Метод наложения графиков поправок оптимальное решение проблемы поиска грубых ошибок измерений в геодезических построениях Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 528.11 Ю.В. Родионова СГГ А, Новосибирск

МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ГРАФИКОВ ПОПРАВОК - ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ПОИСКА ГРУБЫХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ В ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЯХ

В последнее время одной из актуальных проблем математической обработки геодезических измерений является проблема контроля, поиска и учета грубых ошибок измерений.

По происхождению грубые ошибки являются случайными, так как грубая ошибка в конкретном измерении может либо появиться, либо нет. Причины их появления различны: промахи и просчеты наблюдателя, резкие изменения внешних условий измерений, некорректный ввод информации о результатах измерений в соответствующее программное обеспечение ЭВМ и так далее.

Однако, в теории обработки измерений грубые ошибки нельзя считать случайными, так как они не подчиняются статистическим закономерностям случайных ошибок и обладают свойствами, отличными от свойств случайных ошибок:

а) По абсолютной величине грубые ошибки превышают предел, установленный для случайных ошибок измерений;

б) Математическое ожидание грубой ошибки м(Агдуб) равно самой

грубой ошибке А^ (м(А^) = А^);

в) Вероятность появления грубой ошибки р б зависит от принятого

уровня доверительной вероятности рс^ч, для которого определен предел

абсолютных значений случайных ошибок измерений, и вычисляется по формуле

р = 1 — р (1)

груб случ * V )

Согласно [1] ''контроль грубых ошибок — это набор тестов,

позволяющих устанавливать наличие в п измерениях хотя бы одного грубого".

В качестве таких тестов могут выступать следующие общеизвестные признаки наличия грубых ошибок измерений в геодезическом построении:

— Наличие одной или нескольких невязок условных уравнений, превышающих допустимые значения, при уравнивании геодезического построения коррелатным способом метода наименьших квадратов;

— Наличие одного или нескольких свободных членов избыточных измерений, превышающих допустимые значения, при уравнивании геодезического построения рекуррентным способом;

— Наличие недопустимых значений поправок измерений, вычисляемых при уравнивании геодезического построения параметрическим или коррелатным способом метода наименьших квадратов;

— Увеличение ошибки единицы веса /лур после уравнивания по сравнению с ее проектным значением ;

— Увеличение после уравнивания значений среднеквадратических ошибок неизвестных и функций от них по сравнению с проектными значениями;

— Нарушение условия [2]

п

X (Рг ■ К-2) ^ -Х2Р0Г , (2)

1=1

где п — количество измерений в геодезическом построении;

рг — вес 1 -го измерения;

V — поправка в 1 -е измерение;

ц0 — проектное значение ошибки единицы веса;

х]фГ — коэффициент, значение которого зависит от принятой

доверительной вероятности и числа степеней свободы (или количества избыточных измерений в геодезическом построении).

Согласно [1] 'поиск грубой ошибки — это комплекс мероприятий по локализации ошибки с точностью до подгруппы из к измерений, (к << п, в предельном случае к = 1)".

Данное понятие необходимо расширить и считать поиском грубых ошибок измерений комплекс мероприятий по решению следующих задач:

— Обнаружение всех возможных комбинаций грубых ошибок измерений;

— Вычисление значений грубых ошибок измерений;

— Выполнение оценки точности вычисленных значений грубых ошибок;

— Выявление всех комбинаций измерений, в которых принципиально невозможно обнаружить грубые ошибки.

В результате выполненных исследований установлено, что наиболее перспективными для решения перечисленных задач являются методы, в которых используются уравнения, связывающие поправки в измерения с истинными ошибками измерений. Такие уравнения есть только в теории параметрического способа МНК-уравнивания; их количество равно количеству измерений, что дает возможность тестировать на грубые ошибки все измерения без исключения. Эти уравнения служат основой для поиска грубых ошибок в методике Коугия В.А. [3], [4], в методике Дьякова Б.Н. и Фёдоровой Н.В. [5] и в некоторых других.

Однако среди известных методов до недавнего времени не было ни одного, позволяющего решать всю совокупность обозначенных задач, и существовала острая необходимость разработки нового полифункционального метода.

В 2001 году данная проблема была успешно решена — разработан новый автоматизированный метод поиска грубых ошибок измерений,

характеризующийся высокой эффективностью и универсальностью, — метод наложения графиков поправок (сокращенно — МНГП) [6].

Теоретической основой МНГП является матричное уравнение, связывающее вектор поправок в измерения V с вектором истинных ошибок измерений А [7]

V = —О- А, (3)

где О — матрица, вычисляемая по формуле G = Е—А-N 1 -АТ -Р;

Е — единичная матрица;

А — матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок;

N 1 — матрица, обратная матрице коэффициентов нормальных

уравнений N (N = Ат-Р-А);

Р — диагональная матрица весов измерений.

Используя уравнение (3), поправку V каждого измерения можно представить в виде линейной комбинации истинных ошибок измерений

п

V- =—Х (Й,УА,), (4)

3 =1

где £г . — элементы г -той строки G -матрицы;

А — истинная ошибка 3 -го измерения.

При отсутствии в геодезическом построении грубых ошибок измерений истинные ошибки А., произведения ^ - А. и поправки V являются

случайными величинами, и их математические ожидания равны нулю.

Если среди измерений есть одно грубое с истинной ошибкой А ., то одно

слагаемое в формуле (4) будет иметь ненулевое математическое ожидание, так как м(А,) = ^ и м(gг y -Ау) = ^ } -А}. Тогда формулу (4) можно переписать

в виде

V, =^,,3 -А3 +£, , (5)

где £; — суммарное влияние случайных ошибок остальных измерений. Поскольку м(£г) = 0, то из формулы (5) при £1= 0 и - = 3 можно вычислить истинную ошибку А по формуле

А3 = —3%./ . (6)

Идея метода наложения графиков заключается в наложении графика величин ( --А) на график поправок из уравнивания V. Так как

несовпадение графиков в каждой точке равно величине ег, можно вычислить

среднее квадратическое отклонение этих графиков

$3 =<ЛХ (Рг '£>))/ П ’ (7)

где р — вес 7 -го измерения;

п — количество измерений в геодезическом построении.

Величина £г является случайной составляющей поправок V и её реальные значения могут отличаться от нуля, поэтому для $ необходимо вычислять предел $

$0=мо- 4ф ,

(8)

где /и0 — проектное значение ошибки единицы веса; г — количество избыточных измерений в геодезическом построении.

В общем случае местонахождение грубой ошибки неизвестно, поэтому значения А и $ нужно вычислить для всех измерений, а затем сравнить полученные значения средних квадратических отклонений со значением $0.

Поскольку грубая ошибка А . содержится только в 3 - том измерении, то

величина в любого другого измерения будет включать влияние грубой ошибки А., и величина $ для него будет превышать предел $0. Для грубого

измерения значение $ будет меньше значения $0.

Если в геодезическом построении имеется два грубых измерения с истинными ошибками А. и А, то в этом случае формула (4) запишется в виде

При поиске двух грубых ошибок выполняется наложение графика величин (— ^ } - А — - А) на график поправок из уравнивания V и

подсчитывается среднее квадратическое отклонение этих графиков по формуле (7).

Значения истинных ошибок А. и А следует получить из решения системы двух уравнений [5]

В общем случае истинные ошибки и величина $ вычисляются для всех комбинаций пар измерений. Значение $ для комбинации двух грубоошибочных измерений будет меньше предела $0.

Тестирование на грубые ошибки можно осуществлять и для комбинаций из трех, четырех и так далее измерений, пока не будет найдена искомая комбинация, содержащая грубые ошибки. Теоретически наибольшее количество грубых ошибок в геодезическом построении не должно превышать (г—1), однако, практически оно не должно быть больше одной трети от г .

Вследствие геометрических параметров конкретного геодезического построения вектору поправок V может соответствовать не одна, а несколько равновозможных комбинаций грубых ошибок измерений. В результате применения любого из известных методов поиска грубых ошибок будет обнаружена только одна, не обязательно верная, комбинация грубых ошибок измерений. В результате же применения МНГП будут обнаружены все возможные комбинации грубых ошибок измерений, соответствующие вектору поправок V, так как условие $<$0 будет выполняться в отношении каждой из них. Обнаружение всех возможных комбинаций грубых ошибок измерений является несомненным преимуществом МНГП.

В отличие от других методов поиска грубых ошибок МНГП позволяет выявить и все комбинации измерений, в которых принципиально невозможно

(9)

(10)

обнаружить грубые ошибки. Необходимым и достаточным признаком принципиальной невозможности обнаружения грубых ошибок в определенной комбинации измерений является близкое к нулю значение определителя системы уравнений типа (10).

Следует отметить, что все задачи поиска грубых ошибок при применении МНГП решаются за один цикл уравнивания геодезического построения.

Алгоритм МНГП реализован в соответствующем модуле программного продукта NAL_GR. Программный продукт NAL_GR является универсальным и применяется для тестирования на грубые ошибки измерений различных видов геодезических построений: линейно-угловых ходов и систем ходов, триангуляции, нивелирных сетей, спутниковых измерений приращений координат и так далее.

Программный продукт NAL_GR в настоящее время успешно используется на производстве, в научных исследованиях. В результате выполнения научных исследований и производственных работ подтверждена высокая эффективность МНГП, а также установлены возможности и закономерности обнаружения грубых ошибок измерений в геодезических построениях различного вида; данный материал частично приведен в работах

[8], [9], [10].

Обобщая результаты исследований возможностей поиска грубых ошибок измерений в различных геодезических построениях необходимо отметить, что эффективность поиска грубых ошибок измерений определяется не только возможностями применяемого метода. Существенное значение имеет и геометрия геодезического построения. Данное обстоятельство следует учитывать при проектировании геодезических сетей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дьяков Б.Н. О контроле, поиске и учете грубых ошибок измерений [Текст] / Б.Н. Дьяков, М.П. Рудикова // Геодезия и картография. - 1997. - № 6. - С. 21-24.

2. Гудков В.М. Математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений [Текст]: учеб. для вузов / В.М. Гудков, А.В. Хлебников - М.: Недра, 1990. - 335 с.

3. Коугия В.А. Обнаружение грубых ошибок измерений по результатам уравнивания [Текст] / В.А. Коугия // Геодезия и картография. - 1995. - № 6. - С.14-19.

4. Коугия В.А. Сравнение методов обнаружения и идентификации грубых ошибок измерений [Текст] / В.А. Коугия // Геодезия и картография. - 1998. - № 5. - С.23-28.

5. Дьяков Б.Н. Пошаговый поиск грубых ошибок измерений [Текст] / Б.Н. Дьяков, Н.В. Федорова // Геодезия и картография. - 2001. - № 3. - С.16-20.

6. Дьяков Б.Н. Поиск грубых ошибок измерений методом наложения графиков поправок [Текст]/ Б.Н. Дьяков, Ю.В. Родионова // Геодезистъ. - 2002. - № 4. - С.22-24.

7. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математикостатистической теории обработки наблюдений [Текст] / Ю.В. Линник - М.: Физматгиз, 1962. - 352 с.

8. Родионова Ю.В. Поиск грубых ошибок в разомкнутом линейно-угловом ходе [Текст] / СГГА.-Новосибирск, 2002-Деп. В ОНТИ ЦНИИГАиК, № 748-гд 2002.

9. Родионова Ю.В. Тестирование плановых геодезических построений на грубые ошибки измерений [Текст] // Соврем. проблемы техн. наук: Тез. док. Новосиб. межвуз. науч. студ. конф., 16-17 мая 2002 года. - Новосибирск: НГАСУ, 2002.- С. 9.

10. Дьяков Б.Н. Тестирование линейно-угловых ходов на грубые ошибки измерений [Текст] / Б.Н. Дьяков, Ю.В. Родионова // Геодезия и картография. - 2003. - № 7. - С.21-24.

© Ю.В. Родионова, 2005