Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 3

В. В. Провоторов, Ю. А. Гнилицкая

ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВОЛНОВОЙ СИСТЕМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НА ГРАФЕ

1. Введение. Работа продолжает исследование задач граничного управления колебаниями на графе Г, рассматриваемых в классе С2 [1, 2], в более общем классе функций u(x,t), x,t G Гт = Г х [0,Т] из Ь2(Гт), имеющих обобщенные производные первого порядка по x и t также из ¿2(Гт). Схожие процессы имеют место и в биологической системе на клеточном уровне (метаболизм клеток). Продукты одних химических реакций, протекающих в клетке, являются субстратами для других, образуя цепи метаболических реакций. Цепи имеют точки разветвления - узлы реакций, продукты которых могут быть использованы в нескольких метаболических цепях, в совокупности представляющих собой сеть.

Для анализа поставленной задачи применяется спектральная техника (анализ Фурье): сравнительно легко преодолеваются сложности, порожденные геометрией графа, тем более в случае, когда граф является произвольным деревом. Вместе с тем возможность разложения по обобщенным собственным функциям соответствующей краевой задачи эффективно используется в доказательствах теорем существования известными методами [3, 4]. На примере модельной задачи на графе-звезде обосновывается существование граничных управляющих воздействий и описывается метод их нахождения. Для упрощения полученных формул длины ребер графа кратны п, волновое уравнение приводится в простейшей форме: utt = uxx. Главный результат исследования -это готовые формулы, определяющие искомые граничные управления как функции времени.

2. Основные понятия и определения. Пусть Г - граф-звезда, состоящий из m одинаковых ребер Yk и одного внутреннего узла При этом ребра Yk (k = 1, m — 1) параметризованы отрезком [0,п/2] (ориентация на ребрах «к узлу £»), ребро Ym - отрезком [п/2, п] (ориентация на ребре - «от узла £»); Го = Г\({£} U 9Г), 9Г - множество граничных узлов графа Г. Здесь и ниже используются понятия и обозначения монографии [3].

Обозначим через С(Г) множество непрерывных на Г функций, C[Г] - множество кусочно непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле по разным ребрам могут быть различными), С2[Г] - множество функций, все производные которых до второго порядка включительно принадлежат С [Г]. Сужение функции f (x) на ребро Y будем обозначать через f (x)Y. Интеграл от функции f (x) по графу Г понимается как

m

сумма интегралов от сужений f (x)Y по каждому ребру: / f (x)dx = ^ f f (x)Yk dx.

Г k=1 Yk

Введем понятие обобщенной производной для функций класса ¿2(Г).

Определение 1. Обобщенной производной функции u(x) G Ь2(Г) называется

Провоторов Вячеслав Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор, 394036, Воронежский государственный университет; e-mail: [email protected].

Гнилицкая Юлия Александровна — магистр, 394036, Воронежский государственный университет; e-mail: [email protected].

(§ В. В. Провоторов, Ю. А. Гнилицкая, 2013

функция и* (х) € ¿2 (Г) такая, что имеет место равенство

/ = — / и*{х)г](х)<кс

г г

при любой функции п(х) € Оо°(Го). Обобщенную производную и*(х) функции и(х)

Г- г йп(х)

будем обозначать символом £ '.

Пространство функций и(х) € ¿2(Г) с обобщенной производной первого порядка обозначим через Ш-.(Г). Элементы и(х) € Ш2 (Г) суть функции и(х) € Ь2(Г), эквивалентные абсолютно непрерывным на Го функциям (обозначаются также и(х)), имеющим почти всюду производную ^^ как элемент пространства Ь2(Г). Таким образом, здесь и в дальнейшем, говоря о функции и(х) € Ш^Г), будем иметь в виду функцию и(х) с указанными выше свойствами. Норма в пространстве Ш2(Г) определяется скалярным произведением

) = I + ШШ) ¿я*

г

Ш22(Г) - полное гильбертово пространство (полнота является следствием замкнутости обобщенного дифференцирования).

Для функций и(х,Ь) на Гт = Г х (0,Т) аналогично вводится пространство Ш2(Гт), элементы которого суть функции и(х,Ь) € ¿2(Гт), имеющие обобщенные производные щ,их из Ь2(Г'т), норма ||и||^1(Гт) определяется скалярным произведением

т)= / +

Гт

Все дальнейшие рассмотрения будут происходить во множестве функций, равных нулю на дГт, являющемся подпространством Ш2(Гт). В силу справедливости неравенства Фридрихса, для таких функций [5] удобно ввести новое скалярное произведение

МЬ^(Гт)= I (жж + №)^

гт

порождающее норму, эквивалентную введенной выше норме (обозначение такой нормы оставим прежнее).

3. Задача управления в классе С2(Г). Колебания на каждом из ребер графа Г при произвольном значении времени £ € (0,Т) описываются функцией и(х,Ь), (х,Ь) € Гу класса С(Гт) П С2(Гт), удовлетворяющей следующим требованиям [1, 2]: внутри каждого ребра (к = 1, то — 1) функция и{х,€) задается уравнениями

= (1) и соотношениями в узле £ (условия непрерывности и гладкости)

и(§, = (к = 1,ш- 1),

"у*1 Я *е(о,Т). (2)

К соотношениям (1), (2) добавим граничные условия в граничных узлах

(0,*)7)Ь =цк(Ь) {к= 1,то-1), и(1,4)7т=1/(4), ¿€[0,Т], (3)

и

начальные и финальные условия

и(х,0)

¡р(х), -щи(х,0)

ф(х), х € Г,

(4)

и(х, Т) = ф(х), -щи(х, Т) = ф{х), ж € Г. (5)

Получим краевые задачи с начальными (4) и финальными (5) условиями - задачи (1)-(4) и (1)-(3), (5) соответственно; ф(х), ф(х), ф(х), ф(х), ¡лк(£), V(£) — заданные функции. В прикладных задачах, описывающих колебания упругих сетей, условия (2) выражают баланс напряжений упругих континуумов.

Областью задания переменных уравнений (1) будем считать цилиндр Г^, соотношения (2) задаются на {£} х (0, Т). Решением краевой задачи (1)-(4) ((1)-(3), (5)) является функция и(х,Ь) класса С(Г^) П С2(Г'т), удовлетворяющая уравнениям (1) в IV, соотношениям (2) на {£} х (0,Т), начальным условиям (4) при £ = 0, х € Г (финальным условиям (5) при £ = Т, х € Г) и граничным условиям (3) при х € дГ, £ € [0,Т].

Для функций ф(х), ф(х), ф(х), ф(х), Лк(^), V(£) выполнены условия согласования

ф(0)^ = ¡и (0) (к =

ф(0)7к = ли(0) (к =

ф(0)7к = Лк (Т) (к :

ф(0)7к = лк(Т) (к

1), = г/(0),

1,™-1), ФМ7т=^'(0),

= 1,то - 1), ^(тт)7т = г/(Т), = 1, ш — 1), ф(п)Ут=г/(Т).

Задача 1. Пусть ф(х),ф(х)€ С2[Г], ф(х),ф(х)€ С 1[Г]. Задача управления колебаниями дифференциальной системы (1), (2) состоит в определении времени Т и управляющих функций = 1,т— 1),г/(£) € С2[0,Т] из граничных условий (3) таких, чтобы в момент времени £ = 0 выполнялись начальные условия (4), а в момент времени £ = Т - финальные условия (5).

Для решения задачи 1 исследуются ее частные случаи - задача о гашении колебаний системы (1), (2), связанная с краевой задачей (1)-(4) [1], и задача о переводе первоначально покоящейся системы (1), (2), связанная с краевой задачей (1)-(3), (5) [2]. Решение задачи 1 приведено в [2] и имеет следующий вид:

/XI(г) = ^717т(>) -*)) +

г/(г) =

0 0 '717т (п — 1) + ф717т (£)) —

7Г-4

I

0

- и I ФтЛт)(1т -Фщт

(т)йт) + ±(^(0)71 + £(0)71), (т)с/т)_ 1(^(0)71+95(0)71),

£ € [0,

п|;

Ф7к (п — £)+ф1к (П — — / (ф7к (г)+ф7к ^^ г € [0,п/2Ъ

= -I I

(*=2,т-1) | ^к(г)+ф7к(г) + I (ф7к(т) +ф1к(т))д,т, * € [тт/2, 7г].

п/2

Здесь

ф1Цт (х) =

<£(ж)71, Ж € [0,

ф

717т (х) =

Ф(х)71, X е [о,|],

ф ( х)

7т I

~ / \ _ I Ф{х)~!к1 х 6 [°> |]>

ф (х)=\ ^фть. Х 6 [°1|]>

при условии

/XI ) - 2/х(£) + 1у(г) = 0, ¿б[0,тг], ¿ = 2, ш-1.

Анализ задачи 1 определяется возможностью представления решения и(х,Ь) волновой системы (1), (2) рядом Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на звезде Г в С (Г) П С2 [Г] [1, 2], которая определяется набором уравнений

= ХУ~1к (к = 17™), (6)

на ребрах при фиксированной параметризации, уравнением в узле £

г-1

ЦУУ'Ч - -ЖУК"!«)7г,

£ Ы-К^ъ = 2)7^ (7)

к=1

и краевыми условиями

у(0)7,=0 (А=1,т-1), УП7т= 0, (8)

здесь А - спектральный параметр.

4. Задача управления в классе Ш2(Гт).

4-1- Слабые решения краевой задачи. Для задач (1)-(4) и (1)-(3), (5) введем понятие обобщенного решения (слабого решения) класса Ш2(Гт).

Обозначим через П(£, Г) множество непрерывных в узле £ функций и(х) класса

IVг, (Гт), для которых сужение ди^~1к непрерывно во всех концевых точках ребер (к = 1, то), принадлежащих узлу и имеет место соотношение

т— 1 к=1

существование таких функций показано в [5].

Аналогично вводится множество П(£, Гт) непрерывных по х в узле £ функций

и{х,Ь) € 1^2 (Г), для которых сужение ди^~1к непрерывно по х во всех концевых точках ребер 7к (к = 1, то), принадлежащих узлу и имеет место соотношение

т— 1

к=1

при этом функции и(х,Ь) непрерывны по Ь в норме ¿2(Г).

Пусть П0(£, Г), П0(£, Гт) - множества функций из П(£, Г), П(£, Гт), обращающихся в нуль на дГ и дГт = дГ х (0, Т) соответственно. Замыкания множеств П0(£, Г), П0(£, Гт) по нормам пространств Ш.¡.(Г) и Ш2(Гт) обозначим через Ш1 0(£, Г) и Ш1,0(£, Гт): Ш1,0(£, Г) С Ш2(Г), Ш1,0(£, Гт) С Ш2(ГТ). '

Определение 2. Обобщенным решением (слабым решением) класса Ш2(Гт) краевой задачи (1)-(4) называется функция и(х,Ь) € Ш^ 0(£, Гт), равная у(х) при Ь = 0 и удовлетворяющая интегральному тождеству

/ (-ЩЩ + их'Пх)Лх& - / ф(х)ц(х, 0)йх = 0 (о)

гт г

при любых п € Ш 2 о(^, Гт) (Ш1 0(£, Гт) - множество элементов Ш2 о(С Гт), равных нулю при Ь = Т).

Определение 3. Обобщенным решением (слабым решением) класса Ш2(ГТ) краевой задачи (1)-(3), (5) называется функция и(х, Ь) € Ш2 о(£, Гт), равная ф(х) при Ь = Т и удовлетворяющая интегральному тождеству

/ (-ЩЩ + ихЦх)&хИ + / ф(х)п(х, Т)в,х = 0 (10)

гт г у '

при любых п € Ш2 0(£, Гт) (Ш2 0(С, Гт) - множество элементов Ш2 о(С Гт), равных нулю при Ь = 0).

Задача 2. Пусть ф(х),ф(х)€ Ш2 о(С, Г), ф(х), ф(х)€ Ь2(Г). Задача управления колебаниями волновой системой (1), (2) состоит в определении времени Т и управляющих функций = 1,т— 1), г/(£) € IV2(0, Т) из граничных условий (3) таких, чтобы в момент времени Ь = 0 выполнялись начальные условия (4), а в момент времени Ь = Т - финальные условия (5).

Как и выше (п. 3), для решения задачи 1 потребуются ее частные случаи - задача о гашении колебаний системы (1), (2), связанная с решением краевой задачи (1)-(4) (определение 2), и задача о переводе первоначально покоящейся системы (1), (2) в заданное состояние, связанная с решением краевой задачи (1)-(3), (5) (определение 3).

4.2. Обобщенная задача Штурма-Лиувилля. На функциях пространства Ш2 о(С, Г) рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля (6)-(8). Обобщенные собственные функции класса Ш2 (Г) задачи (6)-(8) суть ненулевые элементы пространства Ш2 о(£, Г), удовлетворяющие тождеству

I ^^<1х = Х1и(х)Ф)<1х (И)

гг

при любой п € Ш2 о (С, Г); соответствующие таким элементам числа А являются собственными значениями. Несложно показать, что они вещественные, положительные и имеют конечную кратность; собственные функции, занумерованные в порядке возрастания собственных значений с учетом их кратностей, образуют базис в пространстве Ш2 о(С, Г), а, значит, в Ь2(Г), так как Ш2 о(С, Г) составляет плотное множество Ь2(Г). Обобщенные собственные функции являются элементами С (Г) П С2 [Г] и приведены в работах [1, 2].

5. Однозначная разрешимость краевых задач в классе Ш2(Г). Обратимся к вопросу слабой разрешимости краевых задач (1)-(4) и (1)-(3), (5) в пространстве Ш2 о(£, Гт) С Ш1 (Г). Для удобства дальнейшего изложения известной заменой сведем граничные условия обеих задач к нулю и представим задачу (1)-(4) в виде

Ъи = ¡, и(х, 0) = <р(х),щ(х, 0) = ф(х), и\дГт = 0, (12)

задачу (1)-(3), (5) - аналогично:

Ъи = /, и(х,Т ) = ф(х),щ(х,Т ) = ф(х),и \ дГт = 0. (13)

Пусть ^>,ф € Ш2 о(С Г), ф, ф € Ь2(Г) и /,/ € Ь2д(Гт). Пространство Ь2д(ГТ) состоит из всех элементов ^(Гт) с конечной нормой

1/2

Т / \ 1/ 2

2,1 (Гт ) = /у 12(х,ЬМх^ А.

ь

Теорема 1. Краевая задача (12) имеет не более одного обобщенного решения из Ш1,0(£, Гт )•

Доказательство. Пусть задача (12) имеет два обобщенных решения и1,и2 € Ш2 0(£, Гт), тогда их разность и = и1 — и2 € Ш2 0(£, Гт) удовлетворяет тождеству (12) с равной нулю правой частью и при Ь = 0 обращается в нуль. Возьмем в этом тождестве

0, г < Ь < Т,

п(х,Ь) = { г г и + ^ (14)

1 ] и(х,т)ат, 0 ^ Ь ^ т,

с произвольной фиксированной т € [0, Т]. Ясно, что п(х, Ь) € Ш2 0(£, Гт) и имеет в Г0 = Г0 х (0, т) обобщенные производные пгх = их € Ь2(Г°) и г/х € Ь2(Г°), кроме того, и и п являются элементами ¿2 (Г0), непрерывно зависящими от Ь € [0,Т]. Подставляя п(х,Ь) из (14) в (9) (р = ф = 0), получим

/ (-ж^ОМ^^ОМ) + йхЛ = о.

После интегрирования по частям, учитывая гц(х, 0) = и(х, 0) = 0 и пх(х,т) = 0, имеем

т. е. т) = и{х, г) = 0 и 0) = 0. Учитывая произвольность выбора г € [0, Т],

находим и(х,Ь) =0 на промежутке [0,Т].

Доказательство единственности решения краевой задачи (13) аналогично. Теорема 2. Краевая задача (12) имеет обобщенное решение из Ш2 0(£, Гт). Предварим доказательство теоремы следующей леммой. Возьмем ограниченную область Т>Т = {(х, Ь) € К2 : \х — х0| ^ с(т — Ь),Ь € [0, т], т ^ Т}, БТ - боковая часть границы области Т>Т. Обозначим через Х>г, пересечения Т>Т и БТ соответственно полосой {(х,Ь) : х € М1,Ь € [0,т]}, а через Гг - сечение Т>Т0 плоскостью Ь = Ь0. Лемма. Пусть и(х,Ь) С Гт) и ^ е Ь1(ГТ)- Если

г (д и{х,г) ди{х,г) . ди{х,г) д и(х,Ь)\ 11, _ г г/ ,ч ди{х,г) 11,

J I дг2 дг "Г дх дгдх ахш — J т ихии, П5)

7 Оь

тогда справедливы неравенства

Ни11^1(Гт) ^ с

Ы^ЦГт) < С (Ы1ш12 (Г) + НФН^Г) + III Нь^Гт)

(16)

(с, С - постоянные).

Доказательство. Левую часть (15) преобразуем интегрированием по частям следующим образом:

' д2и(х,Ь) ди(х,Ь) , ди(х,Ь) д2и(х,^^ - - ^ <• ° / А 2 я.,г„+\2л

г (д2и(х,г) ди{х,г) , ди{х,г) д2и(х,г)\ 1 1, _ 1 [' Л {ди(х>г) I ди{х,г) Л 1 1, _

] I дЬ2 дг + дх дЬдх I ахаъ ~ 2 ] дЬ I дЬ + дх I ах(1Т ~

Оь Х 7 Оь У 7

_ 1 г (ди(х,Ь)2 ди(х,г)2\ 1 и ,1 г (ди(х,Ь)2 ди(х,г)2\ 1

- 2 Л ^ дг н ШГ~ ) ах\0 + J ^ дг н ШГ~ )

и запишем соотношение (15) в виде

+ ^ j (au^t)2 + М^А da = y{Q) + 2 j fM

v е V / т>

Ъь

где г/(£) = / + 1 Последнее соотношение приводит к неравенству

Гь V х )

у(Ь) < у(0) + 2 } \\ь2(г>)У1/2т. (17)

о

Обозначим тах у(С,) = у(Ь) и из неравенства (17) следует, принимая во внимание неравенство у(Ь)/у(Ь) ^ 1,

У(г) < у(0) + 2\\/\\ь2,1(Ъь)М. Отсюда, учитывая 0 ^ Ь ^ т ^ Т и представления у(Ь), у(0), приходим к неравенствам (16). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2. Обозначим через {ип(х)}п^1 С Г) ор-

тонормальную систему обобщенных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (6)-(8). Воспользуемся методом Галеркина [3], и приближенное решение (х,Ь) краевой задачи (12) будем искать в виде

N

ии(х,г)=52 сN(г)ип(х) (18)

п=1

из соотношений

, иг) + / ^ <Ь = (/, «п), п=1,Ж, (19)

^(0) = ^, ^ = (20) N

здесь ^ - коэффициенты сумм (х) = ^ ^ип(х), аппроксимирующих при N

п=1

функцию х) в норме Ш2 (Г). Выражения (19), (20) являются системой линейных дифференциальных уравнений относительно функций ^(Ь) с начальными условиями (20); коэффициенты ее постоянные, правые части - суммируемые на (0, Т) функции. Система (19), (20) однозначно разрешима, а ^^ - суммируема на (0,Т). Для им справедлива оценка

\\ж2(гт) < с. (21)

Действительно, умножая каждое из соотношений (19) на свое и суммируя по п

от 1 до N, приходим к уравнению

д2им дим\ , Г ди"(х,Ь) , _ г диы

дг2 ' дг ) ^ дх дгдх — , т

и далее к равенству

J I Ш2 т "Г дх тдх I ихш — J J ух, V) д1_ ахш,

Ъь У ' Ъь из которого и утверждений леммы получаем неравенство (21).

Из ограниченной в Ш2(Гт) последовательности можно выбрать подпосле-

довательность (за которой сохраним то же обозначение), слабо сходящуюся в Ш2(Гт) и равномерно по £ С [0,Т] в норме ) к некоторому элементу и € Ш2> 0(£, Гт).

Покажем, что и(х,Ь) является обобщенным решением задачи (1)—(4). Начальное условие и(х, 0) = у(х) будет выполнено в силу только что отмеченной сходимости (х,£) к и(х,Ь) в Ь2(Гт) итого, что (х, 0) ^ ф(х) в Ь2(Г). Для доказательства справедливости тождества (9) для и(х,Ь) умножим каждое из соотношений (19) на свою функцию dn(t) € Ш2(0, Т), ¿п(Т) = 0, полученные равенства просуммируем по п от 0 до N и проинтегрируем по £ от 0 до Т. Затем в первом слагаемом проведем интегрирование по частям и будем иметь

/ (- дгТ + ди7:'г) а%х/]) - / Щ^ф, о)<ь=

гт Г (22)

= § /(х,1)п(х,1)3,хА, Гт

N

справедливое при любых функциях п(х, £) вида п(х,£) = £ ¿п(Ь)ип(х). Множество

п=1

таких п(х,£) обозначим через MN. В соотношении (22) перейдем к пределу по выбранной выше подпоследовательности при фиксированной функции п(х, £) € MN, полу-

оо

чим (9) для любой функции п(х,£) € ШN. Множества У MN плотно в Ш2 0(£,Гт)

N=1 '

и и(х, £) € Ш2 о(£, Гт), следовательно, тождество (9) будет выполняться для и(х, £) при любых п(х,£) € Ш2 о(£, Гт). Для решения и(х,£) справедливо неравенство (21) или, что то же (второе неравенство (16)), неравенство

Ни11ж!(гт) ^ С (|М1^2(Г) + УФУь2(г) + II/\\ь2> 1 (гт) , (23)

где С - некоторая постоянная. Теорема доказана.

Аналогично показывается существование обобщенного решения краевой задачи (13), где используется тождество (10).

Замечание 1. Оценки (21), (23) имеют место и для решений краевых задач (1)-(4) и (1)-(3), (5) класса С2(Гт).

Замечание 2. Если в представлении (18) коэффициенты (£) выбирать достаточно гладкими, то функции uN(х,£) два раза непрерывно дифференцируемы по переменной £ и, учитывая принадлежность системы обобщенных собственных функций {ип(х)}п>1 (11) пространству С(Г)ПС2 [Г] (п. 4.2), являются классическими решениями задачи (1)-(4) из С2(Гт). Аналогичное замечание имеет место для задачи (1)-(3), (5). 6. Граничное управление в классе Ш^Г). Рассмотрим последовательности

начальных {^п(х)}п>1, {ф

п(х)}п>1 и финальных {(рп (х)}п>1, уфп(х)> условий:

п>1

уп(х), фп(х) € С 1[Г], фп(х), фп(х) € С (Г). Пусть уп ^ у, фп ^ у в норме пространства Ш1 (Г): у,чр € Ш2 , 0(£,Г); фп ^ ф, фп ^ ф в норме пространства ^(Г): ф,ф € ¿2(Г).

Пусть для фиксированного п решена задача 1 перевода системы (1), (2) из начального состояния уп(х), фп(х) в финальное состояние фп(х), фп(х). Обозначим ее решение через /х* к(€) {к = 1, ш — 1), его вид представлен в п. 3. Переходя к пределу при

п ^ ж в норме пространства Ш 1!(0,п), получаем, что последовательность решений сходится к функциям /х£(£) (к = 1, то — 1), г/*(£), являющимися элементами пространства Ш2(0,п) и имеющими вид, приведенный в п. 3. При этом почти всюду на (0,п)

выполнены условия

(г) - 2(4 ) + г/* (г) = 0, г = 2,т-1. (24)

Функции (/г = 1,ш — 1), г/*(£) есть решение задачи 2. При этом краевые задачи

(1)-(4) и (1)-(3), (5) имеют обобщенные (слабые) решения класса Ш\(ГТ).

7. Заключение. Ассоциированная с графом-звездой Г динамическая система (1)-(5) является управляемой для времени Т = п при условиях (24) на управляющие воздействия. Доказательство конструктивно: предлагается процедура решения задачи 1 для последовательности начальных и финальных данных в классе гладких функций, описанная в работах [1, 2]. Переход к пределу в норме пространства Ш 11(0,п) дает решение (к = 1, то — 1), г/*(£) задачи 2 класса 0,7г).

Отметим, что задача граничного управления системой (1), (2) в классе Ш2(Гт) аналогична представленной (Ш2(Гт) - пространство функций и(х,Ь) из ¿2(Гт), имеющих обобщенные производные и4, их, иИ, ихх также из ¿2(Гт)). Отличие состоит только в определениях понятий решений краевых задач (1)-(4) и (1)-(3), (5) в классе Ш2(Гт) и обобщенных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (6)-(8) класса Ш2(Г).

Литература

1. Провоторов В. В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы струн // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Вып. 1. С. 62-71.

2. Гнилицкая Ю. А. Граничное управление колебаниями системы струн // Процессы управления и устойчивость: труды 43-й междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012. С. 21-25.

3. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

4. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 431 с.

5. Волкова А. С. Фредгольмова разрешимость в классе задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа на графе-звезде // Математика и ее приложения. 2011. Т. 1, № 8. С. 15-28.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.