Метод оптимизации порядка применения различных стратегий менеджмента качества на основе максимизации вероятности бездефектного завершения процесса производства продукции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Михеев Е.А.

МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ПОРЯДКА ПРИМЕНЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ СТРАТЕГИИ МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА НА ОСНОВЕ МАКСИМИМИЗАЦИИ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗДЕФЕКТНОГО ЗАВЕРШЕНИЯ ПРОЦЕССА ПРОИЗВОДСТВА ПРОДУКЦИИ

На основе вероятностно-игровой модели предложен метод определения (оценки) оптимальных значений частот (вероятностей) применения вариантов стратегий менеджмента качества, используемых для обеспечения бездефектности процесса производства продукции, на основе максимизации вероятности его бездефектного завершения, как с учетом проявления различных дестабилизирующих факторов, так и без него.

В настоящее время особую актуальность приобретает оперативная коррекция как состава стратегий менеджмента качества, используемых для обеспечения бездефектности процесса производства продукции, так и порядка использования их вариантов, с целью достижения максимума вероятности его бездефектного завершения. Поэтому данная статья посвящена разработке методики определения оптимального, в смысле максимума вероятности бездефектного завершения процесса производства продукции, порядка применения различных вариантов стратегий менеджмента качества.

Для расчета вероятностей бездефектного завершения этапов производственного процесса с учетом условных (при условии использовании определенных стратегий менеджмента качества) вероятностей их бездефектного завершения, а также безусловных вероятностей как применения сотрудниками службы качества вариантов стратегий менеджмента качества, так и проявления различных дестабилизирующих производственный процесс факторов, можно воспользоваться следующими формулами: к к

Р(А,-) = ¿Р(А,.| В,)Р(В,і ¿у,, (1)

У У

где Гу =Р(А I В') - условная вероятность бездефектного завершения 1-го этапа, при условии выбо-

ра для его обеспечения j-й стратегии менеджмента качества (комплексов предупреждающих и корректирующих действий), а щ =Р(в) - безусловная вероятность выбора из возможных вариантов j-й стратегии менеджмента качества для обеспечения 1-го этапа, то есть частота с которой она выбирается;

р=П

¿р(А I в , )Р(В,)

=п

(2)

к Щ

(3)

р(а-) = 22р(а.1в Ип Мв * )р(п ) =

*=11=1

к Щ

=££аиА/"*,

*=11=1

р=п [ £ £ р(а-1в ип ж )р(п«) ]=

/=1 *=1/=1

=11 [ ££*" ]■

/=1 _/=1 ?=1

Вероятность " =Р(П) определяет частоту проявления на 1-ом этапе рассматриваемого производственного процесса 1-го варианта набора факторов, дестабилизирующих процесс производства продукции.

Вышеупомянутые условные вероятности бездефектного завершения этапов производственного процесса

(4)

г, =

Р(А,|В,) и =Р(А, |В, |П„)

могут быть вычислены с использованием известных моделей и

методик [Л. 1] и в конечном итоге сводятся в таблицы, а безусловные вероятности Ф * )=я,

У

р(п) = (і = М;у = 1,-,к,;і = 1,...,Щ)

"И У к;* Щ/ являются в общем случае варьируемыми величинами

(переменными). При этом их значения следует выбирать в рамках общепринятого математического подхода, ориентируясь на наихудший с точки зрения критерия эффективности вариант, рассматривая их

либо как антагонистически управляемые переменные, либо по ним необходимо усреднять критерий эффективности, когда мы их в силу априорной неопределенности считаем случайными факторами [Л. 2]. В итоге на них накладываются ограничения, естественные для вероятностей событий образующих полную группу, то есть:

Щ

0 < " < 1; I = " = 1, для любого /=1,..., N . (5)

г=1

Напротив, выбор оптимальных значений величин

Я

у ,

максимизирующих критерий эффективности, со-

ставляет в конечном итоге суть процесса оптимизации порядка выбора из возможных вариантов стратегий менеджмента качества, используемых сотрудниками службы качества при обеспечении бездефектности процесса производства и его этапов. На них, аналогично (5) следует наложить естественные ограничения:

Щ

0<я* < 1;] = 1,...,щ; £ ' я =1 , для любого /" = 1,...,N. (6)

з=1

Основную сложность при постановке задачи оптимизации порядка применения стратегий менеджмента качества, используемых сотрудниками службы качества при обеспечении бездефектности процесса производства, представляет задание стоимостных ограничений. Дело в том, что, множества вариантов предупреждающих или корректирующих действий, предусмотренных СМК в условиях той или иной производственной ситуации, используемые на различных этапах производственного процесса, могут как не пересекаться или пересекаться, так и просто совпадать. Данный факт обусловливает возможность использования одного итого же предупреждающего или корректирующего действия на различных этапах

и

производственного процесса, которая в свою очередь затрудняет оценку общей стоимости применяемого для обеспечения бездефектности производственного процесса набора стратегий менеджмента качества, представляющих собой комплексы предупреждающих и корректирующих действий. Это значительно усложняет формализацию получения такой оценки и приводит к оптимизационной задаче, разрешимой в общем

случае лишь путем полного перебора всех различных вариантов в дискретном случае (величины q~

изменяются с некоторым фиксированным дискретом), а при непрерывном изменении вероятностей -

становится численно практически неразрешимой [Л. 3].

Поэтому, для преодоления возникшей вышеописанной трудности, введем понятие удельной амортизационной стоимости предупреждающего или корректирующего действия, что позволяет нам получить аддитивные ограничения стоимости используемых стратегий менеджмента качества на каждом из этапов производственного процесса.

Пусть: C - стоимость конкретного используемого сотрудниками службы качества при обеспечении

бездефектности производственного процесса предупреждающего или корректирующего действия, т.е. затраты на его оснащение, документирование, подготовку специалистов для его осуществления и иные затраты, связанные с его подготовкой и реализацией; Т - среднее время его использования при организации производственного процесса (например, продолжительность серийного выпуска конкретного образца продукции), а t - предписанная системой менеджмента качества или плановая периодичность применения рассматриваемого предупреждающего или корректирующего действия, т.е. среднее время между актами его использования рассматриваемого. Будем считать, что затраты на проведение предупреждающего или корректирующего действия распределяются равномерно в течение всего срока выпуска образца продукции. Такое допущение на практике является вполне приемлемым. Тогда удельная амортизационная стоимость однократного применения этого предупреждающего или корректирующего действия можно оценить по формуле:

с • t

Суд=— • (7)

Естественно, формула (7) является очень приближенной, и упрощенной. Ее можно уточнить, вводя различные значения t для различных этапов и стратегий менеджмента качества, т.е. комплексов предупреждающих и корректирующих действий. Однако смысл ее от этого не изменится. Таким образом, если мы сложим удельные амортизационные стоимости предупреждающих и корректирующих действий, входящих в j-ую стратегию менеджмента качества, используемую на i-ом этапе производственного процесса, то получим удельную амортизационную стоимость С- j-ой стратегии менеджмента качества для i-

го этапа. Учитывая безусловные вероятности qj применения j-ой стратегии менеджмента качества на

i-ом этапе, получаем стоимость C обеспечения бездефектности i-го этапа как ее математическое ожидание:

Ci=Zc jq j ■ (8)

j=i

Тогда итоговую стоимость обеспечения бездефектного выполнения этапа производственного процесса можно посчитать по формуле:

N N k

C = ZC = ZZ cjqj ■ (9) i=i i=i j=i

Отметим, что необходимые данные для вычисления удельной амортизационной стоимости однократного применения конкретного предупреждающего или корректирующего действия по формуле (7) или ее уточненному варианту (при необходимости учета специфики конкретного этапа и конкретного состава используемой стратегии менеджмента качества), как правило, содержатся в технико-экономических обоснованиях и сметах расходов на разработку и внедрения систем менеджмента качества. Это позволяет удельные амортизационные стоимости однократного применения стратегий менеджмента качества c j просто затабулировать.

Теперь приступим непосредственно к постановке задачи оптимизации порядка применения обеспечивающих бездефектность производственного процесса стратегий менеджмента качества на основе максимизации вероятности бездефектного завершения производственного процесса с учетом стоимостных ограничений путем выбора оптимальных значений безусловных вероятностей qj применения j-й стратегий менеджмента качества на i-ом этапе (j = 1,...,k;i — l, ..,N) •

Итак, мы обозначили через Р вероятность бездефектного завершения производственного процесса, а через C - стоимость его менеджмента качества.

В качестве критерия эффективности системы менеджмента качества производственного предприятия целесообразно выбрать вероятность бездефектного завершения производственного процесса Р .

Остается обозначить через C максимально допустимую величину стоимости менеджмента качества

производственного процесса, определяемую из экономических возможностей службы качества предприятия. Тогда задача оптимизации будет иметь вид:

Р ^ max, при C < C0 • (10)

Если на практике появляется необходимость минимизировать стоимость менеджмента качества производственного процесса, то следует задать минимально допустимую вероятность его бездефектного завершения Р0 , тогда задача оптимизации, двойственная к задаче (10) будет иметь вид:

С ^ min, при Р > Р0 • (11)

Также, при оценке эффективности менеджмента качества производственного процесса по широко известному [Л. 4] критерию эффективность/стоимость задача оптимизации преобразуется в:

Р / С ^ max . (12)

Однако, наиболее приемлемым с практической точки зрения, критерием эффективности менеджмента качества производственного процесса является вероятность его бездефектного завершения, а задачу

оптимизации порядка применения обеспечивающих бездефектность производственного процесса стратегий менеджмента качества, т.е. комплексов предупреждающих и корректирующих действий, наиболее целесообразно ставить в виде (10). Постановка ее в виде (11) целесообразна лишь в случае, когда имеют

место значительные финансовые трудности, а значение Р0близко к единице. Постановка оптимизационной задачи в виде (12) с точки зрения общепринятой теории оценки эффективности [Л. 3] является

классикой, однако, с практической точки зрения, применительно к выпуску особо ответственной аппаратуры (например, обеспечивающей безопасность движения поездов)-малосодержательной. Такая постановка рассматриваемой оптимизационной задачи в целом ряде случаев приводит к оптимальным решениям, характеризуемым невысокой вероятностью бездефектного завершения производственного процесса при относительно скромных затратах на функционирование системы менеджмента качества.

Учитывая формулы (2) , (9) и ограничения (6) , оптимизационная задача (10) принимает вид:

N

Ртах = тах П 9У і=1

(13)

к/

2 гуЧу _у=1

к, N к,

при 2% =1; 22су% - со; у=1 "'=1 У=1

О - Чу -1; ] = 1,...,к,.; / =1,...,N.

Постановка (13) оптимизационной задачи (10) соответствует случаю, когда проявление различных наборов дестабилизирующих факторов принимается случайным, а условная вероятность Р(А, | Ву) успеш-

ного завершения 1-го этапа производственного процесса при использовании сотрудниками службы качества j-й стратегии менеджмента качества по вариантам проявления различных наборов дестабилизирую-

щих факторов усредняется, то есть сти Р(А,.| В„ |ПЙ) .

Р(А-!ВУ )

принимается равным математическому ожиданию вероятно-

Если же такое усреднение не проводить, а принять игровую модель [Л. 5], при которой проявление различных наборов дестабилизирующих факторов не является случайным, а рассчитывается на наихудший случай (минимаксный подход, соответствующий модели антагонистической игры), то оптимизационная

задача (10) с учетом формул (4),

Р тах = тахтІп П

і=1

п

кі п

У=1 і=1

(9) и ограничений (5) и (6) примет вид: (14)

к/ Щ N к,

при 2% =1; 2щ =1; 22сл- со;

у=1 I=1 /=1 у=1

0 - Чу -1; 0 - щ -1; у = 1,...,к1; I = 1,...,щ; /' = 1,...,N.

Вместе с тем, методики оценки условных вероятностей

Р(А|Ву) и р(А|Ву |ПЙ)

в основном осно-

вываются на экспертных оценках, а поэтому являются приближенными и имеют значительную погрешность. Поэтому жесткая рекомендация применения той или иной стратегии менеджмента качества не является оправданной, тем более, что на вероятность бездефектного завершения этапа производственного процесса могут влиять конкретные слабо формализуемые факторы и условия. Таким образом, в целом ряде случаев оказывается необходимо оценить степень предпочтения одной стратегии менеджмента качества, т.е. комплекса корректирующих и предупреждающих действий, по сравнению с другими, то есть оценить с какой частотой следует применять ту или иную стратегию менеджмента качества. Дру-

Чу , для чего требу-

гими словами, следует оценить оптимальные значения безусловных вероятностей ется решить оптимизационные задачи (13) и (14) в смешанных стратегиях.

(1п Р)

V /п

N

-- тах 2 1п

ду

кі

2 ГУ«У

У=1

(15)

к

N к

при 29У = 1; 22СУ«У < Со

У=1

0 < д у < 1 .

і=1 У=1

у = 1,..., к;; і = 1,..., N.

п

(ІПР )тах = таХтІП21П22¿У>9У™і>

(16)

щ У=1 У=1 і=1 к щ N к

при 2 9« =1; 2 щ =1; 22су9у < со;

У=1 і=1 і=1 У=1

0 < дУ < 1 ; 0 < щ < 1 ; ] = 1,...,кі;і = 1,...,щ;і = 1,...,N.

Нами было проведено логарифмирование критерия оптимизации, позволившее получить аддитивный по этапам критерий эффективности, каждое слагаемое, которого зависит от безусловных вероятностей применения стратегий менеджмента качества, обеспечивающих соответствующий этап производственного процесса, и представляет собой логарифм вероятности бездефектного завершения этапа. Далее распре-

делим стоимостной ресурс

сп

отведенный на функционирование системы менеджмента качества, позво-

ляющей обеспечить бездефектность процесса производства продукции, между его этапами. Тогда задача оптимизации порядка применения обеспечивающих бездефектность производственного процесса стратегий менеджмента качества с учетом стоимостных ограничений при усредненном проявлении различных наборов дестабилизирующих производственный процесс факторов представляется в виде суперпозиции задачи динамического программирования (распределения ресурсов):

N

У

п

(1nP)max 2Ф (Ci) ' (17)

Ci,...,Cn /=1

при C +... + CN = C0 .

и задачи линейного программирования: ki

ф (Ci )= max 2 (18)

qii, . ,qiki «=1

ki

при 0 < qij < 1 ; 2 q« =1 ; 2с«9ц < Ci j=1 j=1

Посредством (18) при фиксированных C, (i=1,...,N) задается параметрическое по C, семейство из N

задач линейного программирования, решение которых позволяет определить оптимальный в смысле максимизации вероятности Pi бездефектного завершения i-го этапа набор безусловных вероятностей

4-1>...>qik •

k

ф(Ci)= max 2qjrj, (19)

qi1, . ,qiki j = 1

ki ki

при 0 < q« <1; 2 q« =1; 2 c«q«< Ci •

j=1 j=1

Отметим, что в отличие от задачи (19) в задаче (18) в стоимостном ограничении стоит равенство.

Это обусловлено тем, что при решении в смешанных стратегиях вероятности q.j изменяются не дискретно («0» или «1»), а непрерывно, в результате чего, с одной стороны, равенство всегда достигается, а с другой стороны, из теории линейного программирования следует, что оптимум лежит на гра-

нице симплекса, вычленяемого ограничениями (две гиперплоскости) в Rk , что означает возможность использования стоимостного ограничения в виде равенства.

При решении задачи (19) в чистых стратегиях было доказано, что стоимостное ограничение C с

•опт ir-' \ 1

точки зрения возможности получения различных оптимальных стратегий j (Ц-) могут принимать к

значений из множества удельных амортизационных стоимостей |су1,...,cjk J •

В случае решения задачи (18), то есть оптимизации в смешанных стратегиях, изменение ограничения C, в общем случае является непрерывным, но его увеличение за величину C, = max с,-,- не имеет

* * «=1,...Л j

смысла, поскольку такому ограничению соответствует решение задачи (18) в чистых стратегиях

■опт //~юпт \

j (C ) , определяемой условием:

jm О rj • (20)

Таким образом, областью целесообразного изменения стоимостного ограничения C. является отрезок [0,C J . Данный факт следует учесть при решении задачи (17) методом динамического программирования с целью снижения вычислительных затрат на его реализацию.

Для численного решения задачи линейного программирования (18) воспользуемся алгоритмом симплекс-метода [Л. 6] . Поскольку симплекс, высекаемый из Rk двумя плоскостями - ограничениями в

силу с,, > 0 является выпуклым, то согласно теории линейного программирования [Л. 6] решение

j

( опт (/'-» \ опт / /-» \) ^ -i

¡qyl (Cy),..., q^. (Cy)[ задачи (18) существует и определяется с помощью алгоритма симплекс-метода однозначно за конечное число шагов. В результате решение задачи (18) запишем в виде:

к- к-

Ф, (Ci) = max ¿rjqj=2иГ" (Ci) (21)

qil,.. ,qiki j=! j=!

ki ki

где 0 < qjj < 1; 2<lj =1; 2cjqj= Ci; Cij ^0;

j=1 j=1

Соотношение (21) однозначно определяет функцию Ф (Ci). После такого ее определения можно приступить к решению задачи динамического программирования (17), которая с учетом принципа оптимальности Беллмана преобразуется к виду:

(1П P)max = mcaX F1 (C1)

C1

Fi (Ci) = 1пф (Ci) + maxF+1 (Ci+1) (22)

Ci+1

/ = 1,...,N -1; Fn = 1nфN (Cn ); Cj +... + Cn = C0

Задача (22) является классической задачей динамического программирования [Л. 7]. Однако, при-

мененный нами для решения подобной задачи (23)

(1n pLx=max F1 (C1); (23)

F (Ci ) = 1пф (C,.) + maxF+1 (C,+1) ;

Ci+1

i = 2,..., N - 1; Fn = max^N (Cn) •

при оптимизации функционирования системы менеджмента качества производственного предприятия в чистых стратегиях алгоритм Беллмана применим в классическом случае для конечных множеств изменения С , которые были нами определены при решении задачи (19). В случае задачи (22) область изменения С является отрезком [о,Су ^ , который является ограниченным, но не дискретным множеством. Решение задачи динамического программирования численным методом [Л. 7] в случае непрерывного изменения С является крайне трудоемкой вычислительной задачей [Л. 3]. Однако, следует отметить,

что удельные амортизационные стоимости Су вычисляются с некоторой погрешностью и с достаточной

степенью экспертной условности. Поэтому в непрерывном изменении С на практике смысла нет, тем более, что и денежное исчисление имеет явную дискретность. Так, например, суммы, как правило, округляются до рублей. Таким образом, можно ввести дискрет изменения стоимостей дс . После введения такого дискрета, множество изменений С становится дискретными и конечными, что позволяет

применить для решения задачи динамического программирования (17) классический алгоритм Беллмана [Л. 7], и получить при этом решение оптимизационной задачи (13) с достаточной для практики точностью. Другими словами, решением оптимизационной задачи (17) - (18) будет набор безусловных веро-

I опт (г',опт\ опт//-»опт\| ,- 1 лг (/"’опт г''опт | , >

ятностей <ду1 (С ),...,(С )) , " = 1,...^, где {С ,...,С^ ) -решение задачи (17), а

!опт //~юпт\ опт {г-юптХ) _ . л п >

Чл (С ),..., (С )) - соответствующие ему решения семейства задач (18).

Остается уточнить, из каких соображений выбирать 8С . Определение с точностью 5-10 % является вполне допустимым на практике. Поэтому можно в качестве дискрета изменения стоимостей применять величину:

§с = 0,1штеу . (24)

1=1,.., N

3=1,.., к±

Приступим, наконец, к решению в смешанных стратегиях задачи (14), то есть к оптимизации порядка применения обеспечивающих бездефектность процесса производства продукции стратегий менеджмента качества с учетом проявления дестабилизирующих производственный процесс факторов.

Также, как и задача (13) она записывается в виде задачи распределения ресурсов (17) - (18).

Оптимизационную задачу (14) запишем в виде суперпозиции задачи динамического программирования:

N

(1пР)шах =стаХ 2^ (С1, (25)

Ч,...,^ /=1

при С+...+СN = с0.

и задачи отыскания нижней цены матричной игры: к/ щ

^¡(С1 )= шах ш^п 22ат%ши ' (26) ч/1,...,ч/к ^1,...,^ку=|

при

к,

0 - Чу-1; 0-щ,-1 2 % = у=1

Щ к/

2®« =1; 2СаЧц = С,;

1=1 у=1

Задачу (26) от классической матричной игры отличает лишь наличие стоимостного ограничения, что в общем случае может привести к уменьшению области допустимых значений вероятностей Ч , и к отличию решения задачи (26) от решения классической матричной игры из (26) без этого ограничения. Поэтому задачу (26) следует решать методом последовательного решения задач линейного программирования [Л. 6] . Таким образом, наборы значений безусловных вероятностей {Чо*™ (С),-., ЧоГ (С)} и

{^Г т (С),.. ■ (С,)) являющиеся решением матричной игры (26) однозначно определяют функцию:

пС )=2 2уг (с хт (с ). (27)

у=1 /=1

после чего с учетом изложенной выше дискретизации стоимостных ограничений остается с помощью классического алгоритма Беллмана [Л. 7] решить задачу динамического программирования (25), пере-

писав ее в виде:

(1П Р )шах = ШсаХ С1 (С1); , ч ‘ ч (28) а,. (С, ) = 1пп,(с,)+шах а,.+1 (С,+1)

Ч+1

I = ^..^ — 1;^ = 1п (CN );С1 + ... + CN = С0

Многократно решая задачу (26), определяющую семейство по С ,...,С^ оптимальных смешанных стра-

( опт (г4 \ опт (г4 ( опт (/-» \ опт //-» ; 1 лт

тегий {ду1 (С-),...,(С)) ; {Щ (С),...,(С)) ; ,= 1,...,N , применения стратегий менеджмента каче-

ства, обеспечивающих бездефектное завершение этапов производственного процесса.

В результате получаем оптимальное решение задачи (14):

юпт г-кэпт}.

{С! ,...,^ );

!опт(г'<опт\ опт I/-'опт^Л . \ опт^/-'опт\ опт (г'<опт\\

9п (С, ),...,ЧЛь (С, )); {щ (С, ),...,(С, )) ;

1=1,.,ы.

Вывод.

Предложенный метод позволяет определить оптимальные, с точки зрения максимизации вероятности

бездефектного завершения процесса производства продукции частоты (вероятности) использования раз-

личных стратегий менеджмента качества (комплексов корректирующих и предупреждающих действий), как с учетом проявления дестабилизирующих производственный процесс факторов, так и без него.

Литература

1. В.А. Горелик. Теория игр и исследование операций. Москва, 1978 г.

2. Е.С. Вентцель. Исследование операций. Задачи. Принципы. Методология. Изд. «Наука», 1988 г.

3. А.Д. Школьников. Основы теории игр. Ленинград, 1970 г.

4. В.В. Шерстобитов. Математическое программирование, часть 2. Ленинград, 1970 г.

5. В.В. Шерстобитов. Математическое программирования, часть 1. Ленинград, 1969 г.

6. . Е.С. Вентцель. Теория вероятностей. Изд. «Высшая школа», 1998 г.