* с учетом их параметрических и функциональных факторов

Mmin i ~и i - Mmax v г = >

cmin j — Ф j(u) — ‘-max j> 7=1,..,/?, (1)

где (p}{\i) могут быть функционалами или функциями ОТ U, Hmjn ;, Mmax j,

Cmin j >cmax j - ограничения нормативного вида (которые нельзя нарушать),

такого, что расстояние от текущей ситуации до цели принятия решения будет минимальным, т. е.

и'={и *и\ьк7^81),

и = arg min p(S*,S*). (2)

и eV

Показано, что, помимо достижения цели, при ПР необходимо также учитывать наличие имеющихся ресурсов, позволяющих оценить качество решения в виде множества критериев Q в зависимости от текущей ситуации и выработанного управляющего воздействия. Таким образом, процесс поддержки принятия решения представляется в виде четырех этапов.

1. Построение оценки текущей ситуации, её классификации, опре-

___ А А

деление цели ПР и оценки целевой ситуации F(8*) = argminEc(8*),

£c(S*) = Xp(8*,8* |м*), uk=u\T(8k_uF(5k)), где р(8*,8* |ик)~ расстоя-

ние в заданной метрике между целевой ситуацией и ситуацией, полученной при реализации решения ик, которое находится исходя из оценки

А А

ситуации 8*_!, и ее классификации F(8A_,), Г() - процедура получения та-

А

кого решения, F(8k)- классификационная функция, определяющая принадлежность ситуации к i-му классу.

2. Генерация множества альтернатив U с учетом ограничений (1,2), ведущих к достижению цели. Необходимо выполнение следующего

А А * А Л А

условия p(8A_j,8A) > р(8А.,8А), для ситуации, оцениваемой как

5* ={б*,$*) = {#]О/*),g2(**))> где Р() ~ метрика расстояния между оцен-

A Af

ками ситуаций, 5к - оценка текущей ситуации, 8к - оценка желаемой ситуации, k-этапы реализации альтернативы.

3. Оценка последствий применения альтернатив и прогнозирование поведения объекта. Представляет собой процедуру формирования оценки будущих значений объекта по определенной выборке данных WN его предыстории, т.е. для W/c+i_jCX) значений входных переменных

Wk+L-i(X) = (х/ е X,i = к- N,..k + L-1} требуется спрогнозировать

Ук + ьКО'ХИ'т-К*) = n»W>Wk+L-i(X),I),yk+L е Y .

4. Выбор наилучшей альтернативы, с учетом условий оптимизации относительно выбранных критериев, т.е. выбор таких решений u^eU, для

которых выполняются условия

п п

ир = {и: argmax £<*>/$/. со,- > 0, = 1}

ueU /=1 ’ /=i

ueU = {и,-1 Q( б,б*,м() > Eq , р(6,6*) < 8Г},

Л А

где 9, - значение элемента вектора частных критериев (?(5,5 ,и,), еq- допустимая нижняя граница области в пространстве критериев рационального решения, допустимая граница достижения цели принятия решения в выбранной метрике.

Исследуемый процесс или система может быть описана переменными количественного и качественного типа, измеряемыми в номинальной, порядковой, относительной шкале и шкалах других видов. Поэтому применение формальных моделей, а также приближенных моделей, использующих только количественную информацию, как правило, оказывается малоэффективным. Однако, поскольку ЛПР в ситуации априорной неопределенности интересует не точное значение получаемых результатов, а лишь принадлежность его к некоторому интервалу, то предлагается процесс принятия решения строить с использованием методов, основанных на использовании лингвистической модели (ЛМ). Такая модель представляется набором правил вида «ЕСЛИ входные воздействия ТО выход» и позволяет работать с переменными, оцениваемыми как количественно, так и качественно, приводя входные переменные к виду лингвистических: к

LIN = v (аи л а2, л • • • л ат1 л bt), а •, е 2(Хbt е 3(Y), i~\

где ау - лингвистическое представление входной переменной, bj - лингвистическое представления выходной переменной, •)- оператор преобразования к лингвистической переменной(ЛП). Выражение а1/ Aa2i л"' Aami будем обозначать как т- конъюнкцию термов (кон-

терм) входных ЛП, а набор правил тогда может быть записан в виде набора импликаций m^bi. Нахождение набора правил из предыстории поведения объекта (обучающей выборки) осуществляется методом, основанным на оценке информационных критериев [1], позволяющим получить модель, адекватность которой достаточна для ПР. Поскольку контерм модели представляет лингвистическую оценку состояния исследуемого процесса

А

/я, «б,-, то переход от одного такого состояния к другому за счет изменения значений входных переменных будет представлять собой оценку изменения состояния процесса. Таким образом, имея информацию о возможных переходах, можно найти такую их последовательность, при которой состояние исследуемого процесса изменяется от исходного до целевого. Таким образом, возможно представление ЛМ процесса в виде графа G(LIN), матрица связности которого характеризуется следующими соотношениями:

1,р{mihml ) = ттр{т$,т1 )

У г У ,к -\.л,1 = 1..и,£ ф1 ,

О

к I к I

где rtijj,т -конъюнкции термов входных ЛП, р(тц,т )- мера расстоя-

ij ij

ния между ними, п - число правил в модели. Определение метрики осуществляется следующим образом:

dim(OT(y)

р(т*-,ту)= £ |r(a«*)-r(e«)|,

к

к* к к* к где г(ау ),r{aij) е /?, порядковое значение термов ЛП, ау и мно-

жество порядковых значений термов /-й входной ЛП. Если возможно понижение шкалы до ранговой, в случае, когда эти переменные измеряются в

номинальной шкале, значения г(ау) принимаются наименьшими из всего

множества правил ЛМ либо задаются ЛПР. Применение ранговой шкалы позволяет наиболее простым способом привести все переменные, используемые в модели, к единому масштабу и избавиться от необходимости в нормировании и предварительной статистической обработки исходного набора данных. Таким образом, в получаемом графе расстояние между вершинами будет минимальным, а переход из одной вершины в другую будет представлять операцию по изменению управляющего воздействия, такую, что для неё возможно записать приращение интегрального критерия ДQ() или вектора частных критериев, соответствующих изменениям входных воздействий

1 2

где t - время перехода, L - действия, выполняемые ЛПР для осуществления решения. Значения Д£Ю определяются исходя из целей принятия решения, а оценка альтернативы представляет сумму значений ДQQ при выполнении каждой операции.

Применяя графовое представление ЛМ исследуемого процесса или системы, возможно построение оценки достижимости цели ПР, исходя из

текущей ситуации. Примем отображение } за множество вер-

шин, которые достижимы из тк с длиной пути 1 и для которых в графе

о

существуют дуги тогда Г^(т^) = Г(Г(/я^)) соответственно со-

стоит из вершин, достижимых с использованием путей длиной 2, а Гп(тк)

- множество достижимых вершин с использованием пути длиной п. Таким образом, оценка достижимости цели ПР осуществляется нахождением множества вершин графа G(LIN), достижимых из вершины, характерной оцениваемой ситуации тк:

ртах

R(mk) = mk\J U Г'Оя*),

/=1

где /7тах - максимальное число шагов (длина пути), за которое может быть достигнуто решение. Признаком достижимости такого решения является непустое подмножество R{mk) е R(mk) вершин, ведущих к цели. Достижимыми в теоретическом плане будут все решения, входящие в подмноже-— к

ство R(m ), а рациональными будут решения, для которых выполняется условие AQ i i < г), где / - вершина графа, характеризующая текущую си-

/W | /я

туацию, из которой осуществляются поиски путей достижения возможных решений, j - вершина, определяющая ситуацию после выполнения ряда элементарных операций, ri - ограничения, накладываемые ЛПР на качество решения и выражаемые в той же метрике, что и &Qmi Щ1 • Представляя

контермы ЛМ в виде конъюнкций входных управляемых и неуправляемых входов, (rrij -> bj) s (aj & cj ->bj), где с. - контерм контролируемых, a j

- контерм неконтролируемых(ситуационных) ЛП. Таким образом, граф элементарных операций представляется в виде подграфов G(LIN\aj), характеризующихся конкретным ситуационным контермом aj. Очевидно,

что эквивалентными ситуации можно считать в том случае, если исходная ситуация, описываемая некоторой областью, заданной контермом aj, приближена на достаточное расстояние в заданной метрике к области о,- и выходные величины при одинаковых управляемых входах также совпада-

ют, т.е. условия эквивалентности ситуаций записываются как ау = я,-,если| цу -ц* |< е,/?у * 0

Лу ={(с) -*£*)|ау},Д/ ={(с* -»&*)|в,-},Лу ={а,-|ау ««/} где множество ситуаций, эквивалентных aj,Rj,Ri- множества правил, описывающих сходные ситуации, ^,Цу-функции принадлежности

(ФП) ситуаций, вычисляемые как цу = шах( тт \хак • (**))• В вышепред-

к=\..т *■'

V V/ V/

ставленной записи условии эквивалентности ситуации предполагается, чло изменение управляемых входов ЛМ исследуемого процесса происходит при сохранении максимальных значений их ФП, т. е. конъюнкция су имеет ФП Цу > Цу. Тогда при условии равенства выходных значений 6у и 6,-

для идентичных су и с, ФП выходных переменных определяются исключительно значениями переменных, описывающих ситуацию, т.е., если йу « <3,-, то

= шах[ тт ц*Дх*), тт ц^Дх*)].

к=1..т я=1..т

Таким образом, использую информацию об элементарных операциях в ситуациях, аналогичных а;, для вершины т,- = ау & с у возможно

восстановление недостающих ребер графа элементарных операций О(ЫЩа^), а множество достижимых вершин из вершины т] будет оцениваться как

р\пах

/?Оу) = Я{т^ | яу) у /?(»?,■ | я,-)/!,- е А].

/=1

Для процедуры ПР предлагается построение ориентированного графа таких элементарных операций. Поиск решения осуществляется при помощи алгоритма Дейкстры, результатом которого является несколько путей из исходной вершины в требуемую, каждому из которых соответствует последовательность операций (сценариев), необходимых для достижения решения. Задача выбора наилучшего сценария решается ЛПР в зависимости от сформулированных им критериев выбора.

Рассматривая эффективность предлагаемой методики поддержки ПР, необходимо оценить влияние основных негативных факторов, снижающих эту эффективность. В методах, использующих приближенные модели, такими факторами являются объем исходной информации и наличие возмущений в исходных данных. В общем случае оценить эффективность какого-либо метода для трудноформализуемых задач возможно только в сравнении с другим методом, т.е.

Ел

= -УЕ‘ Е‘ =Ы^ЛА]>д[иР,8в] N^1 А’ А [0

А с/4т .гп/5 с* - А\

^Г,5"] = ?[(2(5,5,«Г),Р(§">§)] (4)

0(5,8*, м,) > ее, р(8,5*) < £ Е

где Е1а - критерий эффективности рассматриваемого метода А в сравнении с альтернативным методом В, обусловленный значением вектора частных

А А ф

критериев 6(8,8 ,Ы() и достижением целевой ситуации, выражаемой мет-

А А| А

рикой р(8,8 ), в заданных ЛПР границах ед,е^,, щ - решение, получен-

А 1

ное с помощью метода А, 8 - ситуация, в которой будет находиться

Л л л

система после воплощения этого решения в жизнь, <7[м,- ,8 ]- величина, количественно характеризующая предлагаемое решение, / - номер испытания, N - общее число испытаний. Эффективность работы предложенного метода оценивается для формализованного объекта, характеризующегося следующими зависимостями:

хіх2,(а\ > 0) & (а2 > 0)

*1*2>(а1 < 0) & (а2 < 0) 2*1*2

где X/, Х2 е [0,1] - управляемые входные воздействия, а/, а? - переменные, описывающие ситуацию. Задачей принятия решения является достижение

F(<Зl,<Я2>*b*2) заданного значения Р* с исходными данными а\=а®, а2 = а?, *1 = *1°, *2 = *1° • Критерии качества решения задаются как

С(*1,*2> = V*!2 +*2>

шах

д[хих2,Р,Р ] = ае(х„х2)/бтах +(1-а)р(/’,^*)/рт

где а е [0,1]— степень важности каждого показателя, 6тах>Ртах~ максимальные значения показателей. Оценка эффективности предлагаемого метода включает: определение зависимости эффективности метода от величины случайной составляющей возмущений и определение зависимости от объема обучающей выборки. Первый этап предполагает, что в обучающей выборке присутствует нормально распределенная шумовая составляющая с = N(0, уЬ) , где V - доля длины интервала I изменения

выходной переменной. Тогда выборка формируется следующим образом:

У(а1,а2,х1,х2) = Р(а],а2,хьх2) + о.

Определение величины Еа производится за счет сравнения предлагаемого метода с решением поставленной задачи аналитическим методом, для которого возможно нахождение оптимального решения. Поэтому получаемые предложенным методом решения будут заведомо хуже относительно критерия (4), однако значение величины Ед будет показывать

долю рациональных решений. Для построения ЛМ и на её основе - графа элементарных операций производилось получение обучающей выборки путем генерации равномерно-распределенных случайных величин входных переменных в заданных условиями интервалах. Объем обучающей выборки РГдг составлял величину, в 12 раз превосходящую число правил

"а

ЛМ NM =nbY\nai, и определялся как \WN |= 12NM, где пь- число выход-i=i

ных термов, nai - число термов 1-й входной переменной. Далее производилось построение ЛМ и графа элементарных операций методом, описанным выше. Задача принятия решения формулировалась следующим образом: для случайно выбранной вершины графа также случайно выбиралось значение выходной переменной, которое необходимо получить. Производились формальное решение задачи и решение при помощи предлагаемого метода, в результате сравнения которых оценивалась величина (4). Эксперимент проводился 20 раз с изменяющимся значением v от 0 до 0,2.

Оценка влияния объема исходной информации на эффективность предлагаемого метода производилась следующим образом: объем обучающей выборки существенно сокращался и составлял | WN |= 2Nм. Помимо этого, из уже полученной модели случайным образом исключались Ny = yNM правил, где у - доля исключаемых правил, N общее число

правил в модели. После этого производился поиск решения согласно поставленным выше условиям. Результаты экспериментов приведены в таблице.

Оценка эффективности метода

v,Y 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20

е: 0,98 0,98 0,96 0,93 0,89 0,84 0,78 0,72 0,64 0,56

Е\ 0,95 0,93 0,91 0,88 0,84 0,79 0,73 0,67 0,59 0,51

В результате эксперимента показано, что предлагаемый метод позволяет получить лучшее по критериям, задаваемым ЛПР, решение по сравнению с мнением эксперта при равной возможности принятия ошибочного решения. Таким образом, предложенный метод генерации альтернатив и оценка последствий их реализации на основе использования графового представления ЛМ позволяет добиться наилучших по сравнению с экспертными методами результатов и может быть использован

в задачах поддержки ПР для класса трудноформализуемых объектов в таких областях как экология, медицина, экономика, геология.

Библиографический список

1.Токарев, В.Л. Основы теории обеспечения рациональности решений: монография / В.Л.Токарев. - Тула. ТулГУ, 2000. - 120 с.

Получено 17.01.08

УДК 629.7.06

А.М. Ильин (Тула, ТулГУ)

ИНФОРМАЦИОННОЕ ПОДОБИЕ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОБЪЕКТОВ ПО ЦИФРОВЫМ КАРТАМ МЕСТНОСТИ

Рассматривается методика построения дорог при генерации рельефа местности для фоноцелевой обстановки с учетом релевантных уровней подобия. Данные представлены по цифровым картам местности.

Важным элементом подобия [1,2] при построении трехмерной карты местности является сеть дорог и элементы ее инфраструктуры. Основные составляющие, которые используются при обучении на тренажерах: дорога (протяженный участок дороги) - используется для прогноза траектории движения целей, также для обучения навыкам вождения; перекресток дорог - служит ориентирами и точками пристрелок; мост -стратегический объект для удержания или его уничтожения.

Дорога в цифровой карте местности (ЦКМ) представлена как линейный объект А,, А2Ан, где N - количество точек, и семантикой. Для

реализации геометрического подобия и дополнительных вычислений будем использовать данные из семантики: ширина проезда, ширина, тип слоя дороги. Топологию сети представим в виде графа, где вершиной является перекресток дорог/мосты, а дугой Я - дорога (участок дороги), содержащая информацию о точках геометрии (А1,...,АХ). Вершины являются более

приоритетными, поэтому сначала рассчитываются они, а далее по их данным дороги. Основные этапы построения сети дорог:

предварительная фильтрация данных дорог карты - возможны ситуации, когда на карте дороги не доведены до других дорог (не образуют перекрестков);

построение топологии дорог;

коррекция топологии - из-за схематичности и ошибок карты необходимо откорректировать положение точек дорог и перекрестков;