CC BY
13МЕТОД МНОЖЕСТВА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ РЕШЕНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Р. В. Хачатуров
ВЦ им. А. А. Дородницына ФИЦИУ РАН, 119333, Москва, Россия
УДК 519.1
DOI: 10.24411/9999-018А-2019-10014
Рассмотрены различные аспекты решения многокритериальных задач дискретной оптими-зации. Показаны преимущества метода множества эквивалентности при решении задач та-кого рода по сравнению с другими методами. Сформулированы и доказаны теоремы, пока-зывающие соотношение множества Парето-оптимальных решений и решений из множества эквивалентности.
Ключевые слова: множество эквивалентности, множество Парето-оптимальных решений, многокритериальные задачи, дискретная оптимизация.
Как известно, задачи многокритериальной оптимизации возникают, когда оптимизируемый функционал Г(X) = Г(х1, х2,..., хп) является вектор-функцией размерности т > 1
т.е. когда существуют несколько независимых критериев у = /1 (х1,..., хп),..., Ут = /т (х1,..., хп), по которым нужно найти наилучшее решение. В этом случае необходимо
применять более сложные методы, чем в случае одного критерия. Существуют различные подходы к решению таких задач. В этой работе будет рассмотрен метод множества эквивалентности [1, 2], описаны основные его свойства и показаны его преимущества по сравнению с другими методами решения многокритериальных задач дискретной оптимизации.
1. Метод нахождения множества эквивалентных решений (метод множества экви-
валентности) в многомерном псевдометрическом пространстве по нескольким крите-
риям
Суть этого метода заключается в следующем:
1) По каждому критерию у1 (X) решается задача однокритериальной оптимизации, и
находится оптимальное решение.
2) По каждому критерию у1 (X) находится множество решений, близких к оптималь-
ному по этому критерию, т.е. отличающихся от оптимального значения не более, чем на заданное число Я1 > 0, I = 1,2,...,т , которое назовём допуском по соответствующему критерию. Само найденное множество обозначим через 0,{ (Я1).
3) Затем находится множество решений, являющееся пересечением всех таких мно-
жеств по всем критериям у1 (X) . Обозначим это множество через О.0 (Я1,...,Ят)
Введение
fl (х1, х2 ,..., хп)
Г ( X ) = Г (
• • •
т
П0 (Я!,..., Ят ) = ПП, (Я )
Применение этого метода на примерах решения конкретных многокритериальных задач подробно описано в работах [1, 2].
Полученное множество 00 (Я1,...,Ят) называется множеством эквивалентности
(рис. 1). Любое решение из него удовлетворяет всем формализованным критериям и может быть принято экспертом в качестве окончательного решения. Описанный метод не имеет недостатка метода нахождения множества оптимальных по Парето решений, поскольку при добавлении дополнительного критерия множество эквивалентности никогда не растёт, а наоборот, как правило, сужается [1], что будет формально доказано ниже в Теореме 1.
Рис. 1. Иллюстрация нахождения множества эквивалентных решений 00 (Я1,...,Ят) многокритериальной задачи
Теорема 1. При увеличении числа критериев множество эквивалентности 00 (Я1,..., Ят ) не расширяется или сужается.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению множество эквивалентности
т
00 (Я1,...,Ят) = П О, (Я1) , поэтому при добавлении ещё одного критерия ут+1 (X) с допуском Ят+1 новое множество эквивалентности 00 (Я1,...,Ят+1) будет определяться следующим образом:
О (Я1,..., Ят+1 ) = 0 (Я1,..., Ят )пОт+1 (Ят+1 ) .
Отсюда следует, что 00 (К...,Ят+1) ^ О (К...,Ят). Теорема 1 доказана.
Отметим, что на практике при добавлении новых критериев множество эквивалентности 00 (Я1,...,Ят), как правило, быстро сужается (рис. 1). Следует отметить также, что геометрическая форма множеств оптимальных и близких к оптимальным решений
01 (Я),...,°т (Ят) в пространстве искомых начальных (входных) параметров может быть самой разнообразной [1].
Вследствие вышесказанного, при решении реальных задач, из полученного описанным
т
методом множества эквивалентности 00 (Я1,...,Ят) = П О, (Я{) эксперт может выбирать решения, удовлетворяющие не только формализованным критериям, но и неформализованным, основанным на его опыте и интуиции, при этом гарантированно не упуская наилучшее
76 "Проблемы оптимизации сложных систем - 2019"
решение, которое при любом количестве дополнительных критериев никогда не окажется вне найденного множества О0 (Я1,...,Ят) (в отличие от множества Парето, которое, как правило, растёт при увеличении количества критериев [1]).
2. Обеспечение заведомой непустоты множества эквивалентности
Важным вопросом при нахождении множества эквивалентности О.0 (Я1,...,Ят) является способ определения значений допусков Я1 > 0, I = 1,2,...,т по каждому из критериев так, чтобы множество эквивалентности 00 (Я1,..., Ят ) было заведомо не пусто. Предлагаемый ниже метод позволяет решить эту задачу при любом количестве выходных параметров (критериев) у1 (X) .
После решения однокритериальных задач оптимизации по каждому из т критериев получим т решений X0 (I = 1,...,т) . Выберем некоторую точку X е Б , исходя из условия наименьшего среднеквадратического отклонения значения функционала Г (X ) в этой точке от значений функционала Г(X0 ) в найденных точках X0 (I = 1,...,т)
г ^ )=^т, и (г (*)-г (*)) ■
где Б - п -мерная область допустимых значений входных параметров.
В дальнейших рассуждениях без ограничения общности будем полагать, что решается задача максимизации по всем критериям. Тогда значения допусков Яг > 0, I = 1,2,...,т по каждому из критериев у1 (X) определяются исходя из условия, что
получаемые множества решений О., (Я1), близких к оптимальному по каждому критерию, включают в себя найденную точку X е Б , т.е.
Я = у (X0)-у (Т), I = 1,...,т. Все полученные с такими значениями допусков Я1 множества оптимальных и близких к оптимальным решений 0.1 (Я1) (I = 1,...,т)
П, (Я) = {X е у (X) < у (X) < у (X) + Я = у (X0) = тах(у )}
будут включать в себя точку X , поэтому и искомое множество эквивалентности
т
00 (Я1,..., Ят ) = П (Я,) заведомо не будет пустым, так как всегда будет включать в себя
,=1
хотя бы одну эту точку X .
3. Соотношение и взаимосвязь множества эквивалентности и множества оптимальных по Парето решений
Сначала сформулируем и докажем Теорему, описывающую важное свойство множества эквивалентности и его пространственную структуру. Теорема 2. (О вложенности множеств эквивалентности)
Если точка X" е Б не хуже по всем критериям, чем точка X' е Б, т.е. выполнено
y (X ')< у, (X ")< max (у,)
и
R ( X') = max (y)- у, ( X'), R (X') = max (y)- y (X'), где R (X")< R (X'), l = 1,... m,
то для соответствующих множеств эквивалентности справедливо
Q0 (R (X'),...,Rm (X ")) с Qo (R (X'),...,Rm (X ')).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В m -мерном пространстве критериев множество эквивалентности ограничено снизу по каждому критерию y (m -1) -мерной гиперплоскостью (рис. 2)
У1 = max(У1)-Ri, l =1,•••,m . Поэтому если yl (X') < yl (X"), то соответствующие множества эквивалентности Q0 (R (X'),...,Rm (X')) и Q0 (R1 (X"),...,Rm (X")) ограничены снизу (m -1) -мерными гиперплоскостями (рис. 2)
y ( X ') = max (y)- Ri ( X ')
и
y ( X '') = max (y)- R ( X "), где Ri (X")< Ri (X'), l = 1,... m.
Поэтому Qo (R (X "),...,Rm (X ')) с Qo (R (X '),...,Rm (X')). Теорема 2 доказана.
Пусть P(y,...,ym) - множество оптимальных по Парето решений, определённое традиционным способом [3]:
P(У1,...,Ут) = {A е D \ не существует B е D : y (B)> y (A), l = 1,...,m}.
Теорема 3. Множество эквивалентности Q0 (R1,...,Rm) содержит хотя бы одно решение, оптимальное по Парето.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В соответствии с определением P(у,...,ym), для любого
X' eQ0 (R1,...,Rm) найдётся хотя бы одна точка X" е D, оптимальная по Парето X" е P(y1,...,ym), такая, что y (X")>y (X'), l = 1,...,m .
Но это означает, что X" соответствует меньшим либо равным значениям допусков R1,...,Rm по всем критериям, чем X', и, следовательно, в соответствии с Теоремой 2,
X" eQ0 (R,..., Rm ).
Теорема 3 доказана.
Следствие из Теоремы 3. Если множество эквивалентности содержит единственное решение, то это решение оптимально по Парето.
Теорема 4. Если в методе множества эквивалентности в качестве начальной общей
точки X е D взять единственное оптимальное решение по любому из критериев, то полу-
ченное множество эквивалентности всегда будет содержать хотя бы одно Парето-оптималь-ное решение, даже если по остальным критериям оптимальные решения не ищутся, а соответствующие им множества О, (Я,) задаются следующим образом:
О, (Я, ) = { X е у, (X )< у, ( X )< у, (X ) + Я,} .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению множеств О, (Я,) начальная точка X всегда входит в результирующее множество эквивалентности
__т
X еО0 (Я1,...,Ят) = ПО,(Я).
При этом единственная оптимальная по одному из критериев точка всегда является и Парето-оптимальной. Теорема 4 доказана.
Рис. 2 на примере двухкритериальной задачи оптимизации иллюстрирует характерное пространственное расположение и соотношение множества Парето, множеств О1 (Я1),
О2 (Я2 ) оптимальных и близких к оптимальным решений (ОБОР) по критериям у , у2 соответственно и множества эквивалентности О0 (Я1, Я2) .
Эти множества изображены следующими цветами:
- множество Парето-оптимальных решений - зелёным;
- множество ОБОР по первому критерию О1 (Я1) - жёлтым;
- множество ОБОР по второму критерию О2 (Я2) - красным;
- множество эквивалентности О0 (Я1, Я2) - синим.
Рис. 2. Характерное расположение множества Парето (зелёный цвет), множеств Q1 (R1) (жёлтый цвет), Q2 (R2) (красный цвет)
и множества эквивалентности Q0 (R1, R2) (синий цвет).
Оценим скорость роста числа элементов множества Парето при увеличении числа критериев задачи. Прежде всего заметим, что множество Парето-оптимальных решений всегда принадлежит (m -1) -мерной гиперповерхности, проходящей через точки максимумов всех
критериев max(у ),...,max(ym) в m -мерном пространстве критериев, как это видно на
рис. 2, 3. В зависимости от конкретного вида оптимизируемых функционалов, Парето-оп-тимальные решения могут быть распределены либо по всей этой гиперповерхности, либо по определённым её частям (рис. 3). Поэтому число элементов множества Парето, как правило, растёт пропорционально (m -1) -мерному объёму этой гиперповерхности
(т-1)
V
т-1)
• а
', где а - характерный линейный размер множества всех возможных значений
критериев у,...,Ут.
За а может быть принято, например, среднее геометрическое значение интервалов изменения всех критериев а = ^(шах (у1) - тт (у1 ))х... х (тах (ут ) - тт (ут )) .
Это означает, что число элементов множества Парето в т -мерном пространстве критериев при увеличении числа этих критериев растёт, как правило, со скоростью геометрической прогрессии (экспоненциально). И при т > п может включить в себя все точки области определения задачи X е Б . При этом число элементов множества эквивалентности не растёт никогда, а наоборот, как правило, быстро убывает при увеличении числа критериев (Теорема 1), что иллюстрируют рис. 2, 3.
Рис. 3. 3Б-пример расположения множества Парето (зелёный цвет), множеств 01 (Я1) (жёлтый цвет), 02 (Я2) (красный цвет), 03 (Я3) (синий цвет)
и множества эквивалентности 00 (Я1, Я2, Я3) (фиолетовый цвет).
На рис. 3, полученном в результате вычислений по специально разработанной компьютерной программе, видно взаимное расположение множества Парето, множеств ОБОР 01 (Я1), 02 (Я2), 03 (Я3) и множества эквивалентности 00 (Я1, Я2, Я3) при т = 3 . Элементы этих множеств изображены следующими цветами:
- множество Парето-оптимальных решений - зелёным;
- множество ОБОР по первому критерию 01 (Я1) - жёлтым;
- множество ОБОР по второму критерию 02 (Я2) - красным;
- множество ОБОР по второму критерию 03 (Я3) - синим;
- множество эквивалентности 00 (Я1, Я2, Я3) - фиолетовым.
Начальная общая точка для множества эквивалентности X е D, найденная при помощи алгоритма из раздела 2, изображена фиолетовым кружком с голубой границей. Общее число элементов множества всех возможных значений критериев в данном случае равно 27000, число элементов множества Парето - 900, число элементов множества эквивалентности - 18. При этом 12 из них являются и Парето-оптимальными (фиолетовые с зелёным центром).
Заключение
Итак, описанный метод множества эквивалентности обладает следующими свойствами:
1. Искомое множество эквивалентности Q0 (R1,...,Rm) всегда заведомо не пусто.
2. Множество эквивалентности всегда содержит хотя бы одно Парето-оптимальное решение.
3. Если множество эквивалентности содержит единственное решение, то это решение оптимально по Парето.
Отметим, что методы, определяющие Q0 (R1,...,Rm) ^ 0, являются методами регуляризации [4] для некорректных задач в псевдометрическом пространстве критериев y1,..., ym (даже при наличии неформализованных критериев), а каждое решение X'eQ0(R1,...,Rm) -решением такой некорректной задачи [1, 2].
Список литературы
1. Хачатуров Р. В. Многокритериальная оптимизация в псевдометрическом пространстве критериев на примере общей модели деятельности предприятия // ЖВМиМФ. - 2016. Т. 56. № 9. - С. 1602-1613.
2. Khachaturov R. V. Single- and Multiobjective Optimization on the Lattice of Cubes // Journal of Computer and Systems Sciences International. - Pleiades Publishing, 2018. Vol. 57. No. 5. - P. 750-758.
3. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.
4. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
Рубен Владимирович Хачатуров - к.ф.-м.н., с.н.с.
ВЦ им. А. А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН, e-mail: rv_khach@yahoo.ie
