CC BY
82
СТРОИТЕЛЬСТВО. Проектирование и строительство дорог, мостов и тоннелей
D0l.org/10.5281/zenodo.1408243 УДК 528.1
М.Д. Герасименко, В.М. Каморный
ГЕРАСИМЕНКО МИХАИЛ ДАНИЛОВИЧ - д.т.н., профессор, главный научный сотрудник, e-mail: mdg@iam.dvo.ru Институт прикладной математики ДВО РАН
(Кафедра геодезии, землеустройства и кадастра Инженерной школы ДВФУ) КАМОРНЫЙ ВАЛЕРИЙ МИХАЙЛОВИЧ - к.т.н., профессор кафедры геодезии, землеустройства и кадастра Инженерной школы, e-mail: kamornyy.vm@dvfu.ru Дальневосточный федеральный университет Суханова ул., 8, Владивосток, 690091
О методах поиска и отбраковки грубых ошибок геодезических измерений
Аннотация: Изложены теоретические основы известной методики выявления и локализации грубых ошибок измерений по поправкам из уравнивания. Обобщены и дополнены достигнутые результаты работы с ее применением. Основы методики заложены еще в 60-х годах прошлого века, но в отечественной геодезической литературе она, к сожалению, до сих пор не нашла должного освещения, хотя при современных способах регистрации измерений и вычислений проблема автоматизированного поиска возможных грубых ошибок является весьма актуальной. Указывается на достоинства и недостатки методики. Эта тема важна при геодезическом обеспечении строительства дорог, тоннелей, других сооружений и объектов. Ключевые слова: уравнивание, поправки измерений, грубые ошибки геодезических измерений.
Введение
В классической теории математической обработки геодезических измерений проблеме поиска грубых ошибок измерений уделялось сравнительно мало внимания. Предполагалось, что такие ошибки должны быть выявлены и исключены до уравнивания применением соответствующей методики измерений и дальнейшим анализом невязок условных уравнений. Этот способ при ручном счете, в зависимости от числа и расположения грубых ошибок в геодезической сети, а также, что особенно важно, от ее сложности, часто оказывается слишком трудоемким и нереализуемым даже для опытного вычислителя.
Между тем практика показала, что в последнее время проблема выявления грубых ошибок измерений обострилась в связи с применением современных методов автоматизированного сбора измерительной информации и ее математической обработки. Эти массивы информации часто вручную детально не анализируются, поэтому в окончательную обработку могут поступать измерения, содержащие грубые ошибки. Причинами их появления могут быть неточность наведения прибора на визирную цель (погрешности идентификации цели),
© Герасименко М.Д., Каморный В.М., 2018
О статье: поступила: 15.01.2018; финансирование: работа выполнена при частичной поддержке Комплексной программы фундаментальных научных исследований ДВО РАН «Дальний Восток» на 2018 г.
регистрации отсчетов, нумерации пунктов, ошибочное редуцирование, влияние внешней среды и др.
Подобная проблема особенно часто возникает в сложных для наблюдений условиях, при построении геодезических сетей специального назначения, предназначенных для выноса в натуру крупных уникальных инженерных объектов, их геодезического сопровождения в процессе строительства, а также наблюдения за возможными деформациями в процессе эксплуатации.
По указанным причинам при современных способах регистрации измерений и вычислений проблема автоматизированного поиска возможных грубых ошибок является весьма актуальной. Ее решению в последние десятилетия в зарубежной геодезической литературе посвящено множество публикаций [7-12; и др.]. Разрабатываемая методика базируется на анализе результатов уравнивания и выявления грубых ошибок по поправкам из уравнивания. Основы такой методики заложены еще в 60-х годах прошлого столетия голландским профессором В. Баарда, но в отечественной геодезической литературе она, к сожалению, до сих пор не нашла должного освещения. Причем в некоторых публикациях по данной теме по разным причинам, обычно c теоретическими погрешностями и грубыми арифметическими промахами в иллюстративных вычислениях, иногда даже отрицается возможность поиска грубых ошибок по поправкам из уравнивания, на что указывает В.А. Коугия [4, 5].
Поиск и локализация грубых ошибок по результатам уравнивания, к сожалению, не является тривиальной задачей. Проблема состоит в том, что нельзя отождествлять максимальную по модулю недопустимую поправку с грубым результатом измерения, так как в зависимости от геометрии сети максимальное влияние грубой ошибки может проявиться не на соответствующей поправке, а совсем в другом месте геодезической сети [7, 8, 10-12; и др.]. Дело в том, что грубая ошибка при уравнивании «расплывается» и сказывается не только на соответствующей поправке, но и на других поправках измерений. Для решения этой проблемы используются, в частности, средние квадратические ошибки поправок, которые вычисляются с использованием обратной матрицы коэффициентов нормальных уравнений параметрического способа уравнивания.
Цель настоящей статьи - обобщение результатов и дополнение достигнутых успехов в области поиска и локализации грубых ошибок измерений по результатам уравнивания.
Алгоритм поиска грубых ошибок по поправкам из уравнивания
Пусть имеется линеаризованная система уравнений поправок:
V = ЛЗХ + Ь = (Е - Ш-1 ЛТР)Ь, (1)
где V - вектор поправок к результатам измерений, А - матрица коэффициентов уравнений поправок, 5Х - вектор поправок к приближенным значениям параметров, Ь - вектор свободных членов, матрица нормальных уравнений N = ЛТРА, Р - диагональная весовая матрица независимых измерений, Е - единичная матрица.
Из выражения (1) следует, что при нормальности распределения ошибок измерений поправки V также распределены нормально и при отсутствии систематических ошибок измерений имеют нулевое математическое ожидание при дисперсиях . Тогда можно установить [ 1] допустимое значение поправок t - а , которое не может быть превышено с уровнем значимости а , т.е. вероятность
Р(у,| < I-а) = 1 -а. (2)
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2018. № 3(36)
Иначе говоря, поправки, удовлетворяющие неравенству | > г • су, можно предполагать недопустимыми. Для недопустимых нормированных поправок, что удобнее, особенно если дальнейший анализ и отбраковка измерений производятся вручную, имеем для заданного числа /, зависящего, согласно (2), от уровня значимости а , выражение
>г . (3)
Критерием (3) проверяются все поправки. Если ему удовлетворяют несколько поправок, грубая ошибка предполагается в измерении с максимальным значением нормированной поправки. Его исключают из обработки и всю процедуру уравнивания и отбраковки повторяют до тех пор, пока все грубые ошибки не будут исключены [5, 7; и др.]. В случае наличия в измеренной информации нескольких грубых ошибок задача их поиска существенно усложняется и не всегда может быть эффективно решена, причем главная опасность состоит в том, что будут отбракованы доброкачественные измерения. Этот недостаток, впрочем, не столь существенен, нежели пропуск грубой ошибки, особенно в ситуации, когда число избыточных измерений велико, как это часто наблюдается в высокоточных инженерно-геодезических сетях специального назначения. Облегчается поиск имеющихся нескольких грубых ошибок тогда, когда они располагаются на удалении в разных частях сети.
Не следует забывать и вопрос о точности собственно измерений, которая предполагается известной. В противном случае вместо принятой для отработки дисперсии единицы веса с0 применяют ее оценку СС0, полученную из уравнивания. Надежность ее вычисления существенным образом зависит от числа избыточных измерений. В случае если при вычислении СС0 были использованы грубые измерения, вместо ¿-критерия для отбраковки грубых измерений применяют т-критерий, предложенный Попом (1975), или же так называемый Датский метод [9].
Дополнительные замечания и рекомендации
Следует отметить, что до анализа отдельных поправок весьма полезным может оказаться их глобальное тестирование, которым проверяется корректность и полнота выбранной модели уравнивания. Для этого вычисляется статистика
Т2 = УТРУ /с02,
которая сравнивается с критическим значением ^-распределения, зависящим от уровня значимости а и числа степеней свободы г, равного числу избыточных измерений в сети. Подобная проверка, насколько нам известно, ранее не предлагалась, по крайней мере в отечественной геодезической литературе.
Если вычисленная величина Т не превосходит критическое значение статистики, то это говорит о том, что нет противоречия между наблюдениями и математической моделью. Но это не гарантирует правильность модели или корректность наблюдений.
В противном случае, когда Т > %, требуются дополнительные исследования на ошибочность модели обработки и собственно наблюдений.
Приведенная методика и другие упомянутые выше методы поиска грубых ошибок измерений по поправкам из уравнивания в настоящее время широко применяются в мировой геодезической практике и доказали свою полезность. Но, как указано в работе [10], такие успехи следует считать чрезвычайно неожиданными и успешными, учитывая те теоретические предположения, по которым эти методы были получены:
1) наблюдения нормально распределены;
2) в измерениях содержится всего одна грубая ошибка;
3) грубая ошибка максимизирует тестируемую статистику соответствующей поправки;
4) одномерные тесты для каждой поправки независимы.
Дополнительную информацию по данной тематике можно найти в работах [2, 5, 8-12; и др.].
При вычислении предельных значений поправок или их нормированных аналогов следует знать диагональные элементы аV = (а^^ ).,. ковариационной матрицы поправок а^у, где а2 - дисперсия единицы веса, а - матрица весовых коэффициентов вектора поправок V . Учитывая, что вектор поправок к измерениям зависит лишь от вектора свободных членов Ь , имеющего матрицу весовых коэффициентов Q = Р -1, с учетом (1) имеем матрицу весовых коэффициентов ^ вектора поправок
а¥ = Q - т-ХЛТ . (4)
Умножая уравнение (4) на дисперсию единицы веса, получаем приведенную в работе В.А. Коугия [5] формулу для ковариационной матрицы поправок
^ = Кь - ЛКХЛТ. (5)
Следует заметить, что формула (5) известна геодезистам более 50 лет, а ее вывод можно найти в книге Ю.В. Линника [6].
Выводы
Изложенная методика реализована нами в программах для ПК и использовалась на практике [2, 3]. Следует заметить, что в работе [2] нами предложена формула, которая позволяет непосредственно вычислять предельные значения поправок измеренных направлений, когда при уравнивании параметрическим способом предварительно исключаются поправки к ориентирующим углам и решается лишь редуцированная система нормальных уравнений. Это позволило уменьшить объем требуемой памяти ЭВМ более чем в два раза и сократить во много раз время вычислений за счет уменьшения числа одновременно решаемых линейных уравнений на треть. Предложенная методика успешно использована при уравнивании производственной сети и поиске грубых ошибок двух циклов измерений в высокоточной линейно-угловой сети, построенной Приморским АГП для обеспечения строительства уникального вантового моста через бухту Золотой Рог в г. Владивостоке, а также низководного моста Де-Фриз-Седанка. В результате математической обработки при уровне значимости 0,05 отбраковывалось от 2 до 6% измерений, т.е. число грубых ошибок может быть чрезвычайно велико. Оно объясняется неблагоприятными условиями измерений: водные преграды, туман, ветер.
Таким образом, рассмотренный алгоритм и его производственное применение убедительно подтвердили правильность метода отбраковки грубых ошибок по поправкам из уравнивания, так как он достаточно уверенно распознает измерения с грубыми ошибками.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И., Практикум по теории математической обработки геодезических измерений. М.: Недра, 1984. 352 с.
2. Герасименко М.Д. К вопросу о выявлении грубых ошибок измерений // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2010. № 6. С. 3-6.
3. Герасименко М.Д., Каморный В.М., Кафтан В.И. Обработка плановых и пространственных
геодезических сетей на геодинамических полигонах // Геодезия и картография. 1993. № 2.
С.16-21.
4. Коугия В.А. Замечания о методах отбраковки грубых ошибок измерений. URL: http:// www.-spbogik.ru/images/download/kougiya2011.pdf (дата обращения: 05.01.2018).
5. Коугия В.А. Сравнение двух методов обнаружения и идентификации грубых ошибок измерений // Геодезия и картография. 1998. № 5. С. 23-28.
6. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки измерений. М.: Гос. изд-во физико-математической лит-ры, 1958. 334 с.
7. Ackermann F. Grundlagen und Verfahren zur Erkennung grober Datenfehler. Institut fur Photo-grammretrie der Universitat Stuttgart. Vortrage des Lehrgangs Numerische Photogrammretrie (IV). Schriftenreihe. Heft 7. Stuttgart, 1981, p. 7-23.
8. Bingcai Zhang. A new method of data snooping. Australian J. of Geodesy, Photogrammetry and Surveying. 1987;46-47:103-122.
9. Caspary W.F. Concepts of network and deformation analysis. Monograph 11 School of Surveying, The University of New South Wales, Kensington, 1987, N.S.W., Australia, 183 p.
10. Cen M., Li Z., Ding X., Zhuo J. Gross error diagnostics before least squares adjustment of observations. J. of Geodesy. 2003;77:503-513.
11. Cross P.A., Price D.R. A strategy for the distinction between single and multiple gross errors in geodetic networks. Manuscripta geodaetica. 1985;10:172-178.
12. Ou Z.Q. Sequential tests for outliers in the general linear model. Australian J. of Geodesy, Photogrammetry and Surveying. 1987;50:37-49.
THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE
Design and Construction of Roads, Bridges, and Tunnels
D0l.org/10.5281/zenodo.1408243
Gerasimenko M., Kamornyy V.
MIKHAIL GERASIMENKO, Doctor of Engineering Sciences, Professor, Chief Researcher, e-mail: mdg@iam.dvo.ru
Institute of Applied Mathematics, FEB RUS (and Department of Geodesy,
Land Management and Cadastre, School of Engineering, FEFU)
VALERIY KAMORNYY, Candidate of Engineering Sciences, Professor, Department
of Geodesy, Land Management and Cadastre, School of Engineering,
e-mail: kamornyy.vm@dvfu.ru
Far Eastern Federal University
8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690091
The ways of detection and rejection of gross errors in geodetic measurements
Abstract: The article presents the theoretical basis of the well-known method to detect and localise gross errors of measurements through correction for compensation. The results of the works in which it was applied have been summarised and complemented. The foundation of the technique was laid in the 1960s, yet, unfortunately, it has not been adequately publicised in the national geodetic literature, although today's ways of the registration of measurements and calculations make the issue of the automated detection of possible gross errors very important. Highlighted are virtues and deficiencies of the method. The issue is significant for the land surveys when building roads, tunnels, and other construction objects.
Key words: adjustment, measurement amendments, geodetic measurements, gross errors. REFERENCES
1. Bolshakov V.D., Markuse Yu.I. Practice on the theory of mathematical processing of geodetic measurements. Moscow, Nedra. 1984, 352 p.
2. Gerasimenko M.D. To the problem of revealing crude measurement errors. Izvestiya Vuzov. Geodesy and aerial photography. 2010;6:3-6.
3. Gerasimenko M.D., Kamorny V.M., Kaftan V.I. Processing of planned and spatial geodetic networks on geodynamic polygons. Geodesy and cartography. 1993;2:16-21.
4. Kougia V.A. Remarks on the methods for rejecting coarse measurement errors. URL: http://www.spbogik.ru/images/download/kougiya2011.pdf - 05.01.2018.
5. Kougiya V.A. Comparison of two methods for detecting and identifying rough measurement errors. Geodesy and Cartography. 1998;5:23-28.
6. Linnik Yu.V. The method of least squares and the foundations of the mathematical-statistical theory of processing dimensions. Moscow, State Publishing House, 1958, 334 p.
7. Ackermann F. Grundlagen und Verfahren zur Erkennung grober Datenfehler. Institut fur Photo-grammretrie der Universitat Stuttgart. Vortrage des Lehrgangs Numerische Photogrammretrie (IV). Schriftenreihe. Heft 7. Stuttgart, 1981, p. 7-23.
8. Bingcai Zhang. A new method of data snooping. Australian J. of Geodesy, Photogrammetry and Surveying. 1987;46-47:103-122.
9. Caspary W.F. Concepts of network and deformation analysis. Monograph 11 School of Surveying, The University of New South Wales, Kensington, 1987, N.S.W., Australia, 183 p.
10. Cen M., Li Z., Ding X., Zhuo J. Gross error diagnostics before least squares adjustment of observations. J. of Geodesy. 2003;77:503-513.
11. Cross P.A., Price D.R. A strategy for the distinction between single and multiple gross errors in geodetic networks. Manuscripta geodaetica. 1985;10:172-178.
12. Ou Z.Q. Sequential tests for outliers in the general linear model. Australian J. of Geodesy, Photogrammetry and Surveying. 1987;50:37-49.
