Вычисление и оценка точности грубых ошибок измерений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 528.11 Б.Н. Дьяков

СПГГИ, Санкт-Петербург Ю.В. Родионова СГГ А, Новосибирск

ВЫЧИСЛЕНИЕ И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ГРУБЫХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

Для полного решения проблемы поиска грубых ошибок измерений в геодезических построениях необходимо вычислять значения грубых ошибок и оценивать их точность. Рассмотрим два возможных решения этих задач.

В работе [1] приведено описание высокоэффективного метода поиска грубых ошибок измерений в геодезических построениях - метода наложения графиков поправок (МНГП). В рамках МНГП вычисление грубых ошибок измерений производится по значениям поправок в измерения и элементов G -матрицы. Значение единственной грубой ошибки (в J -м измерении) вычисляется по формуле

Лj =~VjlSjj , (1)

где V. — поправка в j - е измерение, полученная из уравнивания; gbJ — диагональный элемент G -матрицы (G = E - А • N -1 • АТ • P);

E — единичная матрица;

А — матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок;

N 1 — матрица, обратная матрице коэффициентов нормальных

уравнений N (N = Ат • P • А);

P — диагональная матрица весов измерений.

Поскольку значения элементов G - матрицы зависят только от геометрии геодезической сети и назначенных весов измерений, то из формулы (1) следует, что

тЛ, = mvjgj^j , (2)

где шд — средняя квадратическая ошибка (СКО) вычисленного значения грубой ошибки j - го измерения;

m — средняя квадратическая ошибка (СКО) поправки из уравнивания в j -е измерение.

Согласно теории МНК-уравнивания mv выражается формулой

mvJ = UyP -fijj , (3)

где ¿иур — ошибка единицы веса из уравнивания; qv — диагональный элемент корреляционной матрицы поправок Q. Связь матрицы Q и G -матрицы, как известно, выражается формулой Qv = G • P-. (4)

Поскольку матрица обратных весов измерений P -1 является диагональной,

то

qvj j = gj,j i Pj , (5)

где p} - вес J - го измерения.

Формула (2) с учётом формул (3) и (5) запишется в виде

тлJ = ¡—УРГ~ . (6)

jgjj WPj

Значение Uyp должно быть получено при уравнивании геодезической

сети после удаления из неё грубых ошибок измерений. По идеологии алгоритма МНГП значение иУР должно быть очень близко к проектному

значению ошибки единицы веса и, так как поиск грубых ошибок

продолжается до тех пор, пока не будет выполняться условие

Uyp ^ Uo• (7)

Заменив в формуле (6) uw на и0 и учтя, что = т (где т} — СКО J -

yPj

го измерения), получим окончательную формулу СКО вычисленного значения грубой ошибки j -го измерения

т.

J

(8)

^ 4^

Применим эту формулу для анализа геодезической сети на стадии проектирования. Пусть это будет равноточная сеть, в которой количество избыточных измерений равно количеству определяемых неизвестных (г = г). Сумма диагональных элементов О -матрицы, как известно, равна количеству избыточных измерений в сети; а поскольку количество измерений равно удвоенному количеству избыточных измерений (п = 2г), то в среднем по сети ^ = г/ п = 0,5; подставим это значение ^ - в (8) и получим

т

= 1,4 • т . (9)

А; "*/

Само значение грубой ошибки должно быть примерно в три раза больше своей средней квадратической ошибки тд , следовательно

А ~ 4 • т. (10)

Формула (10) показывает, что, применяя метод наложения графиков поправок, можно реально обнаружить грубую ошибку измерения на уровне четырёхкратной ошибки самого измерения. Этот множитель, конечно, может незначительно меняться в зависимости от геометрии сети и соотношения весов измерений.

Если в геодезической сети больше одной грубой ошибки, то их значения вычисляются из решения системы уравнений; количество уравнений при этом равно количеству вычисляемых грубых ошибок. В этом случае СКО вычисленных значений грубых ошибок получаются несколько меньше, чем по формуле (8), так как формула (8) характеризует, строго говоря, проектную СКО значения грубой ошибки и может применяться на стадии проектирования для выбора оптимального варианта геодезической сети.

С другой стороны, возможность прямого вычисления грубых ошибок измерений и оценки их точности заложена в самой теории параметрического МНК-уравнивания. Действительно, зная номера грубоошибочных измерений,

можно объявить истинные ошибки этих измерений дополнительными неизвестными; затем нужно выполнить стандартный цикл обработки (составление параметрических уравнений поправок, составление нормальных уравнений параметров, решение этих уравнений, получение уравненных значений неизвестных и их корреляционной матрицы, являющейся обратной матрицей по отношению к матрице коэффициентов нормальных уравнений). Предварительные значения дополнительных неизвестных можно принять равными нулю; однако, при больших грубых ошибках (так называемых "выбросах” на уровне 20 • т и более) лучше принять их равными тем значениям, которые получились при предварительном анализе.

По этой методике при уравнивании геодезической сети параметрическим способом влияние грубых ошибок на результаты уравнивания исключается, и для каждой грубой ошибки вычисляются её значение А и обратный вес д, равный соответствующему диагональному элементу д г корреляционной

матрицы неизвестных N 1, а средняя квадратическая ошибка вычисленного значения грубой ошибки, как и любого другого неизвестного, вычисляется по формуле

т4 =Мур . (П)

Следует отметить, что в этом варианте счёта значение СКО единицы веса ¡лур получается несколько большим по сравнению с вариантом, когда в

геодезической сети нет грубых ошибок, так как количество избыточных измерений в рассматриваемом нами случае уменьшается на число дополнительных неизвестных.

Понятно, что для реализации этой методики нужно сначала установить номера грубоошибочных измерений с помощью МНГП.

Тестирование нескольких геодезических сетей на грубые ошибки измерений (в том числе и нивелирной сети из [2]) показало, что значения грубых ошибок, вычисляемые при применении МНГП, совпадают со значениями грубых ошибок, вычисляемыми при применении стандартной методики параметрического способа уравнивания, а величины их СКО различаются не более, чем на 10%, что, по нашему мнению, вполне удовлетворительно.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дьяков, Б.Н. Поиск грубых ошибок измерений методом наложения графиков поправок [Текст] / Б.Н. Дьяков, Ю.В. Родионова // Геодезистъ. - 2002. - № 4. - С.22-24.

2. Дьяков, Б.Н. О контроле, поиске и учете грубых ошибок измерений [Текст] / Б.Н. Дьяков, М.П. Рудикова // Геодезия и картография. - 1997. - № 6. - С.21-24.

© Б.Н. Дьяков, Ю.В. Родионова, 2005