Метод нахождения приближенного решения задачи многочастотной акустооптической дифракции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.522

С. В. Захарченко, А. С. Батурин

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Метод нахождения приближенного решения задачи многочастотной акустооптической дифракции

Многочастотная дифракция хорошо описывается при помощи системы связанных уравнений, однако выражение решения такой системы в явном виде связана с рядом осложнений. В данной работе рассматривается подход к описанию многочастотной дифракции, позволяющий получить решение в общем виде, которое в дальнейшем может использоваться для решения обратной задачи — получения фурье-образа акустического сигнала, необходимого для требуемого распределения интенсивностей в дифракционном поле.

Ключевые слова: многочастотная акустооптическая дифракция, уравнения связанных волн, дифракция света на ультразвуковых волнах, режим Брегга, акустооптика, акустооптическая ячейка.

1. Введение

В настоящее время акустооптический эффект (дифракция света на ультразвуковых волнах) является наиболее перспективным методом безынерционного немеханического сканирования лазерным излучением [1, 2]. Преимущества акустооптических дефлекторов заключаются в высоком быстродействии, высокой точности и стабильности управления. Кроме того, акустооптические дефлекторы позволяют управлять угловыми параметрами лазерного излучения по произвольному алгоритму (в том числе и в режиме свободных выборок), при этом переключение излучения из одной точки пространства в другую происходит без прохождения промежуточных положений и время переключения не зависит от расстояния между этими точками. Все это делает акустооптические дефлекторы весьма привлекательными для широкого класса практических задач, начиная от точного позиционирования лазерного пучка в процессах лазерной резки, гравировки и сварки, а также проецированием телевизионного изображения высокой четкости [3].

Недостатком акустооптических систем является сравнительно малый диапазон углов отклонения. У серийно производимых на сегодняшний день акустооптических двукоорди-натных систем сканирования он составляет не более 2x2 градуса. Это сильно ограничивает возможности применения акустооптических систем и уже с середины 90-х годов является самым значимым критерием, по которому акустооптическим системам в большинстве случаев предпочитают зеркальные, несмотря на низкое быстродействие, инерционность и низкую точность позиционирования последних.

Один из способов увеличения диапазона углов сканирования заключается в применении геометрической оптики для расширения выходного пучка, однако на практике интерес заключается не только в самой величине рабочего диапазона углов, а в её значении в совокупности с разрешающей способности систем сканирования. Для повышения разрешающей способности необходимо увеличить апертуру, что неизбежно приведет к падению быстродействия. Многочастотная акустооптическая дифракция позволяет формировать одновременно целую группу дифракционных пятен путем отклонения исходного когерентного пучка излучения на заданные углы, что позволяет повысить быстродействие сканирующей системы в несколько раз [4, 5]. Однако данное явление сопряжено с появлением интермодуляционных порядков, снижающих эффективность дифракции в основные порядки и уменьшающих контрастность в дифракционном поле.

2. Многочастотная акустооптическая дифракция

Явление акустооптической дифракции света на многочастотной акустической волне описывается при помощи системы связанных уравнений [4. 5]. однако сложность постановки задачи в данной форме накладывает ограничения па получение решения задачи в аналитической форме, оставляя возможность лишь для численного интегрирования системы дифференциальных уравнений. В случае большого количества компонент акустического сигнала данный метод имеет проблемы с быстродействием, так авторы [4] ограничились расчетом дифракционного поля с 5 лучами вследствие значительного возрастания расчетного времени.

В данной статье рассмотрен подход, позволяющий свести решение задачи многочастотной акустооптической дифракции для заданного числа акустических воли и заданной точности к решению алгебраических уравнений.

В работах [2. 6] для описания иптермодуляциоппых дифракционных порядков используется диаграммный метод, сходный с методом диаграмм Фейнмана. Пусть N — число компонент различных частот, из которых составлен сигнал, подводимый к пьезопреобра-зователю акустооптической (АО) ячейки.

При высокой эффективности акустооптического взаимодействия в дифракционном поле возникают лучи, соответствующие не только собственным частотам акустического сиг-пала. но и их линейным комбинациям - иптермодуляциоппые порядки. Каждой комбинационной частоте соответствует определенная точка в Ж-мерном пространстве (рис. 2). Недифрагировавшему прошедшему лучу соответствует точка {0,0... 0}. Основная идея использования диаграмм применительно к мпогочастотпой акустооптической дифракции заключается в том. чтобы перейти от математического описания интенсивности определеи-

{0, 0 . . . 0}

по бесконечному числу траекторий, к описанию самих траекторий, то есть, по сути, последовательностей частот звуковых воли, па которых происходит дифракция света.

Рис. 1. Диаграмма дифракции в пространстве состояний {/1, /2} для двухчастотной акустооптической дифракции

Пусть в среде распространяются N плоских акустических волн различных частот (направление волновых векторов всех акустических воли совпадают) и монохроматическое когерентное оптическое излучение в направлении перпендикулярном распространению звука. Тогда система уравнений связанных воли, описывающая АО взаимодействие, согласно [7]

Рис. 2. Дифракционная картина при двухчастотной акустооптической дифракции. Помимо основных порядков дифракции наблюдаются интермодуляционные

представляет собой бесконечную систему связанных дифференциальных уравнений вида

^ = -3 ^ cniGni exp(-j^0^niх),

rai

(1)

dG.

П1

dx

= 3

СП2 Gnin2 exp(J^raira2^rai х) + СП1 Groot exp(J^0^ra1 ж)

^ ] Gni ^2^3 exp( j 1nin2^nin2n3 X) + СП2 Gni exp( 3Vnin2^ni

da

газ...гам

x exp((-

x) +

(2)

exp((-l)^+1j^nm2n3...nM^nin2n3...nM-i Ж)

и т.д., где СП1П2пъ...Пд = Сга1П2газ...Пд(х) — комплексная амплитуда вектора диэлектрического смещения относящаяся к лучу, последовательно дифрагировавшему на П1-й, П2-й ... п^-й акустической волне различных частот (рис. 2 для случая N = 2),

Пп1п2га3газ...гамгам+1 фазовая расстройка между «лучом» с амплитудой СП1П2П3...П^ и «лучом» Сга1га2газ...гам„м+1 (один из них расположен в пулевом порядке, другой - в брегговском), величину расстройки можно записать как гЦщп2га2газ...гамгад+1 = 1(кщп2Пз...гам,2 ...гамп^+1,.гX ГД6 ...гам,,г И ^га1га2га3...пмпм+1 проекции соответствующих волновых векторов взаимодействующих оптических «лучей» на ось, перпендикулярную направлению звука [4], I — длина области аку-стооптического взаимодействия вдоль направления распространения света; х — нормированная на I координата вдоль направления распространения света х е [0,1]; ст — величина, связанная с акустической мощностью Рт т-й компоненты акустического сигнала и его

относительной фазой ст = -¡^ ехр(^то), где Ро — акустическая мощность, при

2 V Р,

о

которой наблюдается 100% эффективность акустооптической дифракции в режиме Брегга, с*т — комплексно-сопряженная величина, ] — мнимая единица.

Для построения матриц построим на основе системы уравнений связанных волн дерево (рис. 3), где каждому уравнению будет соответствовать свой конкретный узел. При этом из структуры уравнений видно, что каждое уравнение однозначно идентифицируются амплитудой, стоящей иод дифференциалом в его левой части. Поэтому в дальнейшем на рисунках будем помечать узлы символом этой амплитуды. Пусть иерархия узлов будет определяться нотацией индексов у амплитуды. Число индексов задаст глубину расположения, а сами индексы предков. Заметим, что правая часть каждого уравнения распадается на сумму членов, зависящих от амплитуд, число индексов которых больше на единицу, чем у амплитуды, стоящей в левой части (потомки), и дополнительный член, зависящий от амплитуды, число индексов которой на один меньше (предок). Таким образом, каждый узел дерева будет связан с одним предком и несколькими потомками.

Рис. 3. Фрагмент дерева, построенного па основе системы связанных уравнений

Приведем пример построения. Возьмем в качестве корня дерева уравнение для амплитуды Со- Затем, в качестве потомков возьмем уравнения для амплитуд СП1, п\ = 1.. .У, с которыми Со связана через уравнение (1). Затем для каждого узла СП1 продолжим построение дерева, обозначив в качестве потомков СП1П2, п2 = п\, п2 € [1,У]-

Ключевой особенностью системы уравнений связанных волн для случая многокомпонентного акустического сигнала является формально бесконечное число дифракционных максимумов, вклад которых необходимо рассчитать. Ограничим построение потомков на глубине М^рШ- Следует отметить, что ограничение рассмотрения порядком определенного уровня или интерференционным порядком определенной степени приведет к понижению точности решения.

Уравнение для узла, на котором мы обрываем построение (на глубине М^рш), выглядит следующим образом:

dG.

П1П2П3...ПМ

depth

dx

Спп

depth

а

п\п2пз...пм

depth

х exp [(-1)Mde^th+1jVn1n2n3..,

nMdepth ^nin2n3...nMdepth -1"

X

1

Для перехода к двумерным матрицам введем линейную нумерацию всех узлов дерева. В этом вопросе существует доля произвола, однако в данной статье принята следующая

нотация. Обозначим корневой узел за 0 и последовательно пронумеруем всех потомков корневого узла от 1 до N в порядке возрастания частоты. Затем аналогичным образом пронумеруем их потомков, последовательно выбирая предков в порядке возрастания их номера. Повторим процедуру для каждого из уровней, вплоть до глубины Таким

образом, каждому узлу будет поставлен в соответствие линейный индекс. На рис. 3 линейные индексы указаны в прямоугольниках рядом с соответствующими им узлами.

Число узлов дерева ^гао^е« растет в геометрической прогрессии при увеличении глубины отсекания

^гао^ = 1 + N + N (Ж - 1) + ■ ■ ■ + N (Ж - 1)М^-1 =

\ { м(М - 1)М"Р" - 2 пптт N = 2

= 1 + N (К - 1)8-1) = \ -N-2- ПРИЖ = 2

V «=1 / Ьм^ + 1 при N = 2.

Решение для каждой амплитуды О к (ж) будем искать в виде линейной комбинаций нескольких различных пространственных частот

Сга1га2газ...гам (х) = о к (Х) = ^ V 39кк ехР(М8). (3)

8

Необходимость введения коэффициентов V8 будет показана далее.

Подставив (3) в (2), из условия согласования пространственных частот в левой и правой частях уравнения (2) получаем уравнение, связывающие пространственные частоты для амплитуд СП1П2Пз...п^ Ч СП1П2'пз...п^—1) & также СП1П2Пз...п^^ ^ С'П1'П2'Пз...'п^'п^+1'

+ (-1)" ^га^газ ..."-и-1 «га га2газ ...га

>га1га2газ...га,д—1 Чга1га2газ...га^ V -V '/га1га2газ...гам-1 «га-1 га,2газ...гам> = £ 8

Сга1га,2газ...га„ Сга1га,2газ...га„+1 ^га1га2газ...гам«га,1га2газ...гам+1

Пройдя от корневого узла до конечных, можно получить связь между з-й пространственной частотой для любого узла относительно з-й пространственной частоты разложения Со для корневого узла

Сга 1га2 ...гам = Сгоо4 + @га,1га,2...гам,

где

@га,1га,2...гам = -Цп1 + Цпупь ' ' ' - ^га,1га,2...гам,

или в линейной нотации:

С« = Соо4 + @к. (4)

Подставим выражения (4) и (3) в систему уравнений (2). Приравнивая множители у экспонент с одинаковыми подэкспоненциальными пространственными частотами, получим

(Со4 + @га) 9пV8 = с^9гарУ8 + ^ стд^т V8, (5)

где пр — это индекс предка узла п, а {п,в} — это множество индексов потомков узла п (число потомков составляет N - 1), т/ — индекс акустической волны, на которой был совершен переход из узла пр в узел п.

Сократив в (5) V8 и переписав в матричной форме, получим

[м - (Ч8оо^)]

/Ч8\

(6)

0

где

М =

/ 0 -С1 —С2 —См 0 0 0 0 0 0 0

—г* С1 ©1 0 0 0 — г* с2 — г* 0 0 0 0

—г* с2 0 ©2 0 0 0 0 0 г* —С1 г* —сэ — СМ

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

г* 0 0 0 ©м 0 0 0 0 0 0 0

0 -С2 0 0 0 ©М+1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 —си 0 0 0 0 0 ©2И -1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 ©2М 0 0 0

0 0 —Сэ 0 0 0 0 0 0 ©2М+1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 —си 0 0 0 0 0 0 0 0 ©ЭМ-2

V

(7)

а в — единичная матрица. Матричное уравнение (7) по форме совпадает с уравнением задачи на собственные значения, для решения которой существуют общеизвестные алгоритмы [8].

Получившаяся матрица М является эрмитовой, следовательно, её собственные значения будут действительными числами, а их количество равно рангу матрицы. Не нарушая общности, примем, что ранг матрицы М совпадает с её размерностью

Полученный спектр собственных чисел задачи на собственные значения даст спектр пространственных частот в = 1... Мп0¿ез, а соответствующие собственные вектора

дадут коэффициенты линейного разложения д^, в = 1... 0¿ез, к = 1... Nnodes.

Вследствие того, что собственный вектор определен с точностью до нормировки, для определения амплитудных факторов Vв = 1... Мп0¿ез рассмотрим граничные условия па входе в область акустооптического взаимодействия: интенсивность падающего недифраги-ровавшего порядка максимальна, а интенсивность дифракционных порядков равна нулю. Пусть интенсивность падающего излучения на входе нормирована на единицу, тогда граничные условия примут вид

1Со |ж=о = 1;

Оп |ж=о = 0 Уп = 0.

(8)

Подставив в (8) значения для амплитуд (3), получим систему линейных алгебраических уравнений:

£ ^ 39о = 1, Е У ^ = 0 У^ = 0.

Разрешая систему линейных алгебраических уравнений, нетрудно получить коэффициенты V

Для восстановления профиля дифракционной картины в поле брегговских максимумов необходимо сложить все амплитуды Ок(х) для всех узлов с индексами {¿}, которые соответствуют отклонению луча в поле брегговского порядка на угол в:

Св = £ Сг(х) = £ £ Vад! ехр(^).

I 8

Тогда интенсивность излучения, выходящего под углом в, можно вычислить как

= ^в ^в.

(9)

(10)

3. Результаты вычислений

На основе вышеприведенного алгоритма был написан программный код, позволяющий получать аналитическое решение задачи многочастотной акустооптической дифракции для заданного числа компонент акустического сигнала.

Важным для практического применения алгоритма является выбор глубины Уменьшение глубины М,аеры кардинально сокращает время вычисления, однако при малой глубине может снижаться точность решения вплоть до искажения качественного вида зависимости С(х).

Рис. 4. График относительной невязки интенсивности недифрагированного порядка 10(х) = ОоОо* между Млеры = 3; 5 и Млеры = 13

На рис. 4 приведен график относительной невязки интенсивности недифрагированного порядка I0(x) = GqGq* между Mdepth = 3 Mdepth = 5 и Mdepth = 13. Видно, что чем на большей глубине происходит обрыв дерева, тем больше область х £ D, в которой решение задачи сходится к правильному. Для Mdepth = 9 и Mdepth = 13 относительная разница составляет 10-15, то есть можно считать, что при Mdepth = 9 решение сошлось с машинной точностью.

На рис. 5 показана эволюция формы зависимости интенсивности недифрагированного порядка 10(х) = GqGq* от координаты. Различные кривые соответствуют дереву, чьё

построение оборвано на глубине М,\iepth = 1, 2,3, 4. Дальнейшее увеличение глубины дает незначительное изменение зависимости интенсивности (рис. 4). Для сравнения на рис. 6 приведен подобный график для дифрагированного порядка.

Рис. 5. График интенсивности недифрагированного порядка 10(х) = С0С0* для Маерш = 1, 2, 3,4

Рис. 6. График интенсивности для первого дифракционного порядка 10(х) = С0С0* для МЛерШ = 1, 2, 3,4

4. Заключение

В данной статье рассмотрен подход к решению системы уравнений связанных волн, описывающей многочастотную акустооптическую дифракцию, который позволяет получить решение задачи для произвольного числа компонент с разной частотой, амплитудой и фа-

зой, формирующих акустический сигнал, с заданной точностью, зависящей от параметра М^рШ, определяющего максимальную глубину дерева, используемого для моделирования интермодуляционных дифракционных порядков. Программный код, написанный на основе данной методики, показал поточечную сходимость решения при увеличении параметра ^йергк- На основе проведенных вычислений был получен диапазон М^ергы ПРИ котором относительная невязка решения не превосходит машинной точности. Степень многочленов и ранг матриц, получаемых в ходе решения, зависят от параметра модели М^ергы чт0 определяет время, необходимое на расчет.

Часть вычислений, которые необходимо произвести при использовании данного алгоритма, успешно распараллеливаются и реализуются при помощи программируемых логических интегральных схем (например, нахождение собственных чисел для разреженной матрицы [9, 10], что дает возможность использовать его для создания управляющих модулей быстродействующих проекционных систем.

Работа выполнена в рамках государственного контракта № П1267 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

Литература

1. Магдич Л.Н., Молчанов В.Я. Акустооптические устройства и их применения. — М.: Сов. радио, 1978.

2. Корпел А. Акустооптика. — М.: Мир, 1993.

3. Gulyaev Yu.V., Kazaryan М.А., Mokrushin Yu.M., Prokhorov A.M., Shakin O.V. Acousto-optical TV Projection Systems with Pulsed Lasers // Laser Physics. — 2002. — V.12. — P. 1368-1380.

4. Антонов C.H., Вайнер А.В., Проклов В.В., Резвое Ю.Г. Высокоэффективная акусто-оптическая дифракция света на многочастотном звуке в геометрии неаксиального дефлектора // ЖТФ. - 2008. - Т. 78. Вып. 6. - С. 79-83.

5. Hecht D.L. Multifrequencv acoustooptic diffraction // IEEE Trans. Sonics Ultrason. — 1977.

- SU-24. - P. 7-18.

6. Yongchuan Т., Jieping X. Fevnman diagram analysis of intermodulation products in Bragg cells //J. Opt. Soc. Am. - 1992. - V. 9. - P. 2223-2230.

7. Gazalet M.G., Kastelik J.C., Bruneel C., Bazzi C., Bridoux E. Acousto-optic multifrequencv modulators: reduction of the phase-grating, intermodulation products // Appl. Opt. — 1993.

- V. 32. - P. 2455-2460.

8. Saad Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. — Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2011.

9. McGettrick S., Geraghty D., McElroy C. An FPGA architecture for the Pagerank eigenvector problem // FPL. - 2008. - P. 523-526.

10. Bravo I., Jiménez P., Mazo M., Lázaro J.L., Gardel A. Implementation in FPGAs of Jacobi Method to Solve the Eigenvalue and Eigenvector Problem // FPLIEEE. — 2006. — P. 1-4.

Поступим в редакцию 24-11.2011