Диффракционное излучение нерелятивистской заряженной частицы на идеально проводящей сфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

MS С 78А45

ДИФФРАКЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ СФЕРЕ

В.В. Сыщенко, Э.А. Ларикова

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия

Аннотация. В статье рассматривается излучение, возникающее при взаимодействии равномерно движущейся нерелятивистекой заряженной частицы с идеально проводящей сферой. При решении данной задачи использован известный из электростатики метод отражений. Получена формула, описывающая спектрально-угловую плотность дифракционншх) излучения, возникающих) при движении частицы с прицельным параметром, превышающим радиус сфе-

Ключевые слова: диффракционное излучение, метод отражений.

Введение. Со времени своего открытия, явление дифракционного излучения |1| привлекает неослабевающее внимание исследователей во всем мире. Такой интерес к данной проблематике связан как с красотой физического явления, так и многообразными возможностями практических применений, связанных с детектированием частиц, мониторингом пучков, а также при создании новых источников излучения. В последние годы было показано, что характеристики дифракционного (и родственного ему переходного) излучения могут существенно зависеть от деталей геометрии мишени.

Методика и результаты. Сиектралыю-угловая плотность излучения заряженной частицы описывается формулой |2|

*е 1 '[М|2, (1)

бмйО, 4п2с

где к — волновой вектор излученной волны, с — скорость света в вакууме

/те

ео \{г) ег(ш4-кг(4)) йг, (2)

-те

е0 — заряд частицы, г(£) — её траектория,

Рассмотрим излучение, возникающее при прямолинейном равномерном движении нерелятивистекой заряженной частицы вблизи идеально проводящей сферы, при условии, что прицельный параметр траектории частицы больше радиуса сферы, Ь > Я,

так что траектория частицы но пересекает поверхность сферы. Возникающее в таком случае излучение принято называть дифракционным.

На первый взгляд, излучение в такой ситуации должно отсутствовать, поскольку дня частицы, движущейся с постоянной скоростью, интеграл (2) будет равен нулю.

Причиной возникновения дифракционного излучения (как и родственного ему переходного) является неоднородность среды, сквозь которую движется частица, в данном случае — наличие вблизи траектории частицы проводящей сферы. Оказывается, что в этом случае удовлетворить условиям дня электрического ноля на границе сферы невозможно, если не добавить в общее решение уравнений Максвелла решение свободных уравнений, то есть электромагнитные волны, составляющие ноле излучения.

Найти решение уравнений ноля, удовлетворяющих граничным условиям на сфере, можно с помощью следующего формального приёма, основанного на теореме единственности 131.

Электрическое поле, создаваемое точечным зарядом в0, помещенным на расстоянии го от центра идеально проводящей заземленной сферы радиуса Я оказывается (в на-

во

в во

г

Легко проворить, что в этом случае потенциал, создаваемый двумя зарядами на поверхности сферы, будет равен нулю. В случае не заземленной, а изолированной сферы следует добавить еще фиктивный заряд величиной —в в центр сферы. Если заряд в0

в

будет теперь зависеть от времени) будет совершать ускоренное движение.

Наш подход к описанию дифракционного излучения заключается в том, чтобы трактовать его как излучение ускоренно движущегося фиктивного заряда также, что вони-чина фиктивного заряда меняется со временем. Легко показать,что описывающие излучение формулы (1) и (2) остаются справедливыми и дня заряда переменной величины.

Рис. 1. К методу отражений: положения реального заряда ео и его «отражения» е относительно заземленной проводящей сферы радиуса Я.

(3)

ео . Уо

к——^ -

Рис. 2. Заряд ео, пролетающей мимо сферы под прицельным параметром Ъ,

и его «отражение».

Введем систему координат, в которой начало координат совпадает с центром сферы, ось г направлена вдоль скорости налетающей частицы у0, а ось х лежит в плоскости, содержащей траекторию налетающей частицы и центр сферы (рис. 2), так что расстояние между пролетающей частицей и центром сферы будет равно

Ь2 + ,

где момент времени г = 0 соответствует наибольшему сближению частицы с центром сферы. Тогда, согласно (3), величина и координаты фиктивного заряда будут определяться соотношениями

е(1) = —е0-

Я

х(£) =

Я2Ь

Ь2 + ^2г2

, г(г)

Д2г>о£ Ь2 +

\,'Ь2 ■ г2/2

Компоненты скорости фиктивного заряда, согласно (4), будут равны

(4)

¿х

2Я2Ьу2г

¿г (Ь2 + ^2г2)2 '

<Ь _ П2У0{Ь2 + У212) м ~ (ь2 + ь&2)2

(5)

Подстановка форму.:: (4) и (5) в (2) даёт следующие выражения дня компонент вектора I:

'х

2воЬЯ3^

г

1г = —воЯ3ьо

и(Ь2 + ^2г2)5/2

ГОо Ь2 _ у2{2 со (62 + Ф2)5/2

ехр < %

ехр < %

иг —

иг —

кхЯ2Ь

кх Я2уог

Ъ2 + ьЫ2 Ь2 + ьЫ2

кхЯ2Ь кг Я2^ог

Ь2 + ^2г2 Ь2 + ^2г2

¿г

¿г.

(6) (7)

Учитывая, что |к| = ш/с, для нерелятивистского заряда мы можем пренебречь третьим слагаемым в показателе экспоненты но сравнению с первым. Тогда остается:

1г.

Гте Ь

ехр

шЬ —

кхК2Ъ

¥ТЖ2

¿Ь,

(8)

1г = -еоЯ3Уо

ГОо Ь2 _ ф2 '_оо (Ь2 + ^2)6/2

ехр

шЬ —

ЬЯ2Ь

Ь2

V2Ь2

¿Ь.

(9)

Дня облегчения вычисления интегралов пренебрежём также вторым слагаемым в показателях экспонент (7) и (8). Полученные при этом формулы будут точно описывать излучение в плоскости (у, г), тогда кх = 0, и приближённо в остальных случаях. Справедливость такого приближения будет ограничена областью малых частот или больших длин волн (Л ^ Я).

шЬ

Ь — 0, в то время как второе слагаемое стремится к отличной от нуля константе. Эта константа должна быть много меньше единицы всюду, особенно там, где |шЬ| < 1. По-

Ь = 0 Ь = 0

слагаемое будет меньше значения в нуле). Таким образом, мы имеем следующее требование:

2пс 2пЯ2

Л

>

т Ь

Вычисление интегралов (см. |4| стр. 443, Л* 3.773.3 и Л* 3.773.6) даёт

4

ш

е0Я -т г К\

ш

Чо

(10)

3 V2

ш

о | — Ь - - е0Е Чо 3 Чо Ь

2 - " КЛ

ш

Ч0

(11)

где Ко(х) и К\(х) — модифицированные функции Бесселя третьего рода (функции Макдональда), Подстановка в (1) даёт:

__ 4 ерД6о;6

dшdQ 9п2 с3ч4

/Й (^ Ч0

ш

2— ЬКо Ч0

Ч0

(12)

График углового распределения (12) представлен на рис. 3.

Интегрируя (12) но углам, получаем искомое выражение дня еиектралыю-угловой плотности дифракционного юлу чепия

¿8 ¿ш

32 е2Я6о;6 27тг с3 Уд

К2

ш

Ч0

Уо

2 шЪ'

ш

Кг -6 + К, Ч0

ш

Ч0

(13)

и

Рис. 3. Угловое распределение дифракционного излучения (йЕ/йшйО,)(с3г^/е^Я6ш6), рассчитанное по формуле (12), для случая го = 0.0001с Ь/ре// = 2.1. На левом рисунке распределение представлено в виде графика зависимости от углов излучения 9 и ф, па правом в виде диаграммы направленности.

Формула (13) показывает, что характерная область частот определяется неравенством

где ре// — характерные поперечные размеры кулоновского поля движущейся частицы (а точнее, его фурье-компоненты, соответствующей частоте ш) и не зависит от радиуса сферы Я,

Заключение. В статье рассмотрено излучение, возникающее при равномерном и прямолинейном движении нерелятивистекой заряженной частицы вблизи идеально проводящей сферы. Найдены формулы, описывающие спектрально-угловую и спектральную плотности дифракционного излучения в области малых частот излучения (или больших длин волн А ^ Я). Полученные результаты могут быть использованы при разработке новых методов мониторинга пучков заряженных частиц.

1. Болотовский Б.М., Воскресенский Г.В. Дифракционное излучение /7 УФН. 1966. 88. С.209-251.

2. Ахиезер А.И., Шлльга Н.Ф. Электродинамика высоких энергий в веществе / М.: Наука, 1993. 344 с.

3. Левич В.Г. Курс теоретической физики. Том 1 / М.: Наука, 1969. 912 с.

4. Градштейн И.С., Рыжик ILM. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / М.: Наука, 1971. 1108 с.

Peff,

Литература

DIFFRACTION IRRADIATION OF NONRELATIVISTIC CHARGED PARTICLE

ON IDEALLY CONDUCTING SPHERE

V.V. Syshchenko, E.A. Larikova

Belgorod State National Research University, Studencheskya St., 14, Belgorod, 308007, Russia

Abstract. Article deals with the radiation produced by the interaction of uniformly moving relativistie charged particle with perfectly conducting sphere. This problem is solved by the reflection method being well-known in electrostatics. The formula describing the spectral-angular density of diffraction radiation generated by the motion of particles with the impact parameter greater than the sphere radius.

Key words: diffraction radiation, reflection method.