Метод построения алгебраических пространственно-частотно-временных кодов Текст научной статьи по специальности «Математика»

88

Общетехнические задачи и пути их решения

Формальные описатели несут в себе определенную информацию, которой можно руководствоваться при выборе механизма поддержки требования целостности и при написании программного кода триггеров. Описатели требований целостности применимы при проведении формальной верификации ОЦ и триггеров БД.

Библиографический список

1. Введение в системы баз данных : учеб. пособие / Дейт К. Дж. ; пер. с англ. -Киев; М. ; СПб. : Издательский дом «Вильямс», 2000. - 848 с. - ISBN 5-8459-0019-0.

2. Системы баз данных. Полный курс / Г. Гарсиа-Молина, Дж. Ульман, Дж. Уидом; пер. с англ. - М. : Издательский дом «Вильямс», 2004. - 1088 с. - ISBN 5-8459-0384-X.

Статья поступила в редакцию 30.09.2010;

представлена к публикации членом редколлегии А. А. Корниенко.

УДК 621.391.15 М. В. Гофман

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННЫХ КОДОВ

В статье представлен метод построения порождающей матрицы пространственно-частотно-временного (ПЧВ) кода. Этот метод основан на целочисленных функциях, очень просто реализуемых на ЭВМ. Приведен простой пример построения порождающей матрицы ПЧВ-кода.

MIMO-система, пространственно-частотно-временной код, порождающая матрица, матрица перестановок.

Введение

В работе [1] была представлена методика построения кодового слова для кодов, ориентированных на использование в MIMO-системах (MIMO -Multiple Input Multiple Output) связи. Эта методика строит кодовые слова путем объединения независимо кодируемых частей, называемых слоями. Слой представляет собой вектор из комплексных чисел. Кодовое слово представимо матрицей, в которой каждый элемент принадлежит некоторому слою. Далее методику построения кодовых слов, представленную в [1], будем называть методикой слоения.

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

89

Методика слоения была использована в [2] для построения кодовых слов пространственно-частотно-временного кода. Каждое кодовое слово этого кода состоит из нескольких независимо кодируемых блоков. Каждый блок получается в результате выполнения двух независимых действий: преобразования исходного информационного вектора и перераспределения элементов преобразованного вектора в соответствии с методикой слоения в вектор, определяющий блок кодового слова. Положение каждого элемента в кодовом слове ПЧВ-кода определяется по двум параметрам: по номеру слоя, к которому принадлежит этот элемент, и смещению этого элемента в слое.

Далее рассматривается структура кодового слова [2] и развивается метод, основанный на разработанных целочисленных функциях, позволяющих определить для каждого элемента преобразованного вектора его положение в кодовом слове ПЧВ-кода. В [3] было показано, что кодовые слова можно строить с помощью порождающей матрицы, поэтому разработанные функции значительно упрощают программную реализацию предлагаемого метода построения такой матрицы на ЭВМ.

1 Порождающая матрица кодового слова

Введем обозначения. Через N, Z и Q обозначим множество целых

положительных чисел, кольцо целых чисел и поле рациональных чисел со-

ответственно. Символом j будем обозначать V-Г. Вектор-столбец будет обозначаться а, а матрица - прописной буквой, жирным шрифтом. Верхние индексы (т) и (н) обозначают обычное транспонирование и транспо-

нирование с сопряжением соответственно. Символ

x

наибольшее це-

лое число, меньшее или равное x; символ

x

наименьшее целое число,

большее или равное x ; символ

[ x ]

целая часть числа x. Символ ® -

кронекерово произведение матриц; символ IXхX - единичная матрица размера X х X. Символом □ будем обозначать окончание текста примера.

Характеристики MIMO-системы: число передающих антенн - N; число блоков замираний [2], в течение которых будет передаваться кодовое слово, - Nb ; число лучей при распространении сигнала от каждой антенны - L (будем предполагать, что на каждом из лучей соответствующие задержки во времени одинаковы для всех антенн); число независимо кодируемых блоков в кодовом слове - J. Также определим ряд величин, зависящих от этих характеристик: NL = 2^log2 ^; Nq = 2^°82 Nt ^;

Np = NqNLN,N„; N, = NAN,.

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/4

90

Общетехнические задачи и пути их решения

В работе [2] указывается, что для построения кодового слова требуется информационный вектор

s = (S1 s2

где si е Z [ j]. Далее, если

S =Г( S,1 f ( S, ,2 )

VNr

(S<-N<)

TТ

J

где

Л ,k

= ( s(,

T

■1) Np+(k-!)NY+1 Л(М) Np+(k-l)NY+2 •• • ^(i-l)Np+kNY

и

i = 1, 2, ..., J;k = 1,2, ..., N„

, то по методике [2] каждый вектор Si k

преобразуется в вектор

xik =(<^"4,k (1) U1xu (2) ••• U1xu (Ny))

путем умножения на комплексную квадратную матрицу 0 k (k = 1,2,.., Nq) размером NY х NY. Вектор xt k - это вектор, определяющий k -й слой i -го блока кодового слова. Вследствие этого второй нижний индекс при элементах вектора xt k будем называть номером слоя, а индекс в скобках - смещением элемента в слое.

Матрицы 0 k получаются путем вырезания первых Ny строк и столбцов из матриц

V =(Fх*)Н diag (1 Ф ... Ф^1)^1,

)

где F*хМ - матрица дискретного прямого преобразования Фурье (ДПФ)

размера М х М, где М = 2^ 82( y)^ ; ф = e2М ; ф = 01Nq, 0 - алгебраический элемент порядка как минимум NY над полем K, являющимся расширением поля Q, а также содержащим все элементы матрицы F/L ' diag (1 ф ... фМ1), информационный алфавит A(Z Z[j] и

величины e~j2nT^Ts, где т1 - задержка I-го луча (I = 1, 2, ...,L), Ts -

время передачи сигнала. Различные способы задания элемента 0 можно найти в [4], [5].

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

91

Пример. Пусть Nt = 2, Nb = 1, L = 2 и J = 1. Тогда NL = 2,

•Е

Nq = 2, Ne= 8, Ny= 4, M = 4, ф = e8, и матрицы

FH А 4x4 diag (1 Ф - ф3 )-<i

(i ф Ф2 ф3 1

ф*-1 1 •Ф -Ф2 - •Ф3

V4 1 -Ф Ф2 -Ф3

l1 - •Ф -Ф • Ф3 у

где к Е {1,2}. Так как J = 1 и Nq = 2, то кодовое слово будет состоять из одного блока, его элементы будут принадлежать двум слоям. Предположим, что A = {1 + j,1 - j,-1 + j,-1 - j}, Ts = 128 • 10-6 c, t0 = 0 и

T1 = 2 -10 7, в этом случае подходит 0 = e2560, следовательно, ф = e j^5120. Если информационный вектор

S =( s1 s2 - S8 У ,

то S11 =(s1 s2 s3 s4) и s12 = (s5 s6 s7 s8) . Теперь, чтобы по-

лучить x11, необходимо умножить s11 на ©1, для получения Х12 необходимо умножить s12 на 0 2, т. е.

x1,1=01 si.i =(xi.i С1) xu (2) xi.i (3) xu (4))

и

Х1,2 = 02S1,2 = (фх1,1 (!) Ki (2) ф*1,1 (3) фх1,1 (4))

( ^ "j Nq

Далее из элементов векторов, принадлежащих множеству {xik }^ i выполняется построение матрицы

и"" V C2 *-4,1 c Nb У \^i ,i

О и C1 ^ i ,2 C2 ^i ,2 C Nb ^i ,2

C1 i, Nl C2 ^i, Nl C Nb — ^i ,Nl у

i = 1, 2,

J, (1)

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/4

92

Общетехнические задачи и пути их решения

где

C =

x

Ф-1Х

i, N.

i (<+i) ф (<+о

X (<+ +

U .

wv +

N ,

—+1

N

Ф \ n (<+1) Ф "2 X, N-i ( W +2)

ф,2 (wV + ) Ф Хз (<+ + ) - ф

1-

N

N.

V L . ])

N

X г ч

1-N"

v I.N У

(и )

N+1

а W =(и-1)NN + (v — 1) Nt. Кодовое слово представляет собой комплексную блоковую матрицу

с = ((С )т (С2 f ... (с, /)'. (2)

Все элементы матрицы С, - это все элементы вектора

x= diag (01 02 - &Nt )• s„

где diag (01 02 — 0N ) - блоково-диагональная матрица, составленная из матриц 0k (к = 1,2, —, N.). Далее эту блоково-диагональную

матрицу будем называть матрицей преобразований, а матрицу C, - блоком кодового слова. Очевидно, что вектор

Х, =(( Х, ,1 ( ( Х, ,2 ( — ( X, N. )

tST

Пример (продолжение). В рассматриваемом примере матрица преобразований равна diag(01 02), а вектор s1 =(s1 — s4 s5 ... s8) .

Умножая s1 на diag (01 02), получим:

X1 = ((X1,1 ) (X1,2 ) ) =

_ (X1,1 (1 X1,1 (2) X1,1 (3 X1,1 (4) ФХ1,2 (1) ФХ1,2 (2) ФХ1,2 (^) фХ1,2 (4)) .

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

93

Вектор, получаемый путем последовательного объединения строк (начиная с первой) матрицы С;, обозначим символом ct. Если сопоставить

элементы вектора x и вектора ci, станет очевидно, что существует некоторая матрица перестановок P такая, что

c = Px ,

и что матрица P одинакова для всех i = 1, 2, ..J в силу того, что расположение элементов вектора xt в матрице Ci не зависит от индекса i.

Исходя из этого, можно заключить, что порождающая матрица ПЧВ-кода из [2] представляет собой квадратную блоково-диагональную матрицу

G codeword

1JхJ ® G NpxNp

(3)

где G N xN^ - комплексная квадратная матрица размера Np х Np, получаемая путем скалярного умножения матрицы перестановок и матрицы преобразований, т. е.

GNp^XNp 'diag ( Q 2 . Nq ), (4)

Теперь, чтобы построить матрицу С, если рассматривать ее не как блоковую, а как матрицу из комплексных чисел, достаточно всем последовательностям длины NtNb из элементов вектора

С G codeword S

сопоставить строки матрицы С.

2 Матрица перестановок

Будем рассматривать матрицу Ci, определенную выражением (1), не как блоковую матрицу, а как матрицу из элементов вектора xt. Ясно, что функциональные зависимости, позволяющие построить матрицу перестановок P , следует искать среди значений индексов при элементах матрицы С. Но, как уже было сказано ранее, расположение элементов в этой

матрице не зависит от индекса i, значит достаточно ограничиться рассмотрением номеров слоев и смещений, соответствующих элементам матрицы С.

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/4

94

Общетехнические задачи и пути их решения

Если сопоставить матрицу Ci с матрицей, каждый элемент которой равен номеру слоя при соответствующем элементе матрицы Сг-, то можно найти функцию, определяющую зависимость номера слоя и расположения элемента в матрице Сг. Итак, функция, определяющая то, к какому слою

принадлежит элемент матрицы Ci, расположенный на m -й строке и в k -м столбце этой матрицы, имеет вид:

+[[k/m]/(k/m)])mod(3), а fA (m, k) = f ((m -1) mod(2) +1,

В матрице T каждый элемент равен номеру слоя, к которому принадлежит элемент, расположенный на этом же месте, но в матрице Сг.. □

fA (m, k) = f ((m -1) mod (Nq) +1, (k -1) mod (Nt) +1),

где m = 1, 2,...,NqNL, k = 1, 2,...,NtNb,

и

a mod b = <

при a e Z и b e N.

Пример (продолжение). В нашем случае

(k -1) mod(2) +1). Подставляя значения функции fA (m, k) в соответствующие парам (m, k) места целочисленной матрицы размера

NqNL х NtNb, получим матрицу

в соответст-

' 1 2Л 2 1

T =

1 2

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

95

Если сопоставить матрицу Ci с матрицей, каждый элемент которой равен индексу смещения при соответствующем элементе матрицы Ci, можно найти функцию, определяющую зависимость смещения элемента и расположения элемента в матрице Ci. Перед тем как представить эту функцию, обозначим элемент единичной матрицы, расположенный на m -й строке и в к -м столбце, символом втк, а также зададим функцию

f'( n ) = fA

f

VL

n -1

N

\

+1, (n -1) mod (Nt) +1 ,

)

где n e Z. Итак, функция, определяющая зависимость смещения элемента в слое от пары (т, к), это

s (т, к ) = g (((т -1) mod (Nq)) Nt + ((к -1) mod (Nt)) +1, fA (m, к), f') +

+i

5

+1

+wL

к-1 Nt. m-1

Nq

где

N

g (N, i, f ') = E ef'(n ),i.

n=1

r

n -1

Пример (продолжение). В нашем случае f f(n) = fA ------- +1,

VL 2 -

(n -1) mod (2) +1). Подставляя значения функции

s(m,к) = g(2((m -1)mod2) + ((к -1)mod2) +1, fA (m,к), f') +

+w

к-1 2

m-1

+1

+1

в соответствующие парам (m, к) места целочисленной матрицы размера NqNL х NtNb, получим матрицу

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/4

96

Общетехнические задачи и пути их решения

S =

а о 2 2 3 3

V4 4 у

В матрице S каждый элемент равен смещению в слое, к которому принадлежит элемент, расположенный на этом же месте, но в матрице Ci. □

Обозначим символом pm k элемент матрицы P, расположенный на m-й строке и в k -м столбце этой матрицы. А также пусть

m (n) = [(n —1)/(NtNb)] +1 и k(n) = n - ([(n - 1V(NtNb}]) NtN< Тогда

ь-

P

m ,k

1, если k = (fi ( m) -1 )• Ny+ f2 ( m);

0 — иначе,

где

m = 1, 2, .„, N

f1 (П) = fA (m (П), k (П))

(5)

и

f2 (П) = ^ (m (П) , k (П)) •

Пример (продолжение). В нашем случае

1, если k = ( f ( m ) — 1 )• 4 + f, (m ); 0 — иначе,

где m = 1, 2, ..., 16

А также m ( n ) = [( n — 1)/2 Ц +1 и

k ( n) = n — 2 ([( n — 1)/2]) • Подставляя в качестве аргумента для функций

f (n) и f2 (n) числа от 1 до 8, получим последовательности их значений

(1 2 2 1 1 2 2 1)

и

(1 1 2 2 3 3 4 4)

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

97

соответственно. Используя выражение (5) и эти последовательности, получим матрицу перестановок

Так как нам теперь известны матрица преобразования, равная

(4), получим матрицу GN xN . Подставив эту матрицу в равенство (3), а

также учитывая, что в нашем случае J = 1, получим порождающую матрицу

Значит, вектор

С G codeword S (^1,1 (l) Ф^1,2 (l) ФХ1,2 (2) Х1,1 (2) Х1,1 (3) Ф-^1,2 (3) Ф-^1,2 (4) Х1,1 (4)) •

Теперь, чтобы из этого вектора получить кодовое слово (2), в описываемом примере это матрица размера JNqNL х NtNb = 4 х 2, необходимо

каждые два элемента вектора с представить в форме строки матрицы. Выполнив эту трансформацию, получим кодовое слово

Заключение

В статье представлен метод построения порождающей матрицы ПЧВ-кода. На примере показано, как построить порождающую матрицу и с ее помощью - кодовое слово ПЧВ-кода MIMO-системы с двумя передающими антеннами и с четырьмя частотными подканалами.

' 1 0 0 0 0 0 0 0^

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

ч0 0 0 1 0 0 0 0,

02), и матрица перестановок P, то, подставив их в выражение

GcMord ®P'diag( 1 2)•

' Хц С1) ФХ1,2 С1 )Л

фХ1,2 ( 2 ) Х1,1 ( 2 )

Х1,1 (3) ФХ1,2 (3 )

УФ*1,2 (4) Х1,1 (4) ,

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/4

98

Общетехнические задачи и пути их решения

Библиографический список

1. Universal Space-Time Coding / H. El. Gamal, M. O. Damen // IEEE transactions on information theory. - May 2003. - Vol. 49. - №. 5. - Pp. 1097-1119.

2. High-Rate Full-Diversity Space-Time-Frequency Codes for Broadband MIMO Block-Fading Channels / Wei Zhang, Xiang-Gen Xia, P. C. Ching // IEEE transactions on communications. - January 2007. - Vol. 55. - № 1. - Pp. 25-34.

3. Построение кодовых слов пространственно-частотно-временных кодов / М. В. Гофман // Программные продукты и системы. - 2010. - № 3. - C. 149-151.

4. Full-Diversity Full-Rate Complex-Field Space-Time Coding / Xiaoli Ma, Georgios B. Giannakis // IEEE transactions on signal processing. - November 2003. - Vol. 51. - № 11. -Pp. 2917-2930.

5. A systematic design of high-rate full-diversity space-frequency codes for MIMO-OFDM systems / T. Kiran, B. S. Rajan // ISIT 2005, 4-9 Sept. 2005. - Pp. 2075-2079.

Статья поступила в редакцию 25.10.2010;

представлена к публикации членом редколлегии А. А. Корниенко.

УДК 621.313.3.621.314.5

Л. С. Гришуков, А. В. Колесова, С. Л. Колесов

ИНВЕРТОРНОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ АСИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА

Рассмотрены особенности электромагнитных процессов, возникающих при работе асинхронной электрической машины с инвертором в генераторном режиме; сформулированы требования к условиям самовозбуждения при переходе из двигательного в автономный генераторный режим для различных алгоритмов управления тиристорами.

асинхронный генератор, автономный инвертор, самовозбуждение, алгоритмы управления.

Введение

Работа асинхронной машины генератором в режиме инверторного возбуждения (от АИН) имеет целый ряд практически необъясненных моментов [1]. К ним относится падающая внешняя характеристика генератора. Это выражается в том, что при подключении к зажимам обмотки статора или на вход инвертора активного сопротивления и при уменьшении этого сопротивления происходит резкое размагничивание генератора. Следующий вопрос заключается в том, что при постоянном скольжении генератор развивает максимальный тормозной момент при бесконечно большом активном сопротивлении нагрузки. Уменьшение нагрузочного сопро-

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University