Комплексная модель многоантенной системы связи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

М. В. Гофман

КОМПЛЕКСНАЯ МОДЕЛЬ МНОГОАНТЕННОЙ СИСТЕМЫ СВЯЗИ

Предлагается модель многоантенной системы связи, которая позволяет оценивать помехоустойчивость пространственных кодов. Особенностью этой модели является то, что кодовые слова в ней конструируются с помощью порождающих матриц. Модель объединяет в себе блоки отправитель, канал связи и получатель, позволяя в комплексе моделировать процесс приёма-передачи. Возможность указания количества передающих и принимающих антенн, числа частотных подканалов, порождающей матрицы пространственного кода, вида канала с замираниями, профиля канала и длительности передачи позволяет моделировать широкий спектр систем связи.

многоантенная система связи, слоеный пространственный код, порождающая матрица, моделирование процесса приёма-передачи.

Введение

Система беспроводной связи, в которой отправитель и получатель используют несколько передающих и принимающих антенн, называется многоантенной. Помехоустойчивое канальное кодирование, применяемое абонентами таких систем, называется пространственным. Если для построения пространственного кодового слова используется несколько кодеров, каждый из которых конструирует часть кодового слова, то эти части называются слоями кодового слова, а сами кодовые слова - слоеными.

Линия связи между абонентами многоантенной системы связи - это система с множественным входом и множественным выходом благодаря тому, что передатчик адресанта и приёмник адресата могут использовать несколько антенн. В многоантенных системах адресант может посылать многомерный сигнал, не занимая при этом дополнительные полосы частот или дополнительное время.

Обзор моделей каналов связи многоантенных систем сделан в [1]. В [2], [3] представлены критерии для проектирования помехоустойчивых пространственных кодов, ориентированных на каналы с медленными, быстрыми или блоковыми рэлеевскими замираниями. В [4], [5] описаны слоеные пространственные блоковые коды, удовлетворяющие этим критериям для проектирования. В [6] показано, что для этих кодов существуют порождающие матри-

104

цы, а в [7], [8] представлены позиционирующие функции, которые позволяют конструировать порождающие матрицы для таких кодов.

Применение слоеных пространственных кодов, удовлетворяющих критериям для проектирования, обеспечивает высокую помехоустойчивость. В данной статье предлагается модель многоантенной системы связи, которая позволяет оценивать помехоустойчивость слоеных пространственных кодов. Особенностью этой модели является то, что кодовые слова в ней конструируются с помощью порождающих матриц, которые в свою очередь создаются с использованием позиционирующих функций.

1 Модели каналов связи

Канал с медленными рэлеевскими замираниями представляет собой такой пространственно-селективный частотно-неселективный временнонеселективный канал, в котором принятый сигнал

NTx

у/ (m) = JtT • 2 hu ■ c (m) + W (m),

\N Tx j =1

где i e {1, 2, ..., NRx} - номер принимающей антенны; j e {1, 2, ..., NTx} - номер передающей антенны; m e {1, 2, ..., Nt} - номер посылки; h V (i, j) - независимые комплексные гауссовы случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице; cj(m) - элемент кодового слова - комплексное число; wi(m) V (i, m) - независимые комплексные гауссовы случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице; р - коэффициент, управляющий отношением сигнал/шум в модели канала. Нормирующий коэффициент NTx обеспечивает одинаковое количество излучаемой мощности каждой передающей антенной.

Канал с быстрыми рэлеевскими замираниями представляет собой такой пространственно-селективный частотно-неселективный временноселективный канал, в котором принятый сигнал

У/ (m)

D Tx

— • 2 hij (m) • cj (m)+w (m),

N Tx j =1

где h(m) V (i, j, m) - независимые комплексные гауссовы случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице.

Канал с блоковыми рэлеевскими замираниями представляет собой такой пространственно-селективный частотно-селективный временно-селективный канал, в котором принятый сигнал

105

yt,k (m)

P Tx

— ■ Z hi,j ,k (m) • cj, k (m)+w, k (m),

'Tx j=1

где k e {1, 2, ..., N} - номер частотного подканала;

L

h, j, k (m )=Za, j ,i (m) exp

l=1

f

2nl( k - 1)t1 T

где I = V-1; L - число поступающих на приёмник рассеянных реплик переданного сигнала; а . (m) V (i, j, l, m) - независимые комплексные гауссовы случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной 5р при этом Zl§2 = 1; Ts - длительность передачи одной посылки; т1 - задержка распространения сигнала.

2 Слоеный пространственный блоковый код

Чтобы задать кодовое слово пространственного кода, необходимо задать элементы кодового слова и указать каждому из них соответствующие номера передающих антенн, которые будут их отправлять, номера частотных подканалов, по которым они будут передаваться (если применяется многочастотная передача), и номера посылок, в течение которых они будет посылаться.

Порождающая матрица пространственного кода выполняет линейное преобразование кодируемого вектора в кодовое слово, тем самым выполняя сразу два действия, требуемые для создания пространственного кодового слова: получение элементов кодового слова и увязывание их с номерами передающих антенн, частотных подканалов и посылок. Порождающая матрица пространственного кода - это произведение двух матриц: матрицы для преобразования и матрицы для выборки.

Матрица для преобразования выполняет линейное преобразование кодируемого вектора в вектор из элементов кодового слова. Таким образом осуществляется первое действие, требуемое для создания пространственного кодового слова, - получение элементов кодового слова.

Матрица для выборки составляется из нулей и единиц так, что на каждой строке только одна единица, остальные элементы - нули. Каждой строке матрицы для выборки сопоставлены номер передающей антенны, номер частотного подканала и номер посылки. Поэтому линейное преобразование, выполняемое ею над вектором из элементов кодового слова, - это второе и завершающее действие, необходимое для конструирования пространственного кодового слова, - увязывание элементов кодового слова с номерами антенн, подканалов и посылок.

106

Пусть передатчик использует NTx передающих антенн, Nc частотных подканалов (в случае, когда применяется многочастотная передача). И пусть требуется за длительность Nt посылок передать вектор

=( *

NTx Nc Nt

t)T

где s. - комплексное число, мнимая и вещественная части которого - целые числа; ( )Т - оператор транспонирования. Порождающая матрица слоеного пространственного блокового кода - это комплексная матрица размера

NT NNtxNT NNt:

ix c t ix c t

G (J, Nix, Nl , Nq, Nb,9) = P • T,

где J, Nl, Nq, Nb - целые положительные числа; ф - алгебраический элемент; P - матрица для выборки, для её составления используются позиционирующие функции [7]; T - матрица для преобразования такая, что

T = IJ ® DNq,N (ф),

где N = NTxNLNb; ® - оператор Кронекера произведения; IJ - единичная матрица размера J x J;

DNq,N (ф)

@( N)

1

фNq •©(N)

V

Л

ф Nq •©(N)у

где

Л

®(N )=t/N •(F (N ))н

Г

exp

л

— nl

2 N у

f

exp

V

V

N-1

2 N

nl

уу

107

здесь ( )Н - оператор Эрмита сопряжения; F(N) - матрица прямого преобразования Фурье без нормирующего коэффициента, размер которой N х N.

Величина ф - алгебраический элемент степени как минимум NLNqNb над полем F, являющимся таким расширением поля Q (поле рациональных чисел), которое содержит: все элементы матрицы 0(N), информационный алфавит A с Z[I] (множество комплексных чисел, мнимая и вещественная части которых - целые числа) и величины ехр(-2я1т; /Г). Описанная в [9] методика вычисления ф, удовлетворяющего всем этим требованиям, позволяет заключить, что одним из возможных вариантов значений для этой величины является такой:

ф = exp

'20

рп )'

где р - целое число, большее или равное NLNqNb; п - наибольшее общее кратное элементов множества {4N,sps2,...,sL}, где sl - такие действительные числа, которые удовлетворяют равенству

Ts sl

при условии, что rt /s е Q и что наибольший общий делитель r и sг равен 1. Кроме того, в качестве ф можно использовать трансцендентное над полем F число.

Матрицы 0(N) называют комплексными матрицами вращения, в [10] описаны несколько таких матриц. Эти матрицы совместно с ф выполняют преобразование части кодируемого вектора в слои кодового слова. Величина N - число элементов в слое, произведение JNq - число слоёв в кодовом слове.

Для построения порождающей матрицы G требуется, чтобы между величинами NTx, Nc, Nt и параметрами J, N, NL, Nb выполнялись следующие соотношения. Прежде всего требуется, чтобы Nq > NTx. Если Nc = 1 (нет многочастотной передачи), то параметрам J, Nq, NL и Nb нужно задать такие целые положительные численные значения, для которых выполнялось бы равенство JNqNLNb = Nt. Если Nc > 1, то параметрам J, Nq, NL и Nb задаются такие целые положительные численные значения, которые удовлетворяют равенствам JNNl = N и Nb = Nt.

q L c b t

Чтобы закодировать вектор s слоеным кодом, достаточно выполнить линейное преобразование этого вектора порождающей матрицей G:

c = G(j,NTx,NL,Nq,Nb,<p)-s,

где с - слоеное кодовое слово. Если Nc = 1, то

108

С =( Cl (1) c2 (1) CNTx (1) C1 (2) - C1 (Nt ) C2 (Nt ) "■ CNTx (N )f ,

где cj(m) - элемент кодового слова, передаваемый j-й передающей антенной в течение m-й посылки. Если N > 1, то

c =(C1,1 (1) C2,1 (1) ■" CNTx ,1 (1) C1,2 (1) C2,2 (1) • CNTx,2 (1) C1,Nc (Nt ) C2,Nc (Nt ) CNTx ,Nc (Nt )) ,

где C k(m) - элемент кодового слова, передаваемый j-й передающей антенной по k-му частотному подканалу в течение m-й посылки.

3 Модель системы связи

В представляемой далее модели многоантенной системы связи используются следующие параметры: NTx, NRx, Nc, Nt и G(J, NTx, NL, Nq, Nb, cp), а также указание на модель канала связи. Кроме того, величиной р указывается отношение сигнал/шум, а если используется модель канала с блоковыми замираниями, то задаётся профиль канала {8/,х/}'^=1. В случае, когда вместо порождающей матрицы G используется единичная матрица, связь не кодируется.

Модель системы - комплексная: она включает в себя отправителя, канал связи и получателя, имитируя основные элементы системы связи и их взаимодействие. Независимость параметров системы позволяет гибко настроить её перед применением. На рисунке 1 изображена блок-схема комплексной модели многоантенной системы связи.

Элемент системы связи отправитель включает в себя такие части: источник бит, КАМ-манипулятор, пространственный кодер. Источник бит генерирует последовательности бит определённой длины. КАМ-манипулятор взаимно-однозначно преобразует эти последовательности в последовательности КАМ-символов, вещественная и мнимая части которых - целые числа. Таким образом последовательность бит преобразуется в последовательность КАМ-символов. Пространственный кодер взаимно-однозначно преобразует последовательность КАМ-символов с выхода КАМ-манипулятора в слоеное кодовое слово, выполняя линейное преобразование этой последовательности порождающей матрицей G.

Элемент системы связи канал связи - это либо канал с медленными, либо канал с быстрыми, либо с блоковыми рэлеевскими замираниями. Блок под названием «Среда распространения», изображённый на рисунке 1, моделирует замирания сигнала в канале связи. Его блок-схема представлена на рисунке 2. Элемент «Размыкатель» на этой блок-схеме разрывает линию, проходящую через него, в случае если условие не выполняется. Вид замираний

109

Рис. 1. Блок-схема комплексной программируемой модели многоантенной системы связи

указывает на одну из трёх описанных ранее моделей каналов многоантеной системы связи, которая будет использоваться в модели системы:

• медленные ^ состояние среды не меняется в течение передачи c (канал с медленными рэлеевскими замираниями);

• быстрые ^ состояние среды случайным образом меняется при каждой новой посылке, которые требуются для передачи кодового слова с (канал с быстрыми рэлеевскими замираниями);

110

Рис. 2. Блок-схема элемента «Среда распространения»

• блоковые ^ состояние среды случайным образом меняется несколько раз в течение передачи с (канал с блоковыми рэлеевскими замираниями).

Элемент системы связи получатель состоит из следующих частей: сферического декодера, КАМ-деманипулятора, приёмника бит. Сферический декодер, используя порождающую матрицу и оценку состояния канала связи, определяет такую последовательность КАМ-символов, которая, будучи закодированной слоеным пространственным кодом, соответствовала бы такому кодовому слову, которое после передачи через канал связи, состояние которого совпадает с известной декодеру оценкой, даст на выходе канала вектор, ближайший по евклидову расстоянию к принятому. КАМ-деманипулятор выполняет обратное преобразование последовательности КАМ-символов с выхода сферического декодера в последовательность бит.

Процесс передачи и приёма, показанный на рисунке 1, можно описать так. блок «Источник бит» формирует на выходе битовый вектор b длиной NTxNcNtlog2(M), где M - число элементов в прямоугольном М-КАМ-созвездии (предполагается, что M - это степень двойки). Блок «М-КАМ-манипулятор» преобразовывает поступающий вектор b в вектор s длиной NTxNcNt из комплексных целых чисел. Вектор s преобразуется в кодовое слово с в результате линейного преобразования порождающей матрицей G(J, NTx, NL, Nq, Nb, ф). Далее вектор с поступает на вход блока «Канал связи. В этом блоке он умножается на блоково-диагональную матрицу

111

Г H (!)

H =

Р

V

N

Tx

V

J

Размер матрицы H - NRxNcNtxNTxNcNt. Матрицы Hk(m) имеют размер NRx xNTx и зависят от вида замираний. При медленных замираниях

Г h "1,1 h1,2 ■ " h1, Ntx

H k (m) = h2,1 h2,2 ■ " h2, Ntx

V hNRx,1 h hNRx,2 ... h hNRx, Ntx J

где

h . =А—(а- . 1 +1• а,- . ~

\1 'У \ г>./Д J

здесь a, . п V (i, j, n) - независимые гауссовы случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. При быстрых замираниях

Г h1,1 (m) h1,2 (m) ■ h1, NTx (m) '

H k (m) = h2,1 ( m ) h2,2 (m) ■ h2,NTx (m)

V 4,1 ( m ) hNrx,2 ( m ) ■ 4x, Ntx ( m lx

где h, (m )= /2 (ai, j ,1 ( m ) + I ai, j,2 (m)) >

здесь a. j n(m) V (i, j, n, m) - независимые гауссовы случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. При блоковых замираниях

112

' hi,i,k (m) h1,2,k (m) •" h1,NTx,k (m)

H k (m) = h2,1,k (m) *2,2,k (m) •" h2,NTx,k (m)

v4xJ,k (m) hNRx,2,k (m) hNRx, Nix, k ( m

где hi,j, L k (m ) = S«i, l=1 f ,i ( m ) exp v 2nl( k - 1)т1 л t 5 1s J

?

здесь

ai.j,i (m)

g

j=(a. i j .1(m )+i

где a. l n(m) V (i, j, l, n, m) - независимые гауссовы случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице; Sl и т1 - l-е элементы векторов, задающих энергетический профиль и профиль задержек канала соответственно; T - длительность передачи одной посылки. Результатом прохождения вектора с через блок «Среда распространения» является вектор Hc. К этому вектору добавляется комплексный белый гауссов шум (БГШ)

w

=( wi

w

w

Nrx Nc Nt >

,)T

где

w (aiJ+Iai2)

здесь aV (i, n) - независимые гауссовы случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Таким образом получается принимаемый сигнал

y = Hc + W.

Блок «Сферический декодер», используя матрицы H и G, определяет - ~ ryf TnNTx Nc Nt

такой вектор s Е Z 111 , который удовлетворяет неравенству

y - HGs < y - HGS vS* е Z[I]

iNix Nc Nt

113

где Z[I]NTxN<Nt - множество векторов, длина которых NTxNcN, из комплексных чисел, мнимая и вещественная части которых - целые числа; ||а|| - евклидова норма вектора а.

В [11], [12] представлены две наиболее известные реализации сферического декодера.

Блок «М-КАМ деманипулятор» выполняет преобразование вектора s в битовый вектор b длиной NTxNcNtlog2(M) в обратном соответствии с тем, как выполнялось преобразование вектора b в вектор s.

4 Примеры оценок помехоустойчивости слоеного пространственного блокового кода

Пространственные коды - это относительно новый инструмент, обещающий высокую помехоустойчивость беспроводной связи. В этой части статьи приведены примеры слоеных пространственных кодов и изображены графики зависимости вероятности ошибки декодирования от отношения сиг-нал/шум на бит. Оценки помехоустойчивости слоеных кодов были получены с помощью программной реализации описанной выше модели многоантенной системы связи.

Примерные коды ориентированы на случай, когда Nc = 1, такие коды называются пространственно-временными (ПВ). Первый ПВ-код используется для случая, когда NTx = 2, Nc = 1, Nt = 2, и кодирует векторы s = (s1 s2 s3 s4)T, где st e Z[I]. Параметры кода: J = 1; Nq = 2; NL = 1; Nb = 1. Порождающая матрица первого кода

G (1,2,1,2,1, ф) = P • T,

где ф = exp(I • n/8),

и

P=

f 1 0 0 0 Л

0 0 1 0

0 0 0 1

V 0 1 0 0)

f

T=

0( 2 )

exp

f ( ttW V16 ))

&(2)

114

здесь

Г

®i2 )^|

f

exp

V

f

exp

V

г s 1 Л

4 Л

г 5пЛ Л

V 4 ) ))

Кодовые слова первого кода:

с = G (1,2,1,2,1,exp (I-V 8 ))•*,

где

с = (с1 (1) с2 (1) с1 (2) с2 (2))Т,

здесь с(т) - элемент кодового слова, передаваемый j-й передающей антенной в течение m-й посылки.

Второй ПВ-код используется, когда NTx = 2, Nc = 1, Nt = 4 и кодируются векторы s = (s1 s2 .. s8)T, где st е Z[I]. Параметры кода: J = 1; Nq = 2; NL = 1; Nb = 2. Порождающая матрица второго кода

G (1,2,1,2,2,ф) = P • T,

где ф = exp(I • п/32),

Г1

P=

о

о

о

о

о

о

о о о

о о о

о о о

1 о о

о 1 о

о о о

о о о

о о 1

о о

1 о

о 1

о о

о о

о о

о о

о о

о о

о о

о о

о о

о о

1 о

о 1

о о

115

и

здесь

Г

0( 4 К 1

V

(

T =

0( 4 )

exp

( ( ttW

л

64

0( 4)

V V^JJ

( ( *1 1 ( ( 2*1 1 ( (з*1 1 1

exp I- V 8 J. exp I- V 8 J, exp I- V 8 J,

V J V J V J

f ^5ллЛ

1 exp

I

f г

1 exp

1 exp

V 8 JJ I ( 9л ^

V

f f

I

V 8 JJ 13л^

exp

exp

exp

10л

Y

ЛЛ

exp

V о JJ

f

V

f

15л

ЛЛ

8

V о JJ

f

W

18л

V 8 JJ

f f

f

I

V V

26л

~Y

ЛЛ

JJ

V V 8 JJ

Кодовые слова второго кода:

с = G (1,2,1,2,2, exp (I • л/32)) - 5

exp

exp

V

27л

V

(

I

V V

8

39л

8

Л Л

JJ

Л Л

JJ

J

где

С =(с1 (1) с2 (!) С1 (2) С2 (2) С1 (3) С2 (3) С1 (4) С2 (4)f .

здесь с(т) - элемент кодового слова, передаваемый j-й передающей антенной в течение m-й посылки.

Графики зависимости вероятности ошибки декодирования от отношения сигнал/шум в канале с медленными замираниями для первого и второго ПВ-кодов представлены на рисунке 3. 1x1 (NRx = NTx = 1)-система связи, не использующая кодирования, обеспечивает вероятность ошибки 10-4 при отношении сигнал/шум на бит, приблизительно равном 38 дБ. 2х2-система связи, не использующая пространственного кодирования, обеспечивает вероятность ошибки 10-4 при отношении сигнал/шум на бит, приблизительно равном 26 дБ, т. е. выигрыш от увеличения числа передающих и принимающих антенн по сравнению с 1х1-системой связи составляет 12 дБ. 2х2-система связи,

116

SNR,,,^

Рис. 3. Графики вероятностей ошибки декодирования на бит для трёх многоантенных систем связи с медленными замираниями, передающих элементы 16-КАМ-созвездия, при этом две системы используют слоеное пространственно-временное кодирование

использующая первый ПВ-код, обеспечивает вероятность ошибки 10-4 при отношении сигнал/шум на бит, приблизительно равном 24 дБ, т. е. выигрыш за счёт применения первого ПВ-кода по сравнению с 2х2-системой связи, не использующей пространственного кодирования, составляет 2 дБ. Такой же выигрыш обеспечивает и 2х2-система связи, использующая второй ПВ-код, т. е. в этом канале связи нет преимущества друг над другом у первого и второго ПВ-кодов. А 1х 1-система связи, в канале которой есть только АБГШ и которая не использует кодирования, обеспечивает вероятность ошибки 10-4 при отношении сигнал/шум на бит, приблизительно равном 12,5 дБ.

Графики зависимости вероятности ошибки декодирования от отношения сигнал/шум в канале с быстрыми замираниями для первого и второго ПВ-кодов представлены на рисунке 4. 2х2-система связи, использующая первый ПВ-код, обеспечивает вероятность ошибки 10-4 при отношении сигнал/шум на бит, приблизительно равном 20 дБ, т. е. выигрыш за счёт применения первого ПВ-кода по сравнению с 2х2-системой связи, не использующей пространственного кодирования, составляет 6 дБ. А 2х2-система связи, использующая второй ПВ-код, обеспечивает вероятность ошибки 10-4 при отношении сигнал/шум на бит, приблизительно равном 16 дБ, т. е. выигрыш за счёт применения второго ПВ-кода по сравнению с 2х2-системой связи, использующей первый ПВ-код, составляет 4 дБ.

117

Рис. 4. Графики вероятностей ошибки декодирования на бит для трёх многоантенных систем связи с быстрыми замираниями, передающих

элементы 16-КАМ-созвездия,

при этом две системы использует слоеное пространственно-временное кодирование

Заключение

В статье представлена модель многоантенной системы связи. Модель объединяет в себе блоки «Отправитель», «Канал связи» и «Получатель», позволяя в комплексе моделировать процесс приёма-передачи. Возможность указания количества передающих и принимающих антенн, числа частотных подканалов, порождающей матрицы пространственного кода, вида канала с замираниями, профиля канала и длительности передачи позволяет моделировать широкий спектр систем связи и оценивать помехоустойчивость применяемых пространственных кодов.

Библиографический список

1. Survey of channel and Radio Propagation Models for Wireless MIMO Systems / P. Aimers, E. Bonek, A. Burr, N. Czink, M. Debbah, V. Degli-Esposti, H. Hofstetter, P. Kyosti, D. Laurenson, G. Matz, A. F. Molisch, C. Oestges // Eurasip Journal on Wireless Communications and Networking. - 2007. - V 2007. - PP. 1-20.

2. Space-time codes for high data rate wireless communication: performance criterion and code construction / V. Tarokh, N. Seshadri, A. R. Calderbank // IEEE Transactions on Information Theory. - 1998. - V. 44. - N 2. - PP. 744-765.

118

3. Obtaining full-diversity space-frequency codes from space-time codes via mapping / W. Su, Z. Safar, M. Olfat, K. J. R. Liu // IEEE Transactions on Signal Processing. - 2003. -

V. 51. - N 11. - PP. 2905-2916.

4. Universal Space-Time Coding / H. El Gamal, M. O. Damen // IEEE Transactions on Information Theory. - 2003. - V. 49. - N 5. - PP. 1097-1119.

5. High-Rate Full-Diversity Space-Time-Frequency Codes for Broadband MIMO BlockFading Channels / W. Zhang, X.-G. Xia, P. C. Ching // IEEE Transactions on Communications. -2007. - V. 55. - N 1. - PP. 25-34.

6. Построение кодовых слов пространственно-частотно-временных кодов / М. В. Гофман // Программные продукты и системы. - 2010. - № 3. - C. 149-151.

7. Метод построения алгебраических пространственно-частотно-временных кодов / М. В. Гофман // Известия Петербургского университета путей сообщения. - 2010. - № 4. -С. 88-98.

8. Алгебраический пространственно-частотно-временной код // М. В. Гофман / Информационно-управляющие системы. - 2011. - № 3. - С. 39-46.

9. A systematic design of high-rate full-diversity space-frequency codes for MIMO-OFDM systems / T. Kiran, B. S. Rajan // International Symposium on Information Theory, 2005. ISIT 2005. Proceedings. - 2005. - PP. 2075-2079.

10. Full-rate full-diversity space-frequency codes with optimum coding advantage /

W. Su, Z. Safar, K. J. R. Liu // IEEE Transactions on Information Theory. - 2005. - V 51. -N 1. - PP. 229-249.

11. Closest point search in lattices / E. Agrell, T. Eriksson, A. Vardy, K. Zeger // IEEE Transactions on Information Theory. - 2002. - V 48. - N 8. - PP. 2201-2214.

12. A universal lattice code decoder for fading channels / E. Viterbo, J. Boutros // IEEE Transactions on Information Theory. - 1999. - V 45. - N 5. - PP. 1639-1642.

© Гофман М. В., 2012

119