CC BY
32
MS С 74F15
МЕТОД ОТРАЖЕНИЙ В ОПИСАНИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ СФЕРЕ
В.В. Сыщенко, Э.А. Ларикова
Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия
Аннотация. Рассмотрено излучение, возникающее при падении равномерно движущейся нсрслятивистской заряженной частицы на идеально проводящую сферу. С помощью метода электростатических изображений получены формулы, описывающие характеристики переход-Hoi'o излучения.
Ключевые слова: переходное излучение, метод изображений.
Введение. При пересечении заряженной частицей границы раздела двух сред с различными электромагнитными свойствами возникает так называемое переходное излучение. С математической точки зрения, причина его возникновения заключается в том, что удовлетворить граничным условиям дня создаваемых частицей в этих двух средах нолей возможно лишь, добавив к общему решению уравнений Максвелла решение свободных уравнений (уравнений без зарядов и токов), представляющее собой электромагнитные волны, составляющие ноле излучения (см., например, |1|).
В некоторых простейших случаях найти решение уравнений Максвелла, удовлетворяющее граничным условиям, можно с помощью так называемого метода изображений, основанного на теореме единственности (см., например, |2|). В частности, излучение, возникающее при падении заряженной частицы на идеально проводящую плоскость, может трактоваться как излучение, возникающее при мгновенном исчезновении заряда и его «отражения», движущихся навстречу друг другу. Именно такой подход к описанию переходного излучения был использован в пионерской работе В.Л. Гинзбурга и II.М. Франка 131.
В настоящей статье мы используем метод изображений дня нахождения спектра переходного излучения, возникающего при пролете нсрслятивистской заряженной частицы сквозь идеально проводящую сферу. Ранее данный подход был использован в |4| дня исследования дифракционного излучения, возникающего при пролете частицы мимо такой сферы.
Работа поддержана Министерством образования и науки Российской федерации (проектная часть государственного задания № 3.500.2014/К в сфере научной деятельности).
Метод исследования. Спектралыю-угловая плотность излучения заряженной частицы описывается формулой |5|
1 |[к,1]|2,
¿^¿П 4 п2с
где к — волновой вектор излученной волны, с — скорость света в вакууме
I
е у(Ь) е1(ш1-кг(1)) ¿Ь
(1)
(2)
Рис. 1. К методу отражений: положения реального заряда во и его «отражения» е относительно заземленной проводящей сферы радиуса К.
е — заряд частицы, г(Ь) — её траектория,
, . ¿г
у<() = л •
Рассмотрим излучение, возникающее при падении прямолинейно равномерно движущейся нерелятивистекой заряженной частицы на идеально проводящую сферу. Причиной возникновения переходного излучения является неоднородность среды, сквозь которую движется частица, в данном случае — наличие проводящей сферы. Найти решение уравнений ноля, удовлетворяющее граничным условиям на сфере, можно с помощью следующего формального приёма, основанного на теореме единственности |2|,
ео
го от центра идеально проводящей заземленной сферы радиуса Я оказывается (в на-
ео
е ео
сферы, на расстоянии г от центра сферы (рис. 1), причем
Я2
г о
е = -ео
-е0-
Я
г0
(3)
Легко проверить, что в этом случае потенциал, создаваемый двумя зарядами па поверхности сферы, будет равен пуню. В случае не заземленной, а изолированной сферы
-е
—^
Введем систему координат, в которой начало координат совпадает с центром сферы, ось г направлена вдоль скорости налетающей частицы уо, а ось х лежит в плоскости, содержащей траекторию налетающей частицы и центр сферы (рис. 2), так что расстояние между пролетающей частицей и центром сферы будет равно
г = у //2 • I I 2 ,
X
Ъ 1 г
V \
Рис. 2. Заряд во, проникающей сквозь сферу иод прицельным параметром Ъ, и его «отражение».
где момент времени г = 0 соответствует наибольшему сближению частицы с центром сферы. Тогда, согласно (3), величина и координаты фиктивного заряда будут определяться соотношениями
, . Я , . Я2Ь . . Я2Уог ,
е ^ = ~ео /;9 = , = 2 , хЦ) = . 4
л/ь2 + у%г2 Ь2 + у^г2 Ь2 + у^г2
Компоненты скорости фиктивного заряда, согласно (4), будут равны
_ 2Я2Ьи& _ Я2у0{Ь2 - У^2)
~(Ь2 + г^2)2 ' 1'Л1) (.Ь2 + ф2)2 • (5)
Излучение, возникающее при прохождении равномерно движущегося заряда сквозь сферу, будет описываться формулами (1) и (2) с учетом вклада обоих зарядов — реального и фиктивного (легко показать, что описывающие излучение формулы (1) и (2) остаются справедливыми и дня заряда переменной величины):
/ — Ьо РГС
ео Уо ег(шЬ—к*щЬ) (г + ео Уо ег(шЬ—к*щЬ) (И+
-ГС •/ Ьо
/—Ьо ГГС
е(£) у(г) ег(шЬ—]кг(Ь)) (г + е(г) у (г) ег(шЬ—кг(Ь)) (г, (6)
■гс ^ Ьо
где ¿о = л/Я2 — Ь'2/уо — момент времени пересечения частицей поверхности сферы.
Подстановка форму.:: (4) и (5) в (6) дает следующие выражения дня компонент вектора I:
1Х = 2ео6ЯЧ2
—ь0
(Ь2 + ^2Ь2)5/2
ехр < г
иЬ —
кХЯ2Ь кг Я2ьоЬ
Ь2 + Ь2 +
(Ь +
+ 2е0ЬЯ3г;02 , ,
/4о (Ь2 + ^2Ь2)5/2
ехр < г
иЬ —
кХЯ2Ь кг Я2у0Ь
Ь2 + ^0Ь2 Ь2 + у2Ь2
'—'о
во^о
ег(ш4-кг(Ь + воУо I вг(ш*-к*^ (Ь -
tо
кхК2Ь
0э Г'0 Ь2 - у2ь2
(Ь2 + ^2Ь2)5/2
ехр < г
иЬ —
кг К2ьоЬ
¥ТЖ2 ~
(Ь , (7)
(Ь—
- воЕ'ьо
Г°° Ь2 -/4о (Ь2 +
ехр г
иЬ
кХЯ2Ь кг К2ьоЬ
Ь2 + ^2Ь2 Ь2 + ^2Ь2
(Ь.
(8)
Учитывая, что |к| = и/с, для нерелятивистского заряда и длинноволнового предела (А ^ Я) мы можем пренебречь всеми слагаемыми в показателях экспонент по сравнению с первым. В этом случае
■—'о
Ь
1Х 2е0ЬЯЧ2 (&2 + ^2)Б/2
Ь
ехр {га;^} ¿1 + 2еоЪК г>0 / —-2 /2 ехр {га;£} ¿1.
Ло (Ь + ^0Ь ) '
воЩ
'о
е^ (Ь + воьо еш' (Ь-
(9)
'¿о
3 С Ь V) Ь Г • 7 3
—е0л г>0 / 7775—;—ехР сИ — е0л и0
Ь2 - у2ь2
ехр {гшЬ} сИ . (10)
и о (Ь2 + ^2ь2)5/2
, (Ь2 + ^2Ь2)5/2
Легко видеть, что величина 1Х является чисто мнимой, а величина 1 ной. С учетом этого, подстановка в (1) дает
веществеп-
1
4п2с с2
и
+ (^г | ^ | кХ1 Х + кг Хг
и
4п2с3
г 12 1 г 12 1 т т 12
1 х 1 + 1 - (Кх!х + Кг 1г 1
и
4п2с3
1 - кХ) (/ХГ + (1г
где к = к/к к° = кХ + Интегрируя (11) по углам с учетом того, что
Г 4 8
/ (1-Я2) <Ю = 4тГ--7Г=-7Г,
(11)
8
сЫ = - 7Г
2
получим выражение для спектральной плотности излучения:
dE 2u2
du 3пс3
L
\L
(12)
Результаты исследования. Точное вычисление входящих в (9), (10) интегралов возможно только в случае Ь = 0 (прохождение частицы через центр сферы). В остальных случаях оказывается возможным лишь приближенное их вычисление поело раз-
Ь
величина Ь/ь0Ь. В этом случае
6 < 1 (13)
voto
вычисления дают
где
Ix/e0 = iP cos(ut0) — iQ sin(ut0) + iSci(ut0),
F/e0 = —2— sin(a;¿o) + F cos(ut0) — Gsin(u;¿o) + Hci(ojt0) u
P = R^-^P vo2
u
2
P
2 b/v0u
з^Г
3 b2 1
(14)
(15)
u
Q = R —tQ, Q =
2 b/vo
vo2
3 to
1
2 b2 1 b2
Цш2+ V2UJ24 4 VqÍq + 8 г;2
u2 2 u
S = i? —rr S", 5 = -6-
3 vo
1 2 u2 1+—
8 v2
o
u
2
F = R —y F,
vo2
F
u2t0
7 b2
7
u
1 4ф2 + 24Ь2г-2.
u
Gr — R —Cj . v02
G = —
ut0
7 b2
7
u
1-— — + — 62 — 12 t'gíg ^ 24 Vq J
3 u ~ ~
H = R —2 H, H
7 2 u2
1 +
Специальная функция - интегральный косинус в этих формулах определяется как
} сов(шЬ)
ci(ux) = —
t
dt.
В области больших частот, таких, что шЬ0 ^ 1, выражения (14), (15) можно существенно упростить, воспользовавшись асимптотикой интегрального косинуса |6|
ci(x)
вт х
x
1
2! 4!
x2
x4
cos x /1! 3! 5!
x
x x3
x5
при x ^ 1 .
2
v
и
1
В этом cuvчае
,R3b 1
Veo ~ 1' —тт cos(wío) ( 1 - ту о,2 i '
2 v0 L0
шь^ t0
5 b2
Ьо , ч R3 , ч / 7 b2 /7е0 - -2- smMo) - sm^o) [l - ¿^
При значениях b, близких к R, в роли малого параметра выступает величина v0t0/b. В случае
v0t0
b
< 1
(16)
приближенные вычисления интегралов в (9), (10) приводят к следующему результату:
Ix/e0 = iQl — iA sin(wt0) + iB cos(^t0),
где
h/eQ = —2— sin(a;¿o) ~ Q-¿ + D sin(u;¿o) _ С cos(ut0) ш
Qi
2
(ш
Щ
-R3^ Ki ( —b
OJ v0
Q2
R3
,ш
A 4Я3 г-2
b2 ш2Ь2
+>-1 -Ь V0 шЬ V V0
1 — — f — — 1
2 V b2
+ 15
2
Ш2Ь2
B
4Д t'p /Я2
IF^TbSl2
1
D
2R3 vQ b2 шЬ
1
7 / R2
5R
b2 1Г 15 u2b2
1 - - — - 1 + 7—^
2 U2 üJ2b2
C
14R3 v
— - 1 b2 — 1,
b2 ш2Ь2
K0(x) и Kl(x) — модифицированные функции Бесселя третьего рода (функции Мак-допаньда).
Спектры излучения, рассчитанные но данным формулам, представлены на рис. 3. Подчеркнем, что условие (13) выполняется дня гораздо более широкого интервала значений прицельного параметра, чем условие (16).
Угловое распределение интенсивности из.нучения, согласно (11), будет определяться балансом вкладов |Ix|2 и |Iz|2, В области малых прицельных параметров определяющим будет вклад |Iz|2, поэтому угловое распределение будет описываться функцией К2 = sin2 9, где угол в отсчитывается от направления движения налетающей частицы (направления оси z, рис. 3, слева), с небольшими искажениями за счет вклада |Ix|2, Вклад |Ix|2 в угловое распределение излучения описывается функцией 1 — х^, имеющей
2
2
3
v
0
0
2
такую же геометрическую форму, но с осью симметрии, параллельной оси х, Соотношение величин |/ж|2 и 11г|2 может быть различным в зависимости от значений параметров Ь, Я, у0 и ш. Вид углового распределения излучения при «скользящем» падении частицы па сферу при одном копкетпом значении этих параметров показан па рис. 3, справа.
Рис. 3. Спектральная плотность переходжнх) излучения при различных значениях прицельших) параметра.
Рис. 4. Диаграмма направленности переходного излучения (безразмерная величина (^£/^ш^П)(4п2с3/е2Я2ш2)) для случаев Ь = 0 (слева) и Ь = 0.9Я (справа), Яш/у0 = 1 в обоих сну чаях.
Заключение. В статье рассмотрено излучение, возникающее при прохождении равномерно и прямолинейно движущейся нерелятивиетекой заряженной частицы через идеально проводящую сферу. Найдены формулы, описывающие спектрально-угловую и спектральную плотности переходного излучения в области малых частот излучения
(или больших длин волн, намного превышающих радиус сферы). Полученные результаты могут быть использованы при разработке новых методов мониторинга пучков заряженных частиц.
Литература
1. Гинзбург В.Л., Цытович В.Н. Переходное излучение и переходное рассеяние (некоторые вопросы теории) / М.: Наука, 1984. 360 с.
2. Левич В.Г. Курс теоретической физики. Т.1 / М.: Наука, 1969. 912 с.
3. Гинзбург В.Л., Франк II.М. /7 ЖЭТФ. 1946. 16. С.15.
4. Сыщснко В.В., Ларикова Э.А. Диффракционное излучение нерелятивистской заряженной частицы на идеально проводящей сфере /7 Belgorod State University Scientific Bulletin Mathematics & Physics. 2013. 26 (169); 33.' C.51-56.
5. Ахиезер А.И., Шульга Н.Ф. Электродинамика высоких энергий в веществе / М.: Наука, 1993. 344 с.
6. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы) / М.: Наука, 1968. 344 с.
DESCRIPTION OF CHARGED PARTICLE RADIATION ON IDEALLY CONDUCTING SPHERE BY THE METHOD OF IMAGES
V.V. Syshchenko, E.A. Larikova
Belgorod State National Research University, Studencheskya St., 14, Belgorod, 308007, Russia
Abstract. Radiation generated uniformly moving non-relativistic particle on ideally conducting sphere is under consideration. Formulae of transition radiation characteristics are obtained using the electrostatic images method.
Key words: transition radiation, method of images.
