МЕТОД ПОИСКА НУЛЕЙ ФУНКЦИОНАЛОВ В КОНИЧЕСКОМ МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ВОПРОСЫ ЕГО УСТОЙЧИВОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968.

2. Ванько В.И. О собственных частотах колебаний проводов воздушных ЛЭП // Изв. вузов. 1987. № 8. 48-56.

3. Feireisl Е. Time periodic solutions to a beam equations // Nonlinear Anal. 1988. 12. 279-290.

4. Chang K.C., Sanchez L. Nontrivial periodic solutions of a nonlinear beam equation // Math. Mech. in Appl. Sci. 1982. 4. 194-205.

5. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного уравнения вынужденных колебаний балки // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. 79, № 5. 215-238.

6. Yamaguchi М. Existence of periodic solutions of second order nonlinear evolution equations and applications // Funkc. Ekvacioj. 1995. 38. 519-538.

7. Березин Ф.А., Шубин M.A. Уравнение Шредингера. M.: Изд-во МГУ, 1983.

8. Rabinowitz Р.Н. Multiple critical points of perturbed symmetric functionals // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. 272. 753-769.

9. Tanaka K. Infinitely many periodic solutions for the equation: utt — uxx ± \u\p-1u = f (x, t). II // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. 307. 615-645.

10. Bahri A., Berestycki H. Topological results on a certain class of functionals and applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1981. 267, N 1. 1-32.

11. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного уравнения колебаний балки с однородными граничными условиями // Дифференц. уравнения. 2012. 48, № 6. 814-825.

Поступила в редакцию 07.02.2018

УДК 515.124.2, 517.982.1, 515.126.4

МЕТОД ПОИСКА НУЛЕЙ ФУНКЦИОНАЛОВ В КОНИЧЕСКОМ МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ВОПРОСЫ ЕГО УСТОЙЧИВОСТИ

Т.Н. Фоменко1, К. С. Ястребов2

Предлагается метод поиска нулей конических функционалов и рассматриваются вопросы его устойчивости в коническом метрическом пространстве.

Ключевые слова: коническое метрическое пространство; функционал, подчиненный сходящемуся ряду; метод поиска нулей; устойчивость; неподвижная точка.

A method of searching for zeros of cone functionals is proposed and issues of its stability-are considered.

Key words: cone metric space, functional subordinated to a convergent series, search method for zeros, stability, fixed point.

1. Введение. В настоящей работе предлагается метод поиска нулей конических функционалов, рассматриваются вопросы его устойчивости в коническом метрическом пространстве, указываются применения в теории неподвижных точек и совпадений отображений.

В [1-3] разработан метод поиска нулей так называемых (а, в)-поисковых функционалов в метрическом пространстве и получены следствия о существовании неподвижных точек и совпадений

1 Фоменко Татьяна Николаевна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: tn-fomenkoQyandex .ru.

2Ястребов Кирилл Сергеевич — аси. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: yastrebovksQgmail.com.

Fomenko Tatiana Nikolaema — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Chair of General Mathematics.

Yastrebov Kirill Sergeevich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Chair of General Mathematics.

отображений метрических пространств, а также о существовании общих прообразов подпространства при действии конечного набора отображений. В [4, 5] исследовался вопрос устойчивости этого метода относительно изменений начальной точки, а также относительно изменений поискового функционала. В работе [6] введено более общее понятие числового функционала в метрическом пространстве, подчиненного сходящемуся ряду, и предложен метод поиска нулей таких функционалов. Там же было указано, что класс функционалов, подчиненных сходящимся рядам, существенно шире класса (а, в)-поисковых функционалов. Эта идея была развита в [7-11], где также получен ряд следствий о существовании неподвижных точек и совпадений отображений и о существовании общих прообразов подпространств при действии конечного набора отображений.

Обобщением метрических пространств являются конические метрические пространства, где вместо обычной числовой метрики рассматривается аналогичная функция со значениями в конусе нормированного пространства, называемая конической метрикой. Теория нормированных пространств с конусом, идея применения конусов для введения порядка в банаховых, а затем и в топологических векторных пространствах применялись с 1940-х гг. и восходят к работам [12-14] (см. также [15]).

Впервые идея использования упорядоченных нормированных пространств вместо множества вещественных чисел в качестве значений метрики появилась в 1934 г. ([16], см. также [17]). Позже такие пространства назывались К-метрическими (см. [18]). Эти пространства были вновь открыты в 2007 г. [19] как конические метрические пространства. Новизна работы [19] состоит во введении отношения которое определено в случае, когда конус имеет непустую внутренность (такие конусы называются телесными).

Затем разными авторами и разными способами было показано, что всякое коническое метрическое пространство над телесным конусом метризуемо. Свойство сжимаемости отображения конического метрического пространства может быть сохранено при переходе к соответствующему метрическому пространству, причем с той же константой сжатия. Тем не менее не все результаты о неподвижных точках можно свести этим способом к их стандартным метрическим аналогам. Существенные обобщения метрических теорем о сжимающих отображениях получаются, например, если конус телесный, но не является нормальным (см., например, публикации [20-22] и списки литературы в них).

В работе авторов [23] в выпуклом коническом метрическом пространстве сформулирован и доказан критерий сходимости итерационной схемы типа Нура (N001) с погрешностями к общей неподвижной точке некоторых семейств отображений.

В настоящей работе мы продолжаем исследования в коническом метрическом пространстве, где коническая метрика рассматривается относительно нормального телесного конуса в банаховом пространстве. Вводится понятие конического функционала, подчиненного сходящемуся ряду элементов конуса. Предлагается метод поиска нулей такого конического функционала, являющийся развитием метода [6] поиска нулей числового функционала, подчиненного сходящемуся числовому ряду. Рассматриваются вопросы устойчивости предлагаемого метода поиска нулей: устойчивость относительно малых изменений начальной точки и относительно малых изменений исходного функционала.

Отметим, что в [6] не проводилось исследование устойчивости метода поиска нулей числовых функционалов, подчиненных сходящимся рядам. Поэтому результаты об устойчивости (теоремы 2, 3), полученные в настоящей работе и развивающие соответствующие результаты [4], являются содержательными не только для конических, но и для числовых функционалов, подчиненных сходящимся числовым рядам.

Теорема о существовании и аппроксимации нулей конического функционала (теорема 1) обобщает соответствующий результат [6], а также позволяет получить теоремы о неподвижных точках и совпадениях (без единственности) для отображений конических метрических пространств, которые, вообще говоря, не являются сжимающими по конической метрике.

Тематика неподвижных точек и совпадений отображений конических метрических пространств весьма широко представлена в работах многих авторов (см., например, обзоры [20] и [21] и литературу в них).

2. Необходимые определения. Нам понадобятся следующие понятия и обозначения.

Определение 1. Пусть (Е, У ■ У) — банахово пространство. Непустое подмножество Р С Е называется конусом, если Р замкнуто, Р = {в}, Р П (—Р) = {в} и для любых а, Ь € М+ = [0, то) и любых х, у € Р верно, что ах + Ьу € Р.

В пространстве Е с конусом Р частичный порядок ^ определяется по следующему правилу:

х ^ у ^^ у — х € Р; х — у означает, что х ^ ^ох = у. Кроме того, будем считать, что х ^ у, если у — х € Р, т.е. либо у — х, либо х и у несравнимы.

Определение 2. Конус Р называется телесным, если у него есть внутренность, т.е. = 0. В случае телесного конуса будем писать х С у у — х €

Как известно [15], в классических пространствах £р[а; Ь] и 1Р(1 ^ р < конус положительных элементов не телесен, а в пространствах I^ телесен. Конус неотрицательных возрастающих функций в пространстве С [а; Ь] не телесен.

Определение 3. Конус Р называется нормальным, если существует число к > 0, такое, что для любых х,у € Р условие 0 ^ х ^ у влечет неравенство ||х|| ^ к1|у||- Число к, наименьшее из кР

Понятие нормальности конуса было введено М.Г. Крейном в эквивалентной формулировке (см.

[15])-

Известно [24], что не существует нормального конуса с нормальной константой к < 1.

Определение 4. Пусть X = 0 и Е — нормированное пространство с конусом Р С Е. Отображение й : X х X ^ Р называется конической метрикой, если для любых х, у, г € X выполнены условия:

1) в ^ й(х,у), (й(х,у) = в) ^^ (х = у);

2) й(х,у) = й(у,х);

3) й(х,у) ^ й(х, г) + й(г,у).

Множество X = 0 с конической метрикой й называется коническим, метрическим пространством.

Если конус, определяющий коническую метрику, является нормальным с нормальной константой 1, то функция ^ := ||й(х,у)|| является числовой метрикой и коническое метрическое пространство (X, й) превращается в обычное метрическое пространство (X, .

Имеются и другие способы построения обычной числовой метрики в коническом метрическом пространстве (X, й) (см., например, [22]).

Отметим, что при переходе от конической метрики й к числовой метрике р последняя может быть подобрана так, что для отображения / : X ^ X сжимающего с константой с по конической метрике й это свойство сохраняется, т.е. оно остается сжимающим с той же константой с и относительно числовой метрики р.

В теории конусов принята следующая терминология, связанная с соответствующим коническим частичным порядком. Конус называется миниэдральным, если для любых х, у € X существует 8ир(х, у). Конус называется строго (сильно) миниэдральным, если любое под множество X, ограниченное сверху (снизу), имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грань.

Если конус телесен, нормален и миниэдрален, то он замкнут [15].

Ряд примеров конусов различных типов имеется в [25]. Приведем два из них.

1. Пусть Е = Мп и Р = {(х1,..., хп) : х^ ^ 0, г = 1,..., п}. Тогда конус Р является нормальным и строго миниэдральным.

2. Пусть Е = С^[0,1] с нормой ||/1| = ||/||те + ||/'||те. Конус Р = {/ € Е : /(*) ^ 0, V* € [0; 1]}. Для каждого к ^ 1 возьмем /(х) = х и д(х) = х2к. Тогда 0 ^ д < /, ||/1| = 2 и ||д|| = 2к + 1. Поскольку ||/1| < ||д||, то никакое число к ^ 1 не является нормальной константой конуса Р. Значит,

Р

Отметим, что если конус в пространстве М2 (с обычной евклидовой нормой) не является телесным, то он представляет собой числовую полуось.

Определение 5 [19]. Пусть (X, й) — коническое метрическое пространство относительно телесного конуса Р. Последовательность {хп}гаем С X называется сходящейся (по конической метрике й) к х, если (и только если) для любого с € Е, в С с, существует N = N (с) € N такое, что для любых п ^ N верно, что й(хп, х) С с. Последовательн ость {хп }гаем называется фундаментальной (по конической метрике й), если (и только если) для любого с € Е, в С с, существует N = N (с) € N такое, что для любых п, т, п > т ^ N верно, что й(хп, хт) С с. Пространство (X, й) называется полным,, если (и только если) каждая фундаментальная последовательность в нем сходится.

Приведем пример конической метрики [19]. Пусть Е = М2, Р = {(х, у) € Е|х,у ^ 0} С М , X = Ми й : X х X ^ Е, где й(х,у) := (|х — у|,а|х — у|), а > 0 — константа. Тогда (X, й) — коническое метрическое пространство.

Топология в коническом метрическом пространстве определяется конической метрикой. В частности, открытый шар с центром в точке хо радиуса с, с € 1п^Р), следует понимать как подмножество Вс(хо) := {х € X|й(хо, х) С с} Отметим, что в самом конусе Р, как и во всем пространстве

Е, рассматривается топология, определяв мая нормой || ■ у. Если ко нус Р является нормальным, то коническая метрика й в X, определяемая конусом Р, является непрерывным (по совокупности переменных) отображением относительно топологии, порождаемой в X этой метрикой.

Р

вом пространстве Е. Без ограничения общности предположим, что константа нормальности конуса равна 1.

Определение 6. Пусть р : X — Р — функционал, переводящий элементы пространства X в элементы конуса Р С Е. Такой функционал р будем называть коническим функционалом. Множество нулей конического функционала р : X — Р обозначается

№1(р) = {х € X|р(х) = в}.

В рассматриваемых топологиях пространств X и Е (секвенциальная) непрерывность конического функционала р в точке хо € X означает, что для любой последовательности {хп}п^,

хп — хо (сходимость по конической метрике й), верно, что последовательность {р(хп)}п=1 2 ... схо-

п^-те ' '"'

дится к р(х0) то норме. Множество СгарИ(р) := {(х,7) € X х Р|7 = р(х)} называется графиком функционала р. Подмножество А С X конического метрического пространства (X, й) называется секвенциально-компактным,, если всякая последовательность его точек имеет сходящуюся подпоследовательность .

Определение 7. Будем говорить, что график СгарИ(р) функционала р является {в}-полным, если любая фундаментальная последовательность {хп}пеN гДе р(хп) —> в, сходится к некоторому

п^-те

элементу £ € X, где р(£) = в. График СгарИ(р) функционала р будем называть {в}-замкнутым, если для любой сходящейся последовательности {хп}пем, хп — где р(хп) — в, верно, что

п^-те п^-те

р(е) = в.

Р

те

= А, € Р, А € Р, в < аЛ+1 < , к € N. (1)

к=1

Определение 8. Пусть (X, й) — коническое метрическое пространство. Многозначное отображение Е : X — СВ^), где СВ^) — совокупность всевозможных непустых ограниченных замкнутых подмножеств в X, называется секвенциально-полунепрерывным сверху в точке х0 € X, если для любой последовательности {х&сходящейся (по метрике й) к элементу хо € X, и любых € Е (хк ),к € N, верно, что — Е (х0), т.е. для люб ого с € Е, в <С с, существует N = N (с) € N такое, что для любых к ^ N верно , Е(х0)) ^ с, где , Е(х0)) := М {й(ук, г)}.

ге^ (хо)

Определение 9. Индексом точки х € X относительно пары (р, ряд (1)), где р : X — Р — конический функционал, будем называть элемент /<(х) € N и {0} и то, определяемый из равенств

( 0, р(х) ^ а1; /<(х) = < к, ак+1 ^ р(х) < ак; [ то, р(х) = в.

Определение 10. Будем говорить, что конический функционал р : X — Р подчинен ряду (1), если для любого х € X, /<(х) < то, существует элемент х' € X, такой, что й(х,х') ^ р(х), (х ) > /<(х).

3. Основные результаты. Следующая теорема является распространением соответствующего утверждения работы [6] о поиске нулей числового функционала, подчиненного сходящемуся ряду, на случай конических функционалов в коническом метрическом пространстве.

Теорема 1. Пусть конический функционал р : X — Р подчинен ряду (1) и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий:

1) пространство (X, й) полно, и график СгарИ(р) функционала, р является {в}-замкнутым;

2) график СгарИ(р) является {в}-полным.

Тогда, №1(р) = $ и для любого х0 € X \ №1(р) существует такая точка £ € №1(р); для которой верна следующая оценка, на, коническое расстояние:

те

й(х0,£) %(яо)+7. (2)

.7=0

Доказательство. Пусть x0 € X и I^(x0) < оо. Согласно условиям теоремы можно выбрать такую точку xi € X, что d(x0,xi) ■ p(x0) и I^(xi) > (x0). Далее, аналогично выбираем точки Xk,k ^ 2. При этом если выбрана точка xn и ) — со, то xn € Nil(p) и процесс завершен. Если I<^(xn) < оо для любых n € N т0 получаем последовательность {xn}n€Nu{0}) удовлетворяющую следующим условиям: d(xn,xn+1) ■ p(xn), I<^(xn+1) > I^(xn), n — 0,1,.... Покажем, что последовательность {xn}гаеш{0} фундаментальна. Выберем произвольные m,n € N, m > n, и рассмотрим расстояние d(xm,xn). В силу нормальности конуса, неравенства треугольника, условия подчиненности функционала р ряду (1), сходимости ряда (1) и способу построения последовательности {xn}n€Nu{0} имеем

m— 1 m— 1 m— 1

d(x„,xm) ■ d(xi,xi+1) ■ ^ p(xi) < ^ n— 0. (3)

i=n i=n i=n

Таким образом, lim d(x m, xn) — $ (сходимость по норме), следовательно, последовательность

n—те

{xn}neNU{0} является фундаментальной. Кроме того, в силу неравенств (3) и замкнутости конуса P

те

ряд p(xn) сходящийся и, следовательно, p(xn) — 0.

n=1 ^те

Пусть выполнено условие 1 теоремы. Так как коническое метрическое пространство (X, d) полно, то существует точка £ € X, такая, что xn — £ € X А поскольку график Graph(p) функционала

n—>-<те

р является {0}-замкнутым, то отсюда следует, что р(£) — 0, т.е. £ € Nil(p).

Пусть теперь выполнено условие 2 теоремы. Так как последовательность {xn}neNu{0} фундаментальна и p(xn) — то существует такая точка £ € X, что xn — £ А так как график Graph(p)

n—те n—те

является {0}-полным, то р(£) — 0. Иначе говоря, £ € Nil(p), что и требовалось доказать. Оценка (2) получается из неравенств

те те те те

£) ■ d(xi, xi+1) ■ P(xi) < Е aMxi) ■ S a1^(xo)+j • D i=0 i=0 i=0 j=0

Важно отметить, что в качестве следствий из теоремы 1 получаются теоремы о неподвижных точках отображения пространства (X, d) в себя, о совпадениях конечного набора отображений из пространства (X, d) в другое коническое метрическое пространство (Y,p), а также о существовании прообразов заданного замкнутого подпространства H С Y при действии отображения из (X, d) в (Y, р). В самом деле, если задано отображение F : X — X и конический функционал р, определенный по правилу p(x) :— d(x, F(x)), удовлетворяет условиям теоремы 1, то множество его нулей Nil(p)

F

m— 1

ряет, например, функционал р, определеный равенствами p(x) — ^ p(Fk(x),Fk+1 (x)),x € X, где

k=1

Fk : X — Y, k — 1,m, ^ заданный набор отображений, то Nil(p) — Coin^,..., Fm) — множество точек совпадения этого набора отображений. И, наконец, если теореме 1 удовлетворяет функционал р, где p(x) :— p(F(x),H), то Nil(p) есть множество прообразов замкнутого подпространства H С Y

F:X—Y

Отметим также, что можно получить обобщения теоремы 1 и перечисленных следствий из нее для случая многозначных функционалов и многозначных отображений по аналогии с [10], где такие обобщения и следствия изложены для метода поиска нулей (а, ß)-поисковых функционалов. Мы не приводим здесь соответствующие формулировки.

Теперь рассмотрим вопрос об устойчивости предложенного метода поиска нулей конического функционала относительно изменений начальной точки.

(X, d)

сходящемуся ряду (1) и секвенциально непрерывный на X конический функционал p(x) : X — P, для, которого выполнены, все условия теоремы 1. Кроме того, пусть либо множество Nil(p) С X секвенциально-компактно, либо Nil(p) — ограниченное множество и любой замкнутый шар в X секвенциально-компактен.

Тогда, многозначное отображение 7^ : X \ Nil(p) — Nil(p) определенное по правилу

те

%(x) :— {У € Nil(p)|d(x,y) < ^

j=0

секвенциально-полунепрерывно сверху.

Доказательство. Пусть хт — х0 € X \ №1(^>) и Ст € 7<(хт), т € N. Покажем, что

т^-те

й(Ст,7<(хо)) — в. Предположим противное. Тогда найдутся такое в, в С в, и такая подпоследова-

т^-те

тельность {хтк}к^ последовательности {хт}те^ что йтк = й(Стк, 7<(хо)) С е. Так как хтк — х0, то последовательность {хтк} ограничена (по конической метрике), т.е. существует элемент М € Р, такой, что й(хтк, хо) ^ М. Далее, то определению отображения 7< (и полагая Ст = хтк, если ^>(хтк) = 0) имеем

оо

й(хт^ , Стк) С ^т*, := \ ^'=о

[в, если хтк € №1(^>).

; Е )+,■ € если хтк € ШЫ;

оо

Следовательно, й(хтк , Стк) С шах(£тк) Е а2- = А € Р, Vk € N. Так как ограничены и после-

к 2=о

довательность {хтк }, и совокупность расстояний й(хтк , Стк), Т0 отсюда получаем ограниченность последовательности {Стк} (так как, например, й(хо,Стк) ^ М + А для всех к € N.

Теперь воспользуемся условиями теоремы о секвенциальной компактности. Из любого варианта этих условий следует, что последовательность {Стк } содержит сходящуюся подпоследовательность. В самом деле, секвенциальная компактность множества №1(^>), очевидно, обеспечивает существование такой подпоследовательности по определению. Если в пространстве X компактен любой замкнутый шар, то достаточно взять такой замкнутый шар С С X, что №1(^>) С С. Пусть — сходящаяся подпоследовательность последовательности {Ст}ке^- Тогда С<? € 7<(хд), и пусть С9 —те Со-

Заметим, что так как функционал ^ секвенциально-непрерывен, то множество №1(^>) (секвенциально) замкнуто. Поэтому из условий Сд € №1(^>), д € N следует что и Со € №1(^>).

Для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что Со € 7<(хо). Так как функционал <^(х) секвенциально-непрерывен, то для любого ^ > 0 существует N = N€ N такое, что при любом д > N верно неравенство ||^>(хд) — ^>(хо)|| < Ввиду того что в — ^>(хо) С а/дЖ0) (т.е. ^(хо) содержится во внутренности отрицательного конуса — Р с вершиной в точке а/дЖ0)), при достаточно малом ^ > 0 там же содержатся пересечение открытого шара ВД^>(хо)) (с центром в точке ^>(хо) радиуса с конусом Р и элемент ^>(хд). Следовательно, 1<(хо) ^ /<(хд). Поэтому для

те

любого д > N верно й(хд) С ^ Е а/ (Х0)+2- Аналогично так как

2=о ^

те

Q := й(хо,Со) — (й(хо,х,) + й(Сд,Со)) =< й(хд,С<?) С ^ а/д^^,

2=о

те

то для некоторого п > 0 и любой точки § € В(Ф) верно ф + в С Е а/ (Х0)+2-- В силу сходимости

2=о ^

последовательностей {хди {Сддля любого с € Р, в С с, при достаточно больших номерах д имеет место неравенство й(хо,хд) + й(Сд, Со) С с. Взяв элемент с так, чтобы в С с, ||с|| < п

тете

получим й(хо ,Со) = Ф + й(хо,хд) + , Со) С Ф + с С Е а/^(Х0)+Г Итак> й(хо,Со) С Е а/ш(х0)+2,

2=о 2=о

следовательно, Со € 7<(хо). □

Перейдем теперь к вопросу об устойчивости метода поиска нулей конического функционала относительно малых изменений заданного функционала.

Теорема 3. Пусть конический функционал ^>о : X — Р подчинен сходящемуся ряду (1) и №1(^>о) = 0. Пусть также заданы конические функционалы ^>т : X — Р, подчиненные сходящимся, рядам,

те

^ ^ ^п — лт) 17 ^ "п+1 ^ — "п п=1

; ат = Ат, в С ат+1 С ат ^ а„, т, п € N. (4)

Пусть для каждого из функционалов <рт выполнены по отношению к ряду ^ ат условия теоре-

п=1

м,ы, 1 и для, любой точки С € №1(^>о) верны неравенства

/<т+1 (С) >1<т(С), т € N. (5)

Тогда для любой точки £0 € Nil(p0) существует последовательность {£m}^=i, Cm £ Nil(pm

m € N, такая, что ^ £0.

m^-те

Доказательство. Пусть «о € №1(ро). В силу теоремы 1 для точки «о и функционала рт существует такая точка £т € №1(рт), для которой верна оценка (т € М):

/ те

¿(«о■ «„,) « = |£«Ъ)+ € € №1<Р'»); (6)

в, если «о € №1(рт),

те

Из оценки (6) с учетом (4) получаем й(£0,«т) « ^ ^ а/ (£0)+, Ут € N. Для той же точки

у=о

«о и функционала рт+1 по теореме 1 существует такая точка «т+1 € №1(рт+1), для которой ввиду последнего неравенства и условий (4) и (5) выполняется следующая оценка:

те

. а г )+€ Р, если «о € №1(рт); Ут € N. ¿(«о, «т+1) « ^т+1 « ^т ^ ^о := { = ^^ У '

в, если «о € №1(рт).

В силу сходимости ряда (1) отсюда получаем ,«т) — 0. □

т^те

Отметим, что если в дополнение к условиям теоремы 3 функционал ро удовлетворяет условиям теоремы 1, то утверждение теоремы 3 фактически означает секвенциальную полунепрерывность снизу в точке ро многозначного отображения т, где т(р) := №1(р), определенного на множестве функционалов, удовлетворяющих условиям теоремы 1 относительно ряда (1), с топологией пото-

ро

выполнения условий теоремы 1.

Сравним полученные результаты с соответствующими теоремами в метрическом пространстве (с числовой метрикой). В частности, сравним теорему 1 с соответствующей теоремой из [6] для случая метрического пространства. Как сказано во введении, в силу нормальности конуса Р, полагая ^(ж,у) := ||^(ж,у)|| для любых ж, у € X, можно осуществить переход к обычному метрическому пространству с числовой метрикой Неравенства вида ^(ж, у) ^ а переходят при этом в неравенства вида ||¿(ж,у)| ^ ||а||.

Теорема 1 не сводится к соответствующей теореме из [6], если ряд (1) не является абсолютно сходящимся. В самом деле, пусть выполнены все условия теоремы 1 и при этом ряд

те

||,ак € Р,0 « ак+1 « ак, к € М, (7)

к=1

расходится. Тогда при переходе к метрическому пространству (X, где ^(ж,у) := ||^(ж,у)||, получается подчиненность метрического функционала Ф(ж) := ||р(ж)|| расходящемуся ряду (7), что исключает редукцию теоремы 1 к числовой метрической версии.

Теоремы 2 и 3, как уже сказано во введении, являются содержательными не только для случая конического метрического пространства, но и для обычного метрического пространства.

Авторы выражают искреннюю благодарность рецензенту статьи за подробный доброжелательный отзыв. В соответствии с замечаниями и пожеланиями рецензента устранены некоторые неточности и опечатки, что существенно улучшило изложение материала статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фоменко Т.Н. О приближении к точкам совпадения и общим неподвижным точкам набора отображений метрических пространств // Матем. заметки. 2009. 86, № 1. 110-125.

2. Fomenko T.N. Cascade search principle and its applications to the coincidence problems of n one-valued or multi-valued mappings // Topol. and its Appl. 2010. 157, N 4. 760-773.

3. Фоменко Т.Н. К задаче каскадного поиска множества совпадений набора многозначных отображений // Матем. заметки. 2009. 86, № 2. 304-309.

4. Фоменко Т.Н. Устойчивость каскадного поиска // Изв. РАН, Сер. матем. 2010. 74, № 5. 171-190.

5. Фоменко Т.Н. Каскадный поиск: устойчивость достижимых предельных точек // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 5. 3-9.

6. Гайнуллова С.Р., Фоменко Т.Н. Функционалы, подчиненные сходящимся рядам, и некоторые приложения // Матем. заметки. 2014. 96, № 2. 314-317.

7. Фоменко Т.Н. Каскадный поиск прообразов и совпадений: глобальная и локальная версии // Матем. заметки. 2013. 93, № 1. 127-143.

8. Фоменко Т.Н. Функционалы, строго подчиненные рядам, и поиск решений уравнений // Докл. РАН. Сер. матем. 2013. 453, № 6. 617-619.

9. Fomenko T.N. Functional strictly subjected to convergent series and search for singularities of mappings // J. Fixed Point Theory and its Appl. 2013. 14, N 1. 21-40.

10. Fomenko T.N. Approximation theorems in metric spaces and functionals strictly subordinated to convergent series // Topol. and its Appl. 2015. 179, N 1. 81-90.

11. Фоменко Т.Н. Функция Браудера и теоремы о неподвижных точках и совпадениях // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. 79, № 5. 239-248.

12. Kretn M. G. Propriétés fondamentales des ensembles coniques normaux dans l'espace de Banach // Doklady Acad. Sci. URSS. 1940. 28, N 3 (Jul-Sep). 13-17.

13. Крейн M.Г., Рут,мan M.A. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи матем. наук. 1948. 3, № 1 (23). 3-95.

14. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматлит, 1962.

15. Вулих Б.З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах: Учеб. пос. Калинин: Калинин, гос. ун-т, 1977.

16. Kurepa D.R. Tableaux ramifiés d'ensembles. Espaces pseudo-distanciés // C.r. Acad. sci. Paris. 1934. 198. 1563-1565.

17. Proinov P.D. A unified theory of cone metric spaces and its applications to the fixed point theory // Fixed Point Theory Appl. 2013. 2013, N 103. 1-38 (doi:10.1186/1687-1812-2013-103).

18. Zabrejko P.P. K-metric and K-normed linear spaces: survey // Collect. Math. 1997. 48. 825-859.

19. Huang L.-G., Zhang X. Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings //J. Math. Anal, and Appl. 2007. 332. 1468-1476.

20. Kadelburg Z., Radenovic S. A note on various types of cones and fixed point results in cone metric spaces // Asian J. Math, and Appl. 2013. 2013. Article ID ama0104, 1-7.

21. Jankovic S., Kadelburg Z., Radenovic S. On cone metric spaces: A survey // Nonlinear Anal. 2011. 74. 25912601.

22. Khani M., Pourmahdian M. On the metrizability of cone metric spaces // Topol. and its Appl. 2011. 158. 190-193.

23. Фоменко Т.Н., Ястребов К. С. О сходимости итерационной схемы типа Нура с погрешностями в выпуклом коническом метрическом пространстве // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 1. 56-60.

24. Rezapour Sh., Hamlbarani R. Some notes on the paper "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings" //J. Math. Anal, and Appl. 2008. 345. 719-724.

25. Asadi Mehdi, Soleimani Hossein. Examples in cone metric spaces: A survey // Middle-East J. Sci. Res. 2012. 11(12). 1636-1640.

Поступила в редакцию 10.04.2019

УДК 511

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФЛАТТЕРА ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ

А. В. Давыдов1

В статье проводится спектральный анализ символа уравнения колебаний вязкоупру-гой пластины в потоке жидкости или газа с помощью методов операторного анализа. Главным результатом работы является оценка снизу критической скорости потока жидкости или газа, при которой движение перестает быть устойчивым.

1 Давыдов Александр Вадимович — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: essel01Qyandex.ru.

Davydov Alexander Vadimovieh — Fostgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis.