Метод моментов в задаче гашения колебаний дифференциальной системы на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2010. Вып. 2

УДК 517.977.56 В. В. Провоторов

МЕТОД МОМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ НА ГРАФЕ

Исследованию задач управления упругими колебаниями на классических компактах посвящено большое число работ (см. [1—3] и приведенную литературу в них). В последнее время активно разрабатывается новое направление — управление упругими колебаниями объектов, реализованных на компактном графе [4, 5].

Настоящая статья посвящена изучению вопроса отыскания граничных управляющих воздействий в задаче гашения колебательных процессов, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями в частных производных на геометрическом графе-дерево, представляющем собой цепочку последовательно соединенных звезд. Подобный анализ проводился в [4] на графе-дерево, где граничное управление Дирихле формировало инструмент исследования — метод распространяющихся волн. Достаточно глубоко разработанная спектральная теория краевых задач на графе ([6, 7] и литература в них) приводит к использованию универсального спектрального метода анализа, эффективного и в численных методах на графе. При этом реализуется управление полным динамическим состоянием системы. Проведенные исследования базируются на изучении прикладных задач, связанных с описанием колебательных процессов при моделировании различного типа механических конструкций, например антенной системы, состоящей из конечного числа упругих континуумов. В работе применяется метод моментов [1, с. 56], который дает единую вычислительную процедуру вне зависимости от сложности линейного управляемого объекта и числа управляющих воздействий.

Ниже используются определения и обозначения, приведенные в монографии [6, с. 24]. Звезды Г£ (£ = 1, L) цепочки Э имеют узлы & и ребра ^/ек (к = 1, тоД ребра 7те = 1; L ~ 1) соединяют узлы звезд Г,. Для каждой звезды (£ = 1 ,L) ориентация ребер 7^ (к = 1, гп£ — 1) «к узлу ^£», ребер 7^ — «от узла £«» (£ = 1, L); каждое

ребро 71 (к = 1 ,m£ — 1) параметризовано отрезком [(£ — 1)7г/2,-for/2], ребро 7^ — отрезком [for/2, (£-\- 1)"7г/2] {£ = 1, L); каждому узлу ставится в соответствие число for/2 {£ = 1, L); С*(Э) — множество непрерывных на Э функций, С*[Э] — множество кусочнонепрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле £ по разным ребрам существуют и могут быть различными), C2[Э] — множество функций, все производные которых до второго порядка включительно принадлежат C [Э].

Изменения амплитуд колебаний Q(x, t), (x, t) Э x [0, T] описываются уравнениями

§^Q(x,t)7e = j£zQ(x,t)7e - q(x)7eQ(x,t)7e (1)

Провоторов Вячеслав Васильевич — доцент кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета. Количество опубликованных работ: 72. Научное направление: системы с распределенными параметрами на графе. E-mail: [email protected].

© В. В. Провоторов, 2010

на каждом ребре 7^ (к = 1, те, £ = 1 ,Ь), соотношениями в узле £1

и в узлах £ = 2, Ь,

= <3(|к = і,ті — і,

(3)

Для получения математической модели физического процесса к соотношениям (1)-(3) добавляются начальные условия

Здесь функции д(х),^р(х),-ф(х) е С(Э), (к = 1,гп£ — 1,£ = 1 ,Ь),г/(Ь) € С[0,Т\

и постоянные Ь{(к= 1 , — 1, £ = 1, Ь), Н вещественные.

Соотношения (1)-(3) назовем уравнением колебаний на графе Э, соотношения

(1)-(5) - граничной задачей на графе Э.

Пусть функции д4(£) (к = 1 ,т,£ — 1,£ = 1 ,Ь), г/(£) в граничных условиях (5) являются управляющими функциями линейной управляемой системы (1)—(5), состояние которой описывается функцией Q(x,t), (х,Ь) € Эх [0,Т]. Будем считать, что имеют место ограничения

(С > 0 — некоторая заданная постоянная).

Задача гашения колебаний системы (1)-(5) состоит в определении момента времени Т и управляющих функций (£) (к = 1, т£ — 1,£ = 1 ,Ь), г/(£), удовлетворяющих ограничениям (6) таких, чтобы условия

(условия успокоения) выполнялись в момент времени Т.

Собственные значения и собственные функции задачи Штурма— Лиувилля. В С(Э) П С2[Э] определяется задача Штурма-Лиувилля [7, с. 88] для дифференциального уравнения на цепочке Э

которое на каждом из ребер 7^ (к = 1, т,£, £ = 1 ,Ь) при фиксированной параметризации реализуется в форме дифференциального уравнения

<3(ж, 0) = у>(ж), -щСЦх, 0) = ф(х), х Є Э, и граничные условия в граничных узлах графа Э (і Є [0, Т]):

(4)

(5)

тах и{.и) < С (к = 1, гп£ — 1, £ = 1, Ь), тах і/Ш < с

ге[0,т ] к ге[0,т ]

(6)

<2(ж,т) = о, ^д(ж,т) = о

(7)

у" + д (х) у = Ху, х Є Э,

(8)

у"е + д{х)^у^ = Ау7е, х Є 7й (к = 1, те, £=1, Ь),

в узле £1 — как условие

Ш\ — 1

£ У'Ц)^ = у'(|)~/1> к=1

а в узлах ££ {£ = 2, Ь) — как условия

ГП£ — 1 ____

у'^1^1 ! + ^ у'Щ)-,* = (£ = 2’1)>

е-1 к=1 * 1

где Л — спектральный параметр. Краевые условия имеют вид

у'{{£ — 1)§)7£ — Ьеку((£ — 1)§)7£ =0, к = 1, Ш£ — 1, t = 1, Ь, (9)

г/'((Ь + 1)| )7ь^ + Ну((Ь + 1)|)7ь^ =0. (Ю)

Можно показать [7, с. 93], что собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (8)—(10) вещественные, собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны в Ь2 (Э).

Определим функции С^ек(х), ж € [(£ — 1)тг/2, (Ь + 1)7г/2] (к = 1,т,£ — I, £ = 1, Ь):

д(х)7*, х € [(£ — 1)п/2,£п/2],

Ок(х) ={ 9(ж)7^, ж € [М2, (^+1)тг/2],

(k-l,me-l, | д(Х)^Р , Ж G [р7г/2, (р + 1)^/2] (р = £ + 1, L),

£=1,L-1) т"

q(x)YL, x £ [(L — l)n/2,Ln/2],

QL(x) =

q(xhLT, x £ [Ln/2, (L + l)n/2\-

(к=1,ть — 1) (, ь

Имеет место утверждение, аналогичное теореме 1.5 [8, с. 17]:

Теорема 1. Для любых фиксированных к,£ (1 ^ к ^ т£ — 1, 1 ^ ^ Ь)

и любого а существует единственное решение г£к (х, Л) € С1 [(£ — 1)п/2, (Ь + 1)п/2] П С2 ((£ — 1)п/2, (Ь + 1)п/2) уравнения

— г'к + к (х)хк = Л%к , (11)

такое, что z£ к ((£ — l)n/2,X) = sin a, z£k ((£ — l)n/2,X) = — cos а. Для каждого сированного x £ [(£ — 1)п/2, (L +1)п/2] функция z£k (x,X) является целой аналитической функцией от X.

Пусть для каждого фиксированного k,£ (l ^ k ^ m£ — 1, 1 ^ ^ L) функции

/j,£k (ж, А), rr/£k (х, A) G С1 [(£ — 1)7г/2, (L + 1)7г/2]ПС2 ((£ — 1)7г/2, (L + 1)тт/2) — решения уравнения (11), удовлетворяющие условиям (k = 1, ni£ — 1, £ = 1, L)

m (Ц, а) = 1, ц'ек (Ц, А) = 0,

щк (Ц,Х) = 0, г]'ек (Ц,Х) = 1.

Ясно, что функции Ц£k (x, X), г/£к (x, X) при x £ [£п/2, (L + 1)п/2] не зависят от индекса

к: (х, А) = це (ж, А), г]£к (ж, А) = щ (ж, А), ж е [^/2, (L+ 1)7г/2], £ = I, L, где функции

H£(x, X), П£(x, X) — решения (11) на [£п/2, (L + 1)п/2], удовлетворяющие условиям (£ =

ТТ)

(ле(Ц,Х) = 1, Не(Ц^)=0, щ (Ц,х) = 0, Г]'е (Ц,х) = 1.

Для каждого фиксированного к (к = 1 ,тп£ — 1) и £{£ = 1 , Ь) определим функции Щк(х, А) € С1 [{£ — 1)7г/2, (Ь + 1)7г/2] П С2((£ — 1)7г/2, (Ь + 1)7г/2) как решения уравнения

(11) с условиями (/г = 1, то^ — 1, I = 1, Ь)

функция у(х,Х) Є С 1[0, (Ь + 1)п/2] П С2(0, (Ь + 1)п/2) есть решение уравнения (11) (£ = 1, к = ті — 1) с условиями

В силу теоремы 1, при каждом фиксированном Л функции П£к(х,Л) (к = 1, т,£ — 1,^=1, Ь), у{х, А) являются целыми аналитическими по Л, при этом

Рассмотрим числовые множества Л^(Л) = {и£і~(£7г/2, Л), к = 1,пі£ — 1}, £ = 1, Ь; тле (X) — число нулевых элементов Л£(\): 0 ^ тле (X) ^ т£ — 1, а также зависимое от Л числовое множество 0(А) = {г/£-і(£тг/2, Л), £ = 2, Ь}, ш©(Л) — число нулевых его элементов: 0 ^ т&(Х) ^ Ь — 1.

Пусть П - множество собственных значений задачи Штурма—Лиувилля (8)—(10); П1, ПуТо, Ну 1То — множества чисел X вида

Теорема 2 [7, с. 134]. Нули функции В (Л) совпадают с собственными значениями Л € О и имеет место

(множества О1, Оуу0, Оут0 не имеют общих элементов), при этом, если собственное значение Л0 таково, что

и£к{{£ ~ 1)|, А) — 1, и'ек((£ - 1)|, Л) — ]гк;

у((Ь + 1)|, Л) — 1, у'((Ь + 1)|, Л) — — Н.

и'ек(^ ~ Щ> Л) “ Киек((£ ~ 1)|, А) = 0 (к = 1,те - 1, £ = 1 ,Ь), V ((Ь + 1)^-, А) + Ни((Ь + 1)^-, А) = 0.

І11 = {X : тАе (Л) = 0, £ = 1, £},____________________

т0 = : т^е (л) = Т£, ^ = 1, Ь,

ь

Т = £ Т£, тв(X) = Те, у(Ьп/2, X) = 0},

£=1

ь

Т = £ Т£, т0(X) = Те, у(Ьп/2, X) = 0}

£=1

и

ті — 2

Ь т^— 1

П(\) = (—1)м —1 П «1 н(п/2, X) П П и£к(^п/2, X)S(X),

к=1

£=2 к=1

где

ь

Ь — 1 м

Т©=0Т=1

1) Ао € И1, то оно простое,

2) А0 € , его кратность равна Т + Тв — Ь,

3) А0 € П1ТПГв, его кратность равна Т + Тв — Ь +1.

Здесь

ь _

Т = £ Те, если Те>0,£=1, Ь,

£=1

ь0

Т^Тг, + 2(Ь — Ь0), если Т* > 0, Те = 0 (£ = £г, £Л > 1),

г=1

i = 1 ,Ь° (1 <Ь° < Ь), £ = Т7Х;

причем, если у(Ьк/2, А0) =0, то ь0

а) Т = J2Yei + ТЬ при £1 > 1, £ьо = Ь,

1=1

ь0

б) Т = £ Т£г + 1 при £1 = 1, £Ьо < Ь,

г=1

ь0

если у(Ьп/2, А0) =0 и 1 ^ Ь0 ^ Ь, то Т = £ Т£^ + ТЬ—1.

г=1

Собственная функция у(х,А), соответствующая собственному значению А задачи Штурма-Лиувилля (8)—(10), имеет представление

аекиек{х, Л) х € (к = 1 ,т£- 1), , = _ .

у(хХ)={ А) + Рпгц{х, А) ж € 7£т,, 1 ’ ^ ,12,

' иькиьк(х,Х) х е ~/ьк {к = 1,ть - I), ^ '

/Зу(х, А) X € ЧЬть ■

Для фиксированного А = А0 совокупность коэффициентов а.£к, /Зц, в£2 (к =

1,гп£ — 1, £ = 1,Ь), (3 является нетривиальным решением системы с определителем, равным П(А0).

1. Пусть Ао € И1. Коэффициенты а^к(к = 1,т^ —1), Рь-и, Рь-12 однозначно определяются через коэффициент р. Собственная функция у(х,А0) имеет вид

у(х, А0) = 1/в <

' аекиек(х, А0), х £ 7^ (к = 1,те - 1), ____

/Зщле^х, А0) +13е2т(х, А0), хе-/ете, £=1,Ь,

аьк'иьк(х, А0), ж € 7ьй (/г = 1,тоь - 1), в«(х, А0), х € ^Ьть ,

Ь—1 т^+1 — 1 т1_1

а1й = П П и0 + 1г{{] + 1)1, Ао) П А0)/3,

,7 = 1 г=1 г=1

(г=к)

Ь—1 т6+1 — 1

/?11= П П м5 + 1*(0' + 1)§ 1 Ао)/3,

^=1 г=1

Ь—1 т^ + 1 —1 т1 — 1 Ш1 —1

012= П П Щ+и{{з + 1)|, Ао) £ г/1А.(|,Ао) П мн(|, Ао)/3,

,7 = 1 г=1 к=1 г=1

(г=к)

Ь—1 тз+1-1 ш^—1

а£_к_ = П П из+и{{3 + 1)§ 1 Хо)ие-\{Щ, Ао) П и£г{Щ^о)Р,

(£=1 ,Ь) 3=£ г=1 £=1

(1=к)

Ь—1 т-з + 1 — 1

Ри =п£~ 1{Щ,Х0) П П Uj+li{{j + 1)^,Х0)[3,

(£=2,Ь-1) 3=£ *=1

Ь — 1 т3 + 1 — 1

/%2 = П П и3 + 1г(и + 1)|, Ао)(м^_1(^|, А0) X

(£=2,Ь-1) 3=£ *=1

т^—1 т^ — 1 т^—1

х П и£г(Щ ; Ао) + ие-\{Щ, Ао) £ и'£к{Щ, Ао) П и£г{Щ,Хо))[3.

1=1 к = 1 1=1

(*=)

ь ____

Рассмотрим случай Т ^ Ь, Т = ^ 1 ^ ^ гп£ — 1 (£ = 1, Ь), 0 < Т© < Ь — 1

^=1

(случаи Т© = 0, Т© = Ь — 1, а также 1 ^ Т ^ Ь — 1 представлены в [7, с. 134]).

Т Ь

2. Пусть Ло € о!/ г0 (1 < тл(Л) = £ тГк (Л) < £ тк — Ь), тогда м^к(^/2, Ло) =

’ _ к= 1 й=1 _______

0 (/г = 1, — 1, к ^ к\, г = 1, Те, £ = 1, Ь), к\ (г = 1, Те, £ = 1, Ь) - индексы равных

нулю элементов множества Л^Ао): иеке(£7г/2, Ао) = 0 (г = 1,Те).

Собственные функции определяются параметрами Те каждой звезды Ге, £ = 1 ,Ь. Общий вид собственной функции уо(х) представлен формулой (12), в которой

а-ек = 0 (к = 1, те - 1, к^к%, 1 = 1, Те, £=1,Ь),

®-£ к^. иг ^ ^е^,\о) Е ^е к^ие ке 2 7 ^ ^ 7^ i 3 1?^©?

e e kYe i=1 i

1 Г"’-1

\к^ - ^ (^f,Ao) ^ g ,*Д^1>Ло) -

kT

e-

- E “ !)f ’ Л°)J - 1>T0>

&,i = /%,2 = 0, * =1,L-1, £ ф £j, j = I/f^,

Ye-

fyj-1,2 ~ ~ J2 ae-kejK j — 1>Te>

i=1 j i ej ki

в = 0.

L

Таким образом, получаем £ Tj — L + Yq функций, при этом каждая звезда Ге порож-

____ з=1

дает Те — 1 {£ = 1, L) собственных функций:

0, ж G 7j, к = 1 ,тос, С = 1 ,Ь,кф к\, кеГе,

и ^ _ , uekt (x,Xo), x е Y{e, щ{х, Ао) и'еке(£^,\о) г

(г-1,Те-1) _ц> . ( о)Ц^г (Ж, А0), Ж €7^ ,

каждое из соотношений /2, Ао) = 0 = 1, Те) добавляет еще Т^. собственных

функций:

О, ж € 7^, к = 1 ,тос, С = 1 ,Цкф т£., Щ

ЛкЪМ)

у\.(х, Ао) = < (*=№“)

/ ^ — 1 К -V3

* -1

хи

к^ к-х

<» Т/

>с (х,Ло),х в у ^-1

(14)

-и' ^ (^-§, А0)/х^—1(^|, А0)??^-1(х, А0), ж € 7^“

'Т/-_ 1 Ъ 1

7Г 2 ‘

\ к (х Ло)’ х в ■

лШ

3. Пусть, далее, Л0 в Тв, тогда к условиям предыдущего пункта добавится условие у(Ьп/2, Л0) = 0. Значит, Ь-я звезда Гь формирует еще одну собственную функцию

0, ж е 7^, к = 1, тос, С = 1, Ц к ф к^ь, ть,

УьЬ (х,Ло) = если пь~\{Ьп/2, Ло) = 0, и

о)

^ькк (Ь2>Ло)

ть

у(х, Ло), х в 7,

иькь (х,Ло^ х в 1%ь

1 Ь т}

ь

ть ,

У1Ь (х,Ло) = <

0, Ж € 7^, /г = 1,ШС, С=1,Ь, кф к^ь^, тоь_ь тоь, и'^Ло) / \ \ _ Ь — 1

Л* 1 к^1_1 (*^5 ^о)? х ^ 7т,ь-1 5

Ь — 1 ь 1

ТЬ-1

</(£§, А0)/хь_1(Ь|, А0)??ь-1(ж, А0), ж € 7ть-1> Ло),х в 7т ь ,

если пь-\(Ьп/2,Ло) = 0. Вместе с функциями (12)—(14) (при Ло в ^ттв) количество

ь

собственных функций равно £ Т^- — Ь + Т0 + 1.

з=1

Полнота и базисность системы собственных функций в Ь2(Э). Пусть {Лп} п>о — множество всех собственных значений Л о ^ Л1 ^ ■■■ задачи Штурма— Лиувилля (8)—(10), при этом каждое собственное значение присутствует в множестве {Лп}п>о столько раз, какова его кратность (теорема 2). Пусть {Хп(х)}п>о — множество ортонормированных собственных функций Хп(х), соответствующих собственным значениям Лп (одинаковым - т. е. кратным - собственным значениям отвечают собственные функции, упомянутые выше и взятые в произвольном порядке).

Следующие утверждения [7, с. 139] являются обоснованием метода разделяющих переменных для граничной задачи (1)—(5).

Теорема 3. 1). Система собственных функций {Хп(х)}п>о задачи Штурма-Лиувилля (8)-(10) полна и образует ортогональный базис в Ь2(Э). 2). Для любой абсолютно непрерывной функции / (х), х в Э, имеет место разложение в обобщенный ряд Фурье по собственным функциям {Хп(х)}п>о, причем ряд сходится равномерно на Э.

Гашение колебаний системы (1)—(5). Рассмотрим вопросы, связанные с возможностью отыскания условий на заданные управляющие граничные функции при успокоении колебательных процессов, описываемых граничной задачей (1)—(5) на це-

и

и

V

Ь1

почке .

В соответствии с утверждениями теоремы 3 решение Q (х,1) задачи (1)—(5) будем искать в виде

о

Q (x, t) ^ 1 ип (Л) Хп (х) , ип (^) / Q (x, t) Хп (х) ^х■

п=о Э

Предположим, что собственные значения задачи Штурма—Лиувилля (8)—(10) положительные. Продифференцируем функцию ип ^) дважды и, используя уравнение колебаний (1)—(3) на Э с граничными условиями (4), (5), приходим к уравнению

(г > 0, Лп = р1)

и'п (1)+Р1пип(Л) = zn(t), (15)

Ь т/— 1

гп(Ъ) = I] I] ^к(^)Хп((£ - 1)|) е - г/(£)Хп((Ь + 1)|)7ь . к=1 к=1 К ь

Решение уравнения (15) с учетом начальных условий записывается в виде

і

ип{і) = (рпсо$ рпі-\- рпі-\- -±- / zn(т) si.ii рп(t - т)(Іт,

0

где фп,фп — коэффициенты Фурье функций <р (х) ,ф(х), разложенных по системе

ОО ОО

функций {Хп (х)}п>о: ф(х)=^ УпХп (х), ф(х)= £ фпХп (х). Учитывая вид Q(x,t)

п=0 п=0

и ^Я-(х,1), представление гп(1) для уравнения (15) и условия успокоения (7), в силу

'-/) 5 Л- ОЬ±-> лспис ^ТЪ

полноты системы {Хп(х)}п^о в Ь2(^) (теорема 3), получаем (п = 0,1, 2,...)

—тп соврпТ - ^ втрпТ — /[- £ £ р,£к(()Хп((£ — 1)|)7<; +

0 е=1 к=1

+ и(С)Хп((Ь + 1)|)7ь^] вігі рп(Т - СМС

Т Ь т£—1

рптпвіпрпТ - тпсоврпТ = /[- £ £ рек(()Хп((Є - 1)§Ъ +

0 е=1 к=1 к

+ і/(()Хп((Ь + 1)|) Ь ]соврп(Т- ()(!(.

(16)

Умножим первое уравнение системы (16) на рпі (і — комплексная единица) и сложим со вторым. Сокращая на еРпТ и выделяя действительную и мнимую части, приходим к системе

Т Ь тц — 1

/ЕЕ хп({£ - і)%)7е с° б рп( і4(суі( =

о г=1 к=1

Т

Хп((Ь + 1)| )7ь /г/(С)со врпСсІС + Тп,

ТЬт—1 ^ 0 (П = 0, 1 2^..) (17)

/ЕЕ хп((£- і)|) ^ віпрпСнііСЖ =

о г=1 к=1

Т

= Хп((Ь + 1)1 )7Ь / 1/(С) вІП РпС^С - РпТп■

Тем самым получена более удобная при практической реализации система момент-ных равенств (17) для определения граничных управляющих воздействий рк ^)(к =

1, тп£ — 1,1= 1, Ь), 1/(1,) и времени Т, таких, чтобы выполнялись условия (7).

З амечание. Для системы (1)—(5) можно рассматривать задачу оптимального управления по быстродействию: определение минимального значения времени T такого, чтобы выполнялись условие (7).

Колебательные процессы упругой антенной конструкции, состоящей из мачты и поддерживающих ее растяжек с L узлами закрепления их к телу мачты, достаточно удовлетворительно описывается граничной задачей (1)—(5). При этом мачтовый континуум, находящийся выше последнего (верхнего) узла закрепления растяжек, имеет массу, несравнимо меньшую, чем масса остальных частей тела мачты, и влияние этой части тела мачты на колебательный процесс несущественно, тогда при моделировании процесса ею можно пренебречь. Растяжки (струны) испытывают поперечные колебания, мачтовый континуум (стержень) — продольные, управляющее воздействие на антенную конструкцию осуществляется в основаниях растяжек (граничные узлы графа Э). Упругие характеристики колеблющихся континуумов системы определяются положительной функцией q(x)7m, постоянные hk (к = l,rri£ — 1,£ = 1,L) и JJ также положительные. Нетрудно показать, что в данном случае собственные значения Xn e О задачи Штурма-Лиувилля (8)—(10) положительные. Действительно,

Xn / Xn(x)dx = J( —Х'П(x) + q(x)Xn(x))Xn(x)dx =

э э

L m*

= £ Е / (—X'n(x) + q(x)Xn(x))Xn(x)dx =

£=1k=1y*

Yk

L m* —1

= E E ь{хК(£-Щ) + нхШь + Щ) +

£=1 k=1

+ f (X',^(x)+q(x)X2(x))dx > 0. э

Здесь слагаемые, содержащие X'1[(x), интегрировались по частям, для собственных функций Хп(х) использовались условия согласования в узлах ^ [I = 1,Ь) и краевые условия (9), (10).

Для упругой L-уровневой системы «мачта-растяжки» рассматривается задача гашения колебаний — перевод системы (1)-(5) из возбужденного состояния (4) в состояние покоя (7). Система (17) принимает вид (п = 0,1, 2, ...)

T L m* —1

/ЕЕ 1)§Ъе cos рп( pek(()d( = тп,

0 £=1 k=1

T L m* —1

/ЕЕ Xn((£-l)^)esm pn(iJ,ek(()d( =-рптп.

0 £=1 k=1 k

Управляющими воздействиями являются функции pk(t) (к = l,rri£ — l,£ = 1,L); v(t) =0, t e [0, T].

Литература

1. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

2. Зубов В. И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416 с.

3. Знаменская Л. Н. Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004. 176 с.

4. Белишев М. И. О граничной управляемости динамической системы, описываемой волновым уравнением на одном классе графов (на деревьях) // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2004. Т. 308. С. 23-47.

5. Avdonin S. A., Ivanov S. A. Families of exponentials. The Method of Moments in Controllability Problems for Distributed Parameter Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1995. 93 с.

6. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004. 272 с.

7. Провоторов В. В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения. Воронеж: Научная книга, 2008. 247 с.

8. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка / пер. с англ. В. Б. Лидского; под ред. Б. М. Левитана. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. Т. 1. 342 с.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.

Статья принята к печати 24 сентября 2009 г.